1. Альфа-распад есть самопроизвольный процесс испускания ядрами $\alpha$-частиц, в результате которого массовое число ядра $A$ уменьшается на четыре, а зарядовое число $Z$ уменьшается на два:
\[
{ }_{Z}^{A} \mathrm{X} \rightarrow{ }_{Z-2}^{A-4} \mathrm{X}+{ }_{2}^{4} \mathrm{He} .
\]

В настоящее время известно более двухсот $\alpha$-активных ядер, из которых большинство получается искусственно.

Чтобы $\alpha$-распад происходил, необходимо (но недостаточно), чтобы энергия связи исходного материнского ядра была меньше суммы энергий связи дочернего ядра и испускаемой $\alpha$-частицы. При выполнении этого условия кинетическая энергия $Q$, выделяющаяся при $\alpha$-распаде, определяется соотношением
\[
Q=\mathscr{E}_{\mathrm{cB}}(A-4, Z-2)+\mathscr{E}_{\mathrm{cB}}(\alpha)-\mathscr{E}_{\mathrm{cB}}(Z, A) .
\]

В основном $Q$ есть кинетическая энергия $\alpha$-частицы, поскольку масса дочернего ядра всегда много больше массы $\alpha$-частицы. Предполагается, конечно, что материнское ядро неподвижно.

Альфа-распад возможен только при $Q>0$ и невозможен в противоположном случае. Возьмем в качестве примера изотопы урана ${ }_{92}^{234} \mathrm{U}$ и тория ${ }_{90}^{230} \mathrm{Th}$. Табличные значения энергий связи этих ядер равны соответственно $\mathscr{E}_{\text {св }}(92,234)=1778630$ кэВ, $\mathscr{E}_{\text {св }}(90,230)=1755190$ кэВ. Энергия связи $\alpha$-частицы $U_{\text {св }}(\alpha)=28296,10$ кэВ. По формуле (73.2) находим, что в процессе распада ядра ${ }^{234} \mathrm{U}$ на ядро ${ }^{230} \mathrm{Th}$ и $\alpha$-частицу выделяется энергия $Q=4856$ кэВ. Она положительна, а потому указанный процесс энергетически возможен. И действительно он идет: уран ${ }^{234} \mathrm{U}$ превращается в ${ }^{230} \mathrm{Th}$ с испусканием $\alpha$-частицы. Кинетическая энергия $Q$ распределяется обратно пропорционально массам образовавшихся частиц: $\alpha$-частица уносит энергию 4773 , а ядро ${ }^{230} \mathrm{Th}-$ только 83 кэВ.

Условие $Q>0$ можно представить в другой форме. Обозначим средние энергии связи, приходящиеся на один нуклон ядра, малыми буквами $e$. Тогда формула (73.2) преобразуется в
\[
Q=(A-4) e_{\text {д }}-A e_{\mathrm{M}}+4 e_{\alpha}=A\left(e_{\text {д }}-e_{\mathrm{M}}\right)+4\left(e_{\alpha}-e_{\text {д }}\right),
\]

где индексы $\alpha$, м, д относятся соответственно к $\alpha$-частице, материнскому и дочернему ядрам. Условие $Q>0$ приводится к виду
\[
e_{\text {д }}-e_{\mathrm{M}}>\frac{4}{A}\left(e_{\text {д }}-e_{\alpha}\right) .
\]

Для $\alpha$-частицы $e_{\alpha}=\mathscr{E}_{\text {св }}(\alpha) / 4=7074$ кэВ. В приведенном выше примере $e_{\mathrm{M}}=7601$ кэВ, $e_{\text {д }}=7631$ кэВ, так что условие (73.3) выполняется.

Для всех ядер, если не считать самые легкие, энергия связи, приходящаяся на один нуклон, заметно превосходит $e_{\alpha}$ (это видно из только что приведенного примера). Поэтому для возможности $\alpha$-распада необходимо выполнение условия $e_{\text {д }}>e_{\mathrm{M}}$, т. е. каждый нуклон в дочернем ядре должен быть в среднем связан более прочно, чем в материнском. $\mathrm{C}$ возрастанием массового числа средняя энергия связи, приходящаяся на один нуклон, должна убывать, и притом настолько быстро, чтобы выполнялось условие (73.3). Это действительно происходит, и причина этого в том, что с возрастанием $Z$ увеличивается относительная роль кулоновского отталкивания, уменьшающего энергию связи ядра.
2. Характерной особенностью $\alpha$-распада является очень сильная зависимость периода полураспада $T_{1 / 2}$ от энергии $\mathscr{E}_{\alpha}$ вылетающей $\alpha$ частицы. Уменьшение $\mathscr{E}_{\alpha}$ всего на $1 \%$ может увеличить период $T_{1 / 2}$ в 10 раз, а уменьшение $\mathscr{E}_{\alpha}$ на $10 \%$ может увеличить $T_{1 / 2}$ на $2-3$ порядка.

