Главная > Общий курс физики. T. V. Атомная и ядерная физика (Сивухин Д. В.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1. Момент импульса частицы 1 относительно начала координат O в классической механике определяется векторным произведением [rp]. Такое определение в квантовой механике не имеет смысла, поскольку не существует состояния, в котором бы оба вектора r и р имели определенные значения. В квантовой механике векторному произведению [rp] соответствует оператор
l=[r^p^].

Раскрывая это векторное произведение и соблюдая при этом порядок расположения операторов координат и проекций вектора импульca, найдем операторы проекций момента импульса на координатные оси X,Y,Z :
l^x=(y^p^zz^p^y)=i(zyyz),l^y=(z^p^xx^p^z)=i(xzzx),l^z=(x^p^yy^p^x)=i(yxxy).

Через эти проекции сам оператор вектора момента импульса выражается формулой
l^=il^x+jl^y+kl^z.

Смысл этого векторного оператора выяснится, если написать результат действия его на произвольную функцию ψ. Это есть
l^ψ=i(l^xψ)+j(l^yψ)+k(l^zψ),
т. е. вектор с составляющими l^xψ,l^yψ,l^zψ. Таким образом, произвольной волновой функции ψ соответствует вектор, определяемый выражением (31.4). Возникает, однако, вопрос, существует ли такая функция ψ, для которой все три проекции вектора (31.4) имеют определенные значения, т. е. одновременно выполняются все три равенства:
l^xψ=lxψ,l^yψ=lyψ,l^zψ=lzψ.

Для ответа на этот вопрос надо найти правила коммутации операторов l^x,l^y,l^z. Перемножая операторы l^x и l^y и сохраняя порядок их расположения, получим
l^xl^y=2(zyyz)(xzzx)==2(zyxzyzxzzyzx+yzzx)==2(zx2yzyx2z2z22yx+yz2zx+yx).

Аналогично
l^yl^x=2(zy2xzxy2z2z22xy+xz2zy+xy).

Операции дифференцирования по двум независимым переменным перестановочны, т.е., например, 2/xy=2/yx. Поэтому почленным вычитанием предыдущих равенств получим
l^xl^yl^yl^x=2(yxxy)=il^z.

Аналогично получаются и два остальных правила коммутации. Итак,
l^yl^zl^zl^y=il^x,l^zl^xl^xl^z=il^y,l^xl^yl^yl^x=il^z.

Таким образом, любые две проекции оператора момента не коммутируют меэду собой. Поэтому не существует состояния, в котором бы все три и даже какие-либо две из трех проекций l^x,l^y,l^z имели определенные значения (см. §30, п. 7). Исключением является только случай, когда все три проекции одновременно равны нулю. Значит, не существует состояния, в котором бы и сам вектор момента импульса имел определенное значение, т. е. был бы полностъю определен как по величине, так и по направлению. Иными словами, оператор момента l^ не имеет собственных функций и соответствующих им векторных собственных значений. Связь векторного оператора момента с реальной действительностью в общем виде устанавливается статистически — с помощью формулы (30.21), которая позволяет находить средние значения, получаемые при измерении самого момента импульса, а не соответствующего ему оператора.
2. Какими же физическими величинами (а не их операторами) характеризуется в квантовой механике момент импульса частицы? Для решения этого вопроса выразим прежде всего операторы проекций момента импульса через сферические (полярные) координаты. Вопрос этот может быть просто решен аналитически. Но аналитическое решение довольно громоздко. Мы предпочитаем привести геометрическое решение. Начало координат прямоугольной XYZ и сферической систем коор-

Рис. 57 динат поместим в общей точке O
Рис. 57
(рис.57). В сферических координатах положение точки A характеризуется расстоянием ее r от точки O и двумя углами θ (полярный угол) и φ (азимут). В точке A проведем касательную AB к меридиану ZAN и касательную AC к соответствующей параллели. Введем вспомогательную прямоугольную систему координат ξηζ с осями Oξ и Oη, параллельными соответственно AB и AC, и осью Oξ, направленной вдоль радиуса OA. Предполагая, что (классическая ) частица находится в точке A, получаем для нее ξ=η=0,ζ=r. Поэтому, заменяя в формулах (31.2) x,y,z на ξ,η,ζ, можем написать
l^ξ=irη,l^η=irξ,l^ζ=0.

