Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1. Из одночастичных моделей наибольшее значение имеет оболочечная модель ядра. Оказывается, что ядра обладают известной периодичностью, аналогичной периодичности атомов, нашедшей свое отражение в периодической системе Менделеева. Ядра, содержащие магическое число нейтронов или протонов $(2,8,20,50,82$ и 126 для нейтронов), и в особенности дважды магические ядра, выделяются среди остальных ядер особой прочностью. Кроме того, для ядер, содержащих магическое число протонов, характерна сферическая симметрия распределения зарядов в невозбужденных состояниях, т. е. отсутствие квадрупольных электрических моментов. В этом отношении магические ядра напоминают атомы инертных газов, характеризующиеся сферической симметрией, химической пассивностью и связанными с ней наибольшими энергиями ионизации. Однако зарядовые числа инертных атомов $(Z=$ $=2,10,18,36,54,86$ ), за исключением $Z=2$, не совпадают с магическими числами для ядер. Увеличение энергии присоединения последнего нуклона по мере приближения к магическому ядру имеет место и для других ядер, хотя для тяжелых ядер оно выражено и не так резко, как для легких. При иллюстрации такого увеличения необходимо принять во внимание повышенную прочность стабильных ядер с четными числами нуклонов определенного типа по сравнению с нечетными числами нуклонов того же типа. А так как все магические числа четные, то приходится сравнивать только ядра с четным числом протонов или с четным числом нейтронов. В качестве примера укажем, что энергии присоединения протона к четно-четным ядрам ${ }_{4}^{8} \mathrm{Be}$ и ${ }_{6}^{12} \mathrm{C}$ соответственно равны $-0,18$ и $+1,9$ МэВ, тогда как для магического ядра ${ }_{8}^{16} \mathrm{O}$ энергия присоединения протона (в результате чего образуется ядро ${ }_{9}^{17} \mathrm{~F}$ ) минимальна и составляет 0,6 МэВ. Аналогичная картина наблюдается и в случае присоединения нейтрона к тем же ядрам. Эти факты и свидетельствуют о повышенной прочности магического ядра ${ }_{8}^{16} \mathrm{O}$ по сравнению с соседними четно-четными ядрами. В случае тяжелых стабильных ядер, когда числа $Z$ и $N$ значительно отличаются друг от друга, приходится сравнивать ядра с четными числами протонов при неизменном числе нейтронов или ядра с четными числами нейтронов при неизменном числе протонов. Так, при переходе от $Z=80$ к магическому числу $Z=82$ энергия присоединения протона при всех $N$ резко падает, что свидетельствует о повышенной стабильности ядра с магическим числом протонов $Z=82$. Аналогичное явление имеет место в окрестности магического числа $N=126$. Здесь также энергия присоединения нейтрона к ядру для всех $Z$ резко уменьшается при переходе от ядра с $N=124$ к магическому ядру с $N=126$. Аргументация приведенного типа для случая $N=50$ не очень убедительна, но существуют другие, не менее убедительные аргументы. При $N=82$ приведенная аргументация вновь становится весьма убедительной. Имеется семь стабильных ядер с $N=82$, три с $N=80$ и два с $N=84$. Олово ( $Z=50)$ имеет наибольшее число стабильных изотопов (10), причем три из них – с нечетным $A$. Но, как и для случая $N=$ $=50$, это не может считаться достаточно убедительной аргументацией, так как кадмий ( $Z=48$ ) и теллур ( $Z=52$ ) имеют каждый восемь изотопов. Последним стабильным ядром с $Z=N$ является дважды магическое ядро ${ }_{20}^{40} \mathrm{Ca}$. Его содержание среди естественной смеси изотопов кальция составляет $97 \%$. Предшествующее четно-четное ядро с $Z=$ $=N\left({ }_{18}^{36} \mathrm{Ar}\right)$ в естественной смеси изотопов аргона составляет $0,34 \%$, а следующий четно-четный ${ }_{22}^{44} \mathrm{Ti}$ среди изотопов титана совсем не встречается. Среди различных изотопов данного элемента обычно самым распространенным является изотоп со средним значением массового числа $A$. Исключение составляют случаи, когда среди изотопов элемента имеются изотопы, содержащие магические числа нейтронов $N=50$ или $N=82$. В этих случаях, как правило, самыми распространенными являются изотопы с $N=50$ и $N=82$, независимо от значения массового числа $A$. и две пары наиболее легких: У обоих ядер первой пары $N=28$, у двух пар $N=50$, а у двух остальных $N=82$. Существование таких исключений указывает на более слабую связь для 29 -, 51- и 83 -го нейтронов по сравнению с обычной, а следовательно, более сильную связь для 28-, 50- и 82 -го нейтронов. Но последние два числа как раз и являются магическими, а число 28 также часто относят к магическим для нейтронов. Казалось бы, что для ядра теория, построенная по аналогичной схеме, невозможна. Во-первых, потому, что у ядра нет силового центра для формирования центрально-симметричного самосогласованного поля, в котором двигались бы нуклоны. Во-вторых, в отличие от атомных оболочек, где электроны расположены далеко друг от друга, в ядре