1. Будем исходить из простейшей модели металла – модели свободных электронов. Согласно этой модели электроны в металле ведут себя как газ невзаимодействующих частиц, движущихся в свободном от поля пространстве. Электроны удерживаются в металле силами отталкивания, возникающими при приближении электронов к стенке металла. В такой модели металл можно рассматривать как потенциальную яму, в которой заперты электроны. Для простоты будем считать яму прямоугольной определенной глубины. Мы не можем дать удовлетворительное обоснование и указать границы применимости такой модели. Особое удивление вызывает то, что электрические силы взаимодействия между электронами не учитываются, хотя они отнюдь не малы. Возможность отвлекаться от таких сил, по-видимому, связана с тем, что взаимодействие между электронами не меняет числа энергетических уровней системы. Последнее определяется только общим числом электронов, а не силами взаимодействия между ними. Для ряда явлений, по крайней мере при их качественном рассмотрении, существенно именно общее число энергетических уровней, а не их точное расположение. Разумеется, как и всякая модель, модель свободных электронов объясняет отнюдь не все свойства металлов. Однако ряд явлений объясняется этой моделью правильно, по крайней мере качественно.

На рис. 54 представлена модель металла в виде прямоугольной потенциальной ямы. Внутри металла (т.е. на дне потенциальной ямы) потенциальная функция принята равной нулю, на стенках ямы она скачкообразно меняется до постоянного значения $U_{0}>0$. Конечно, энергетические уровни электрона внутри ямы дискретны, хотя в макроскопических кусках металла и расположены очень густо. Собственно говоря, нельзя сказать, что в модели свободных электронов между электронами нет никакого взаимодействия. Оно имеется. Но это не есть силовое взаимодействие, Рис. 54

а взаимодействие особого рода, которое не может быть понято в рамках классической механики. О нем подробно говорится в гл. VI. Такое взаимодействие проявляется в том, что в каждом квантовом состоянии системы может находиться не более одного электрона. Это положение называется приниипом Паули (1900-1958). Под квантовым состоянием в рассматриваемом нами вопросе следует понимать энергетический уровень электрона (с одним уточнением: допустимое число электронов на энергетическом уровне должно быть удвоено из-за наличия у них спина; но это обстоятельство в разбираемых сейчас вопросах не играет роли, и мы его учитывать не будем).

Будем теперь последовательно заполнять потенциальную яму электронами в предположении, что температура системы равна абсолютному нулю. Первый электрон займет самый нижний (нулевой) уровень энергии. Второй электрон расположится на втором энергетическом уровне и т.д. Последний электрон соответствует такому состоянию металла, когда он сделается электрически нейтральным. Этот электрон займет наивысший уровень энергии $\mu$, называемый уровнем или энергией Ферми (1901-1954). Таким образом, ниже уровня Ферми все энергетические уровни потенциальной ямы заполнены, а выше – свободны. Напомним, что при этом температура металла предполагается равной абсолютному нулю. Чтобы удалить электрон из металла с уровня Ферми, необходимо затратить работу, не меньшую
\[
A=U_{0}-\mu \text {. }
\]

Это и есть работа выхода электрона из металла. Разумеется формула (29.1) остается справедливой и тогда, когда величины $U_{0}$ и $\mu$ отсчитываются не от дна ямы, а от произвольно выбранного уровня.
2. Обратимся теперь к объяснению контактной разности потенциалов, открытой еще Вольтой (1745-1827). Рассмотрим два разных металла I и II (рис. 55 a). Дно обеих потенциальных ям и все уровни энергии условимся отсчитывать от одного и того же общего уровня. Дно потенциальной ямы первого металла, вообще говоря, не будет совпадать с дном потенциальной ямы второго металла. То же самое
Рис. 55

