1. Приведем еще один пример на квантование энергии атомной системы. Речь идет о водородоподобном атоме. Рассмотрим частный случай, когда волновая функция $\psi$ электрона в атоме сферически симметрична, т.е. зависит только от радиуса $r$ — расстояния электрона от атомного ядра. Такой случай не предусматривался старой теорией Бора. В ней всякое движение электрона вокруг ядра происходило по плоским орбитам и, следовательно, не могло быть сферически симметричным. Но в квантовой механике, в которой нет представления о движении электронов по орбитам, нет никаких препятствий для реализации сферически симметричных состояний атома. Из сферической симметрии следует, что в таких состояниях должна обращаться в нуль величина, соответствующая тому, что в классической механике называется моментом количества движения. В теории Бора нулевым моментом количества движения обладал бы электрон, движущийся прямолинейно вдоль радиуса. При таких движениях он неизменно претерпевал бы столкновения с атомным ядром. Старая теория Бора не давала удовлетворительного решения возникавшей здесь трудности, — чтобы избежать столкновений с ядром, она просто исключала возможность радиальных движений электрона. Понятно, что в квантовой механике подобной трудности не возникает.
2. Пусть $Ze$ — заряд ядра. Естественно записать уравнение Шредингера в полярных координатах. В рассматриваемом случае сферической симметрии оно будет
$$\frac{d^2\psi }{d{r}^2}+\frac{2}{r}\frac{d\psi }{dr}+(\frac{q}{r}-{\beta }^2)\psi =0,$$

где введены обозначения
$${\beta }^2=-\frac{2m\mathcal{E}}{{\hslash }^2},q=\frac{2mZ{e}^2}{{\hslash }^2}.$$

Введем новую функцию $u(r)$ по формуле
$$\psi =\frac{u(r)}{r}{e}^{-\beta r}\text{. }$$

Тогда
$$\frac{d^{2}u}{d{r}^2}-2\beta \frac{du}{dr}+\frac{q}{r}u=0.$$

Ищем решение этого уравнения в виде ряда
$$u=\sum _{k=\gamma }^{\mathrm{\infty }}{a}_k{r}^k,$$

где $\gamma$ — постоянное число, пока что не определенное. Подставляя (27.4) в (27.3) и приравнивая члены с одинаковыми степенями, придем к соотношениям
$$\begin{array}{c}\gamma (\gamma -1)=0,\\ k(k+1)a_{k+1}-2\beta k{a}_k+q{a}_k=0\text{ при }keq\gamma .\end{array}$$

Из (27.5) следует, что либо $\gamma =0$, либо $\gamma =1$. Первая возможность исключается, так как при $\gamma =0$ нулевой член ряда (27.4), т.е. $a_0$, был бы отличен от нуля. А в таком случае функция $\psi$ при $r=0$ обращалась бы в бесконечность как $a_0/r$, что противоречит общим требованиям, накладываемым на $\psi$ в особых точках. Таким образом, разложение (27.4) должно начинаться с $k=1$, а это значит, что $\gamma =1$.

Исследуем теперь поведение ряда (27.4) на бесконечности. Из (27.6) получаем
$$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{2\beta k-q}{k(k+1)}.$$

Отсюда следует, что при $k\to \mathrm{\infty }$
$$\frac{a_{k+1}}{a_k}\to \frac{2\beta }{k+1}$$

Сравним разложение (27.4) с разложением показательной функции:
$$e^{2\beta r}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{r}^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}(2\beta r{)}^k.$$

Коэффициенты $c_k$ последнего разложения асимптотически ведут себя на бесконечности так же, как и коэффициенты $a_k$, ибо
$$\frac{c_{k+1}}{c_k}=\frac{2\beta }{k+1}\text{. }$$

Значит, на бесконечности сумма ряда (27.4) асимптотически ведет себя как показательная функция $e^{+2\beta r}$, а волновая функция $\psi (r)$ — как $e^{\beta r}/r$, т.е. при произвольно выбранном значении $\mathcal{E}$ функция $\psi (r)$ при $r=\mathrm{\infty }$ обращается в бесконечность. Этого не будет только для таких значений $\mathcal{E}$, при которых ряд (27.4) обрывается, т.е. переходит в сумму конечного числа членов. Пусть, например, при $k=n$ числитель формулы (27.7) $2\beta k-q=0$. Тогда, как видно из (27.7), $a_{n+1}$ и все последующие коэффициенты будут равны нулю, т. е. ряд (27.4) оборвется. Следовательно, $n$-й энергетический уровень определится условием $2\beta n-q=0$. Используя его, из (27.2) находим
$$\mathcal{E}=-\frac{m{Z}^2{e}^4}{2{\hslash }^2{n}^2}$$

что совпадает с соответствующей формулой теории Бора.