Периоды полураспада $\alpha$-активных ядер изменяются в широчайших пределах. Так, для изотопа свинца ${ }_{82}^{204} \mathrm{~Pb} T_{1 / 2}=14 \cdot 10^{17}$ лет, а для изотопа радона ${ }_{86}^{215} \mathrm{Rn} T_{1 / 2}=10^{-6}$ с. Энергии же вылетающих $\alpha$-частиц заключены в довольно узких пределах, а именно $4-9$ МэВ для тяжелых ядер и $2-4,5$ МэВ для ядер редкоземельных элементов.

Связь между величинами $T_{1 / 2}$ и $\mathscr{E} \alpha$ была эмпирически установлена Гейгером и Неттолом еще в 1911-1912 гг. и получила название закона Гейгера-Неттола. Физический смысл этого закона был понят только после того, как к теории $\alpha$-распада была применена квантовая механика (см. п. 10). В современной форме закон Гейгера-Неттола имеет вид
\[
\lg T_{1 / 2}=C+\frac{D}{\sqrt{\mathscr{E} \alpha}},
\]

где $C$ и $D$ – постоянные, не зависящие от $A$ и слабо меняющиеся с изменением $Z$. Закон (73.4) хорошо подтверждается для четно-четных ядер. Если $T_{1 / 2}$ измерять в секундах, а $\mathscr{E}_{\alpha}$ в мегаэлектронвольтах, то при некоторых $Z$ для таких ядер величины $C$ и $D$ имеют значения, приведенные в табл. 10. Для нечетных ядер наблюдаются отступления от закона (73.4), иногда очень значительные. Отношение $T_{1 / 2}^{\text {эксп }} / T_{1 / 2}^{\text {расч }}$ изменяется от единицы до нескольких тысяч (см. п. 14).
3. Чтобы выяснить, для каких элементов периодической системы возможна $\alpha$-радиоактивность с энергетической точки зрения, представим графически зависимость экспериментально найденной энергии $Q \alpha$ распада от массового числа $A$. Рисунок 127 дает такую зависимость для наиболее устойчивых ( $\beta$-стабильных) изобаров, соответствующих рассматриваемому массовому числу $A$. Тонкие наклонные прямые линии позволяют приближенно определить энергию $\alpha$-распада, какой она должна была бы быть, если бы период полураспада составлял 1 час и $10^{8}$ лет соответственно. Видно, что $\alpha$-распад становится энергетически возможным только при $A \gtrsim 140$. Далее, видно, что кривая имеет два резко выраженных максимума. В этих максимумах и их окрестностях, в соответствии с законом Гейгера-Неттола, период полураспада минимален. В остальных случаях период полураспада получается слишком большим и $\alpha$-распад практически невозможно наблюдать. Один максимум лежит в области тяжелых элементов, другой в области редкоземельных элементов. Для этих элементов (в основном тяжелых) и наблюдается $\alpha$-радиоактивность. Максимум в окрестности $A=145$ связан с заполнением нейтронной оболочки до магического числа $N=A-Z=82$, а максимум при $A=215-$ с заполнением протонной оболочки до того же магического числа $Z=82$. Заполненным оболочкам, как известно, соответствуют максимальные энергии связи, чем и объясняется происхождение максимумов на кривой рис. 127.

Более полные выводы можно получить, если рассмотреть дополнительные данные, относящиеся к энергии $\alpha$-распада для различных изотопов одного и того же элемента. Это сделано на рис. 128 для тяжелых элементов. Различные изотопы одного и того же элемента
Рис. 127

соединены поочередно сплошными и штриховыми линиями. Светлые точки с направленными вверх стрелками соответствуют случаям, когда энергия $\alpha$-распада установлена недостаточно точно.
Рис. 128

4. Уменьшенное содержание нейтронов в ядре по сравнению с нормальным или равновесным (дефицит нейтронов) способствует $\alpha$ распаду, поскольку оно увеличивает относительную роль кулоновского отталкивания между протонами ядра. Противоположно действует относительный избыток нейтронов. Так, редкоземельный элемент гольмий имеет единственный стабильный изотоп ${ }_{67}^{165} \mathrm{Ho}$, содержащий 98 нейтронов, тогда как его $\alpha$-активные изотопы ${ }^{152} \mathrm{Ho},{ }^{153} \mathrm{Ho},{ }^{154} \mathrm{Ho}$, ${ }^{155}$ Но нейтронодефицитны: в них числа нейтронов лежат между 85 и 88 . Дефицит нейтронов в ядре может уменьшаться за счет процессов $\alpha$ распада, позитронного $\beta^{+}$-распада и $e$-захвата электронов электронной оболочки, которые часто конкурируют между собой. Примером могут служить упомянутые выше изотопы гольмия, в которых периоды полураспада по отношению к этим трем процессам сравнимы между собой.

