1. В § 27 была рассмотрена задача о квантовании водородного (или водородоподобного) атома в предположении, что волновая функция $\psi$ радиально симметрична, т. е. зависит только от $r$. В таком случае угловой момент электрона в атоме равен нулю, так как оператор момента действует только на угловые переменные $\theta$ и $\varphi$, но не действует на $r$. Уравнение же Шредингера для стационарных состояний записывается в виде
\[
\widehat{H}_{r} \psi=\mathscr{E} \psi
\]

где оператор $\widehat{H}_{r}$ определяется выражением
\[
\widehat{H}_{r}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}\right)+U(r)
\]

и описывает только радиальное квантовое движение электрона в атоме. Учтем теперь зависимость функции $\psi$ также от угловых координат $\theta$ и $\varphi$. Для этого к оператору $\widehat{H}_{r}$ надо добавить оператор $\frac{1}{2 m r^{2}} \widehat{\mathbf{l}}^{2}$, соответствующий кинетической энергии вращения электрона вокруг ядра:
\[
\widehat{H}=\widehat{H}_{r}+\frac{1}{2 m r^{2}} \widehat{\mathbf{l}}^{2} .
\]

Ясно, что оператор $\widehat{H}_{r}$ коммутирует с операторами $\widehat{\mathrm{l}}^{2}$ и $\widehat{l}_{z}$, поскольку последние не действуют на $r$, а действуют только на угловые переменные $\theta$ и $\varphi$. То же относится к оператору $\left[1 /\left(2 m r^{2}\right)\right] \widehat{\mathbf{l}}^{2}$, так как наличие множителя $1 /\left(2 m r^{2}\right)$ не отражается на такой коммутации. Следовательно, и полный оператор $\widehat{H}$ коммутирует с $\widehat{1}^{2}$ и $\widehat{l}_{z}$, и стационарное состояние электрона в водородном или водородоподобном атоме можно характеризовать его энергией $\mathscr{E}$, квадратом углового момента $\mathrm{l}^{2}$ и его проекцией $l_{z}$ на избранное направление – ось $Z$.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний теперь запишется в виде
\[
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(\mathscr{E}-U-\frac{\widehat{\mathbf{L}}^{2}}{2 m r^{2}}\right) \psi=0 .
\]

Здесь применяется частное дифференцирование по $r$, поскольку волновая функция $\psi$ может зависеть не только от $r$, но и от угловых переменных $\theta$ и $\varphi$. Но какова бы ни была зависимость от $\theta$ и $\varphi$, для стационарных состояний с определенным значением квадрата углового момента $\widehat{\mathbf{L}}^{2} \psi=\mathbf{L}^{2} \psi=\hbar^{2} l(l+1) \psi$. Поэтому в таких случаях
\[
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(\mathscr{E}-U-\frac{\hbar^{2} l(l+1)}{2 m r^{2}}\right) \psi=0 .
\]

Это уравнение отличается от уравнения (33.1) наличием в скобках дополнительного члена $-\hbar^{2} l(l+1) /\left(2 m r^{2}\right)$. Формально уравнение (33.5) имеет вид уравнения Шредингера в радиально-симметричном силовом поле с потенциальной силовой функцией
\[
U(r)+\frac{\hbar^{2} l(l+1)}{2 m r^{2}} .
\]

На второе слагаемое этого выражения можно смотреть как на потенциальную функцию электрона в поле центробежной силы, причем само уравнение (33.5) можно рассматривать как уравнение движения электрона во «вращающейся» системе отсчета.

Поскольку, однако, независимые переменные $\theta$ и $\varphi$ в уравнение (33.5) не входят, волновая функция $\psi$ должна иметь вид $f(\theta, \varphi) \psi(r)$. Во всех вычислениях функция $f(\theta, \varphi)$ будет всюду входить в виде множителя, который не зависит от $r$, т. е. ведет себя как постоянная. Поэтому ради краткости множитель $f(\theta, \varphi)$ мы будем всюду опускать, т. е. рассуждать так, как если бы функция $\psi$ зависела только от $r$. Это, очевидно, не нарушает общности рассуждений и их результатов.
2. До сих пор явный вид потенциальной функции $U(r)$ не использовался. Имея теперь в виду водородоподобный атом, положим $U(r)=$ $=-Z e^{2} / r$ и введем такие же обозначения, как в $\S 27$, т. е.
\[
\beta^{2}=-\frac{2 m \mathscr{E}}{\hbar^{2}}, \quad q=\frac{2 m Z e^{2}}{\hbar^{2}} .
\]

Тогда уравнение (33.5) запишется в виде
\[
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{\partial \psi}{\partial r}+\left(\frac{q}{r}-\beta^{2}-\frac{l(l+1)}{r^{2}}\right) \psi=0 .
\]

Для его исследования применяем такой же метод, что и для исследования уравнения (27.1), т. е. вводим новую функцию $u(r)$ с помощью соотношения
\[
\psi=\frac{u(r)}{r} e^{-\beta r} .
\]

