1. Величины, характеризующие электрические свойства ядра, могут быть введены совершенно так же, как это делается в электростатике для системы точечных зарядов, занимающих небольшую область пространства. Поэтому нуклоны в ядре будем считать точечными, хотя это вовсе не обязательно. Во внешнем постоянном электрическом поле с потенциалом $\varphi$ потенциальная энергия ядра определяется выражением
\[
U=\sum_{\alpha} e \varphi\left(x_{\alpha i}\right)
\]

где суммирование производится только по протонам ядра, так как нейтроны, поскольку они не имеют электрического заряда, не вносили бы в эту сумму никакого вклада. Функция $\varphi\left(x_{\alpha i}\right)$ означает потенциал внешнего поля в точке нахождения протона $\alpha$, а $x$ — совокупность декартовых координат того же протона ( $i=1,2,3 ; x_{1} \equiv x, x_{2} \equiv y$, $\left.x_{3} \equiv z\right)$. Таким образом, в подробной записи
\[
U=\sum_{\alpha} e \varphi\left(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha}\right)=\sum_{\alpha} e \varphi\left(\mathbf{r}_{\alpha}\right) .
\]

Поместим начало координат в центре масс всего ядра (т.е. учитывая и нейтроны) и примем во внимание, что на расстояниях порядка линейных размеров ядра внешнее электрическое поле меняется мало. Тогда потенциал $\varphi\left(x_{\alpha i}\right)$ целесообразно разложить в степенной ряд по координатам:
\[
\varphi\left(x_{\alpha i}\right)=\varphi(0)+x_{\alpha i}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}\right)_{0}+\frac{1}{2} x_{\alpha i} x_{\alpha k}\left(\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x_{i} \partial x_{k}}\right)_{0}+\ldots,
\]

где в соответствии с общепринятой тензорной символикой по дважды встречающимся координатным индексам (но не по индексу $\alpha$, который означает номер протона) производится суммирование. Подставляя это разложение в формулу (70.1), получим
\[
U=\varphi(0) \sum_{\alpha} e+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}\right)_{0} \sum_{\alpha} e x_{\alpha i}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x_{i} \partial x_{k}}\right)_{0} \sum_{\alpha} e x_{\alpha i} x_{\alpha k}+\ldots
\]

Первый — главный — член этой суммы давал бы энергию заряженного ядра во внешнем электрическом поле, если бы весь заряд был сконцентрирован в одной точке — начале координат. Этот член может быть записан в виде $Z e \varphi(0)$. Он характеризует электрические свойства ядра суммарно, но не дает никаких указаний относительно распределения электричества по объему ядра.
2. Второй член суммы (70.2) содержит три компоненты вектора $\mathbf{d}=$ $=\sum_{\alpha} e \mathbf{r}_{\alpha}$, где $\mathbf{r}_{\alpha}=\mathbf{r}_{\alpha}\left(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha}\right)$. Это есть электрический дипольный момент ядра. Выражение $\mathbf{d}=\sum_{\alpha} e \mathbf{r}_{\alpha}$, конечно, не инвариантно относительно выбора начала координат, поскольку полный заряд ядра $\sum_{\alpha} e$ отличен от нуля. Поэтому для однозначного определения вектоpa d начало координат и было выбрано не произвольно, а помещено в центре масс ядра. Можно было бы думать, что после заряда дипольный момент $\mathbf{d}$ является главной электрической характеристикой ядра в основном состоянии. Однако, по-видимому, центр масс ядра в основном состоянии является и центром симметрии распределения зарядов. Это значит, что каждому заряду в точке $\mathbf{r}$ соответствует равный по модулю и одинаковый по знаку заряд в точке -r. Поэтому электрический дипольный момент ядра в основном состоянии равен нулю. В возбужденном состоянии это, вообще говоря, не так, хотя бы из-за движения нуклонов в ядре, нарушающего симметричное распределение протонов относительно центра масс ядра. (Заметим, что это не относится к магнитному моменту ядра. Классическим аналогом может служить равномерно заряженный шарик, вращающийся вокруг диаметра. В этом случае появляется магнитный дипольный момент, хотя и сохраняется полная симметрия относительно центра шарика.)

3. Из-за отсутствия электрического дипольного момента у ядра в основном состоянии главную роль во взаимодействии его с внешним электрическим полем, после самого заряда, играет третий член в формуле (70.2), определяющий квадрупольное взаимодействие. Следующие члены, соответствующие более высоким мультипольным моментам, играют малую роль и не учитываются нами. Член же с квадрупольным моментом содержит вторые производные потенциала $\varphi$ по координатам, а потому квадрупольное взаимодействие, в отличие от дипольного, в однородном электрическом поле не существует.

Преобразуем квадрупольный член в (70.2) к обычно применяемому стандартному виду. Для избежания громоздкости написания формул опустим индекс суммирования $\alpha$ у всех координат частиц. В силу уравнения Лапласа
\[
\Delta \varphi \equiv \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}} \equiv \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x_{k}^{2}}=0,
\]

или
\[
\delta_{i k} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x_{i} \partial x_{k}}=0,
\]

где $\delta_{i k}-$ единичный тензор ( $\delta_{i k}=1$ при $i=k$ и $\delta_{i k}=0$ при $i
eq k$ ). На основании этого
\[
\frac{1}{2} \sum x_{i} x_{k} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x_{i} \partial x_{k}}=\frac{1}{2} \sum\left(x_{i} x_{k}+\lambda \delta_{i k}\right) \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x_{i} \partial x_{k}},
\]

