1. Понятие углового момента можно распространить и на системы частиц. Ради простоты будем предполагать, что система состоит только из двух частиц: 1 и 2. Координаты (радиус-вектор) первой частицы обозначим через $\mathbf{r}_{1}$, второй – через $\mathbf{r}_{2}$. Оператором углового момента $\widehat{l}$ системы называют сумму операторов угловых моментов ее частей $\widehat{l}_{1}$ и $\widehat{\mathbf{l}}_{2}$ :
\[
\widehat{\mathbf{l}}=\widehat{\mathbf{l}}_{1}+\widehat{\mathbf{l}}_{2} \text {. }
\]

Так же определяется и оператор проекции углового момента системы на избранное направление. Например,
\[
\widehat{l}_{z}=\widehat{l}_{1 z}+\widehat{l}_{2 z} .
\]

Будем предполагать, что частицы не взаимодействуют между собой. Тогда волновая функция первой частицы $\Psi_{1}\left(\mathbf{r}_{1}\right)$ будет одна и та же независимо от того, есть вторая частица или нет. Эту функцию можно умножить на произвольную постоянную, которая может зависеть от $\mathbf{r}_{2}$ как от параметра. В частности, за нее можно принять волновую функцию $\Psi_{2}\left(\mathbf{r}_{2}\right)$ второй частицы. Тогда волновая функция первой частицы представится произведением $\Psi=\Psi_{1}\left(\mathbf{r}_{1}\right) \Psi_{2}\left(\mathbf{r}_{2}\right)$ Но очевидно из тех же соображений, что в таком же виде представится и волновая функция второй частицы. Поэтому $\Psi=\Psi_{1} \Psi_{2}$ можно рассматривать как волновую функцию системы невзаимодействующих частиц 1 и 2. При этом для нее будет сохранена нормировка
\[
\int|\Psi|^{2} d V_{1} d V_{2}=\int\left|\Psi_{1}\right|^{2} d V_{1} \int\left|\Psi_{2}\right|^{2} d V_{2}=1 .
\]
2. Если ограничиться действием операторов только на функцию $\Psi=\Psi_{1} \Psi_{2}$, то из доказанного следует, что операторы $\widehat{\mathbf{l}}_{1}$ и $\widehat{\mathbf{l}}_{2}$ перестановочны. В самом деле, поскольку оператор $\widehat{\mathbf{l}}_{1}$ действует только на функцию $\Psi_{1}$ и не действует на функцию $\Psi_{2}$, а оператор $\widehat{\mathbf{l}}_{2}$, наоборот, действует только на $\Psi_{2}$ и не действует на $\Psi_{1}$, можно написать
\[
\widehat{\mathbf{l}}_{1} \widehat{\mathbf{l}}_{2} \Psi=\widehat{\mathbf{l}}_{1} \widehat{\mathbf{l}}_{2}\left(\Psi_{1} \Psi_{2}\right)=\widehat{\mathbf{l}}_{1}\left(\Psi_{1} \widehat{\mathbf{l}}_{2} \Psi_{2}\right)=\left(\widehat{\mathbf{l}}_{2} \Psi_{2}\right)\left(\widehat{\mathbf{l}}_{1} \Psi_{1}\right)=\left(\widehat{\mathbf{l}}_{1} \Psi_{1}\right)\left(\widehat{\mathbf{l}}_{2} \Psi_{2}\right) .
\]

К тому же результату приводит и действие оператора $\widehat{\mathbf{l}}_{2} \widehat{\mathbf{l}}_{1}$. Значит, для функций вида $\Psi=\Psi_{1} \Psi_{2}$ справедливо операторное равенство $\widehat{\mathbf{l}}_{1} \widehat{\mathbf{l}}_{2}=$ $=\widehat{\mathbf{l}}_{2} \widehat{\mathbf{l}}_{1}$, что и доказывает наше утверждение. Таким же путем докажем для функций того же вида и перестановочность операторов проекций углового момента в случае системы независимых частиц, например $\widehat{l}_{1 x}$ и $\widehat{l}_{2 x}$. Из доказанного следует, что правила коммутации (31.6) и все следствия из них для отдельной частицы распространяются без всяких изменений и на системы независимых частиц.

