1. Операторный метод широко распространен в большинстве исследований квантовой механики, а потому необходимо сообщить краткие сведения о нем. Это тем более необходимо для того, чтобы дать законченную форму связи символов квантовой механики с реально наблюдаемыми величинами.

Под оператором понимают символ, который при действии на функцию некоторых переменных дает новую функцию тех же переменных. Примерами такого действия может служить умножение на $x$ или на какую-либо функцию $f(x)$. Рассматриваемые с этой точки зрения символы $x$ и $f(x)$ являются операторами. Для отличия от чисел их обозначают через $\widehat{x}$ и $\widehat{f}(x)$, т. е. ставят шляпку над $x$ и $f(x)$. Другим примером оператора может служить дифференцирование по $x$, т.е. $\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}, \ldots$

Операторы можно складывать. Под суммой операторов $\widehat{A}+\widehat{B}$ понимают такой оператор, действие которого на любую функцию $f(x)$ дает результат $\widehat{A} f(x)+\widehat{B} f(x)$. Под произведением операторов $\widehat{A} \widehat{B}$ понимают оператор, результат действия которого на любую функцию $f(x)$ равен $\widehat{A}[\widehat{B} f(x)]$. Здесь функция $f(x)$ сначала подвергается действию оператора $\widehat{B}$, а затем на полученный результат действует оператор $\widehat{A}$. Частным случаем произведения операторов является произведение оператора $\widehat{A}$ на число $\lambda$, т. е. либо $\lambda \widehat{A}$, либо $\widehat{A} \lambda$, ибо всякое число можно рассматривать как частный случай оператора. В алгебре операторов не всегда соблюдается коммутативный закон относительно умножения. Это значит, что не всегда $\widehat{A} \widehat{B}=\widehat{B} \widehat{A}$. Если такое равенство соблюдается, то говорят, что операторы $\widehat{A}$ и $\widehat{B}$ коммутируют друг с другом. Иначе их называют коммутирующими операторами. В противном случае операторы $A$ и $B$ не коммутируют и называются некоммутирующими или антикоммутирующими. Примером некоммутирующих операторов могут служить умножение на $x$ и дифференцирование по $x$. Действительно,
\[
\left(x \frac{\partial}{\partial x}\right) f=x \frac{\partial f}{\partial x}, \quad\left(\frac{\partial}{\partial x} x\right) f=\frac{\partial}{\partial x}(x f)=f+x \frac{\partial f}{\partial x},
\]

так что
\[
\frac{\partial}{\partial x} x-x \frac{\partial}{\partial x}=1 .
\]

Эти определения позволяют по заданным операторам $\widehat{A}$ и $\widehat{B}$ строить другие операторы $\widehat{L}(\widehat{A}, \widehat{B})$, являющиеся их функциями. Определение это имеет смысл только для целых рациональных функиий операторов $\widehat{A}$ и $\widehat{B}$. Достаточность такого ограничения в этом построении связана с тем, что именно при таком ограничении в классической физике определяют новые физические величины через другие, ранее введенные физические величины.

Сложение и умножение операторов производится по обычным алгебраическим правилам сложения и умножения чисел. Единственное отличие состоит в том, что при умножении операторов не всегда можно переставлять порядок сомножителей. Например, всегда
\[
(\widehat{A}+\widehat{B})^{2}=(\widehat{A}+\widehat{B})(\widehat{A}+\widehat{B})=\widehat{A}^{2}+\widehat{B} \widehat{A}+\widehat{A} \widehat{B}+\widehat{B}^{2} .
\]

В общем виде было бы неправильно писать
\[
(\widehat{A}+\widehat{B})^{2}=\widehat{A}^{2}+2 \widehat{A} \widehat{B}+\widehat{B}^{2} .
\]

Такая формула верна только тогда, когда операторы $\widehat{A}$ и $\widehat{B}$ коммутируют между собой, ибо при $\widehat{B} \widehat{A}=\widehat{A} \widehat{B}$ она получается из предыдущей. Но в случае некоммутирующих операторов эта формула неверна, ибо в этом случае $\widehat{B} \widehat{A}
eq \widehat{A} \widehat{B}$.