Для ядер, перегруженных нейтронами, в конкуренцию вступает электронный $\beta^{-}$-распад. Таким образом, приближение чисел протонов и нейтронов в ядре к их нормальным (равновесным) значениям может идти за счет всех упомянутых процессов: $\alpha$-распада, $\beta^{ \pm}$-распада и $e$ захвата. Если период полураспада одного из этих конкурирующих процессов отличается от других на много порядков, то часто практически удается наблюдать только наиболеебыстро идущий процесс. Например, долгоживущий изотоп нептуния ${ }_{93}^{237} \mathrm{~Np} \alpha$-активен с периодом полураспада $2 \cdot 10^{6}$ лет, у изотопов же ${ }^{232} \mathrm{~Np}$ и ${ }^{233} \mathrm{~Np} \alpha$-распад наблюдать не удается. В первом случае он подавлен позитронным распадом с периодом полураспада 13 мин, а во втором – электронным с периодом 2,3 дня.
5. У ядер, начиная с массового числа $A=232$, к перечисленным типам радиоактивного распада присоединяется спонтанное деление (не смешивать с вынужденным делением). Этот процесс вначале идет очень медленно. Так, период полураспада по отношению к делению ядер для изотопа урана ${ }_{92}^{238} \mathrm{U}$ составляет $8 \cdot 10^{15}$ лет. Но с увеличением массового числа он быстро уменьшается. Для изотопа курчатовия ${ }_{104}^{260} \mathrm{Ku}$ период полураспада по отношению к спонтанному делению составляет десятые доли секунды. Спонтанное деление, по-видимому, и наложит предел на возможность получения новых трансурановых элементов.
6. Познакомимся теперь с главными чертами теории $\alpha$-распада, основы которой были заложены в 1928 г. независимо друг от друга Г.А. Гамовым (1904-1968), с одной стороны, и Гёрни (1899-1953) и Кондоном (1902-1974) – с другой. Введем упрощающее предположение, что $\alpha$-частицы уже существуют внутри атомных ядер. При такой идеализации материнское ядро состоит из дочернего ядра и $\alpha$-частицы. Эта идеализация, вероятно, не соответствует действительности. Скорее всего, $\alpha$-частица образуется из протонов и нейтронов перед вылетом из ядра. Однако указанная идеализация приводит в основном к правильным результатам. Мы вернемся к этому вопросу в п. 14 .

На расстояниях от ядра, где практически перестают действовать ядерные силы, остается только кулоновское отталкивание и потенциальная функция $U$ представляется формулой $U=z Z e^{2} / r$, где $Z e-$ заряд дочернего ядра, а $z e-$ заряд $\alpha$-частицы. Для $\alpha$-частицы $z=2$. Однако мы будем писать $z$ вместо 2 , чтобы учесть гипотетическую возможность вылета из ядра не только настоящих $\alpha$-частиц, но и других образований из нуклонов, для которых $z
eq 2$. Но кулоновское отталкивание на малых расстояниях от ядра должно перейти в притяжение, обусловленное ядерными силами, иначе $\alpha$-частицы в ядре не могли бы удерживаться. Точный закон действия ядерных сил не известен. Известно только, что ядерные силы очень резко убывают с расстоянием. Поэтому для упрощения и самой возможности расчета потенциальная функция $U$ аппроксимируется модельной. Считая ядро сферическим, можно предполагать, что $U$ зависит только от расстояния $r$ до центра дочернего ядра. Модельная функция $U(r)$ принимается равной
\[
U(r)=\left\{\begin{array}{ll}
U_{0}=\text { const } & \text { при } r<R, \\
z Z e^{2} / r & \text { при } r>R,
\end{array}\right.
\]