Но, как видно из рис. 57,dξ=rdθ (при постоянных r и η ), dη= =rsinθdφ (при постоянных r и ξ ). Поэтому
l^ξ=isinθφ,l^η=iθ,l^ζ=0.

Теперь легко перейти к исходной прямоугольной системе координат X,Y,Z, пользуясь обычным правилом преобразования проекций вектора. Применимость такого правила к операторам обусловлена тем, что направляющие косинусы, определяющие расположение координатных систем XYZ и ξηζ относительно друг друга, следует рассматривать как величины постоянные, на которые операторы /θ и /φ не действуют. Запишем нужные направляющие косинусы в виде таблицы:
Тогда
l^x=l^ξcosθcosφl^ηsinφ,l^y=l^ξcosθsinφ+l^ηcosφ,l^z=l^ξsinθ,

или
l^x=i(sinφθ+ctgθcosφφ),l^y=i(cosφθ+ctgθsinφφ),l^z=iφ.

Отметим существенную разницу между классическим моментом импульса частицы [rp] и соответствующим ему квантовым оператором момента (31.3). Классический момент зависит от радиуса-вектора r, т.е. от выбора начала координат O, относительно которого берется момент импульса. Оператор момента, как видно из формул (31.7), не содержит r, а зависит только от углов θ и φ. Это значит, что оператор момента (31.3) не зависит от выбора начала координат, а зависит только от направления координатных осей. Поэтому его лучше называть оператором углового или вращательного момента частицы. При рассмотрении углового момента, в отличие от классического момента импульса, не надо указывать, относительно какого начала он берется. Разумеется, не зависят от выбора начала координат и собственные значения операторов проекций и квадрата углового момента, о которых говорится ниже.
3. Теперь поставим вопрос, может ли одна из проекций углового момента иметь определенное значение? Ясно, что если вопрос решается в положительном (или отрицательном) смысле для какой-либо одной из проекций, то он должен решаться в том же смысле и для каждой из остальных двух проекций, а также для проекции углового момента вдоль любого произвольно избранного направления. Это непосредственно следует из изотропии пространства, т.е. из эквивалентности всех направлений в пространстве. Не могут иметь в одном и том же состоянии определенные значения проекции углового момента вдоль двух различных направлений. Избранное направление можно поэтому взять произвольно. Такое направление обычно принимают за ось Z, так как в этом случае оператор l^z выражается наиболее простой формулой. Для решения поставленного вопроса служит уравнение
l^zψ=lzψ

или
iψφ=lzψ

где lz — постоянная. Его решением является
ψ=C(r,θ)exp(ilzφ).

В силу требуемой однозначности ψ эта функция должна возвращаться к своему исходному значению, когда аргумент φ получает приращение 2π, ибо такое приращение возвращает исходную точку в начальное положение. Таким образом, должно быть
exp(ilzφ)=exp{ilz(φ+2π)}.

Так как показательная функция периодична с периодом 2πi, то это равенство может выполняться только при условии
ilz2π=m2πi,

или
lz=m,

где m — целое положительное или отрицательное число, включая и нуль ( m=0,±1,±2, ). Равенство (31.10) означает, что проекция углового момента на любое направление квантуется. Для сокращения за единицу углового момента обычно принимают постоянную . При таком соглашении говорят, что проекция углового момента на избранное направление может принимать только целочисленные значения m=0,±1,±2, Проекцию углового момента на ось Z принято обозначать через mz. Таким образом, mz=m.

Правило (31.10) по своей форме аналогично соответствующему правилу квантования момента импульса (13.6) в теории Бора. Однако между этими двумя правилами есть глубокое различие. В формуле (13.6) под L следует понимать полный момент импульса частицы (электрона), тогда как в (31.10) речь идет только об одной проекции момента импульса на какое-либо направление, а самого вектора момента импульса, как точно определенной величины, вообще не существует.
4. Нетрудно непосредственно проверить, что собственная функция оператора l^z, т. е. функция (31.9), не может быть одновременно собственной функцией ни оператора l^x, ни оператора l^y. Допустим противоположное, что (31.9) является собственной функцией, например, оператора l^x. Для этой функции имеем
l^xψ=i(sinφCθ+imctgθcosφC)eimφ.