Изложенным еще не решается задача о спектре водородного и водородоподобного атомов, даже в ее наиболее грубой постановке. Чтобы объяснить спектральные серии, необходимо схему энергетических уровней дополнить правилами отбора при излучении фотонов. Оказывается, что переходы между найденными нами уровнями энергии, соответствующими сферически симметричным состояниям водородоподобного атома, являются запрещенными, т.е. не сопровождаются (дипольным) излучением. Для объяснения спектральных серий необходимо рассмотреть сферически несимметричные состояния водородоподобного атома и установить правила отбора. Это будет сделано ниже (см. § 39).
3. Для сравнения с теорией Бора найдем еще волновую функцию ${\psi }_1(r)$ основного состояния в сферически симметричном случае. Так называется стационарное состояние наименьшей энергии. Посмотрим, при каких значениях параметров $\mathcal{E}$ и $a_1$ уравнению (27.1) удовлетворяет экспоненциальная функция
$${\psi }_1(r)=e^{-r/a_1},$$

где $a_1>0$. Эта функция не имеет узлов. Поэтому, если ${\psi }_1(r)$ удовлетворяет уравнению Шредингера (27.1), то она и будет волновой функцией основного состояния. Дифференцируя ${\psi }_1(r)$ дважды по $r$ и подставляя результаты в (27.1), получим
$$\frac{1}{a_1^2}-\frac{2}{a_{1}r}+\frac{q}{r}-{\beta }^2=0.$$

Это соотношение должно выполняться тождественно по $r$, а потому должно быть
$$\frac{1}{a_1^2}={\beta }^2,\frac{2}{a_1}=q,$$

или на основании (27.2)
$$a_1=\frac{\hslash }{mZ{e}^2},\mathcal{E}={\mathcal{E}}_1=-\frac{m{Z}^2{e}^4}{2{\hslash }^2}.$$

Последнее выражение является частным случаем (27.8) при $n=$ $=1$, как и должно быть для основного состояния. Параметр $a_1$ имеет размерность длины, при $Z=1$ он обращается в боровский радиус. О физическом смысле этого параметра в квантовой механике будет сказано несколько ниже.

Функция ${\psi }_1(r)$ при $r=0$ обращается в единицу, т. е. остается конечной. Следовательно, при $r=0u(r)=$ $=r{\psi }_1(r)=0$, как того требует и общая теория.

Если функция ${\psi }_1$ нормирована, то ${\left|{\psi }_1\right|}^2$ дает объемную плотность вероятности обнаружения электрона в пространстве. Наряду с ней введем радиальную плотность вероятности ${\rho }_r$. Вероятность обнаружения электрона в сферическом слое между $r$ и $r+dr$ равна объему этого слоя $4\pi r^{2}dr$, умноженному на ${\left|{\psi }_1\right|}^2$, т.е. $4\pi r^2{\left|{\psi }_1\right|}^{2}dr$. Эту вероятность можно представить в виде ${\rho }_{r}dr$. Величина ${\rho }_r$ и есть радиальная плотность вероятности — произведение ${\rho }_{r}dr$ дает вероятность того, что электрон будет обнаружен на расстоянии от ядра между $r$ и $r+dr$. Таким образом,
$$\begin{array}{c}{\psi }_1=C{e}^{-r/a_1},\\ {\rho }_r=4\pi C^2{r}^2{e}^{-2r/a_1}.\end{array}$$

Интегрируя второе выражение по $r$ в пределах от 0 до $+\mathrm{\infty }$ и приравнивая результат единице, находим нормировочную постоянную $C$ и таким путем получаем
$${\psi }_1=\sqrt{\frac{1}{\pi a_1^3}}{e}^{-r/a_1},{\rho }_r=\frac{4}{a_1^3}{r}^2{e}^{-2r/a_1}.$$

На рис. 49 представлены графики кривых ${\left|{\psi }_1\right|}^2$ и ${\rho }_r$. Ординаты первой кривой увеличены в десять раз. Кривая ${\rho }_r$ проходит через максимум при $r=a_1$. Следовательно, в квантовой механике радиус первой боровской орбиты надо истолковать как такое расстояние от ядра, на котором вероятность обнаружения электрона максимальна.
ЗАДАЧИ
1. Найти среднее расстояние $\overline{r}$, на каком будет обнаружен электрон от ядра атома, если последний находится в основном состоянии.
Ответ. $\overline{r}=(3/2)a_1$.
2. В той же задаче найти среднее значение $\overline{(1/r)}$ обратного расстояния электрона от ядра.
Ответ. $\overline{(1/r)}=1/a_1$.
3. Найти средние значения потенциальной $\overline{U}$ и кинетической $\bar{\mathcal{E}}$ кин энергий основного состояния водородоподобного атома.