где $R$ – радиус дочернего ядра. Она представлена на рис. 129 жирной кривой, верхняя часть которой изображена штриховой линией, чтобы отметить, что в переходной области левая часть кривой $U(r)$ в действительности плавно переходит в кулоновскую часть, расположенную
Рис. 129 правее. Вертикально поднимающийся участок кривой при $r=$ $=R$ есть, конечно, идеализация. В действительности этот участок поднимается вверх очень круто, но не вертикально.
Кривая $U(r)$ представляет собой потенциалъный баръер, который должна преодолеть $\alpha$-частица, чтобы вылететь из ядра. Какова высота этого барьера, до каких расстояний можно применять закон Кулона – на эти вопросы, конечно, нельзя дать вполне точного ответа. Однако Резерфорд в 1927 г. установил, что длиннопробежные $\alpha$-частицы ${ }_{84}^{212} \mathrm{Po}$ (старое обозначение $\mathrm{ThC}^{\prime}$ ), обладавшие энергией $8,8 \mathrm{MэB}$, рассеиваются тяжелыми радиоактивными ядрами (испускающими $\alpha$-частицы меньшей энергии) в соответствии с формулой (9.3), выведенной в предположении применимости закона Кулона. Никаких аномалий рассеяния, которые свидетельствовали бы о ядерных взаимодействиях $\alpha$-частиц ${ }_{84}^{212} \mathrm{Po}$ с рассматриваемыми ядрами, не наблюдалось. Отсюда следует, что на всех расстояниях, до которых может сближаться $\alpha$-частица ${ }_{84}^{212}$ Po с рассеивающим ядром, действуют толъко кулоновские силы отталкивания, а высота кулоновского потенциального барьера во всяком случае не меньше 8,8 МэВ.

Высоту барьера $B$ можно оценить по формуле
\[
B=\frac{z Z e^{2}}{R},
\]

в которую радиус ядра входит в первой степени. Поэтому формула мало чувствительна к изменениям $R$. Полагая $Z=90$ и принимая для $R$ (возможно, несколько завышенное) значение $10^{-12}$ см, получим $B \approx 26$ МэВ.
7. Отметим теперь парадокс, разрешить который классическая физика оказалась бессильной. Уран ${ }^{238} \mathrm{U}$, например, испускает $\alpha$-частицы с энергией $4,2 \mathrm{M}$ э , а радий ${ }^{226} \mathrm{Ra}$ – с энергией $4,8 \mathrm{M
i B}$. Эти значения много меньше максимальной потенциальной энергии $U_{\text {макс }}$ и во всяком случае меньше энергии $\alpha$-частиц $8,8 \mathrm{M}$ э , которые использовались в опытах Резерфорда. Так же обстоит дело с подавляющим числом $\alpha$-активных ядер. Но для преодоления потенциального барьера полная энергия $\alpha$-частицы по классическим представлениям должна быть не меньше $U_{\text {макс }}$. Энергия сохраняется. Поэтому после вылета из ядра кинетическая энергия $\alpha$-частицы (а только таковой она и обладает на достаточно большом расстоянии от ядра) должна быть не меньше $U_{\text {макс }}$. В действительности же эта энергия много меньше.

Парадокс возникает потому, что к движению $\alpha$-частицы внутри ядра и вблизи его границы были применены законы и понятия классической механики. А в этом случае так поступать нельзя. В самом деле, будем рассуждать классически и посмотрим, будет ли при этом выполняться принцип неопределенностей Гейзенберга. Характерная энергия $\alpha$-частицы при $\alpha$-распаде составляет 5 МэВ. В ядре ей соответствует классическая скорость $15 \cdot 10^{8}$ см/с и импульс $10^{-14}$ г $\cdot$ см/с. Глубина проникновения $x$ частицы внутрь барьера – порядка радиуса ядра, т. е. $10^{-12}$ см. Таким образом, $p x \sim 10^{-26} \mathrm{\Gamma} \cdot \mathrm{cm}^{2} /$ с. Произведение неопределенностей координаты и импульса $\Delta x \cdot \Delta p$ еще меньше. Оно порядка и, может быть, даже меньше постоянной Планка. Это указывает на неприменимость понятий и законов классической механики к движению $\alpha$-частицы внутри ядра и вблизи его границ.
8. Теория $\alpha$-распада должна строиться на основе квантовой механики, что и было сделано Г.А. Гамовым после того, как он на семинаре, руководимом Л.И. Мандельштамом, ознакомился с тогда еще не опубликованной работой Мандельштама и Леонтовича, в которой были заложены основы прохождения $\psi$-волн и связанных с ними частиц через потенциальный барьер (см. § 28). Как уже указывалось, независимо теория $\alpha$-распада была разработана Гёрни и Кондоном.

