1. Гармоническим осциллятором в классической физике называют частицу, на которую действует си.та, пропорциональная отклонению частицы из положения равновесия и направленная к нему. Осциллятор называется одномерным, если частица может двигаться только вдоль одной прямой. Последнюю мы примем за ось $X$, а положение равновесия – за начало координат. Потенциальная функция частицы имеет вид
\[
U=\frac{1}{2} k x^{2},
\]

где $k$ – постоянная (коэффициент упругости), а $x$ – отклонение частицы от положения равновесия. Графиком функции $U(x)$ является парабола (рис.43). Согласно классической механике осциллятор совершает гармонические колебания с циклической частотой $\omega=$ $=\sqrt{k / m}$, где $m-$ масса частицы.

В квантовой механике понятие силы не используется. Поэтому квантовый гармонический осциллятор следует определить как частицу с потенциальной функцией $U(x)$. Найдем энергии стационарных состояний осциллятора, следуя идеям предыдущего параграфа. Но здесь возникает следующая трудность. Функцию $U(x)$ нельзя нормировать
Рис. 43

так, чтобы она обращалась в нуль в бесконечности, так как при $x=$ $= \pm \infty$ она сама бесконечно велика. Но эта трудность искусственная. В реальных системах при возрастании $|x|$ начинают проявляться отступления от параболической формулы (23.1), так что $U( \pm \infty)$ становится конечной. Рассмотрим случай, когда $U(x)$ симметрична, так что $U(+\infty)=U(-\infty)$. Тогда методы предыдущего параграфа становятся применимыми. Но здесь удобнее за нуль $U(x)$ принять ее значение при $x=0$. Мы проведем решение, предполагая, что формула (23.1) справедлива при любых $x$. Однако для реального осциллятора полученные результаты будут справедливы для не слишком больших значений $|x|$.
2. Уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора имеет вид
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}+\frac{1}{2} k x^{2} \psi=\mathscr{E} \psi
\]

Если ввести безразмерные величины
\[
\lambda=\frac{2 \mathscr{E}}{\hbar \omega}, \quad \xi=x \sqrt{\frac{k}{\hbar \omega}},
\]

то оно преобразуется в
\[
-\frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}}+\xi^{2} \psi=\lambda \psi
\]

При определенном значении параметра $\lambda$ это уравнение имеет решение $\psi=e^{\alpha \xi^{2}}$, где $\alpha$ – постоянная, которая сейчас будет определена вместе с $\lambda$. Действительно,
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \psi}{d \xi}=2 \alpha \xi e^{\alpha \xi^{2}}=2 \alpha \xi \psi \\
\frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}}=2 \alpha \psi+2 \alpha \xi \frac{d \psi}{d \xi}=\left(4 \alpha^{2} \xi^{2}+2 \alpha\right) \psi
\end{array}
\]

Подставляя эти значения в (23.4), получим
\[
\left(1-4 \alpha^{2}\right) \xi^{2}-2 \alpha=\lambda,
\]

причем это соотношение должно выполняться тождественно по $\xi$. Это будет тогда и только тогда, когда $1-4 \alpha^{2}=0, \lambda=-2 \alpha$, т.е. $\alpha=$ $= \pm 1 / 2$. Знак плюс следует отбросить, так как в этом случае функция $\psi=e^{\alpha \xi^{2}}$ обращалась бы в бесконечность при $\xi= \pm \infty$. Таким образом, получается решение
\[
\psi=e^{-\xi^{2} / 2},
\]

если $\lambda=1$. Это решение не имеет узлов, а потому оно описывает основное состояние гармонического осциллятора. Ему соответствует нулевая энергия
\[
\mathscr{E}_{0}=\frac{\lambda}{2} \hbar \omega=\frac{\hbar \omega}{2} .
\]
3. В стационарном состоянии с энергией $\mathscr{E}_{n}$ функция $\psi$ должна иметь $n$ узлов. Такое число узлов имеет функция
\[
\psi=P_{n}(\xi) e^{-\xi^{2} / 2},
\]

где $P_{n}(\xi)$ – полином $n$-й степени с некратными вещественными корнями. При избранных значениях параметра $\lambda$ такая функция действительно является решением уравнения (23.4) и обращается в нуль на бесконечности. При таких значениях $\lambda$ она и будет волновой функцией осциллятора. Дважды дифференцируя ее и подставляя $d^{2} \psi / d x^{2}$ в уравнение (23.4), получим
\[
-P_{n}^{\prime \prime}(\xi)+\underline{2 \xi P_{n}^{\prime}(\xi)}+\underline{P_{n}(\xi)}=\underline{\lambda P_{n}(\xi)} .
\]