нуклоны упакованы очень плотно (концентрация нуклонов в ядре $n \approx 10^{38} \mathrm{~cm}^{-3}$ ), а ядерные силы, действующие между ними, очень велики. По этим причинам средняя длина свободного пробега нуклона в ядре от столкновения до столкновения, если ее оценивать классически, порядка размеров самого ядра и даже меньше. При таких условиях, казалось бы, не имеет смысла говорить о регулярном независимом орбитальном движении нуклонов в ядре. Однако как уже отмечалось в предыдущем параграфе, необходимо принять во внимание следующие обстоятельства. В невозбужденном ядре нуклоны занимают все энергетически самые низкие состояния, а принцип Паули запрещает двум одинаковым нуклонам находиться в одном и том же квантовом состоянии (поскольку спин нуклона равен $1 / 2$ ). При столкновении двух нуклонов один из них должен терять энергию и перейти в энергетически более низкое состояние. А такой процесс невозможен, поскольку в невозбужденном ядре все такие состояния уже заняты. Если же потери энергии нет, то нуклоны просто обмениваются местами, а это, как также отмечалось в предыдущем параграфе, совсем не меняет состояния ядра, как если бы вообще никакого столкновения не было. В результате если ядро находится в невозбужденном состоянии, то эффективно все это проявляется так, как будто бы средняя длина свободного пробега нуклона в ядре стала больше и даже во много раз превосходила размеры самого ядра. В таком случае в нулевом приближении можно говорить как бы о независимом движении нуклонов в ядре. (Это справедливо и для квазичастиц.) Сильное же взаимодействие между нуклонами, а также малый радиус действия ядерных сил позволяют надеяться ввести центрально-симметричное нуклонное поле, в котором в нулевом приближении независимо и движутся нуклоны. С учетом электрических взаимодействий между нуклонами самосогласованные поля должны подбираться различно для протонов и нейтронов. Однако как уже отмечалось, ядерные силы между протонами одинаковы с ядерными силами между нейтронами. Протоны отличаются от нейтронов дополнительными силами электрического отталкивания. А последние на малых расстояниях, на которых проявляются ядерные силы, в сотни раз слабее ядерных. Электрические силы, благодаря их дальнодействующему характеру, могут быть заметными только для самых тяжелых ядер. Поэтому в первом приближении можно учитывать только ядерные силы, пренебрегая электрическими. В этом приближении самосогласованные поля для протонов и нейтронов одинаковы. Это проявляется в том, что, как показывает опыт, магические числа протонов совпадают с магическими числами нейтронов. Поэтому в дальнейшем говорится о нуклонном самосогласованном поле, причем под нуклоном с равным основанием можно подразумевать как протон, так и нейтрон. Рис. 141 ется, вне ядра $V(r)=0$. Приближенный вид обычно применяемого эмпирического самосогласованного нуклонного потенциала представлен кривой на рис. 141. После выбора самосогласованного нуклонного потенциала задача сводится к решению одночастичного уравнения Шредингера. Посмотрим сначала, к каким магическим числам приводит предположение, что $V(r)$ представляется потенциалом трехмерного гармонического осциллятора, т. е. внутри ядра $V=(1 / 2) k r^{2}$, а вне ядра $V=0$. Представляя $V$ в форме $V=(1 / 2) k\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$, видим, что в уравнении Шредингера переменные $x, y, z$ разделяются, так что надо решить три одинаковых уравнения Шредингера для одномерного гармонического осциллятора, отличающиеся одно от другого только обозначениями независимых переменных. Энергия одномерного гармонического осциллятора в стационарном состоянии равна $\mathscr{E}_{x}=\left(n_{x}+1 / 2\right) \hbar \omega$, и аналогично для $y$ и $z$. Полная энергия трехмерного осциллятора представится в виде $\mathscr{E}=\mathscr{E}_{x}+\mathscr{E}_{y}+\mathscr{E}_{z}=(n+3 / 2) \hbar \omega$, где $n=n_{x}+n_{y}+$ $+n_{z}$, причем все квантовые числа $n_{x}, n_{y}, n_{z}$ могут принимать только целые положительные значения и нуль ( $n=0$ ). Самое существенное для нашей задачи состоит в том, что уровни энергии трехмерного осциллятора вырождены. Кратность вырождения (без спина) равна $(1 / 2)(n+1)(n+2)$. В частности, при $n=1$ вырождение трехкратное. Одному и тому же значению $n$ соответствуют различные состояния, отличающиеся одно от другого значениями квантовых чисел $n_{x}, n_{y}, n_{z}$ (а также проекцией спина, которая может быть равна либо $+1 / 2$, либо $-1 / 2$ ). Возможные состояния (без учета спина) приведены в табл. 11 для $n$, равных $0,1,2$. Таблицу легко продолжить и для бо́льших значений $n$. Главное квантовое число $n$ может принимать целочисленные значения $1,2,3, \ldots$ Оно на единицу больше числа узлов радиальной волновой функции ядра. В частности, при $n=1$ радиальная волновая функция совсем не имеет узлов. Следовательно, в случае ядра главное