Уточняя терминологию, мы в этом параграфе будем понимать под потенциальным барьером часть потенциальной кривой $U$, заключенную между классическими точками поворота $M$ и $N$ (см. рис. 129), в которых потенциальная функция $U$ равна полной энергии частицы $\mathscr{E}$. Таким образом, внутри потенциального барьера всюду $U>$ $>\mathscr{E}$. Часто говорят, что внутри барьера кинетическая энергия частицы отрицательна, а ее скорость чисто мнимая. Мы будем избегать подобных выражений, поскольку они физически бессмысленны и основаны на распространении классических соотношений и понятий на область пространства, где они неприменимы.

Суть дела была разъяснена в $\S 28$ и заключается в следующем. Состояние частицы описывается волновой функцией $\psi$. Прохождение волны $\psi$ через барьер есть детерминистический процесс, описываемый уравнением Шредингера. Для падающей волны область $U>\mathscr{E}$ представляет какое-то препятствие, но через это препятствие волна может проходить, хотя и с некоторым ослаблением. Однако волновая функция $\psi$ есть величина вспомогательная: все реально наблюдаемые величины связаны с ней вероятностными соотношениями. Поскольку функция $\psi$ всюду отлична от нуля, существует конечная вероятность обнаружить частицу как внутри барьера, так и за его пределами. В этом смысле и говорят о заходе частицы в классически недостижимую область $U>\mathscr{E}$ и о прохождении ее через потенциальный барьер. При наличии такой области говорят о подбаръерном прохождении частицы или туннельном эффекте, хотя эти термины и не совсем удачны, поскольку они могут породить неверное представление о прохождении частицы как детерминистическом процессе. В случае же, когда всюду $\mathscr{E}>U$, говорят о надбаръерном прохождении. Применяя такую терминологию, можно сказать, что $\alpha$-распад есть подбаръерное прохождение частицы. Внутри барьера деление полной энергии $\mathscr{E}$ на кинетическую и потенциальную лишено смысла. Но далеко за пределами атомного ядра движение $\alpha$-частицы – классическое, а вся энергия ее – кинетическая.

Приближенная формула (28.17) была получена для плоского потенциального барьера из волнового уравнения Шредингера для стационарных состояний. Но если происходит $\alpha$-распад, то состояние системы из дочернего ядра и $\alpha$-частицы, строго говоря, не стационарно: имеется поток вероятности из центра ядра, не исчезающий на бесконечности. Поэтому формула (28.17) может быть справедлива только для достаточно медленных процессов, которые могут рассматриваться как приближенно стационарные. К таким процессам и относится $\alpha$-распад. Для определения проницаемости барьера $D$ сферическую поверхность ядра можно приближенно считать плоской, заменив, однако, в формуле (28.17) пределы интегрирования $x_{1}$ и $x_{2}$, соответствующие классическим точкам поворота, на $r_{1}=R$ и $r_{2}=z Z e^{2} / \mathscr{E}=$ $=B R / \mathscr{E}$ (см. рис. 129). Дочернее ядро можно считать неподвижным, поскольку его масса значительно превосходит массу $\alpha$-частицы. Чтобы получить вероятность распада в одну секунду $\lambda$ (постоянную распада), проницаемость барьера $D$ (28.17) надо умножить еще на предэкспоненциальный множитель $
u$, учитывающий вероятность образования $\alpha$-частицы и ее появления на границе ядра. Таким путем получается формула
\[
\lambda=
u \exp \left[-\int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{2}{\hbar} \sqrt{2 m(U-\mathscr{E})} d r\right] .
\]

Наибольшие трудности вызывает вычисление величины $ u$. Однако для наиболее существенного понимания эту величину достаточно оценить грубо, так как постоянная распада $\lambda$ зависит от нее несравненно слабее, чем от показателя экспоненты. Оценим $
u$ из классических соображений, как это делалось в первоначальных работах Гамова. Положим $
u=v / R$, где $v-$ средняя скорость $\alpha$-частицы в ядре. При такой интерпретации $
u$ представляет собой приближенно среднее число соударений, которые испытывает $\alpha$-частица в одну секунду с поверхностью ядра. Скорость $v$ приближенно оценим из соотношения неопределенностей $m v \cdot R \sim \hbar$. В результате получаем
\[
\lambda=\frac{\hbar}{m R^{2}} \exp \left[-\frac{2}{\hbar} \int_{r_{1}}^{r_{2}} \sqrt{2 m(U-\mathscr{E})} d r\right] .
\]

Как и следовало ожидать, в классическом пределе ( $\hbar \rightarrow 0$ ) формула (73.8) дает $\lambda=0$, т. е. $\alpha$-распад становится невозможным. К этому пределу вплотную приближается случай долгоживущих $\alpha$-радиоактивных ядер.