Этот результат не может быть представлен в виде lxψ, как мы предположили ( lx — постоянное число). Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть частный случай, когда φ=0. Тогда
l^xψ=mctgθψ

С другой стороны, по нашему предположению должно быть
l^xψ=lxψ

И оба эти соотношения должны соблюдаться при любых значениях угла θ, что, очевидно, невозможно. Такое же рассуждение применимо для оператора l^y. Это подтверждает прежний результат, что не существует волновой функции Ψ, которая была бы одновременно собственной функцией операторов l^x,l^y,l^z. Исключением является только случай, когда функция Ψ сферически симметрична, т. е. зависит только от r. В этом случае Ψ будет собственной функцией всех трех операторов l^x,l^y,l^z, а все три проекции углового момента mx,my,mz обратятся в нуль.
5. Второй величиной наряду с проекцией mz, характеризующей величину углового момента, является квадрат полного углового моменma. Его принято обозначать через l2. Но это не есть квадрат вектора 1 (которого не существует), а собственное значение квадрата оператора углового момента, т. е.
l^2=(l^xi+l^yj+l^zk)2=l^x2+l^y2+l^z2.

Поэтому общепринятое обозначение l2 неудачно, но мы не будем его менять. Однако истинный смысл величины l2, как собственного значения квадрата оператора углового момента 1^2 надо постоянно иметь в виду.

Чтобы убедиться, что величины l2 и mz могут быть измерены в одном и том же состоянии, надо показать, что операторы l^2 и l^z коммутируют друг с другом. Для этого пишем
l^2l^z=(l^x2+l^y2+l^z2)l^z=l^x(l^xl^z)+l^y(l^yl^z)+l^z3,

или в силу соотношений коммутации (31.6)
l^2l^z=l^x(l^zl^xil^y)+l^y(l^zl^y+il^x)+l^z3.

Аналогично
l^zl^2=(l^xl^z+il^y)l^x+(l^yl^zil^x)l^y+l^z3.

Почленным вычитанием находим
l^2l^zl^zl^2=0,

что и требовалось доказать. Разумеется, такое же соотношение коммутации справедливо и для операторов l^x и l^y.

Итак, существует состояние, в котором одновременно имеют определенные значения квадрат углового момента 12 и одна из его проекций на избранное направление. Обычно это направление принимают за ось Z.

Рассмотрим какое-либо состояние Ψ, в котором величины 12 и mz (а следовательно, и mz2 ) одновременно имеют определенные значения. Докажем, что в этом состоянии всегда (за исключением случая l2=0 ) l^2>mz2. С этой целью рассмотрим операторное равенство
l^2l^z2=l^x2+l^y2.

Для оператора l^2l^z2 функция Ψ является собственной с собственным значением l2mz2. То же значение имеет и соответствующая средняя величина. Поэтому, производя усреднение по формуле (30.21), получим
12mz2=Ψ(l^x2+l^y2)ΨdV

Но интеграл справа существенно положителен, так как он представляет среднее значение существенно положительной величины lx2+ly2 в состоянии Ψ. Итак,
12>mz2.

Поэтому угловой момент не может ориентироваться точно вдоль оси Z. В любом состоянии он всегда содержит проекции lx и ly, которые, однако, в рассматриваемом состоянии остаются неопределенными. Этоуже известный нам факт, согласно которому не существует состояния, в котором все три проекции lx,ly,lz имеют определенные значения.

Про этот факт иногда говорят, что в собственном состоянии, где l2 имеет определенное значение, угловой момент сохраняет свою длину, равную 12, но его направление испытывает флуктуации. Вряд ли этот способ выражения можно признать удачным, ибо он предполагает, что существует какой-то вектор 1 , имеющий в каждый момент времени определенную длину и направление, но это направление беспорядочно и непрерывно меняется во времени. На самом деле, как мы видели, такого вектора не существует, а потому картина его флуктуации не соответствует действительности.
6. Остается определить собственные значения l2 оператора квадрата углового момента l^2. Это можно сделать с помощью одних только правил коммутации (31.6). Приведем сначала эти правила к другому виду, более удобному для нашей цели. Введем два оператора:
l^+=l^x+il^y,l^=l^xil^y.

Тогда из (31.6) нетрудно получить
l^+l^l^l^+=2l^z,l^zl^+l^+l^z=l^+,l^zl^l^l^z=l^.

Далее
l^2=(l^++l^2)2+(l^+l^2i)2+l^z2

или
l^2=l^+l^+l^z2l^z=l^l^++l^z2+l^z.

