1. Рассмотрим с квантовой точки зрения изменение частоты света и искривление светового луча в гравитационном поле. Первый эффект уже рассматривался классически в т. I (§ 72 ) и в т. IV (§109) на основе принципа эквивалентности поля тяготения и ускоренного движения. Полученные там результаты выводятся здесь из закона сохранения энергии с использованием связи между энергией и частотой фотона: $\mathscr{E}=\hbar \omega$.

Согласно теории относительности всякая энергия обладает массой, причем инертная и гравитационная массы равны между собой. Применим это положение к ограниченному пучку света с энергией $\mathscr{E}$, распространяющемуся в постоянном гравитационном поле. Гравитационный потенциал поля $\varphi(\mathrm{r})$ может меняться в пространстве. Поскольку свет обладает гравитационной массой $m=\mathscr{E}^{\prime} / c^{2}$, гравитационное поле над ним совершает работу. Если свет переходит из точки с гравитационным потенциалом $\varphi$ в точку с гравитационным потенциалом $\varphi+d \varphi$, то энергия света получает приращение
\[
d_{\mathscr{E}}^{\mathscr{E}}=-G m d \varphi=-G \frac{\mathscr{E}}{c^{2}} d \varphi,
\]

где $G$ – гравитационная постоянная. Интегрируя это уравнение между точками 1 и 2, получим
\[
\ln \frac{\mathscr{E}_{2}}{\mathscr{E}_{1}}=\frac{G}{c^{2}}\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right) .
\]

Это соотношение имеет общий характер и не содержит еще никаких квантовых предположений. Оно в равной мере справедливо и в классической, и в квантовой физике. Но получить из него соотношение для частот возможно лишь с использованием зависимости между энергией и частотой, которая дается в квантовой теории. В самом деле, допустим, что световой пучок состоит всего из одного фотона частоты $\omega$. В этом случае $\mathscr{E}=\hbar \omega$, и соотношение (7.1) переходит в
\[
\ln \frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}=\frac{G}{c^{2}}\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right) .
\]

Постоянная Планка выпала из окончательного результата. Результат не зависит от ее числового значения. Так и должно быть во всех случаях, если окончательный результат совпадает с классическим.

Первоначально соотношение (7.2) было проверено астрономически – по смещению спектральных линий в поле тяготения звезд. Открытие эффекта Мёссбауэра (р. 1929) позволило Паунду (р. 1919) и Ребке в 1960 г. проверить его в земных условиях. В их опытах было измерено изменение частоты света при прохождении в поле тяжести Земли всего 19,6 м по вертикали. Этот вопрос будет разобран в ядерной физике.
2. Искривление светового луча в поле тяготения также может быть разобрано на основе принципа эквивалентности без привлечения квантовых представлений. Впервые вопрос был поставлен и решен именно таким путем Эйнштейном в 1911 г., еще до создания общей теории относительности. Впрочем, полное решение вопроса может быть дано только в рамках общей теории относительности. Решение, приводимое ниже, дает правильный результат лишь с точностью до числового множителя. Оно по существу классическое, хотя по форме выглядит как квантовое.

Предположим, что фотон пролетает мимо Солнца или другого массивного небесного тела массы $M$. Если бы не было поля тяготения, то он двигался бы прямолинейно. Фотон обладает инертной массой, которую мы обозначим через $m$ (разумеется, речь идет о релятивистской массе, так как масса покоя фотона равна нулю). По принципу эквивалентности инертная масса всегда равна массе гравитационной. Поэтому фотон будет подвергаться воздействию силы тяготения $G M m / R^{2}$, направленной к центру Солнца ( $R$ – расстояние от центра Солнца). Влияние касательной составляющей этой силы было выяснено в предыдущем пункте – она вызывает изменение частоты световой волны. Нормальная составляющая искривляет траекторию фотона, т. е. световой луч. Поэтому при прохождении мимо Солнца световой луч должен отклоняться к его центру.

Вычислим угол отклонения светового луча. В отсутствие поля тяготения луч был бы прямой линией $A B$ (рис. 13). Будем считать, что в поле тяготения он мало отличается от $A B$. Задача сводится к вычислению импульса $\int F_{n} d t$ нормальной силы $F_{n}$, действующей на фотон, за все время движения. Интеграл должен быть вычислен вдоль истинной траек-

Рис. 13 тории фотона. Но в рассматриваемом случае можно применить метод возмущений, заменив при вычислении интеграла истинную траекторию невозмущенной прямолинейной траекторией $A B$ фотона. Допустим, что невозмущенный луч касается края Солнца. Тогда, как видно из рис. 13 ,
\[
\begin{array}{c}
F_{n}=G \frac{M m}{R^{2}} \cos \theta=G \frac{M m}{r^{2}} \cos ^{3} \theta, \\
x=r \operatorname{tg} \theta, \quad d x=\frac{r}{\cos ^{2} \theta} d \theta,
\end{array}
\]

где $r$ – радиус Солнца. Следовательно,
\[
\int F_{n} d t=\int F_{n} \frac{d x}{c}=\frac{G M m}{c r} \int_{-\pi / 2}^{+\pi / 2} \cos \theta d \theta=\frac{2 G M m}{c r} .
\]

Этот импульс нормальной силы должен быть равен изменению количества движения фотона. В рассматриваемом приближении количество движения фотона меняется только по направлению, но не по величине. Его изменение равно $m c \varphi$, где $\varphi$ – угол поворота светового луча. Приравнивая оба выражения, получим
\[
\varphi=\frac{2 G M}{c^{2} r} .
\]

Общая теория относительности приводит к вдвое большему результату:
\[
\Phi=\frac{4 G M}{c^{2} r} .
\]

Для Солнца эта величина равна $\Phi=1,75^{\prime \prime}$, что согласуется с экспериментом.