1. В атомной физике более важен случай, когда потенциальная функция $U$ не одномерна, а сферически симметрична относительно некоторого силового центра. Примером может служить положительно заряженное атомное ядро, в электрическом поле которого движется электрон. Силовой центр (например, атомное ядро) мы сначала будем считать бесконечно тяжелым и неподвижным. Начало координат поместим в силовом центре. Обозначим через r радиус-вектор, проведенный из начала координат к рассматриваемой частице. Тогда в случае сферической симметрии $U=U(r)$, где $r \equiv|\mathbf{r}|$. В этом случае волновая функция $\psi$, т. е. решение уравнения Шредингера (21.7), может зависеть не только от $r$, но и от угловых переменных, определяющих направление радиус-вектора r. Однако мы ограничимся здесь только сферически симметричными решениями, т. е. решениями, зависящими только от $|\mathbf{r}| ; \psi=\psi(r)$. Тогда уравнение Шредингера для стационарных состояний (21.7) запишется в виде
\[
\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{d^{2} \psi}{d r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{d \psi}{d r}\right)+[\mathscr{E}-U(r)] \psi=0 .
\]

Это уравнение отличается от исследованного выше одномерного уравнения (22.1) наличием дополнительного члена $\frac{2}{r} \frac{d \psi}{d r}$. Однако подстановкой
\[
\psi=\chi / r
\]

оно приводится к виду
\[
\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \chi}{d r^{2}}+[\mathscr{E}-U(r)] \chi=0 .
\]

Это уравнение математически тождественно с уравнением (22.1) для одномерного случая. Поэтому все результаты, полученные в $§ 22$, сохраняют силу для вспомогательной функции $\chi(r)$. Единственное отличие состоит в том, что при $r=0$ функция $\chi$ должна быть не только конечной, но и обращаться в нуль, так как в противном случае функция $\psi=\chi / r$ обращалась бы в бесконечность при $r=0$. Поэтому половина решений, полученных в $\S 22$, должна быть исключена. Надо оставить только решения, изображающиеся кривыми, проходящими через начало координат (рис. 47). При $\mathscr{E}<0$ эти решения для положительных $r$ представлены сплошными кривыми, а их продолжения в область от-
Рис. 47
Рис. 48

рицательных $r$ – штриховыми кривыми. Разумеется, в нашей задаче отрицательные $r$ не имеют физического смысла и введены формально математически, чтобы получилась аналогия с одномерным случаем. Поэтому остается справедливой доказанная в § 22 теорема, что число узлов функции $\psi(r)$ ( $r$ существенно положительно) на единицу меньше номера соответствующего собственного значения. При этом точка $r=0$ за узел не считается. Рисунок 47 иллюстрирует это утверждение.
2. Частным случаем сферически симметричного силового поля является трехмерная сферически симметричная потенииальная яма, сечение которой плоскостью, проходящей через силовой центр, имеет прямоугольную форму (рис. 48). Так называется трехмерная потенциальная функция $U$, зависящая только от расстояния $r$ до силового центра, которая определяется выражениями
\[
U(r)=\left\{\begin{array}{ccc}
-U_{0} & \text { при } & r<a \\
0 & \text { при } & r>a .
\end{array}\right.
\]

Из изложенного выше следует, что в этом случае сферически симметричные волновые функции $\psi(r)$ и значения $\mathscr{E}$ в стационарных состояниях находятся так же, как и в случае одномерной прямоугольной потенциальной ямы (см. §24). Различие состоит только в том, что теперь четные решения уравнения (25.3) (если решения формально продолжить в сторону отрицательных $r$ ) должны быть исключены. Иными словами, при $\mathscr{E}<0$ остаются только решения
\[
\begin{array}{ll}
\psi=B \sin k r & \text { при } 0<r<+a, \\
\psi=C e^{-\alpha r} & \text { при } r>+a,
\end{array}
\]

где $k$ и $\alpha$ определяются прежними формулами (24.6). В соответствии с этим из двух формул (24.10a) и (24.11a) надо сохранить только вторую, т.е.
\[
\eta=-\xi \operatorname{ctg} \xi
\]

причем $\xi$ и $\eta$ определяются прежними выражениями (24.12).
В случае одномерной симметричной ямы всегда существует по крайней мере одно собственное значение дискретного спектра энергии с четной волновой функцией. В случае сферически симметричной прямоугольной ямы этого может и не быть. Действительно, кривая $\eta=-\xi \operatorname{ctg} \xi$ первый раз пересекает горизонтальную ось координат в точке $\xi=\pi / 2, \eta=0$ (рис. 46 б). Из формулы (24.13) видно, что если
\[
\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}>-\frac{2 m U_{0} a^{2}}{\hbar^{2}},
\]
т. е.
\[
-U_{0}<\frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{8 m a^{2}},
\]

то эта кривая нигде не пересечется с окружностью (24.13). Это значит, что при условии (25.7) в потенциальной яме не появится ни одного уровня дискретного спектра энергии. Первый уровень появляется, когда крайняя левая кривая $\eta=-\xi \operatorname{ctg} \xi$ на рис. 46 б начинает пересекаться с соответствующей окружностью. Это происходит в точке $\xi=\pi / 2$, $\eta=0$. Из второго уравнения (24.6) следует, что в этом случае $\mathscr{E}=0$, т. е. при возрастании глубины ямы первый уровень появляется на границе дискретного и непрерывного спектров. Расстояние этого уровня от дна потенциальной ямы равно $-U_{0}=\hbar^{2} \pi^{2} /\left(8 m a^{2}\right)$, как это легко получить из первой формулы (24.6). В рассматриваемом случае весь дискретный спектр состоит из одного только уровня нулевой энергии.