Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Будем исходить из простейшей модели металла — модели свободных электронов. Согласно этой модели электроны в металле ведут себя как газ невзаимодействующих частиц, движущихся в свободном от поля пространстве. Электроны удерживаются в металле силами отталкивания, возникающими при приближении электронов к стенке металла. В такой модели металл можно рассматривать как потенциальную яму, в которой заперты электроны. Для простоты будем считать яму прямоугольной определенной глубины. Мы не можем дать удовлетворительное обоснование и указать границы применимости такой модели. Особое удивление вызывает то, что электрические силы взаимодействия между электронами не учитываются, хотя они отнюдь не малы. Возможность отвлекаться от таких сил, по-видимому, связана с тем, что взаимодействие между электронами не меняет числа энергетических уровней системы. Последнее определяется только общим числом электронов, а не силами взаимодействия между ними. Для ряда явлений, по крайней мере при их качественном рассмотрении, существенно именно общее число энергетических уровней, а не их точное расположение. Разумеется, как и всякая модель, модель свободных электронов объясняет отнюдь не все свойства металлов. Однако ряд явлений объясняется этой моделью правильно, по крайней мере качественно. На рис. 54 представлена модель металла в виде прямоугольной потенциальной ямы. Внутри металла (т.е. на дне потенциальной ямы) потенциальная функция принята равной нулю, на стенках ямы она скачкообразно меняется до постоянного значения $U_{0}>0$. Конечно, энергетические уровни электрона внутри ямы дискретны, хотя в макроскопических кусках металла и расположены очень густо. Собственно говоря, нельзя сказать, что в модели свободных электронов между электронами нет никакого взаимодействия. Оно имеется. Но это не есть силовое взаимодействие, Рис. 54 а взаимодействие особого рода, которое не может быть понято в рамках классической механики. О нем подробно говорится в гл. VI. Такое взаимодействие проявляется в том, что в каждом квантовом состоянии системы может находиться не более одного электрона. Это положение называется приниипом Паули (1900-1958). Под квантовым состоянием в рассматриваемом нами вопросе следует понимать энергетический уровень электрона (с одним уточнением: допустимое число электронов на энергетическом уровне должно быть удвоено из-за наличия у них спина; но это обстоятельство в разбираемых сейчас вопросах не играет роли, и мы его учитывать не будем). Будем теперь последовательно заполнять потенциальную яму электронами в предположении, что температура системы равна абсолютному нулю. Первый электрон займет самый нижний (нулевой) уровень энергии. Второй электрон расположится на втором энергетическом уровне и т.д. Последний электрон соответствует такому состоянию металла, когда он сделается электрически нейтральным. Этот электрон займет наивысший уровень энергии $\mu$, называемый уровнем или энергией Ферми (1901-1954). Таким образом, ниже уровня Ферми все энергетические уровни потенциальной ямы заполнены, а выше — свободны. Напомним, что при этом температура металла предполагается равной абсолютному нулю. Чтобы удалить электрон из металла с уровня Ферми, необходимо затратить работу, не меньшую Это и есть работа выхода электрона из металла. Разумеется формула (29.1) остается справедливой и тогда, когда величины $U_{0}$ и $\mu$ отсчитываются не от дна ямы, а от произвольно выбранного уровня. относится к соответствующим уровням Ферми. Пусть, например, уровень Ферми первого металла расположен выше, чем у второго металла. Сблизим оба металла друг с другом, чтобы зазор между ними стал порядка атомных расстояний, т. е. $10^{-8}$ см (рис. 55 б). Тогда в зазоре между металлами образуется узкий потенциальный барьер, через который электроны с заметной вероятностью могут переходить из одного металла в другой. Переход электронов из металла I в металл II