Ввиду коммутации операторов $\widehat{l}_{1}$ и $\widehat{l}_{2}$ оператор квадрата углового момента $\widehat{\mathbf{l}}^{2}$ будет равен
\[
\widehat{\mathrm{l}}^{2}=\left(\widehat{\mathrm{l}}_{1}+\widehat{\mathrm{l}}_{2}\right)^{2}=\widehat{\mathrm{l}}_{1}^{2}+2\left(\widehat{\mathbf{l}}_{1} \widehat{\mathrm{l}}_{2}\right)+\widehat{\mathrm{l}}_{2}^{2} .
\]

Теперь выясним, как коммутирует оператор квадрата углового момента $\widehat{l}^{2}=\widehat{l}_{x}^{2}+\widehat{l}_{y}^{2}+\widehat{l}_{z}^{2}$ с оператором одной из проекций его, например $\widehat{l}_{x}=\widehat{l}_{1 x}+\widehat{l}_{2 x}$. Очевидно, операторы $\widehat{l}_{1 x}$ и $\widehat{l}_{2 x}$ коммутируют с $\widehat{\mathbf{l}}_{1}^{2}$ и с $\widehat{\mathrm{l}}_{2}^{2}$. Остается только проверить коммутативность операторов $\widehat{\mathrm{l}}_{1} \widehat{\mathrm{l}}_{2}$

и $\widehat{l}_{x}$. Имеем
\[
\begin{aligned}
\left(\widehat{\mathbf{l}}_{1} \widehat{\mathbf{l}}_{2}\right) \widehat{l}_{x}=\left(\widehat{l}_{1 x} \widehat{l}_{2 x}+\widehat{l}_{1 y} \widehat{l}_{2 y}+\widehat{l}_{1 z} \widehat{l}_{2 z}\right)\left(\widehat{l}_{1 x}+\widehat{l}_{2 x}\right)= \\
=\left(\widehat{l}_{1 x} \widehat{l}_{2 x}+\widehat{l}_{1 y} \widehat{l}_{2 y}+\widehat{l}_{1 z} \widehat{l}_{2 z}\right) \widehat{l}_{1 x}+\left(\widehat{l}_{1 x} \widehat{l}_{2 x}+\widehat{l}_{1 y} \widehat{l}_{2 y}+\widehat{l}_{1 z} \widehat{l}_{2 z}\right) \widehat{l}_{2 x} .
\end{aligned}
\]

Аналогично
\[
\widehat{l}_{x}\left(\widehat{\mathbf{l}}_{1} \widehat{\mathbf{l}}_{2}\right)=\widehat{l}_{1 x}\left(\widehat{l}_{1 x} \widehat{l}_{2 x}+\widehat{l}_{1 y} \widehat{l}_{2 y}+\widehat{l}_{1 z} \widehat{l}_{2 z}\right)+\widehat{l}_{2 x}\left(\widehat{l}_{1 x} \widehat{l}_{2 x}+\widehat{l}_{1 y} \widehat{l}_{2 y}+\widehat{l}_{1 z} \widehat{l}_{2 z}\right) .
\]

Если воспользоваться правилами коммутации (31.6) и тем обстоятельством, что операторы $\widehat{\mathbf{l}}_{1}$ и $\widehat{\mathbf{l}}_{2}$ действуют на волновые функции разных частиц, то последнее выражение легко привести к предыдущему. Итак, оператор $\widehat{\mathbf{l}}^{2}=\left(\widehat{\mathbf{l}}_{1}+\widehat{\mathbf{l}}_{2}\right)^{2}$ коммутирует с операторами проекций l на любое направление. Поэтому существует состояние системы, в котором $1^{2}$ и одна из проекций на любое направление имеют определенные значения.
3. Состояние первой частицы можно характеризовать значениями $l_{1}$ и $m_{1}$, второй – значениями $l_{2}$ и $m_{2}$. Число $l_{1}$ определяет квадрат углового момента первой частицы $l_{1}\left(l_{1}+1\right)$, число $l_{2}$ – квадрат такого же момента второй частицы $l_{2}\left(l_{2}+1\right)$. Числа $m_{1}$ и $m_{2}$ определяют проекции на ось $Z$ угловых моментов $\mathbf{l}_{1}$ и $\mathbf{l}_{2}$ (в единицах $\hbar$ ). Очевидно, совокупность чисел $l_{1}, l_{2}, m_{1}, m_{2}$ характеризует некоторое состояние системы обеих независимых частиц. Волновую функцию такого состояния будем обозначать через $\varphi_{l_{1} l_{2} m_{1} m_{2}}$. Определим число состояний такого типа, т. е. число линейно независимых функций $\varphi$ при заданных значениях $l_{1}$ и $l_{2}$. При заданном $l_{1}$ число $m_{1}$ может принимать $\left(2 l_{1}+1\right)$ значений (см. $\S 31$, п. 7 ), при заданном $l_{2}$ число значений $m_{2}$ равно $\left(2 l_{2}+1\right)$. Таким образом, при заданных $l_{1}$ и $l_{2}$ искомое число состояний с волновыми функциями типа $\varphi$ равно $\left(2 l_{1}+1\right)\left(2 l_{2}+1\right)$. Из таких $\left(2 l_{1}+1\right)\left(2 l_{2}+1\right)$ состояний путем их линейных комбинаций можно составить любое состояние системы с заданными $l_{1}$ и $l_{2}$.