Ответ. $\overline{U}=-Z{e}^2/a_1;{\bar{\mathcal{E}}}_{\text{кин }}=Z{e}^2/2a_1=-\overline{U}/2$. Отметим, что такое же соотношение между $U$ и ${\mathcal{E}}_{\text{кин }}$ получилось бы в классической механике для электрона, движущегося вокруг ядра по всякой круговой орбите.
4. Определить уровни энергии в сферически симметричном состоянии водородоподобного атома по числу узлов волновой функции, подобно тому как это было сделано в § 23 для гармонического осциллятора.

Решение. Волновые функции возбужденных состояний должны иметь узлы, число которых на единицу меньше номера соответствующего стационарного состояния. Этому условию для $n$-го стационарного состояния удовлетворяет выражение
$${\psi }_n(r)=P_{n-1}(r)e^{-r/a_n},$$

где $a_n$ — положительная постоянная, а $P_{n-1}(r)$ — полином степени $n-1$, все корни которого вещественны и различны. Необходимо, чтобы функция

${\psi }_n(r)$ удовлетворяла уравнению Шредингера (27.1). Простым дифференцированием находим
$$\begin{array}{c}\frac{d{\psi }_n}{dr}=(-\frac{1}{a_n}{P}_{n-1}+P_{n-1}^{\prime })e^{-r/a_n}\\ \frac{d^2{\psi }_n}{d{r}^2}=(\frac{1}{a_n^2}{P}_{n-1}-\frac{2}{a_n}{P}_{n-1}^{\prime }+P_{n-1}^{\prime \prime })e^{-r/a_n}.\end{array}$$

После подстановки в (27.1) получаем
$$\frac{1}{a_n^2}{P}_{n-1}-\underset{―}{\frac{2}{a_n}}{P}_{n-1}^{\prime }+P_{n-1}^{\prime \prime }-\frac{2}{\underset{―}{a_n}}\frac{P_{n-1}}{r}+\frac{2P_{n-1}^{\prime }}{r}+\underset{―}{\frac{q{P}_{n-1}}{r}}-{\beta }^2{P}_{n-1}=0.$$

Это соотношение должно выполняться тождественно по $r$. Старшую степень $r^{n-1}$ содержат только первое и последнее слагаемые. Поэтому должно быть
$$1/a_n^2={\beta }^2\text{ или }1/a_n=\beta .$$

Степень $r^{n-2}$ содержат только подчеркнутые члены. При этом при взятии производной $P_{n-1}$ появляется коэффициент ( $n-1$ ). С учетом этого
$$-\frac{2(n-1)}{a_n}-\frac{2}{a_n}+q=0,\text{ или }\frac{2n}{a_n}=q.$$

Таким образом,
$$\begin{array}{c}{a}_n=\frac{2n}{q}=n\frac{{\hslash }^2}{mZ{e}^2}=n{a}_1,\\ \mathcal{E}=-\frac{{\hslash }^2\beta }{2m}=-\frac{{\hslash }^2}{2m{a}^2}=\frac{m{Z}^2{e}^4}{2{\hslash }^2{n}^2},\end{array}$$

что совпадает с ранее полученными результатами.
Недостаток приведенного решения — в том, что мы не исследовали до конца, что наша функция ${\psi }_n(r)$ действительно является решением уравнения Шредингера. Для небольших $n$, подобно тому как это было сделано в $\mathrm{\S }23$, нетрудно найти в явном виде полиномы $P_{n-1}(r)$ и соответствующие им постоянные $a_n$. Таким путем можно убедиться, что функции ${\psi }_n(r)=$ $=P_{n-1}(r)e^{-r/a_n}$ действительно удовлетворяют уравнению Шредингера. Можно проверить также, что все корни полинома $P_{n-1}(r)$ вещественные и некратные.