Оператор $\widehat{A}$ называется линейным, если для любых двух функций $f$ и $\varphi$ и любых постоянных $\lambda$ и $\mu$ соблюдается соотношение
\[
\widehat{A}(\lambda f+\mu \varphi)=\lambda \widehat{A} f+\mu \widehat{A} \varphi .
\]

В квантовой механике применяются только линейные операторы. В противном случае нарушался бы принцип суперпозиции состояний.
2. Предположим теперь, что многократно производится измерение координаты $x$ частицы, причем частица, поскольку это позволяет опыт, всякий раз приводится в одинаковые макроскопические условия. Тогда состояние частицы в этих опытах можно характеризовать волновой функцией $\Psi(x)$, которую мы ради простоты будем считать функцией только одной пространственной координаты $x$. Среднее значение координаты, которое будет найдено в результате измерений, можно записать в виде
\[
\langle x\rangle=\int x \Psi^{*} \Psi d x
\]

ибо $\Psi^{*} \Psi d x$ есть вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале $x, x+d x$. При этом необходимо оговорить, что функция $\Psi(x)$ всюду конечна, отлична от нуля в ограниченной области пространства и нормирована к единице, т. е.
\[
\int \Psi^{*} \Psi d x=1
\]

где интегрирование производится по всему пространству, в котором $\Psi$ отлична от нуля. Выражение для среднего значения $\langle x\rangle$ мы предпочитаем записать в виде
\[
\langle x\rangle=\int \Psi^{*} \widehat{x} \Psi d x
\]

Совершенно так же вычисляется среднее значение функции $f(x)$, т. е. по формуле
\[
\langle f(x)\rangle=\int \Psi^{*}(x) \widehat{f}(x) \Psi(x) d x
\]

в которой $f(x)$ рассматривается как оператор.
Если состояние $\Psi$ меняется во времени, то формула (30.4) дает среднее значение для определенного момента времени. В этом случае в функции $\Psi(x, t)$ следует время $t$ рассматривать как параметр, т. е. при взятии интеграла его следует считать постоянным.
3. Как же вычислять по волновой функции $\Psi(x)$ средние значения импульса частицы или средние значения целых рациональных функций от импульса? Будем предполагать, что в каждый момент времени функция $\Psi(x)$ всюду конечна и отлична от нуля в ограниченной области пространства, а потому может быть нормирована согласно формуле (30.2). В целях математического упрощения применим искусственный прием. Заменим истинную волновую функцию $\Psi(x)$ другой периодической функцией $\Phi(x)$ с периодом $l$, так что при любом $x \Phi(x+l)=\Phi(x)$. Функция $\Psi(x)$ отлична от нуля только на небольшом участке где-то в середине интервала $0<x<l$ (основного периода). В этом интервале обе функции $\Psi(x)$ и $\Phi(x)$ совпадают. Вне интервала $0<x<l$ функция $\Psi(x)$ обращается в нуль. Поэтому из нормировки (30.2) следует нормировка для функции $\Phi(x)$ :
\[
\int_{0}^{l} \Phi^{*}(x) \Phi(x) d x=1 .
\]

Указанная замена не может существенно отразиться на явлениях, протекающих в рассматриваемое время в рассматриваемой нами области пространства. Действительно, различие между функциями $\Phi(x)$ и $\Psi(x)$ относится только к достаточно удаленным областям пространства, которые не могут оказать существенное влияние на протекание изучаемого нами явления. В пределе, когда $l \rightarrow \infty$, небольшие искажения явлений, вызванные заменой $\Psi$ на $\Phi$, совсем исчезают.
Периодическую функцию $\Phi(x)$ разложим в ряд Фурье:
\[
\Phi(x)=\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} c_{n} e^{i k} n^{x},
\]