Но линейно независимые состояния, из которых может быть составлено любое состояние системы с заданными $l_{1}$ и $l_{2}$, можно выбрать и иначе. Должно оставаться постоянным лишь общее число таких линейно независимых состояний, т. е. это число по-прежнему должно быть равно $\left(2 l_{1}+1\right)\left(2 l_{2}+1\right)$. Ввиду справедливости для всей системы правил коммутации (31.6) существуют при заданных $l_{1}$ и $l_{2}$ состояния всей системы с определенными значениями квадрата $l(l+1)$ полного углового момента $l$ и его проекции $m$ на ось $Z$. Волновые функции таких состояний будем обозначать через $\psi_{l_{1} l_{2} l m}$. Из них путем линейных комбинаций можно составить волновую функцию любого состояния с заданными $l_{1}$ и $l_{2}$. Поэтому число линейно независимых функций типа $\psi_{l_{1} l_{2} l m}$ с заданными $l_{1}$ и $l_{2}$ должно быть равно $\left(2 l_{1}+1\right)\left(2 l_{2}+1\right)$.

Убедимся в этом путем прямого вычисления. Из формулы (32.2) непосредственно следует, что если проекции $m_{1}$ и $m_{2}$ имеют определенные значения, то и проекция $m$ также имеет определенное значение $m$, причем $m=m_{1}+m_{2}$. Ради определенности будем предполагать, что
$l_{1}>l_{2}$. Тогда при заданных $l_{1}$ и $l_{2}$ возможные положительные значения $m$, получаемые таким путем, представятся следующей схемой:

Отберем теперь всевозможные состояния (при заданных $l_{1}$ и $l_{2}$, для которых максимальные значения проекции $m$ соответственно равны $\left(l_{1}+l_{2}\right),\left(l_{1}+l_{2}-1\right), \ldots$ Это будут состояния с определенным значением $l$, равным
\[
l=\left(l_{1}+l_{2}\right), l_{1}+\left(l_{2}-1\right), \ldots, l_{1}-l_{2} .
\]

Число таких состояний равно $2 l_{2}+1$. В каждом из этих состояний $m$ может принимать $(2 l+1)$ значений. Таким образом, число всевозможных состояний (при заданных $l_{1}$ и $l_{2}$ с линейно независимыми функциями типа $\psi_{l_{1} l_{2} l m}$ будет
\[
2\left(l_{1}+l_{2}\right)+1+2\left(l_{1}+l_{2}-1\right)+1+\ldots+2\left(l_{1}-l_{2}\right)+1 .
\]

Это – арифметическая прогрессия с разностью -2 и общим числом членов $2 l_{2}+1$. Ее сумма равна
\[
\frac{2\left(l_{1}+l_{2}\right)+1+2\left(l_{1}-l_{2}\right)+1}{2}\left(2 l_{2}+1\right)=\left(2 l_{1}+1\right)\left(2 l_{2}+1\right),
\]

что и требовалось доказать.
4. Полученные результаты относятся не только к сложению угловых моментов двух невзаимодействующих частиц. Они распространяются без всяких изменений и на произвольные сложные системы, состоящие из двух невзаимодействующих частей 1 и 2. Квадраты их угловых моментов (если они имеют определенные значения) определяются выражениями $L_{1}\left(L_{1}+1\right)$ и $L_{2}\left(L_{2}+1\right)$, где $L_{1}$ и $L_{2}$ – целые положительные числа. Соответствующие проекции на ось $Z$ (если таковые также имеют определенные значения) могут принимать значения:
\[
\begin{array}{l}
M_{1}=-L_{1},-\left(L_{1}-1\right), \ldots,+\left(L_{1}-1\right),+L_{1}, \\
M_{2}=-L_{2},-\left(L_{2}-1\right), \ldots,+\left(L_{2}-1\right),+L_{2} .
\end{array}
\]

Тогда квадрат результирующего углового момента всей системы может принимать значения $L(L+1)$, где $L$ меняется в пределах
\[
L=L_{1}+L_{2}, L_{1}+L_{2}-1, \ldots, L_{1}-L_{2}, причем предполагается, что $L_{1}>L_{2}$. Соответствующие проекции на ось $Z$ могут принимать целочисленные значения от $M=-L$ до $M=+L$. Полученный результат называется правилом сложения угловых моментов.