относится к соответствующим уровням Ферми. Пусть, например, уровень Ферми первого металла расположен выше, чем у второго металла. Сблизим оба металла друг с другом, чтобы зазор между ними стал порядка атомных расстояний, т. е. $10^{-8}$ см (рис. 55 б). Тогда в зазоре между металлами образуется узкий потенциальный барьер, через который электроны с заметной вероятностью могут переходить из одного металла в другой. Переход электронов из металла I в металл II действительно будет осуществляться. Однако обратный переход из металла II в металл I невозможен, так как все уровни энергии, на которые могли бы переходить электроны из металла II, в металле I уже заполнены. В результате металл I будет терять электроны и заряжаться положительно, его потенциал начнет повышаться, а уровень Ферми понижаться. Наоборот, металл II, приобретая электроны, начнет заряжаться отрицательно, его потенциал будет уменьшаться, а уровень Ферми подниматься. Статистическое равновесие установится, когда уровни Ферми обоих металлов сравняются. Но это есть как раз то условие, на основе которого в томе III (§ 104) было подробно рассмотрено возникновение контактной разности потенциалов, как внутренней, так и внешней. Поэтому нет надобности продолжать дальнейшее изложение, а достаточно ограничиться ссылкой на указанный параграф тома III. Здесь же важно было подчеркнуть только то, что процесс установления равновесного состояния осуществляется путем туннелъных переходов электронов через потенциальный барьер.
3. Перейдем теперь к рассмотрению эмиссии электронов из металлов. Когда температура металла делается достаточно высокой (выше $\sim 1000^{\circ} \mathrm{C}$ ), появляются быстрые электроны, способные преодолевать задерживающий потенциал и выходить из металла. Это – термоэлектронная эмиссия (см. т. III, § 101). Однако эмиссия электронов может происходить и из холодного металла. Для этого нормально к поверхности металла надо приложить сильное электрическое поле (порядка $10^{6} \mathrm{~B} /$ см), направленное к металлу. Такая эмиссия называется холодной. Объяснение этого явления, в общих чертах согласующееся с опытом, основано на теории прохождения электронов через потенциальный барьер.

В отсутствие внешнего электрического поля потенциальная энергия электрона представляется на рис. 56 ступенчатой линией $A O B C$, причем начало координат $O$ помещено на стенке металла. Внутри металла потенциальная энергия принята равной нулю, вне металла она постоянна и равна $C$. Если наложить внешнее электрическое поле $E$, направленное к металлу, то в металл оно не проникнет, и потенциальная энергия электрона в металле по-прежнему будет равна нулю. Снаружи же металла к потенциальной энергии $C$ добавится потенциальная
Рис. 56 энергия электрона во внешнем электрическом поле, равная $-e E x$ (заряд электрона обозначен через $-e$ ). Она изображена наклонной прямой $B M$. В результате полная потенциальная функция электрона во внешнем поле представляется выражениями
\[
U(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0 & \text { при } x<0, \\
C-e E x & \text { при } x>0 .
\end{array}\right.
\]

Между металлом и вакуумом возникает потенциальный барьер $O B M$. Выделим в металле группу электронов с энергией, близкой к $\mathscr{E}_{x}$. Проницаемость барьера для электронов с такой энергией найдется по формуле (28.17), в которой следует положить $x_{1}=0$. Здесь $x_{2}$ найдется из уравнения $C-e E x_{2}=\mathscr{E}_{x}$, которое дает $x_{2}=\left(C-\mathscr{E}_{x}\right) / e E$. Задача сводится к вычислению интеграла
\[
\begin{array}{l}
S=\int_{0}^{x_{2}} \sqrt{2 m\left[U(x)-\mathscr{E}_{x}\right]} d x=\int_{0}^{x_{2}} \sqrt{2 m\left(C-e E x-\mathscr{E}_{x}\right)} d x= \\
\quad=\frac{2}{3} \sqrt{2 m} \frac{\left(C-\mathscr{E}_{x}\right)^{3 / 2}}{e E} .
\end{array}
\]