В случае кулоновского барьера $U=z Z e^{2} / r$. Здесь интеграл в (73.8) вычисляется подстановкой $2 m(U-\mathscr{E})=x^{2}$. В итоге находим
\[
\lambda=\frac{\hbar}{m R^{2}} e^{-\gamma},
\]

где
\[
\gamma=\frac{2 R \sqrt{2 m B}}{\hbar}\left(\sqrt{\frac{B}{\mathscr{E}}} \arccos \sqrt{\frac{\mathscr{E}}{B}}-\sqrt{1-\frac{\mathscr{E}}{B}}\right),
\]
$B=z Z e^{2} / R$ – высота кулоновского барьера, $\mathscr{E}$ – энергия $\alpha$-частицы, вылетевшей из ядра (или значение потенциальной функции $U$ в классических точках поворота, см. рис. 129).
9. В качестве примера произведем оценку постоянной распада $\lambda$ для ${ }^{238} \mathrm{U}$, полагая $Z=90, R=10^{-12}$ см, $\mathscr{E}=4,2 \mathrm{M
i B}, B=26$ МэВ. При таких параметрах выражение в круглых скобках (73.10) равно 1,963 . Далее,
\[
\begin{array}{c}
\frac{2 R \sqrt{2 m B}}{\hbar}=\frac{2 R \sqrt{2 m c^{2} B}}{\hbar c}=\frac{2 \cdot 10^{-12} \sqrt{2 \cdot 4 \cdot 938 \cdot 26}}{1,973 \cdot 10^{-11}}=44,78, \\
\gamma=87,92 ; e^{-\gamma}=6,59 \cdot 10^{-39} ; \hbar / m R^{2}=1,157 \cdot 10^{20} ; \lambda=7,62 \times \\
\times 10^{-19} \mathrm{c}^{-1} ; \tau=1 / \lambda=131 \cdot 10^{16} \mathrm{c}=152 \cdot 10^{11} \text { сут }=4,16 \cdot 10^{10} \text { лет; } \\
T_{1 / 2}=\tau / \ln 2=2,88 \cdot 10^{10} \text { лет. Для урана }{ }^{238} \mathrm{U} \text { экспериментальное }
\end{array}
\]
значение периода полураспада $T_{1 / 2}=4,56 \cdot 10^{9}$ лет. Это не так уж сильно отличается от вычисленного, если учесть известный произвол при выборе исходных значений параметров для расчета, а также грубо приближенный характер самой теории $\alpha$-распада.

10. Из формулы (73.9) с учетом соотношения $\tau=1 / \lambda$ получается
\[
\ln \tau=\gamma-\ln \frac{\hbar}{m R^{2}} .
\]

Если предположить, что $\mathscr{E} / B \ll 1$, то можно получить и приближенный закон Гейгера-Неттола. В этом приближении
\[
\sqrt{1-\frac{\mathscr{E}}{B}} \approx 1, \quad \arccos \sqrt{\frac{\mathscr{E}}{B}}=\frac{\pi}{2}-\arcsin \sqrt{\frac{\mathscr{E}}{B}} \approx \frac{\pi}{2}-\sqrt{\frac{\mathscr{E}}{B}} .
\]

Значит,
\[
\ln \tau=\frac{2 R \sqrt{m B}}{\hbar}\left(\frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{B}{\mathscr{C}}}-2\right)-\ln \frac{\hbar}{m R^{2}},
\]

или
\[
\ln \tau=C^{\prime}+\frac{D^{\prime}}{\sqrt{\mathscr{E}}},
\]