где
\[
k_{n}=\frac{2 \pi}{l} n \text {. }
\]

Чтобы определить коэффициент $c_{m}$ этого ряда, надо обе части (30.6) умножить на $e^{-i k} m^{x}$ и проинтегрировать по $x$ от 0 до $l$. При этом
\[
\int_{0}^{l} e^{i\left(k_{n}-k_{m}\right) x} d x=\left\{\begin{array}{cl}
l, & \text { при } n=m, \\
\left.\frac{1}{i\left(k_{n}-k_{m}\right)} e^{i\left(k_{n}-k_{m}\right) x}\right|_{0} ^{l}=0, & \text { при } n
eq m,
\end{array}\right.
\]

так как
\[
e^{i\left(k_{n}-k_{m}\right) l}=e^{i 2 \pi(n-m)}=1=e^{0} .
\]

С учетом этого получаем
\[
c_{m}=\frac{1}{l} \int_{0}^{l} \Phi(x) e^{-i k_{m} x} d x=\frac{1}{l} \int_{0}^{l} \Psi(x) e^{-i k_{m} x} d x .
\]

С учетом того же условия нормировка приводится к виду
\[
\int_{0}^{l} \Phi^{*} \Phi d x=\int_{0}^{l} \Psi^{*} \Psi d x=l \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}\left|c_{n}\right|^{2}=1 .
\]

Выведем еще одну вспомогательную формулу. Имеем
\[
\begin{array}{c}
\int_{0}^{l} \Phi^{*} \frac{\partial}{\partial x} \Phi d x=\int_{0}^{l} \sum_{m} \sum_{n} c_{m}^{*} c_{n} e^{-i k_{m} x} \frac{\partial}{\partial x} e^{i k_{n} x} d x= \\
=i \int_{0}^{l} \sum_{m} \sum_{n} c_{m}^{*} c_{n} k_{n} e^{i\left(k_{n}-k_{m}\right) x} d x,
\end{array}
\]

или после перестановки порядка суммирования и интегрирования
\[
\int_{0}^{l} \Phi^{*} \frac{\partial}{\partial x} \Phi d x=i \sum_{m} \sum_{n} c_{m}^{*} c_{n} k_{n} \int_{0}^{l} e^{i\left(k_{n}-k_{m}\right) x} d x .
\]

Входящий сюда интеграл уже был вычислен выше. Воспользовавшись вычисленным значением, получим
\[
-i \int_{0}^{l} \Phi^{*} \frac{\partial}{\partial x} \Phi d x=l \sum\left|c_{n}\right|^{2} k_{n} .
\]
4. До сих пор мы не обращали внимания на зависимость функции $\Psi$, а с ней и функции $\Phi$, от времени $t$. Наши вычисления в сущности, относились к функциям $\Psi(x, t)$ и $\Phi(x, t)$ при фиксированном значении $t,-$ время $t$ рассматривалось как параметр. Временная зависимость определится из требования, чтобы функции $\Psi$ и Ф удовлетворяли временному уравнению Шредингера (21.5). Такому условию удовлетворяет функция
\[
\Phi(x, t)=\sum_{n} c_{n} e^{i\left(k_{n} x-\omega_{n} t\right)},
\]

где частоты $\omega_{n}$ определяются законом дисперсии $\omega_{n}=\omega_{n}\left(k_{n}\right)$ по формуле (19.6). Этот ряд представляет собой разложение функции $\Phi(x, t)$ по плоским волнам де Бройля $\left.{ }^{1}\right)$.