Так как l2 есть величина ограниченная, то из (31.13) следует, что mz2, а потому и mz суть также величины ограниченные. Обозначим через l наибольшее положительное значение проекции mz при заданном значении квадрата момента l2. Пусть Ψ — общая волновая функция операторов 1^2 и l^z, причем собственное значение оператора l^z равно m. В этом предположении
l^2Ψ=l2Ψ,l^zΨ=lΨ.

Из соотношений коммутации (31.15) для такой функции получаем
l^zl^±Ψ=(l^±l^z±l^±)Ψ=(l±1)l±Ψ.

Отсюда видно, что функции l^+Ψи l^Ψ являются собственными функциями оператора l^z, имеющими собственные значения (l+1) и (l1) соответственно. Но величина (l+1) не может быть собственным значением оператора l^z, так как по предположению наибольшее собственное значение этого оператора равно l. Таким образом, равенство
l^zl^+Ψ=(l+1)l^+Ψ

невозможно. Но это равенство логически следует из соотношений коммутации (31.15) и уравнения l^zΨ=lΨ. Избежать противоречия можно только тогда, когда l^+Ψ=0, ибо в этом случае указанное равенство, конечно, будет удовлетворено. Но из этого следует, что l^l^+Ψ=0, или в силу соотношения (31.16)
(l^2l^z2l^z)Ψ=0.

Но в силу (31.17) l^z2Ψ=2l2Ψ,l^zΨ=2lΨ, так что
(l^22l22l)Ψ=0,

или
l^2Ψ=2l(l+1)Ψ.

Значит Ψ есть собственная функция оператора квадрата углового момента с собственным значением
l2=2l(l+1).
7. Пусть квадрат углового момента 12 имеет определенное значение l(l+1). Во скольких состояниях может реализоваться такая ситуация, если в них проекция m также имеет определенное значение? Очевидно, в таких состояниях m может принимать следующие значения:
m=l,(l1),,1,0,+1,,+(l1),+l,
т. е. всего таких состояний будет 2l+1.

Полученные результаты, определяющие возможные значения lz и 12, называют пространственным квантованием. Этот термин заимствован из старой теории Бора, в которой пространственное квантование определяло возможные направления вектора углового момента 1 в пространстве. С точки зрения квантовой механики термин «пространственное квантование» вряд ли удачен, так как «вектор» 1 принципиально не имеет определенных направлений в пространстве. Для наглядности пространственное квантование обычно представляют графически на векторных диаграммах. По оси Z откладывают возможные значения m, рассматривая их как проекции вектора 1 длины l(l+1), имеющего дискретные направления в пространстве. В качестве примера на рис. 58 приведены векторные диаграммы для случаев l=1

Рис. 58

и l=2 (за единицу углового момента принята постоянная Планка ). Эти диаграммы нельзя понимать буквально. Они правильно передают только два факта: возможные значения проекции m и возможные значения квадрата углового момента l2.

Квантовое число l по причинам, которые выяснятся ниже, называют орбитальным квантовым числом, а число m — магнитным квантовым числом.
8. В классической механике кинетическая энергия вращающегося твердого тела определяется формулой
E=122I,

где I — момент инерции тела относительно соответствующей оси вращения. Такая же формула справедлива и в квантовой механике. Различие состоит в том, что здесь величина l2 квантуется, принимая дискретные значения 12=2l(l+1). Неизменяемая вращающаяся система в квантовой механике называется ротатором. Таким образом, энергетические уровни ротатора дискретны и определяются формулой
Er=22Il(l+1).

Такой формулой мы уже пользовались при качественном рассмотрении вращательной теплоемкости молекул (см. т. II, § 69).

Впрочем, необходимо заметить, что идеализированное представление о ротаторе, как и представление об идеально твердом теле, несовместимо с принципом неопределенностей Гейзенберга. В самом деле, в модели идеально твердого тела его размеры в любом направлении (например, в направлении оси X ) строго определены и не могут меняться во времени, т. е. неопределенность координаты Δx=0. Но тогда для импульса в том же направлении из соотношения неопределенностей следует, что Δpx=. В теле неизбежно возникнут колебания, меняющие величину момента инерции I. Например, вращающуюся молекулу можно для некоторых целей рассматривать как жесткий ротатор и пользоваться формулой (31.19), если изменения I, связанные с вращением, невелики.

1
Оглавление
email@scask.ru