В полученном состоянии сложной системы имеют определенные значения также скалярные произведения $\mathbf{L}_{1} \mathbf{L}_{2}, \mathbf{L L}_{1}$ и $\mathbf{L} \mathbf{L}_{2}$, т.е. собственные значения соответствующих операторов $\widehat{\mathbf{L}}_{1} \widehat{\mathbf{L}}_{2}, \hat{\mathbf{L}} \widehat{\mathbf{L}}_{1}$ и $\widehat{\mathbf{L}}_{2} \widehat{\mathbf{L}}_{2}$. Это следует из формулы (32.4), если написать ее для операторов $\widehat{\mathbf{L}}, \widehat{\mathbf{L}}_{1}, \widehat{\mathbf{L}}_{2}$. Например,
\[
\widehat{\mathbf{L}}_{1} \widehat{\mathbf{L}}_{2}=\frac{1}{2}\left[\widehat{\mathbf{L}}^{2}-\widehat{\mathbf{L}}_{1}^{2}-\widehat{\mathbf{L}}_{2}^{2}\right],
\]

или, переходя к собственным значениям,
\[
\mathbf{L}_{1} \mathbf{L}_{2}=\frac{1}{2}\left[L(L+1)-L_{1}\left(L_{1}+1\right)-L_{2}\left(L_{2}+1\right)\right] .
\]

Аналогично
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{L L}_{1}=\frac{1}{2}\left[L(L+1)+L_{1}\left(L_{1}+1\right)-L_{2}\left(L_{2}+1\right)\right], \\
\mathbf{L L}_{2}=\frac{1}{2}\left[L(L+1)+L_{2}\left(L_{2}+1\right)-L_{1}\left(L_{1}+1\right)\right] .
\end{array}
\]
5. Изложенные результаты принято представлять на векторных диаграммах. Складываемые векторы $\mathbf{L}_{1}$ и $\mathbf{L}_{2}$ изображаются стрелками с длинами $\sqrt{L_{1}\left(L_{1}+1\right)}$ и $\sqrt{L_{2}\left(L_{2}+1\right)}$, а результирующий вектор $\mathbf{L}-$ стрелкой с длиной $\sqrt{L(L+1)}$. В качестве примера на рис. 59 приведена векторная диаграмма для $L_{1}=2$ и $L_{2}=1$ при различных углах
Рис. 59

между векторами $\mathbf{L}_{1}$ и $\mathbf{L}_{2}$. Получается всего три возможных случая, в соответствии с тем, что $L$ может принимать значения $L_{1}+L_{2}=3$, $L_{1}+L_{2}-1=2, L_{1}+L_{2}-2=1$. Такая диаграмма правильно передает длины всех векторов и их скалярные произведения. Но она не отражает истинную квантовую природу угловых моментов, поскольку последние, имея определенные длины, не имеют определенных направлений в пространстве.

Если системы 1 и 2 не взаимодействуют и нет внешних сил, то сохраняется не только результирующий угловой момент системы $\mathbf{L}$, но и оба момента $\mathbf{L}_{1}$ и $\mathbf{L}_{2}$. При наличии взаимодействия между системами 1 и 2 моменты $\mathbf{L}_{1}$ и $\mathbf{L}_{2}$ в отдельности не сохраняются, а сохраняется только общий момент L (при отсутствии внешних сил). Если взаимодействие слабое, то по аналогии с классической механикой следует ожидать, что длины векторов $\mathbf{L}_{1}$ и $\mathbf{L}_{2}$ при этом практически не будут изменяться. На векторной диаграмме векторы $\mathbf{L}_{1}$ и $\mathbf{L}_{2}$ будут совершать прецессию, т. е. вращаться вокруг вектора $\mathbf{L}$ с одной и той же угловой скоростью. К такому же выводу приводит и последовательное квантовое рассмотрение.