Таким образом, коэффициент прозрачности барьера для электронов с энергией $\mathscr{E}_{x}$ выражается формулой
\[
D\left(\mathscr{E}_{x}\right)=D_{0} \exp \left\{-\frac{4}{3} \frac{\sqrt{2 m}}{\hbar} \frac{\left(C-\mathscr{E}_{x}\right)^{3 / 2}}{e E}\right\} .
\]

Коэффициент этот имеет несколько разные значения для различных $\mathscr{E}_{x}$. Можно ввести средний или эффективный коэффициент прозрачности баръера путем соответствующего усреднения по $\mathscr{E}_{x}$ (чтобы получился тот же ток эмиссии). Всякое усреднение сводится к усреднению выражения вида $D_{0} \exp \left[-f\left(\mathscr{E}_{x}\right) / E\right]$, где смысл функции $f\left(\mathscr{E}_{x}\right)$ легко устанавливается сравнением с формулой (29.2). Поскольку усреднение производится по $\mathscr{E}_{x}$ при фиксированном $E$, усреднению фактически подлежит функция $f\left(\mathscr{E}_{x}\right)$. Эта функция положительна, так как $C>\mathscr{E}_{x}$, а потому после усреднения ее можно представить в виде экспоненциального выражения. В результате для усредненного коэффициента прозрачности барьера получаем
\[
\bar{D}=\bar{D}_{0} e^{-E_{0} / E},
\]

где $\bar{D}_{0}$ и $E_{0}$ – постоянные, зависящие от рода металла. Ток холодной эмиссии выражается формулой
\[
I(E)=I_{0} \bar{D}=A e^{-E_{0} / E} .
\]

Именно такая зависимость тока холодной эмиссии от напряженности внешнего приложенного электрического поля была экспериментально подтверждена П.И.Лукирским.

Классическую теорию холодной эмиссии и ее сравнение с опытом см. в задаче к этому параграфу.
ЗАДАЧА
Холодную эмиссию электронов из металла пытались объяснить классически влиянием силы электрического изображения $e^{2} / 4 x$, с которой электрон притягивается к поверхности металла (см. т. III, § 23, п. 2). С учетом этой силы потенциальная энергия электрона вблизи поверхности металла на расстоянии $x$ от нее представляется выражением $U=C-e E x-e^{2} / 4 x$. Учет этой силы понижает потенциальный барьер, который должен преодолеть электрон, чтобы выйти из металла, т. е. уменьшает работу выхода. Рассчитать это уменьшение и оценить напряженность внешнего электрического поля, начиная с которого должна была бы происходить холодная эмиссия. Провести численный расчет для вольфрама. Работа выхода для вольфрама $A=4,5$ эВ.

Решение. Функция $U$ достигает максимума при $x=(1 / 2) \sqrt{e / E}$, который равен
\[
U_{\text {макс }}=C-\sqrt{E e^{3}} .
\]

Отсюда видно, что сила электрического изображения уменьшает высоту барьера, а с ней и величину работы выхода на величину $\sqrt{E e^{3}}$. Новая работа выхода $A^{\prime}=A-\sqrt{E e^{3}}$. Холодная эмиссия начинается, когда $A^{\prime}=0$. Это дает
\[
E=\frac{A^{2}}{e^{3}}=\frac{V^{2}}{e} .
\]

Последнее выражение получается из предыдущего, если работу выхода выразить через соответствующее напряжение $V$ по формуле $A=\mathrm{eV}$. Для вольфрама $V=4,5 \mathrm{~B}=1,5 \cdot 10^{-2}$ СГСЭ,
\[
E=\frac{2,25 \cdot 10^{-4}}{4,8 \cdot 10^{-10}}=0,469 \cdot 10^{6} \text { СГСЭ }=1,41 \cdot 10^{8} \mathrm{~B} / \mathrm{cм} .
\]

Между тем Милликен получал сильные токи холодной эмиссии уже при $E \approx 4 \cdot 10^{6} \mathrm{~B} /$ см.