действительно будет осуществляться. Однако обратный переход из металла II в металл I невозможен, так как все уровни энергии, на которые могли бы переходить электроны из металла II, в металле I уже заполнены. В результате металл I будет терять электроны и заряжаться положительно, его потенциал начнет повышаться, а уровень Ферми понижаться. Наоборот, металл II, приобретая электроны, начнет заряжаться отрицательно, его потенциал будет уменьшаться, а уровень Ферми подниматься. Статистическое равновесие установится, когда уровни Ферми обоих металлов сравняются. Но это есть как раз то условие, на основе которого в томе III (§ 104) было подробно рассмотрено возникновение контактной разности потенциалов, как внутренней, так и внешней. Поэтому нет надобности продолжать дальнейшее изложение, а достаточно ограничиться ссылкой на указанный параграф тома III. Здесь же важно было подчеркнуть только то, что процесс установления равновесного состояния осуществляется путем туннелъных переходов электронов через потенциальный барьер. В отсутствие внешнего электрического поля потенциальная энергия электрона представляется на рис. 56 ступенчатой линией $A O B C$, причем начало координат $O$ помещено на стенке металла. Внутри металла потенциальная энергия принята равной нулю, вне металла она постоянна и равна $C$. Если наложить внешнее электрическое поле $E$, направленное к металлу, то в металл оно не проникнет, и потенциальная энергия электрона в металле по-прежнему будет равна нулю. Снаружи же металла к потенциальной энергии $C$ добавится потенциальная Между металлом и вакуумом возникает потенциальный барьер $O B M$. Выделим в металле группу электронов с энергией, близкой к $\mathscr{E}_{x}$. Проницаемость барьера для электронов с такой энергией найдется по формуле (28.17), в которой следует положить $x_{1}=0$. Здесь $x_{2}$ найдется из уравнения $C-e E x_{2}=\mathscr{E}_{x}$, которое дает $x_{2}=\left(C-\mathscr{E}_{x}\right) / e E$. Задача сводится к вычислению интеграла Таким образом, коэффициент прозрачности барьера для электронов с энергией $\mathscr{E}_{x}$ выражается формулой Коэффициент этот имеет несколько разные значения для различных $\mathscr{E}_{x}$. Можно ввести средний или эффективный коэффициент прозрачности баръера путем соответствующего усреднения по $\mathscr{E}_{x}$ (чтобы получился тот же ток эмиссии). Всякое усреднение сводится к усреднению выражения вида $D_{0} \exp \left[-f\left(\mathscr{E}_{x}\right) / E\right]$, где смысл функции $f\left(\mathscr{E}_{x}\right)$ легко устанавливается сравнением с формулой (29.2). Поскольку усреднение производится по $\mathscr{E}_{x}$ при фиксированном $E$, усреднению фактически подлежит функция $f\left(\mathscr{E}_{x}\right)$. Эта функция положительна, так как $C>\mathscr{E}_{x}$, а потому после усреднения ее можно представить в виде экспоненциального выражения. В результате для усредненного коэффициента прозрачности барьера получаем где $\bar{D}_{0}$ и $E_{0}$ — постоянные, зависящие от рода металла. Ток холодной эмиссии выражается формулой Именно такая зависимость тока холодной эмиссии от напряженности внешнего приложенного электрического поля была экспериментально подтверждена П.И.Лукирским. Классическую теорию холодной эмиссии и ее сравнение с опытом см. в задаче к этому параграфу. Решение. Функция $U$ достигает максимума при $x=(1 / 2) \sqrt{e / E}$, который равен Отсюда видно, что сила электрического изображения уменьшает высоту барьера, а с ней и величину работы выхода на величину $\sqrt{E e^{3}}$. Новая работа выхода $A^{\prime}=A-\sqrt{E e^{3}}$. Холодная эмиссия начинается, когда $A^{\prime}=0$. Это дает Последнее выражение получается из предыдущего, если работу выхода выразить через соответствующее напряжение $V$ по формуле $A=\mathrm{eV}$. Для вольфрама $V=4,5 \mathrm{~B}=1,5 \cdot 10^{-2}$ СГСЭ, Между тем Милликен получал сильные токи холодной эмиссии уже при $E \approx 4 \cdot 10^{6} \mathrm{~B} /$ см.
|
1 |
Оглавление
|