где $\lambda$ — произвольное число. Его удобно выбрать так, чтобы след тензора ( $\left.\sum x_{i} x_{k}+\lambda \delta_{i k}\right)$, т. е. сумма его диагональных членов $\sum\left(x_{i} x_{i}+\right.$ $\left.+\lambda \delta_{i i}\right)=\sum\left(r^{2}+3 \lambda\right)$, обратился в нуль. При таком выборе энергия квадрупольного взаимодействия ядра с внешним электрическим полем запишется в виде
\[
U_{\text {квад }}=\frac{e}{6} \sum\left(3 x_{i} x_{k}-r^{2} \delta_{i k}\right) \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x_{i} \partial x_{k}},
\]

или
\[
U_{\text {квад }}=\frac{e}{6} Q_{i k} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x_{i} \partial x_{k}},
\]

где
\[
Q_{i k}=\sum\left(3 x_{i} x_{k}-r^{2} \delta_{i k}\right) .
\]

В компонентах
\[
\begin{array}{c}
Q_{x x}=\sum\left(3 x^{2}-r^{2}\right)=\sum\left(2 x^{2}-y^{2}-z^{2}\right), \\
Q_{y y}=\sum\left(3 y^{2}-r^{2}\right)=\sum\left(2 y^{2}-z^{2}-x^{2}\right), \\
Q_{z z}=\sum\left(3 z^{2}-r^{2}\right)=\sum\left(2 z^{2}-x^{2}-y^{2}\right), \\
Q_{x y}=Q_{y x}=\sum 3 x y, \quad Q_{y z}=Q_{z y}=\sum 3 y z, \quad Q_{z x}=Q_{x z}=\sum 3 z x .
\end{array}
\]

Тензор $Q_{i k}$ называется тензором квадрупольного момента ядра. Он обращается в нуль для сферически симметричного тела. При другом выборе постоянной $\lambda$ этого бы не получилось, чем и оправдывается сделанный выбор.

Как уже говорилось в § 62 , взаимодействие магнитного момента ядра с магнитным полем электронной оболочки атома вызывает сверхтонкую структуру спектральных линий. Однако такое взаимодействие не всегда достаточно для объяснения этого явления. Дополнительной причиной его является квадрупольное взаимодействие атомного ядра с градиентом электрического поля оболочки. Изучение сверхтонкой структуры спектральных линий и дает один из методов определения электрических квадрупольных моментов ядер. Применяются также резонансные радиоспектроскопические методы.
4. Под квадрупольным моментом ядра обычно понимают не самый тензор $Q_{i k}$, а значение его наибольшей компоненты в системе координат, в которой $Q_{i k}$ диагонален. Если за ось $Z$ принять соответствующую главную ось, то
\[
Q=\sum\left(3 z^{2}-r^{2}\right) .
\]

Эта величина имеет размерность площади. Удобной единицей ее является барн, равный $10^{-24} \mathrm{~cm}^{2}$.

Различают внешний (или наблодаемый) и внутренний (или собственный) квадрупольные моменты ядра. Внешним называется квадрупольный момент (обозначаемый через $Q$ ), измеренный в лабораторной системе координат. Внутренним называют и обозначают через $Q_{0}$ квадрупольный момент, измеренный в системе координат, вращающейся вместе с атомным ядром вокруг его центра масс. Из-за нулевых колебаний оси атомного ядра относительно лабораторной системы координат эти два момента, вообще говоря, не совпадают между собой. Внешний квадрупольный момент есть среднее значение квадрупольного момента ядра в состоянии, которое характеризуется квадратом полного момента импульса ядра $I(I+1)$ и его максимальной проекции $I$ на выделенное направление в пространстве. Поэтому $Q_{0} \geqslant Q$. Сверхтонкая структура спектральных линий и радиоспектроскопические методы, упомянутые выше, позволяют экспериментально определить только внешний квадрупольный момент. Зная $Q$, можно вычислить и внутренний квадрупольный момент $Q_{0}$ по формуле
\[
Q=Q_{0} \frac{I(2 I-1)}{(I+1)(2 I+1)},
\]

которая выводится в квантовой механике. Для этого, конечно, спин ядра $I$ должен быть отличен от 0 и $1 / 2$. Внешний квадрупольный момент $Q$ ядра со спином 0 или $1 / 2$ равен нулю. О внутреннем квадрупольном моменте $Q_{0}$ в этом случае на основании формулы (70.7) ничего сказать нельзя. Однако существует и прямой метод измерения $Q_{0}$. Собственный квадрупольный момент является мерой отклонения распределения электрического заряда в ядре от сферического.

Многие ядра обладают осью симметрии вращения и имеют плоскость симметрии, перпендикулярную к этой оси и проходящую через центр масс ядра. Обычно принимают, что ядро имеет форму эллипсоида вращения. Квадрупольный момент ядра положителен, если оно имеет вытянутую форму, и отрицателен для сплющенного ядра. Несферичность формы ядра проявляется в появлении в энергетическом спектре ядра вращательных энергетических уровней. Они возникают из-за вращения вокруг оси, перпендикулярной к аксиальной оси ядра. Более сложные ядра в основном состоянии могут иметь форму трехосного эллипсоида. У таких ядер энергетическая структура уровней усложняется.
Таблица 8
Внешние квадрупольные моменты некоторых атомных ядер
В табл. 8 приведено несколько значений экспериментально найденных внешних квадрупольных моментов ядер. У некоторых из них величины $Q$ аномально велики и намного превосходят квадрат радиуса ядра $R^{2}$. Это указывает на значительное отклонение формы таких ядер от сферической симметрии.