где величины $C^{\prime}$ и $D^{\prime}$ слабо зависят от $Z$, а потому могут рассматриваться как постоянные. Но (73.11) есть лишь другая форма закона Гейгера-Неттола. Этот закон объясняет, почему при изменении энергий $\alpha$-частиц в узких пределах (например, вдвое) периоды полураспада меняются на много порядков (например, на 10-20). Но этот факт, конечно, следует и из общих формул (73.7) и (73.8), которые справедливы и без ограничения $\mathscr{E} \ll B$. Суть дела заключается в том, что в выражении (73.7) для показателя экспоненты $\gamma$ малая величина $\hbar$ стоит в знаменателе. С этим и связана узость диапазона, в котором могут меняться энергии $\alpha$-частиц радиоактивных ядер. Из тяжелых ядер $\alpha$ частицы с энергиями выше 9 МэВ вылетают практически мгновенно, тогда как при энергиях ниже 4 МэВ они живут в ядре настолько долго, что $\alpha$-распад не удается зарегистрировать. Для редкоземельных $\alpha$ активных ядер обе эти цифры снижаются из-за уменьшения радиуса ядра и высоты потенциального барьера.
11. Из формулы (73.9) видно, что постоянная распада $\lambda$ сильно зависит от радиуса ядра, поскольку последний входит не только в предэкспоненциальный множитель, но и в показатель экспоненты $-\gamma$ (через высоту барьера $B$ ). Поэтому используя формулы (73.9) и (73.10), из измерений $\lambda$ и $\mathscr{E}$ для $\alpha$-распада можно довольно точно определить радиус ядра. Такая возможность сделается еще более ясной, если заметить, что спускающаяся вправо ветвь кривой для $U$ на рис. 129 при заданном $Z$ полностью определяется законом Кулона. Форма потенциального барьера однозначно задается положением левой вертикальной стенки, а она в свою очередь определяет радиус ядра. Полученные таким путем значения радиусов ядер превышают на $20-30 \%$ значения, находимые по рассеянию быстрых электронов. Объясняется это тем, что электроны подвергаются действию только электрически заряженных нуклонов, т. е. протонов, а нейтроны на них не действуют. Метод рассеяния позволяет поэтому определить размеры той области ядра, которая заполнена протонами. Методом же $\alpha$-распада измеряется расстояние между центрами ядра и $\alpha$-частицы, на котором перестают действовать ядерные силы. Поэтому этот метод дает радиус ядра, увеличенный на сумму радиуса $\alpha$-частицы и радиуса действия ядерных сил.
12. Во всем изложенном выше предполагалось, что $\alpha$-частица вылетает из ядра с нулевым орбитальным моментом импульса, т.е. в $s$ состоянии $(l=0)$. Допустим теперь, что $l
eq 0$. В классической физике орбитальный момент можно учесть, перейдя в систему отсчета, вращающуюся вместе с частицей, если к потенциальной функции добавить центробежную потенциальную энергию $U_{\text {цб }}=\mathbf{L}^{2} /\left(2 m r^{2}\right)$, где $\mathbf{L}-$ момент импульса. В квантовой механике можно поступить так же, но учесть квантование момента по формуле $\mathbf{L}^{2}=\hbar^{2} l(l+1)$. Таким образом, следует положить
\[
U=U_{\text {кул }}+U_{\text {цб }}=\frac{z Z e^{2}}{r}+\frac{\hbar^{2} l(l+1)}{2 m r^{2}} .
\]

Центробежный барьер создается центробежной силой, а эта сила стремится удалить $\alpha$-частицу от ядра. Казалось бы, что она способствует $\alpha$-распаду. Но такое заключение было бы правильным, если бы происходил надбаръерный процесс. Для подбаръерного процесса, каковым является $\alpha$-распад, все происходит наоборот. Центробежная сила повышает потенциальный баръер и увеличивает его ширину, т. е. она уменьшает постоянную распада $\lambda$ и увеличивает период полураспада $T_{1 / 2}$.

Однако влияние центробежного барьера не может быть очень значительным. Действительно, момент $\mathbf{L} \alpha$-частицы в ядре по порядку величины можно оценить из соотношения неопределенностей $m v R \sim$ $\sim \hbar$ или $|\mathbf{L}| \sim \hbar$, так что $l$ может быть не больше нескольких единиц, например $l<5$. В максимуме
\[
U_{\text {цб }}=\frac{\hbar^{2} l(l+1)}{2 m R^{2}}=\frac{\hbar^{2} c^{2} l(l+1)}{2 m c^{2} R^{2}}<\frac{(1,973)^{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot 10^{-22}}{2 \cdot 4 \cdot 938 \cdot 10^{-24}} \approx 1,5 \mathrm{MэB},
\]