Волне де Бройля $e^{i\left(k_{n} x-\omega_{n} t\right)}$ соответствует импульс $p_{n}=\hbar k_{n}$. Значения импульса дискретны. Но эта дискретность искусственная и получилась в результате замены истинной волновой функции $\Psi(x, t)$ на вспомогательную периодическую функцию $\Phi(x, t)$. Истинные значения импульса непрерывны. И действительно, чем длиннее взять период $l$, тем меньше расстояние между соседними значениями дискретного спектра импульса. В пределе, когда $l \rightarrow \infty$, это расстояние стремится к нулю, так что фактически импульс становится величиной, меняющейся непрерывно. Измерение импульса в состоянии $\Phi(x, t)$ дает одно из значений $p_{n}$. Вероятность этого значения, в силу условия нормировки $(30.9)$, равна $l\left|c_{n}\right|^{2}$. Поэтому среднее значение импульса, которое получится в результате измерения, будет равно
\[
\langle p\rangle=\sum l\left|c_{n}\right|^{2} p_{n},
\]

или в силу соотношения (30.10)
\[
\langle p\rangle=\int_{0}^{l} \Phi^{*}\left(-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}\right) \Phi d x .
\]

Теперь можно выполнить предельный переход к $l \rightarrow \infty$ и получить формулу
\[
\langle p\rangle=\int \Psi^{*}\left(-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}\right) \Psi d x,
\]

в которой всякая неопределенность, связанная с введением вспомогательной функции $\Phi$, исчезла. При этом интегрирование распространяется уже по всему бесконечному пространству, так как большие значения $x$ не вносят никакого вклада в интеграл.

Рассуждая аналогичным образом, можем без труда получить для произвольного целого положительного $n$
\[
\left\langle p^{n}\right\rangle=\int \Psi^{*}\left(-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}\right)^{n} \Psi d x,
\]
1) Произвольную функцию $\Phi(x, t)$, периодичную по $x$, можно разложить в ряд Фурье по $x$, коэффициенты которого будут функциями $t$. Распространено ошибочное мнение, что это и есть разложение по плоским волнам де Бройля. Ошибка состоит в том, что периодическая функция $\Phi(x, t)$ не может быть произвольной, а должна удовлетворять уравнению Шредингеpa (21.5). Это накладывает ограничения на коэффициенты разложения как функции времени $t$.

а для целой рациональной функции импульса
\[
\langle F(p)\rangle=\int \Psi^{*} F(\widehat{p}) \Psi d x,
\]

где через $\widehat{p}$ обозначен оператор
\[
\widehat{p} \equiv \widehat{p}_{x}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial x},
\]

называемый оператором импульса, точнее – оператором проекции импульса $\widehat{p}_{x}$.
5. Квантовая механика постулативно обобщает полученные результаты на любые физические величины, являющиеся функциями координат и импульсов. Иначе говоря, она полагает
\[
\langle F(x, p)\rangle=\int \Psi^{*}(x) F(\widehat{x}, \widehat{p}) \Psi(x) d x .
\]

Здесь $F(x, p)$ – целая рациональная функция координат и импульсов, как она определяется классически, а $F(\widehat{x}, \widehat{p})$ – соответствующий ей оператор. Формула (30.17) и может быть положена в основу введения операторов в квантовую механику. Заметим, что поскольку мы располагаем операторами $\widehat{x}$ и $\widehat{p}$ в прямоугольных координатах, при нахождении оператора $F(\widehat{x}, \widehat{p})$ надо исходить из соответствующей классической формулы также в прямоугольных координатах или в векторной форме.