Тогда
\[
\frac{d^{2} u}{d r^{2}}-2 \beta \frac{d u}{d r}+\left[\frac{q}{r}-\frac{l(l+1)}{r^{2}}\right] u=0 .
\]

Ищем решение этого уравнения в виде ряда
\[
u=\sum_{k=\gamma}^{\infty} a_{k} r^{k}
\]

и путем сравнения коэффициентов находим
\[
\begin{array}{c}
\gamma(\gamma-1)-l(l+1)=0, \\
{[k(k+1)-l(l+1)] a_{k+1}=(2 \beta k-q) a_{k} \text { при } k
eq \gamma .}
\end{array}
\]

Из первого уравнения получается либо $\gamma=l+1$, либо $\gamma=-l$. Значение $\gamma=-l$ должно быть отброшено по тем же соображениям, которые применялись при решении аналогичного вопроса в § 27 . Таким образом, следует воспользоваться значением $\gamma=l+1$.

Для исследования сходимости ряда (33.10) из формулы (33.11) находим
\[
\frac{a_{k+1}}{a_{k}}=\frac{2 \beta k-q}{k(k+1)-l(l+1)} .
\]

Асимптотически
\[
\frac{a_{k+1}}{a_{k}}=\frac{2 \beta}{k+1} .
\]

Это выражение в точности совпадает с соответствующим выражением из § 27. Поэтому, как и раньше, заключаем, что ряд (33.10) должен обрываться. Из условия обрыва получаем прежнюю формулу (27.8) для энергии атома:
\[
\mathscr{E}=-\frac{m Z^{2} e^{4}}{2 \hbar^{2} n^{2}}
\]
3. Из изложенного следует, что значения энергии в стационарных состояниях водородоподобного атома зависят только от главного квантового числа $n$. Но состояния с заданным $n$ (т. е. с заданной энергией $\mathscr{E}$ ) могут отличаться одно от другого различными значениями квантовых чисел $l$ и $m$ (не путать с массой). Таким образом, одному и тому же значению $\mathscr{E}$ соответствуют несколько различных квантовых состояний. В этом случае говорят, что состояние с энергией $\mathscr{E}$ вырождено. Энергетический уровень $\mathscr{E}$ называют также вырожденным.

Число независимых состояний, суперпозицией которых может быть получено заданное состояние с энергией $\mathscr{E}$, называется степенъю или
кратностъю вырождения. Найдем степень вырождения для водородоподобного атома в состоянии с заданным главным квантовым числом $n$.

Рассмотрим сначала состояния, в которых (наряду с $n$ ) имеет определенное значение и число $l$. Воспользуемся формулой $\gamma=l+1$, которая до сих пор еще не принималась во внимание. Имея в виду, что ряд (33.10) должен обрываться на члене $n$-й степени, запишем его в виде конечной суммы:
\[
u=\sum_{k=l+1}^{n} a_{k} r^{k}=r^{l+1} \sum_{\alpha=0}^{\alpha=n-l-1} a_{l+\alpha+1} r^{\alpha} .
\]

Отсюда видно, что главное квантовое число $n$ имеет смысл старшего показателя степени в полиноме (33.13). Число $l$ называется орбитальным квантовым числом. Оно определяет квадрат углового момента,
\[
\left.1^{2}=l(l+1) \quad \text { (в единицах } \hbar^{2}\right) .
\]

Фиксируя $n$, подсчитаем число квантовых состояний, отличающихся одно от другого значениями $l$. Наименьшее значение $l$ есть $l=0$, наибольшее $l=n-1$, так как в этом случае сумма (33.13) сводится к одному члену. Следовательно, при заданном $n$ число $l$ может принимать значения
\[
l=0,1,2, \ldots,(n-1),
\]
т.е. всего $n$ значений и соответствующих им квантовых состояний с определенными $n$ и $l$. Функция $u$, как видно из (33.13), имеет $n_{r}=$ $=n-l-1$ узлов, если исключить из рассмотрения узел $r=0$. Но число узлов, как известно (см. § 25, п. 1), определяет номер волновой функции с заданным $n$. Поэтому главное квантовое число $n$ можно также определить соотношением
\[
n=n_{r}+l+1 .
\]

Квантовое число $n_{r}$ было введено еще Зоммерфельдом в старой квантовой теории и получило название радиального квантового числа.

Заметим теперь, что в состоянии с определенным $l$ может иметь различные значения квантовое число $m$, определяющее проекцию углового момента на ось $Z$ (оно называется магнитным). Именно:
\[
m=-l,-(l-1), \ldots,-1,0,+1, \ldots,+(l-1),+l,
\]
т. е. всего $2 l+1$ значений. Поэтому полное число квантовых состояний, с помощью которых может реализоваться состояние с заданным $n$, равно
\[
N=\sum_{l=0}^{l=n-1}(2 l+1)=n^{2} .
\]

В действительности, как будет показано в § 36, это число следует удвоить из-за наличия спина электрона. Таким образом, кратность вырождения энергетического уровня в водородоподобном атоме равна $2 n^{2}$.