Главная > Общий курс физики. T. V. Атомная и ядерная физика (Сивухин Д. В.)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

1. До сих пор мы рассматривали движение одной частицы в заданном силовом поле. Более реальным является случай двух частиц, взаимодействующих между собой. В классической механике в этом случае движение распадается на движение системы как целого в отсутствие внешних сил (движение центра масс) и на движение одной частицы относительно другой под действием сил взаимодействия между ними (относительное движение). Последнее формально сводится к движению одной частицы с заменой ее истинной массы на приведенную массу
\[
m=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}
\]

где $m_{1}$ и $m_{2}$ – массы первой и второй частиц. Совершенно так же обстоит дело и в квантовой механике при рассмотрении стационарных состояний.

Исходным служит уравнение Шредингера для стационарных состояний двух частиц. Оно является естественным обобщением уравнения (21.7) и имеет вид
\[
\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m_{1}}
abla_{1}^{2}-\frac{\hbar^{2}}{2 m_{2}}
abla_{2}^{2}+U\left(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right)\right] \psi=\mathscr{E} \psi
\]

Здесь
\[

abla_{1}^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z_{1}^{2}}, \quad
abla_{2}^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z_{2}^{2}},
\]

а через $\mathbf{r}_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ и $\mathbf{r}_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ обозначены координаты рассматриваемых частиц. Потенциальная функция взаимодействия $U\left(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right)$ зависит только от разностей координат первой и второй частиц. Обычно (в случае центральных сил) она является функцией только расстояния между ними $r \equiv\left|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right|$.
2. Преобразуем уравнение (26.2) к новым независимым переменным: координатам центра масс
\[
\mathbf{R}(X, Y, Z)=\frac{m_{1} \mathbf{r}_{1}+m_{2} \mathbf{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}}
\]

и координатам первой частицы относительно второй
\[
\mathbf{r}(x, y, z)=\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2} .
\]

Величина $\psi$ теперь является функцией шести переменных: $\psi=$ $=\psi\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right.$ ). Но мы для сокращения выкладок (без нарушения общности) произведем их только для функции $\psi\left(x_{1}, x_{2}\right)$ двух переменных $x_{1}$ и $x_{2}$ и соответственно для $\psi(X, x)$, где
\[
X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \quad x=x_{1}-x_{2} .
\]

На основании инвариантности полного дифференциала
\[
\frac{\partial \psi}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial \psi}{\partial x_{2}} d x_{2}=\frac{\partial \psi}{\partial X} d X+\frac{\partial \psi}{\partial x} d x .
\]

Подставим в правую часть
\[
d X=\frac{m_{1} d x_{1}+m_{2} d x_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \quad d x=d x_{1}-d x_{2} .
\]

Сравнением коэффициентов получаем
\[
\frac{\partial \psi}{\partial x_{1}}=\left(\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \frac{\partial}{\partial X}+\frac{\partial}{\partial x}\right) \psi, \quad \frac{\partial \psi}{\partial x_{2}}=\left(\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \frac{\partial}{\partial X}+\frac{\partial}{\partial x}\right) \psi .
\]

Мы представили результат дифференцирования в операторной форме. Это позволяет сразу написать выражения для вторых производных:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{1}^{2}}=\left(\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \frac{\partial}{\partial X}+\frac{\partial}{\partial x}\right)^{2} \psi= \\
=\frac{m_{1}^{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial X^{2}}+2 \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial x}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}},
\end{array}
\]
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{2}^{2}}=\left(\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \frac{\partial}{\partial X}+\frac{\partial}{\partial x}\right)^{2} \psi & \\
& =\frac{m_{2}^{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial X^{2}}-2 \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial x}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} .
\end{aligned}
\]

Поделив эти соотношения соответственно на $m_{1}$ и $m_{2}$ и сложив, получим
\[
\frac{1}{m_{1}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{1}{m_{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{2}^{2}}=\frac{1}{m_{1}+m_{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial X^{2}}+\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} .
\]

Теперь уже легко перейти к трем переменным, а затем представить уравнение Шредингера в виде
\[
\left[-\frac{\hbar^{2}}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)}
abla_{\mathbf{R}}^{2}-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+U\left(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right)\right] \psi=\mathscr{E} \psi,
\]

где $
abla_{\mathbf{R}}^{2}$ и $
abla^{2}$ – операторы Лапласа соответственно в переменных $X$, $Y, Z$ и $x, y, z$.
3. Оператор, действующий на $\psi$ в левой части (26.5), распадается на сумму двух независимых членов, один из которых зависит только от $\mathbf{R}$, а другой только от $\mathbf{r}=\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}$. В соответствии с этим решение уравнения (26.5) сводится к решению двух уравнений:
\[
\begin{array}{l}
-\frac{\hbar^{2}}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)}
abla_{\mathbf{R}}^{2} \psi(\mathbf{R})=\mathscr{E}_{\mathbf{R}} \psi(\mathbf{R}), \\
-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2} \psi(\mathbf{r})+U(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r})=\mathscr{E}_{\mathbf{r}} \psi(\mathbf{r}),
\end{array}
\]