Нелишне подчеркнуть, что под $x$ и $p$ в формуле (30.17) нельзя понимать значения координаты $x$ и импульса $p$, полученные в результате одного и того же измерения. Такое понимание противоречит принципу неопределенностей Гейзенберга. Под $x$ и $p$ следует понимать координату и импульс в классическом смысле. Квантовая механика заменяет эти величины операторами $\widehat{x}$ и $\widehat{p}$ и вводит новые операторы $F(\widehat{x}, \widehat{p})$. Оператор $F(\widehat{x}, \widehat{p})$ получается в результате применения к $\widehat{x}$ и $\widehat{p}$ тех же операций сложения и умножения, с помощью которых в классической физике по значениям $x$ и $p$ находится значение функции $F(x, p)$. Здесь нет еще никакой статистичности, свойственной квантовой механике. Статистичность появляется при переходе к формуле (30.17), ибо она дает только среднее значение функции $F(x, p)$, а не ее истинное значение (которое в квантовой механике, вообще говоря, может не иметь никакого смысла из-за невозможности характеризовать состояние частицы одновременным заданием $x$ и $p$ ). Получение оператора $F(\widehat{x}, \widehat{p})$ из классической функции $F(x, p)$ обусловливает, наряду с другими соображениями, тесною связь между классической и квантовой механиками. Получается парадоксальное утверждение, что обоснование квантовой механики принципиально невозможно без механики классической, хотя квантовая механика и является более общей теорией, в которой классическая механика содержится как предельный частный случай. Этот предельный случай получается из квантовой механики, когда постоянная Планка $\hbar$ пренебрежимо мала по сравнению со всеми величинами той же размерности, играющими роль в рассматриваемом явлении.

Все полученные результаты выведены для одномерного случая. Это сделано только в целях простоты и сокращения записи формул. Но эти результаты без труда обобщаются и на трехмерный случай. Так, оператором трехмерного импульса частицы является символический вектор
\[
\widehat{\mathbf{p}}=-i \hbar\left(\frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j}+\frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k}\right)=-i \hbar
abla,
\]

а формула для среднего значения такого импульса принимает вид
\[
\langle\mathbf{p}\rangle=\int \Psi^{*}(-i \hbar
abla) \Psi d V,
\]

где интегрирование производится по всему пространству $V$, а функция $\Psi$ предполагается нормированной к единице:
\[
\int \Psi^{*} \Psi d V=1 .
\]

Таким образом, всякой классической величине $F(\mathbf{r}, \mathbf{p})$ квантовая механика сопоставляет оператор $F(\widehat{\mathbf{r}}, \widehat{\mathbf{p}})$, получающийся заменой классических величин $\mathbf{r}$ и $\mathbf{p}$ на соответствующие операторы $\widehat{\mathbf{r}}$ и $\widehat{\mathbf{p}}$. При этом связь с реально наблюдаемыми величинами устанавливается статистически с помощью формулы
\[
\langle F(\mathbf{r}, \mathbf{p})\rangle=\int \Psi^{*} F(\widehat{\mathbf{r}}, \widehat{\mathbf{p}}) \Psi d V .
\]
6. Поставим теперь вопрос, не существует ли таких состояний, что при измерении величины $L$, соответствующей оператору $\widehat{L}$, всегда получается определенное значение $L$. Легко видеть, что такому условию удовлетворяют волновые функции, являющиеся решениями уравнения
\[
\widehat{L} \Psi=L \Psi .
\]

Действительно, в этом случае
\[
\langle L\rangle=\int \Psi^{*} \widehat{L} \Psi d x=\int \Psi^{*} L \Psi d x=L \int \Psi^{*} \Psi d x=L,
\]
т. е. среднее значение $\langle L\rangle$ всегда равно $L$. А это возможно тогда и только тогда, когда результат каждого измерения равен $L$. Мы доказали достаточность условия (30.22). Немного сложнее доказывается и его необходимость, но на этом мы не будем останавливаться.

Функции $\Psi$, удовлетворяющие уравнению (30.22), называются собственными функциями оператора $\widehat{L}$, а числа $L-$ его собственными значениями. В квантовой механике принимается, что при измерении физической величины могут получиться ( $с$ той или иной вероятностъю) только собственные значения соответствующего ей оператора. Так как физические величины существенно вещественны, то операторы $\widehat{L}$ физических величин должны быть такими, чтобы их собственные значения были также вещественными. Но мы не будем углубляться в обсуждение условий, при которых это требование выполняется.

