1. Квантование на основе уравнения Шредингера (22.1) полезно уяснить на примере одномерной симметричной «потенциальной ямы» прямоугольной формы. Так называется потенциальная функция $U(x)$, принимающая на интервале $-a<x<+a$ постоянное значение $-U_{0}$ и обращающаяся в нуль вне этого интервала (рис. 44). Для этого случая легко получить точное решение уравнения Шредингера и на его основе рассмотреть задачу о квантовании энергии. Но этим значение прямоугольных потенциальных ям не исчерпывается. В ряде случаев (напри-
Рис. 44
Рис. 45

мер, в ядерной физике) истинный ход потенциальной функции $U(x)$ неизвестен. Аппроксимируя $U(x)$ потенциальной ямой прямоугольной формы, получают в таких случаях не только качественные, но даже количественные результаты оценочного характера.
2. Наиболее простым в математическом отношении является случай бесконечно глубокой потенциальной ямы, когда величина $U_{0}$ обращается в бесконечность. В этом случае целесообразно за нуль потенциальной функции принять ее значение на «дне» потенциальной ямы, т.е. на интервале $-a<x<+a$. Тогда на «стенках» ямы (т.е. при $x= \pm a$ ) функция $U(x)$ будет претерпевать разрыв от 0 до $+\infty$. Такая потенциальная яма изображена на рис. 45 .

Математическое упрощение задачи при переходе от ямы конечной глубины к бесконечно глубокой яме связано с тем, что в последнем случае вне интервала $-a<x<+a$, где $U$ всюду бесконечно велика, функция $\psi$ должна обращаться в нуль. Действительно, согласно классической физике, частица с конечной энергией $\mathscr{E}$ не может попасть в область, где $U(x)=+\infty$. В квантовой механике это утверждение заменяется требованием обращения в нуль плотности вероятности $\psi^{*} \psi$, а следовательно, и самой функции $\psi$. Таким образом, достаточно рассмотреть решение уравнения Шредингера только в интервале $-a<x<+a$, что и ведет к упрощению задачи.

Внутри интервала $-a<x<+a U(x)=0$ и уравнение (22.1) принимает вид
\[
\frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}+k^{2} \psi=0
\]

где введено обозначение
\[
k^{2}=2 m \mathscr{E} / \hbar .
\]

Не теряя общности, достаточно ограничиться положительными значениями $k$, что и предполагается ниже. Общее решение уравнения (24.2) имеет вид
\[
\psi=A \cos k x+B \sin k x,
\]

причем на стенках ямы $x= \pm a$ должно быть $\psi=0$. Это дает
\[
\begin{array}{lll}
A \cos k a+B \sin k a=0 & \text { при } & x=+a, \\
A \cos k a-B \sin k a=0 & \text { при } & x=-a .
\end{array}
\]

Если $A
eq 0$, то $A \cos k a=0$ и, следовательно, $\cos k a=0, \sin k a
eq 0$, $B=0$. Наоборот, если $B
eq 0$, то $B \sin k a=0$ и, следовательно, $\sin k a=$ $=0, \cos k a
eq 0, A=0$. Таким образом, все решения уравнения (24.2) распадаются на два класса:
1) с четными функциями
\[
\psi=A \cos k x, \quad k a=\pi / 2,3 \pi / 2,5 \pi / 2, \ldots ;
\]
2) с нечетными функциями
\[
\psi=B \sin k x, \quad k a=2(\pi / 2), 4(\pi / 2), 6(\pi / 2), \ldots
\]

Возможность $k a=0$ во втором случае исключается, так как тогда было бы $\psi=0$, что не имеет физического смысла. Постоянные $A$ и $B$ обычно определяются из условия нормировки $\int_{-a}^{+a}|\psi|^{2} d x=1$ (для разбираемого нами вопроса это не имеет значения). Тогда получается
\[
\psi=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{\sqrt{a}} \cos \frac{n \pi x}{2} & \text { при нечетных } n, \\
\frac{1}{\sqrt{a}} \sin \frac{n \pi x}{2} & \text { при четных } n .
\end{array}\right.
\]

В обоих случаях $k=n \pi / 2 a$, так что при любом целом $n$
\[
\mathscr{E}=\frac{\hbar}{2 m} k^{2}=\frac{\hbar \pi^{2}}{8 m a^{2}} n^{2} .
\]

Отсюда видно, что энергия квантуется. Энергетические уровни $\partial u c$ кретны, при $U_{0}=+\infty$ число их бесконечно велико. Так как значение $n=0$ исключается, то энергия наинизшего уровня равна $\hbar \pi^{2} /\left(8 m a^{2}\right)$. Это – нулевая энергия, необходимость которой следует из общих положений.

Против приведенного решения можно выдвинуть следующее возражение. На всякой поверхности разрыва потенциальной функции $U(x)$ должны выполняться граничные условия
\[
\psi_{1}(x-0)=\psi_{2}(x+0), \quad \frac{d \psi_{1}(x-0)}{d x}=\frac{d \psi_{2}(x+0)}{d x},
\]

где $\psi_{1}(x)$ – функция $\psi(x)$ по одну сторону поверхности разрыва, а $\psi_{2}(x)$ – по другую (см. $\S 22$, п. 1). В нашем случае внутри интервала $-a<x<+a \psi=\psi_{1}$ дается выражениями (24.3), а вне этого интервала $\psi \equiv \psi_{2}=0$. Первое условие (24.5) выполняется, тогда как второе не выполняется. Таким образом, на стенках потенциальной ямы первая производная найденной нами функции $\psi(x)$ претерпевает разрыв непрерывности. Однако это противоречие с общими требованиями, которым должна удовлетворять функция $\psi(x)$, является только кажущимся и возникает в результате математического перехода к пределу. Во всяком реальном случае глубина ямы $U_{0}$ конечна, хотя и может быть очень большой. В этом случае вблизи стенки по обе стороны от нее $\psi(x)$ и $d \psi / d x$, вообще говоря, отличны от нуля, и условия (24.5) строго выполняются. Но при переходе к пределу бесконечно глубокой ямы они могут и не выполняться для предельных значений этих величин. Действительно, из соотношений (24.5) не следует, что должны выполняться и предельные соотношения
\[
\begin{aligned}
\lim \psi_{1}(x-0) & =\lim \psi_{2}(x+0), \\
\frac{d}{d x} \lim \psi_{1}(x-0) & =\frac{d}{d x} \lim \psi_{2}(x+0) .
\end{aligned}
\]

Это на самом деле и происходит с производными функции $\psi(x)$. Найденное нами решение относится не к реальной функции $\psi(x)$ при очень большом значении $U_{0}$, а к ее предельному значению при $U_{0} \rightarrow \infty$.

На этом примере с особой отчетливостью проявляется отмеченная выше аналогия между задачей о квантовании энергии и задачей о колебании струны с закрепленными концами. Действительно, в случае прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной ямы обе задачи математически тождественны.
3. Рассмотрим теперь случай симметричной прямоугольной ямы конечной глубины (см. рис. 44). Потенциальную функцию $U(x)$ вне ямы примем равной нулю. Внутри ямы $U(x)=U_{0}<0$. За начало координат возьмем центр дна ямы $O$. Исследуем сначала случай, когда полная энергия $\mathscr{E}$ отрицательна, причем $U_{0}<\mathscr{E}<0$. Введем обозначения
\[
k=+\sqrt{2 m\left(\mathscr{E}-U_{0}\right) / \hbar^{2}}, \quad \alpha=+\sqrt{-2 m \mathscr{E} / \hbar^{2}} .
\]

Тогда уравнение Шредингера внутри ямы будет
\[
\frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}+k^{2} \psi=0
\]

а вне ямы
\[
\frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}-\alpha^{2} \psi=0
\]

Общее решение уравнения (24.7) имеет вид
\[
\psi=A \cos k x+B \sin k x .
\]

Решением уравнения (24.8) является $e^{ \pm \alpha x}$. Здесь надо выбрать такой знак, чтобы решение обращалось в нуль при $x= \pm \infty$. Таким образом, вне ямы должно быть
\[
\begin{array}{lll}
\psi=C e^{-\alpha x} & \text { при } & x>a, \\
\psi=D e^{\alpha x} & \text { при } & x<-a .
\end{array}
\]

Из соображений симметрии следует, что плотность вероятности $|\psi|^{2}$ должна быть симметричной функцией $x$ относительно начала координат. Следовательно, должно быть $C^{2}=D^{2}$, т. е. возможны два случая: $C=D$ и $C=-D$. Постоянные $A, B, C, D$ надо выбрать так, чтобы на краях ямы функция $\psi$ и ее производная $d \psi / d x$ были непрерывны. На границе $x=+a$ это дает
\[
\begin{aligned}
A \cos k a+B \sin k a & =C e^{-\alpha a}, \\
-k A \sin k a+k B \cos k a & =-\alpha C e^{-\alpha a},
\end{aligned}
\]

а на границе $x=-a$
\[
\begin{array}{c}
A \cos k a-B \sin k a=D e^{-\alpha a}, \\
k A \sin k a+k B \cos k a=\alpha D e^{-\alpha a} .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{c}
2 A \cos k a=(C+D) e^{-\alpha a}, \quad 2 B \sin k a=(C-D) e^{-\alpha a}, \\
2 k A \sin k a=\alpha(C+D) e^{-\alpha a}, \quad 2 k B \cos k a=-\alpha(C-D) e^{-\alpha a} .
\end{array}
\]

Если $A
eq 0$ и $C=D$, то
\[
k \operatorname{tg} k a=\alpha .
\]

Если же $B
eq 0$ и $C=-D$, то
\[
k \operatorname{ctg} k a=-\alpha .
\]

Эти условия не могут быть удовлетворены одновременно, так как в противном случае получилось бы $k^{2}=-\alpha^{2}$, а это невозможно ввиду вещественности $k$ и $\alpha$. Решение, когда все коэффициенты $A, B, C$, $D$ равны нулю, физического смысла не имеет. Таким образом, все возможные решения разделяются на два класса: решения с четной волновой функцией, когда $A
eq 0, B=0, C=D$, и решения с нечетной волновой функцией, когда $A=0, B
eq 0, C=-D$.

Уровни энергии найдутся путем графического или численного решения уравнения (24.10) или уравнения (24.11), в которых положительные величины $k$ и $\alpha$ определяются выражениями (24.6). Для графического решения введем безразмерные величины
\[
\xi=a k, \quad \eta=a \alpha .
\]

Тогда
\[
\xi^{2}+\eta^{2}=-\frac{2 m U_{0} a^{2}}{\hbar^{2}},
\]

причем для решений с четной волновой функцией из (24.10) следует
\[
\eta=\xi \operatorname{tg} \xi
\]

а для решений с нечетной волновой функцией из (24.11) получаем
\[
\eta=-\xi \operatorname{ctg} \xi \text {. }
\]

На рис. 46 построены кривые $\eta=\xi \operatorname{tg} \xi$, на рис. 46 б – кривые $\eta=-\xi \operatorname{tg} \xi$. Вертикальными штриховыми линиями изображены асимптоты этих кривых. Ввиду положительности $\xi$ и $\eta$ нужны
Рис. 46

только участки кривых, расположенные в положительном квадранте $(\xi>0, \eta>0)$. Пересечем эти кривые окружностью (24.13), радиус которой $\sqrt{-2 m U_{0}} a / \hbar$ должен считаться известным, поскольку известны величины $U_{0}$ и $a$. Координаты точек пересечения этой окружности с кривыми (24.10a) и (24.11a) дадут возможные значения $\xi$ и $\eta$, а следовательно, $k$ и $\alpha$. После этого по формулам (24.6) легко найти значения $\mathscr{E}$. Число уровней всегда конечно и определяется глубиной $-U_{0}$ и шириной $2 a$ потенциальной ямы. Например, если радиус окружности равен 7 , то получается пять уровней. Точкам пересечения 1, 3, 5 соответствуют четные, а точкам 2, 4 – нечетные волновые функции. Если $0 \leqslant-U_{0} a^{2} \leqslant \hbar^{2} \pi^{2} /(8 m)$, то имеется только одна точка пересечения, которой соответствует четная волновая функция. Так как величина $k$ существенно отлична от нуля, то из (24.6) следует, что $\mathscr{E}>$ $>U_{0}$. Все уровни энергии, в том числе и самый низший, лежат выше дна потенциальной ямы. Опять наше решение приводит к необходимости существования нулевой энергии.
4. Остается рассмотреть случай, когда $\mathscr{E}>0$. В этом случае величина $\alpha$ чисто мнимая: $\alpha=i \beta$. Вместо (24.8) получается уравнение
\[
\frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}+\beta^{2} \psi=0 \text {. }
\]

Его решения:
\[
\begin{array}{lll}
\psi=A^{\prime} \cos \beta x+B^{\prime} \sin \beta x & \text { при } & x>+a, \\
\psi=A^{\prime \prime} \cos \beta x+B^{\prime \prime} \sin \beta x & \text { при } & x<-a .
\end{array}
\]

Оба решения остаются конечными при любых значениях $x$, в частности сколь угодно больших по абсолютной величине. Они содержат четыре произвольных постоянных $A^{\prime}, B^{\prime}, A^{\prime \prime}, B^{\prime \prime}$. Эти решения надо сшить с решением внутри интервала $-a<x<+a$, которое представляется формулой (24.9), чтобы при этом оставались непрерывными $\psi$ и $d \psi / d x$ на обеих стенках потенциальной ямы. Таким путем получаются четыре линейных уравнения относительно коэффициентов $A^{\prime}, B^{\prime}, A^{\prime \prime}, B^{\prime \prime}$, содержащие $A$ и $B$ в качестве параметров. Этого как раз достаточно, чтобы выразить эти неизвестные коэффициенты через $A$ и $B$. При этом $A$ и $B$ могут принимать любые значения. Отсюда следует, что при $\mathscr{E}>0$ энергия не квантуется – энергетический спектр непрерывен. Волновая функция не стремится к нулю при $x \rightarrow \pm \infty$, т. е. движение частицы инфинитно, как того и требует общая теория.