где $\mathscr{E}_{\mathbf{R}}$ и $\mathscr{E}_{\mathbf{r}}-$ постоянные, удовлетворяющие условию $\mathscr{E}_{\mathbf{R}}+\mathscr{E}_{\mathbf{r}}=\mathscr{E}$. Из них первое описывает свободное движение центра масс системы – воображаемой частицы с массой $m_{1}+m_{2}$. Второе же описывает относительное движение первой частицы относительно второй, в нем истинная масса частицы заменена приведенной массой $m=$ $=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$. В самом деле, произведение $\psi(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{R})$, в котором переменным является $\mathbf{R}$, а $\mathbf{r}$ рассматривается как параметр, т. е. в сущности как постоянная, описывает то же движение центра масс, что и функция $\psi(\mathbf{R})$. Аналогично, то же произведение $\psi(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{R})$ будет описывать относительное движение, если за переменную принять $\mathbf{r}$, a $\mathbf{R}$ рассматривать как параметр. Если теперь (26.6) умножить на $\psi(\mathbf{r})$, а (26.7) на $\psi(\mathbf{R})$ и оба уравнения сложить почленно, то мы получим, что функция $\psi=\psi(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{R})$ будет общим решением уравнения (26.5). Таким образом, общая волновая функция, описывающая независимые движения центра масс и относительное движение частии, распадается на произведение двух функиий от различных переменных: $\psi(\mathbf{r})$ и $\psi(\mathbf{R})$. При этом, как и в классической механике полная энергия распадается на сумму энергии, связанной с движением центра масс системы, и энергии относительного движения частиц.

Если отвлечься от движения центра масс, считая его как бы неподвижным, то уравнение (26.6) отпадает. Остается только уравнение (26.7) для относительного движения частиц. Поэтому это уравнение мы будем писать просто в виде
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2} \psi+U(\mathbf{r}) \psi=\mathscr{E} \psi
\]

ЗАДАЧА
Дейтрон состоит из связанных протона и нейтрона Они удерживают друг друга посредством короткодействующих ядерных сил. Потенциальную функцию взаимодействия можно аппроксимировать пространственной потенциальной ямой прямоугольной формы с глубиной $-U_{0}$ и радиусом $a$ (расстояние между центрами протона и нейтрона). Дейтрон имеет только одно связанное состояние. Энергия связи дейтрона, измеренная экспериментально, составляет 2,225 МэВ. Этого недостаточно для определения двух неизвестных $U_{0}$ и $a$. Зададим $a=2 \cdot 10^{-13}$ см (это недалеко от истины). Мы не настаиваем, что это есть точное значение $a$. Наша цель – привести только схему расчета. Из этих данных определить глубину потенциальной ямы $-U_{0}$.

Решение. Представляет интерес только относительное движение протона и нейтрона. Поэтому можно воспользоваться уравнением (26.8), понимая под $m$ приведенную массу системы. Если пренебречь различием масс протона и нейтрона, то приведенная масса будет $m / 2$, где $m-$ масса одной из частиц (например, протона). В да.тьнейших вычислениях используются следующие постоянные:
\[
m c^{2}=938,28 \mathrm{M} \text { ЭВ }, \quad \hbar c=1,97329 \cdot 10^{-11} \mathrm{M
i B} \cdot \text { см. }
\]

Так как у дейтрона только одно связанное состояние, то его энергия в этом состоянии $\mathscr{E}=-2,225$ МэВ. Это позволяет по формулам (24.6) и (24.12) найти $\eta$. Только в формуле (24.6) $m$ следует заменить на $m / 2$. Это дает
\[
\eta^{2}=-\frac{m \mathscr{E} a^{2}}{\hbar^{2}}=-\frac{m c^{2} \mathscr{E} a^{2}}{\hbar^{2} c^{2}}=0,21437, \quad \eta=0,463099 .
\]

Величину $\xi$ находим из уравнения
\[
\eta=-\xi \operatorname{ctg} \xi .
\]

Сначала решаем это уравнение грубо графически, пользуясь крайней левой кривой на рис. 46 б. Затем уточняем решение аналитически с использованием
интерполирования. Таким путем без труда находим
\[
\xi=1,81993 .
\]

Искомая глубина потенциальной ямы
\[
-U_{0}=\frac{\hbar^{2} c^{2}}{m c^{2} a^{2}}\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right)=36,61 \mathrm{M} \text { ЭВ. }
\]

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru