1. Плоская волна де Бройля
\[
\Psi=C e^{i(\mathbf{k r}-\omega t)}
\]

является весьма специальным волновым образованием, соответствующим свободному равномерному движению частицы в определенном направлении и с определенным импульсом. Но частица, даже в свободном пространстве и в особенности в силовых полях, может совершать и другие движения, описываемые более сложными волновыми функциями. Основная задача волновой механики как раз и состоит в нахождении волновых функций и связанных с ними физических следствий в самых разнообразных условиях. Для ее решения служит волновое уравнение, найденное Шредингером в 1926 г. Это — основное уравнение квантовой механики, но оно справедливо только в нерелятивистской квантовой механике, т. е. в случае движений, медленных по сравнению со скоростью света в вакууме.

Уравнение Шредингера должно быть общим уравнением, т. е. должно быть пригодно для решения всех, а не только частных задач. Поэтому в него не должны входить значения параметров (например, начальные условия, конкретный вид силовых полей и пр.), выделяющие частные виды движения. В него могут входить мировые постоянные, например постоянная Планка. Могут входить массы и импульсы частиц, но их числовые значения не должны быть конкретизированы. Силовые поля, в которых движется частица, также должны быть представлены в общем виде. Здесь дело обстоит так же, как с уравнениями Ньютона или Максвелла, которые приспособлены для решения всех, а не только частных механических или электродинамических задач. Кроме того, надо потребовать, чтобы уравнение Шредингера было линейно и однородно по $\Psi$. Этим будет обеспечена справедливость принципа суперпозиции волновых функций, необходимость которого диктуется интерференцией и дифракцией волн вещества (см. § 19, п. 8).
2. При отыскании уравнения Шредингера заметим, что одним из решений его в свободном пространстве должна быть плоская волна де Бройля (21.1). Найдем дифференциальное уравнение, удовлетворяющее перечисленным выше условиям, решением которого является эта волна. Дифференцирование (21.1) по $x$ дает
\[
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=i k_{x} \Psi, \quad \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x^{2}}=-k_{x}^{2} \Psi .
\]

Такие же соотношения получим при дифференцировании по $y$ и $z$. Сложением полученных вторых производных найдем
\[

abla^{2} \Psi=-k^{2} \Psi=-\frac{p^{2}}{\hbar^{2}} \Psi .
\]

Это — дифференциальное уравнение, но не то, которое мы ищем. Действительно, при выводе величина $p$ предполагалась постоянной, а потому уравнение (21.2) описывает конкретное движение с заданным постоянным импульсом. Продифференцируем теперь (21.1) по времени при постоянной $\omega$ :
\[
\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-i \omega \Psi=-i \frac{\mathscr{E}}{\hbar} \Psi
\]

Это уравнение также не годится. Оно описывает движение частицы в свободном пространстве с постоянной кинетической энергией $\mathscr{E}$. Разделим, однако, почленно уравнение (21.2) на уравнение (21.3) и учтем, что в нерелятивистской механике $\mathscr{E}=p^{2} / 2 m$. Таким путем придем к однородному линейному уравнению
\[
i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2} \Psi
\]

которое уже не содержит никаких индивидуальных параметров, выделяющих конкретное движение. Примем в качестве постулата, что уравнение (21.4) справедливо для любых движений частицы в свободном пространстве. Это уравнение и есть уравнение Шредингера в отсутствие силовых полей.

Обобщим теперь уравнение (21.4) на случай движений в силовых полях. Ограничимся случаем потенциальных силовых полей, которые, как и в классической механике, характеризуются потенциальной функцией или потенциальной энергией $U(\mathbf{r})$. Единственными непотенциальными силами, встречающимися в атомной механике, являются силы магнитные, но мы временно отвлечемся от их рассмотрения. Заметим теперь, что $\hbar \partial / \partial t$ имеет размерность энергии. Значит, одинаковую размерность имеют и величины $i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}$ и $U(\mathbf{r}) \Psi$. Поэтому прибавление в правой части уравнения (21.4) слагаемого $U(\mathbf{r}) \Psi$ не меняет размерности этого уравнения. Можно думать, что полученное таким путем уравнение
\[
i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2} \Psi+U(\mathbf{r}) \Psi
\]

будет правильно учитывать влияние потенциального силового поля на движение частицы. Это и есть уравнение Шредингера.

Путь, которым мы пришли к уравнению Шредингера, конечно, не может служить доказательством этого уравнения. Но уравнение Шредингера — существенно новый принцип. Его нельзя логически вывести из старых принципов, в которых он не содержится. Единственным доказательством уравнения Шредингера является только опыт опытная проверка всех выводимых из него следствий. Такую проверку уравнение Шредингера выдержало.

3. В уравнении (21.5) в неявной форме уже заложена двойственная — корпускулярно-волновая — природа вещества. Согласно интерпретации волновой функции $\Psi$ частица не локализована. Она, как принято говорить, с определенной вероятностью «размазана» в пространстве. Казалось бы, что при написании уравнения (21.5) это обстоятельство с самого начала должно быть принято во внимание, т.е. под $U$ следовало бы понимать потенциальную энергию частицы с учетом всех возможных положений ее и их вероятностей. На самом деле в уравнении (21.5) это не предполагается. Потенциальная функция $U(\mathbf{r})$ рассматривается в нем так же, как в классической физике, т.е. как функция локализованной, в частности точечной, частицы в силовом поле. Например, в атоме водорода для электрона в поле ядра полагают $U(r)=-e^{2} / r$, т. е. поступают так же, как если бы обе эти частицы были локализованы.
4. Уравнение Шредингера — уравнение первого порядка по времени. Отсюда следует, что заданием волновой функции $\Psi$ во всем пространстве в какой-либо момент времени (например, принимаемый за начальный) однозначно определяется функция $\Psi$ также во всем пространстве во все последующие моменты времени. Не следует смотреть на это утверждение как на выражение принципа причинности в квантовой механике. Ибо выражаемая им «причинность» относится к волновой функции $\Psi$. А волновая функция связана с реально наблюдаемыми объектами вероятностными соотношениями. Поэтому квантовая механика, по крайней мере в современной ее форме, является принципиально статистической теорией.
5. Уравнение Шредингера, как это требовалось с самого начала для выполнения принципа суперпозиции, линейно и однородно относительно функции $\Psi$. В точной математической форме принцип суперпозиции сводится к двум утверждениям. Во-первых, если $\Psi_{1}$ и $\Psi_{2}$ — какие-либо два решения уравнения Шредингера, то и всякая линейная комбинация их $\alpha_{1} \Psi_{1}+\alpha_{2} \Psi_{2}$ с постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ есть также решение того же уравнения. Во-вторых, если волновые функции $\Psi_{1} u \Psi_{2}$ описывают какие-либо два состояния системы, то и линейная комбинация $\alpha_{1} \Psi_{1}+$ $+\alpha_{2} \Psi_{2}$ также описывает какое-то состояние той же системы. Конечно, состояние частицы определяется не самими коэффициентами $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, а только их отношением $\alpha_{1} / \alpha_{2}$. Состояние не изменится, если оба коэффициента умножить на одну и ту же вещественную или комплексную постоянную. Это позволяет, например, функцию $\Psi=\alpha_{1} \Psi_{1}+\alpha_{2} \Psi_{2}$ нормировать (если интеграл $\int \Psi^{*} \Psi d V$, взятый по всему пространству, сходится).
6. Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состояния. Это — такие состояния, в которых все наблюдаемые физические параметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция $\Psi$ не относится к этим параметрам. Она принципиально ненаблюдаема. Не должны меняться во времени только физически наблюдаемые величины, которые могут быть образованы из $\Psi$ по правилам квантовой механики. Оказывается, что в стационарных состояниях
\[
\Psi(\mathbf{r}, t)=\psi(\mathbf{r}) e^{-i \omega t},
\]

где частота $\omega$ постоянна, а функция $\psi(\mathbf{r})$ не зависит от времени. Не располагая сейчас правилами составления из $\Psi$ принципиально наблюдаемых величин, проверим, что одна из таких величин, а именно плотность вероятности $\rho=\Psi^{*} \Psi$, в состоянии (21.6) во времени остается постоянной. Действительно,
\[
\rho=\psi^{*}(\mathbf{r}) e^{i \omega t} \psi(\mathbf{r}) \cdot e^{-i \omega t}=\psi^{*}(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}),
\]

а эта величина от времени действительно не зависит.
Для определения функций $\psi(\mathbf{r})$ в стационарных состояниях подставляем выражение (21.6) в уравнение (21.5) и находим
\[
\hbar \omega \psi=\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+U(\mathbf{r})\right] \psi .
\]

По аналогии со световыми квантами примем гипотезу, что величина $\hbar \omega$ представляет собой полную энергию частицы $\mathscr{E}$ в стационарном состоянии. Таким образом, для энергии в стационарном состоянии получается уравнение
\[
\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+U(\mathbf{r})\right] \psi=\mathscr{E} \psi .
\]

Это уравнение не содержит времени и называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В отличие от него (21.5) называется временным или общим уравнением Шредингера. В отношении потенциальной функции $U(\mathbf{r})$, входящей в уравнение (21.7), полностью справедливы замечания, которые были сделаны в связи с уравнением (21.5). Функция $U(\mathbf{r})$ определяется классически, как если бы никакими волновыми свойствами частица не обладала.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний, конечно, удовлетворяет принципу суперпозиции. Однако суперпозиция стационарных состояний с различными энергиями уже не будет стационарным состоянием.

Шредингер показал (см. § 22), что уравнение (21.7) полностью решает проблему квантования энергии системы. Для этого под $\mathscr{E}$ следует понимать энергию системы в стационарном состоянии, а относительно физического смысла самой волновой функции $\psi(\mathbf{r})$ никаких предположений вводить не требуется. Необходимо только наложить на решеони должны удовлетворять на бесконечности и в особых точках потенциальной функции $U(\mathbf{r})$. В следующем параграфе будет показано, что такие решения существуют, вообще говоря, не при всяких значениях $\mathscr{E}$, а только при некоторых. Это и есть избранные значения энергии в стационарных состояниях. В частности, для атома водорода получаются в точности те же значения $\mathscr{E}$, которые давала старая теория Бора. Это был первый крупный успех волновой механики, с которого началось ее дальнейшее бурное развитие.

7. Уравнение (21.7) в сочетании с принципом суперпозиции естественно приводит и $x$ nравилу частот Бора. С этой целью заметим, что всякий физический процесс характеризуется изменениями во времени каких-то реальных физических величин. Но в стационарных состояниях все реальные физические величины остаются постоянными. Поэтому волновая функция, описывающая состояние, в котором происходят реальные физические явления, должна быть обязательно нестационарной. Рассмотрим простейшее нестационарное состояние
\[
\Psi=\Psi_{1}+\Psi_{2},
\]

представляющее собой суперпозицию двух стационарных состояний
\[
\Psi_{1}=\psi_{1}(\mathbf{r}) e^{-i \omega_{1} t}, \quad \Psi_{2}=\psi_{2}(\mathbf{r}) e^{-i \omega_{2} t} .
\]

Вычислим в этом состоянии простейшую реально наблюдаемую величину — плотность вероятности $\rho$. Получим
\[
\rho=\Psi^{*} \Psi=\left(\psi_{1}^{*} \psi_{1}+\psi_{2}^{*} \psi_{2}\right)+\psi_{2}^{*} \psi_{1} e^{i\left(\omega_{2}-\omega_{1}\right) t}+\psi_{2} \psi_{1}^{*} e^{-i\left(\omega_{2}-\omega_{1}\right) t} .
\]

Учтем разность фаз, которая может существовать между $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$. Для этого положим $\psi_{1}=\left|\psi_{1}\right| e^{-i \delta_{1}}, \psi_{2}=\left|\psi_{2}\right| e^{-i \delta_{2}}$, где $\delta_{1}$ и $\delta_{2}-$ величины вещественные. Тогда получим
\[
\rho=\left(\left|\psi_{1}\right|^{2}+\left|\psi_{2}\right|^{2}\right)+2\left|\psi_{1}\right| \cdot\left|\psi_{2}\right| \cos \left[\left(\omega_{2}-\omega_{1}\right) t+\left(\delta_{2}-\delta_{1}\right)\right] .
\]

Такова (ненормированная) плотность вероятности состояния $\Psi=\Psi_{1}+$ $+\Psi_{2}$. Она содержит постоянный член $\left(\left|\psi_{1}\right|^{2}+\left|\psi_{2}\right|^{2}\right)$ и интерференционный член $2\left|\psi_{1}\right| \cdot\left|\psi_{2}\right| \cos \left(\omega_{12} t+\delta_{2}-\delta_{1}\right)$, гармонически колеблющийся с боровской частотой
\[
\omega_{12}=\omega_{2}-\omega_{1}=\frac{\mathscr{E}_{2}-\mathscr{E}_{1}}{\hbar} .
\]

Полная плотность вероятности $\rho$ может меняться от максимального значения $\left(\left|\psi_{1}\right|+\left|\psi_{2}\right|\right)^{2}$ до минимального $\left(\left|\psi_{1}\right|-\left|\psi_{2}\right|\right)^{2}$. Она содержит член, осциллирующий с боровской частотой $\omega_{12}$. Поэтому приведенное рассуждение в сочетании с классической электродинамикой наводит на мысль (но отнюдь не доказывает), что с той же частотой должно происходить и излучение света. Действительно, если $e$ — заряд частицы, то величина $\rho$ е имеет смысл плотности вероятности электрического заряда в пространстве. Если бы она была просто плотностью заряда, а не ее вероятностью, то получился бы классический случай, в котором заряд периодически колеблется во времени. По классическим представлениям такой заряд должен излучать. Правдоподобно ожидать излучения и в квантовом случае, где плотность заряда заменяется ее вероятностью.

Правда, интерференционный ч.лен в (21.10) имеет характер незатухающей стоячей волны. Для поддержания непрерывного излучения, если оно уходит от системы, требуется подводить энергию. Но и в классической физике, например при рассмотрении излучения при незатухающих колебаниях диполя Герца, положение такое же. Мы рассчитываем поле и интенсивность излучения, отвлекаясь от того, каким механизмом поддерживается постоянство амплитуды и связанной с ней энергии колебаний.

Как и в первоначальной теории Бора, боровская частота $\omega_{12}$ появляется в результате квантовых переходов системы с одного энергетического уровня на другой.