Уравнение (30.22) является обобщением на случай любых физических величин правила квантования энергии, рассмотренного в предыдущей главе. Чтобы убедиться в этом, найдем оператор $\widehat{H}$, соответствующий полной энергии частицы. Согласно изложенному такой оператор представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергий, т. е.
\[
\widehat{H}=\frac{1}{2 m} \widehat{p}^{2}+\widehat{U}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+U .
\]

Следовательно, (30.22) переходит в
\[
\left(-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+U\right) \psi-\mathscr{E} \psi
\]

Это уравнение Шредингера (21.7) для стационарных состояний. Таким образом, сокращенно его можно записать в символической форме
\[
\widehat{H} \psi=\mathscr{E} \psi,
\]

отличающейся от (30.22) только обозначениями. Общее уравнение Шредингера (21.5) для нестационарных состояний также можно записать символически:
\[
i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\widehat{H} \Psi .
\]

Для полноты заметим, что уравнение (30.25) справедливо не только в случае потенциальных сил, но и в случае, когда силы потенциалом не обладают (например, магнитные силы). Требуется только, чтобы соответствующие классические уравнения могли быть записаны в форме уравнений Гамильтона. В этом случае $\widehat{H}$ называют оператором Гамильтона или гамильтонианом. Если силы потенциальны, то гамильтониан тождественно совпадает с оператором энергии.

Приведем второй пример на применение уравнения (30.22). Найдем собственные функции и собственные значения оператора импульса. Ограничиваясь одномерным случаем, положим $\widehat{L}=\widehat{p}=-i \hbar \partial / \partial x$ и получим
\[
-i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial x}=p \Psi
\]

Отсюда
\[
\Psi=C(t) e^{i p x / \hbar}=C(t) e^{i k x} .
\]

Чтобы удовлетворить общему уравнению Шредингера (30.25), следует положить $C(t)=C e^{-i \omega t}$, т. е.
\[
\Psi=C e^{i(k x-\omega t)} .
\]

Таким образом, собственными функциями оператора импульса являются плоские волны де Бройля. Параметр $p$ может принимать любые значения, т.е. спектр собственных значений оператора $\widehat{p}$ непрерывный.

В связи с этим заметим, что к уравнению (30.22) мы пришли на основе уравнения (30.21). Наш вывод последнего предполагал выполнение условия нормировки (30.20), т. е. обращения функции $\Psi$ в нуль на бесконечности. Собственные функции (30.26) этому условию не удовлетворяют. Да и в случае оператора энергии при $\mathscr{E}>0$ собственные значения образуют непрерывный спектр, и нормировка (30.20) не может быть выполнена. В этих случаях наше доказательство формулы (30.22) не проходит. Однако сама формула (30.22) остается верной. Можно так обобщить нормировку (30.20), чтобы распространить доказательство и на такие случаи. Но для этого надо пользоваться обобщенными функциями. На этом формальном вопросе мы останавливаться не будем. В физике в принципе достаточно ограничиться волновыми функциями, обращающимися в нуль на бесконечности, для которых нормировка (30.20) всегда выполняется.
7. Остановимся в заключение еще на одном вопросе, специфическом только для квантовой, но не классической механики. Пусть $\widehat{A}$ и $\widehat{B}$ – два квантовомеханических оператора, каждому из которых соответствует свой спектр собственных значений. Всегда ли существует состояние $\Psi$, в котором оба оператора имеют определенные собственные значения $A$ и $B$ ? Иными словами, существует ли состояние $\Psi$, в котором обе величины $A$ и $B$ измеримы одновременно? Для ответа на этот вопрос допустим, что $\Psi_{n}$ является собственной функцией как оператора $\widehat{A}$, так и оператора $\widehat{B}$, т. е.
\[
\widehat{A} \Psi_{n}=A_{n} \Psi_{n}, \quad \widehat{B} \Psi_{n}=B_{n} \Psi_{n},
\]