что почти в 20 раз меньше высоты кулоновского барьера для ядер с $Z \approx 90$ (см. п. 6 ). Кроме того, центробежная энергия быстрее убывает с расстоянием, чем кулоновская (соответственно как $1 / r^{2}$ и $1 / r$ ). Ее наличие мало меняет форму потенциальной кривой $U_{\text {кул }}(r)$. Поэтому центробежный барьер, как правило, не меняет порядок величины периода полураспада $T_{1 / 2}$. В крайнем случае он увеличивает его на порядок.
13. Атомное ядро представляет собой связанную систему, а потому энергетические уровни его дискретны. При испускании $\alpha$-частицы из материнского ядра, находившегося в определенном энергетическом состоянии, возникает дочернее ядро также в определенном энергетическом состоянии. Разность энергий этих ядер уносится $\alpha$-частицей и дочерним ядром (ядром отдачи). Если бы переход совершался из основного состояния материнского ядра в основное состояние дочернего ядра, то получилась бы $\alpha$-частица только одной строго определенной энергии. Поскольку пробег $\alpha$-частицы определяется ее энергией, то в камере Вильсона, казалось бы, должны получаться треки $\alpha$-частиц одной и той же длины. Однако, как правило, длина треков $\alpha$-частиц при распаде ядер одного и того же сорта, а следовательно, и их энергия оказываются различными. Это явление получило название тонкой структуры $\alpha$-распада. Оно заключается в том, что наряду с основными $\alpha$-частицами наблюдаются частицы меньших, но очень близких энергий. Такие частицы возникают при переходе материнского ядра из основного состояния в возбужденные состояния дочернего ядра. Однако переходы на высокие уровни возбужденного дочернего ядра порождают $\alpha$-частицы низких энергий, а потому в соответствии с законом Гейгера-Неттола они маловероятны. По этой причине тонкая структура $\alpha$-спектра, как правило, связана с переходами на возбужденные уровни несферических дочерних ядер. У таких ядер имеются уровни с небольшими энергиями возбуждения, возникающие из-за вращения ядер. Переходы на такие уровни и порождают $\alpha$-частицы с близкими энергиями, которые в соответствии с законом Гейгера-Неттола должны происходить с вероятностями, сравнимыми с вероятностями переходов в основное состояние. Поэтому-то тонкая структура $\alpha$-спектров встречается довольно часто.

У некоторых $\alpha$-активных ядер при $\alpha$-распаде могут возникать длиннопробежные $\alpha$-частицы, энергии которых больше энергий основных $\alpha$-частиц. Примером могут служить длиннопробежные $\alpha$-частицы, испускаемые ядрами изотопов полония ${ }_{84}^{212} \mathrm{Po}\left(\mathrm{ThC}^{\prime}\right)$ и ${ }_{84}^{214} \mathrm{Po}\left(\mathrm{RaC}^{\prime \prime}\right)$. Длиннопробежные $\alpha$-частицы возникают при переходах из возбужденных состояний материнского ядра в основные (или близкие к ним вращательные) состояния дочернего ядра. Но возбуждение материнского ядра может быть снято не только в результате испускания длиннопробежных $\alpha$-частиц, но и в результате испускания $\gamma$-квантов. Последний процесс идет со значителъно болъшей вероятностью, чем первый. Поэтому испускание длиннопробежных $\alpha$-частиц наблюдается довольно редко.
14. Как уже указывалось (см. п. 6), изложенная теория $\alpha$-распада, приводящая к формуле (73.7), предполагает, что $\alpha$-частица уже сущеcтвует в ядре. Теория приближенно рассчитывает только вероятность выхода $\alpha$-частицы из ядра. На самом деле этому процессу предшествует образование $\alpha$-частицы в ядре из составляющих ее нуклонов – двух протонов и двух нейтронов.

Учет этого обстоятельства, а также рассмотрение поведения образовавшейся $\alpha$-частицы внутри ядра потребовали бы подробного рассмотрения физических процессов, происходящих внутри ядра, чего изложенная теория совсем не делает. Однако несомненно, что вероятностный процесс выхода $\alpha$-частицы из ядра теория описывает правильно. Поэтому и в более полной теории формула (73.7) должна сохраниться, но в ней должно быть выяснено происхождение предэкспоненциального множителя $
u$ и дано его количественное выражение. Этого еще не сделано, хотя множитель $
u$ оценивался и с другой точки зрения, отличной от той, которая была принята Гамовым.

В свете сделанного замечания не приходится удивляться, что $\alpha$-распады разделяются на облегченные и необлегченные. Облегченным называется $\alpha$-распад, для которого достаточно хорошо выполняется формула (73.8). Если же реальный период полураспада превышает рассчитанный по этой формуле более чем на порядок (наблюдаются отклонения примерно на два-три порядка), то процесс называется необлегченным (ср. с изложенным в п.2). Причин возникновения необлегченных распадов мы касаться не будем, поскольку этот вопрос выяснен еще недостаточно, хотя и имеются качественные соображения относительно указанных причин. Отметим только, что облегченные распады обычно происходят в четно-четных ядрах, а необлегченные в нечетно-четных и нечетно-нечетных.