Это соотношение должно выполняться тождественно по $\xi$. В нем все подчеркнутые члены являются полиномами степени $n$. Степень полинома $P_{n}^{\prime \prime}(\xi)$ на два меньше, т. е. равна $n-2(n \geqslant 2)$. Чтобы определить $\lambda$, достаточно сравнить коэффициенты при старших членах подчеркнутых полиномов. Если коэффициент при $\xi^{n}$ в полиноме $P_{n}(\xi)$ равен $a_{n}$, то в полиноме $2 \xi P_{n}^{\prime}(\xi)$ соответствующий коэффициент равен $2 n a_{n}$. Поэтому необходимо, чтобы выполнялось соотношение $2 n+$ $+1=\lambda$. Тогда
\[
-P_{n}^{\prime \prime}(\xi)+2 \xi P_{n}^{\prime}(\xi)=2 n P_{n}(\xi) .
\]

Полиномы, являющиеся решениями этого уравнения, называются полиномами Чебышева-Эрмита. Можно доказать (на чем мы не останавливаемся), что все корни полиномов Чебышева-Эрмита некратные и вещественные. Это легко доказать для небольших $n$, фактически находя сами полиномы и вычисляя их корни (см. задачу к этому параграфу).

Подставляя $\lambda=2 n+1$ в (23.3), находим энергетические уровни осциллятора:
\[
\mathscr{E}_{n}=\hbar \omega\left(n+\frac{1}{2}\right), \quad n=0,1,2, \ldots
\]

Эти уровни эквидистантны, т.е. находятся на равных расстояниях друг от друга. На рис. 43 они изображены горизонтальными прямыми.

Классический осциллятор излучает свет только с одной частотой $\omega$. Казалось бы, что в соответствии с правилом частот Бора в квантовом случае возможно излучение со всевозможными кратными частотами $N_{\omega}$ ( $N$ – целое число). На самом деле при излучении фотона этого не происходит. Из этого затруднения в старой квантовой теории Бор вышел, руководствуясь принципом соответствия. Чтобы исключить кратные частоты, на переходы между уровнями энергии осциллятора было наложено ограничение, называемое правилом отбора. Согласно этому правилу квантовое число $n$ осциллятора при излучении и поглощении фотона может меняться только на $\pm 1$, т. е.
\[
\Delta n= \pm 1 .
\]

Это правило отбора выводится и в последовательной квантовой механике, не обращаясь ни к какому принципу соответствия. Квантовая механика позволяет вычислить вероятность перехода осциллятора с одного уровня на другой с излучением или поглощением фотона. Оказалось, что эта вероятность обращается в нуль, когда правило отбора (23.11) не соблюдается.
ЗАДАЧА
Найти полиномы Чебышева-Эрмита и волновые функции одномерного гармонического осциллятора для $n=1,2,3,4,5$.

Решение. Ради примера рассмотрим случай $n=4$. Задача сводится к решению уравнения (23.9) в виде полинома
\[
P_{4}(\xi)=a_{4} \xi^{4}+a_{3} \xi^{3}+a_{2} \xi^{2}+a_{1} \xi+a_{0} .
\]

Подставляя это выражение в уравнение (23.9) и сравнивая коэффициенты, найдем, что оно удовлетворяется при любом значении $a_{4}$, как это и должно быть согласно общей теории. Далее, находим $a_{2}=-3 a_{4}, a_{0}=-(1 / 4) a_{2}=$ $=(3 / 4) a_{4}, a_{3}=a_{1}=0$. Итак,
\[
P_{4}(\xi)=a_{4}\left(\xi^{4}-3 \xi^{2}+3 / 4\right) .
\]

Корни этого полинома
\[
\xi= \pm \sqrt{\frac{3 \pm \sqrt{6}}{2}}
\]

вещественны и некратны.
Аналогично,
\[
\begin{array}{c}
P_{1}(\xi)=a_{1} \xi, \quad P_{2}(\xi)=a_{2}\left(\xi^{2}-1 / 2\right), \\
P_{3}(\xi)=a_{3}\left(\xi^{3}-3 \xi / 2\right), \quad P_{5}(\xi)=a_{5}\left(\xi^{5}-5 \xi^{3}+15 \xi / 4\right) .
\end{array}
\]

Волновые функции получаются умножением этих полиномов на $e^{-\xi^{2} / 2}$. Их обычно нормируют к единице, т. е. подчиняют условию
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\left|P(\xi) e^{-\xi^{2} / 2}\right|^{2} d \xi=1 .
\]