где $A_{n}$ и $B_{n}$ – числа, представляющие собой собственные значения операторов $\widehat{A}$ и $\widehat{B}$ в одном и том же состоянии $\Psi_{n}$. Умножим первое равенство слева на оператор $\widehat{B}$. Получим
\[
\widehat{B} \widehat{A} \Psi_{n}=\widehat{B} A_{n} \Psi_{n}=A_{n} \widehat{B} \Psi_{n}=A_{n} B_{n} \Psi_{n} .
\]

Аналогично
\[
\widehat{A} \widehat{B} \Psi_{n}=B_{n} A_{n} \Psi_{n} .
\]

Отсюда $(\widehat{A} \widehat{B}-\widehat{B} \widehat{A}) \Psi_{n}=0$. На этом основании нельзя еще заключить, что $\widehat{A} \widehat{B}-\widehat{B} \widehat{A}=0$, так как $\Psi_{n}-$ не произвольная функция, а лишь одна из общих собственных функций операторов $\widehat{A}$ и $\widehat{B}^{1}$ ).

Допустим, однако, что каждая собственная функция оператора $\widehat{A}$ является также собственной функцией оператора $\widehat{B}$ и наоборот. Суще-
${ }^{1}$ Например, из равенства $\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}\right) x=0$ не следует, что $\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}=$ $=0$.

ствует математическая теорема, которую мы доказывать не будем, что произвольная волновая функция $\Psi$ может быть разложена по собственным функциям оператора $\widehat{A}$ (или, что то же самое, оператора $\widehat{B}$ ), т. е.
\[
\Psi=\sum c_{n} \Psi_{n}
\]
(предполагается, что спектр дискретный, что несущественно). Из этой формулы и из соотношения ( $\widehat{A} \widehat{B}-\widehat{B} \widehat{A}) \Psi_{n}=0$ следует
\[
(\widehat{A} \widehat{B}-\widehat{B} \widehat{A}) \Psi=0 .
\]

Теперь уже ввиду произвольности $\Psi$ можно заключить, что
\[
\widehat{A} \widehat{B}=\widehat{B} \widehat{A},
\]
т. е. операторы $\widehat{A}$ и $\widehat{B}$ коммутативны. Действительно, единственный оператор, обращающий в нуль произвольную функцию, есть оператор умножения на нуль.

Итак, если все собственные функции операторов $\widehat{A}$ и $\widehat{B}$ совпадают, то эти операторы коммутируют. Справедлива и обратная теорема: если операторы $\widehat{A}$ и $\widehat{B}$ коммутируют, то совпадают и их собственные функции. Эту теорему мы также примем без доказательства.

Приведенной теореме можно придать и другую формулировку. Две величины $A$ и $B$ измеримы одновременно, вообще говоря, тогда и только тогда, когда соответствующие им операторы $\hat{A}$ и $\widehat{B}$ коммутируют. Это правило может нарушаться только в отдельных исключительных случаях (см. § 31, пп. 1 и 4).

Например, координаты $x$ и $y$ можно измерить одновременно, так как операторы $\widehat{x}$ и $\widehat{y}$ коммутируют. Напротив, координата $x$ и соответствующий ей импульс $p_{x}$ одновременно измерены быть не могут, поскольку операторы $\widehat{x}$ и $\widehat{p}_{x}$ не коммутируют, как это видно из формулы (30.1). Именно этого требует принцип неопределенностей Гейзенберга. Координата $x$ и импульс $p_{y}$, соответствующий другой координате $y$, измеримы одновременно, ибо операторы $\widehat{x}$ и $\widehat{p}_{y}=-i \hbar \partial / \partial y$ коммутируют, поскольку при дифференцировании по $y$ координата $x$ ведет себя как постоянная.