квантовое число имеет иной смысл, чем в атомной физике. (В случае атома квантовое число, определяющее число узлов радиальной волновой функции, называется радиальным и обозначается через $n_{r}$, а главное квантовое число определяется выражением $n=n_{r}+l+1$.) Как и в атомной спектроскопии, состояния с $l=0,1,2, \ldots$ обозначаются соответственно через $s, p, d, f$ и далее по алфавиту. Число $j$ при заданном $l Для обозначения стационарных состояний нуклона применяется символика, аналогичная той, какая употребляется в атомной физике. На первом месте в качестве коэффициента ставится главное квантовое число $n$, затем (для определения $l$ ) идет одна из букв $s, p, d, \ldots$ с индексом внизу, который обозначает квантовое число $j$. Например, символ $2 d_{5 / 2}$ означает состояние, у которого $n=2, l=2, j=5 / 2$. Заметим, что ввиду сферической симметрии самосогласованного нуклонного потенциала энергия нуклона от квантового числа $m_{j}$ не зависит. Нуклонный самосогласованный потенциал надо подобрать так, чтобы получилась оболочечная структура, соответствующая опытным данным. При этом недостаточно ограничиться зависимостью самосогласованного поля от радиуса $r$. Надо еще учесть спин-орбитальное взаимодействие. На это в 1949 г. независимо друг от друга обратили внимание Мария Гёпперт-Майер (1906-1972) и Х. Йенсен (1907-1973), разработавшие наиболее удачный вариант оболочечной модели ядра. Спин нуклона может быть направлен либо по орбитальному моменту, либо против него. В первом случае энергетические уровни спускаются ниже, во втором поднимаются выше. Этот сдвиг надо подобрать так, чтобы получилась правильная последовательность наблюдаемых магических чисел, что и было сделано Гёпперт-Майер и Йенсеном. Спин-орбитальное взаимодействие математически учитывается выбором гамильтониана $\widehat{\mathscr{H}}$ в уравнении Шредингера $\widehat{\mathscr{H}} \psi=\mathscr{E} \psi$. Этот гамильтониан выбирают в виде где $\mathbf{s}$ – вектор спина нуклона, l – его орбитальный момент. Как уже указывалось выше, векторы s и l могут быть либо параллельны, либо антипараллельны. Потенциал $V(r)$ схематически представлен на рис. 141. Он имеет вид ямы с практически плоским дном, круто поднимается вблизи ее границы, а затем быстро и плавно обращается в нуль; $U(r)$ – центрально-симметричный потенциал, более слабый, чем $V(r)$. По аналогии с атомом обычно полагают где постоянная $b$ называется постоянной спин-орбиталъного взаимодействия. На основе нуклонного самосогласованного потенциала вида (78.2) и была разработана оболочечная модель ядра. 11. Расположение энергетических уровней нуклона, каким оно получается в результате решения уравнения Шредингера с простейшим эмпирически подобранным гамильтонианом вида (78.1), представлено в табл. 12. В каждой строке приведены состояния нуклонов, входящих в определенную оболочку. Энергии состояния (отрицательные) растут слева направо. Нумерация оболочек начинается с оболочки I и растет для последующих оболочек. В предпоследнем столбце указаны числа нуклонов в каждом состоянии (определяемые числом $j$ ) и в каждой оболочке, а в последнем – полное число нуклонов (протонов и нейтронов в отдельности) в ядре, заканчивающемся застроенной оболочкой. Расположение энергетических уровней и их группирование в оболочки приведено также на рис. 142. Отсчет энергии на рис. 142 ведется от дна потенциальной ямы. Таблица и рисунок относятся к любому типу нуклонов: как к протонам, так и к нейтронам. Обращаем внимание на расщепление уровня с определенным $l$ на два подуровня с $j=l+1 / 2$ и $j=l-1 / 2$, обусловленное спин-орбитальным взаимодействием. Это расщепление растет с увеличением квантового числа $l$. Уже при $l=$ $=3$ расщепление $1 f$-состояния на $1 f_{7 / 2}$ и $1 f_{5 / 2}$ столь значительно, что обнаруживается повышенная стабильность ядра с числом нуклонов 28 . Поэтому иногда при рассмотрении некоторых свойств ядер число 28 относят к магическим, хотя на нем и не оканчивается заполнение протонной или нейтронной оболочки. Из-за известной неопределенности в выборе эмпирических потенциалов $V(r)$ и $U(r)$ в гамильтониане (78.1) распределения квантовых состояний по энергетическим уровням в различных литературных источниках слегка отличаются друг от друга. Здесь приведено одно из возможных распределений. Успехи оболочечной модели ядра при объяснении магических чисел явились исторически первым и самым важным аргументом в пользу признания этой модели. Но оболочечная модель объясняет и некоторые другие факты. Сюда относятся, например, предсказания спинов и четностей ядер, а также вычисление их магнитных моментов. На этих вопросах мы останавливаться не будем. Многие факты остаются необъясненными и в оболочечной модели. Это вполне естественно, если иметь в виду эмпирический характер модели и недостаточную обоснованность ее исходных положений.
|
1 |
Оглавление
|