58. Предположим теперь, что импульсы, изменяющие значения произвольных постоянных, бесконечно малы и непрерывны; тогда эти постоянные становятся переменными, и, таким образом, действие- возмущающих сил планет можно свести к вариациям элементов их орбит.

Пусть $X, Y, Z$ – возмущающие силы, разложенные по прямоугольным координатам $x, y, z$ и стремящиеся увеличить значения этих координат; эти силы вызывают в течение времени $d t$ малые скорости $X d t, Y d t$, $Z d t$, которые следует прибавить к скоростям
\[
\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}
\]

в выражении для каждого элемента $a, b, c, \ldots$, как это было сделано в пункте 52 . Но так как в данном случае эти добавочные скорости бесконечно малы, то они вызовут в элементах лишь бесконечно малые изменения, которые можно определить с помощью дифференциального исчисления.
Положим для сокращения
\[
\frac{d x}{d t}=x^{\prime}, \quad \frac{d y}{d t}=y^{\prime}, \quad \frac{d z}{d t}=z^{\prime} ;
\]

каждый из элементов будет выражен с помощью заданной функции $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$. Пусть $a$-какойлибо из этих элементов; его вариацию $d a$ мы получим, прибавив $\kappa x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ бесконечно малые величины $X d t, Y d t, Z d t ;$ этим путем мы получим
\[
d a=\left(\frac{\partial a}{\partial x^{\prime}} X+\frac{\partial a}{\partial y^{\prime}} Y+\frac{\partial a}{\partial z^{\prime}} Z\right) d t ;
\]

аналогичные уравнения мы будем иметь для других элементов орбиты $b, c, h, i, k$.

Для того чтобы воспользоваться этими уравнениями, следует вместо переменных $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ подставить их выражения в функции $t$ и $a, b, c, \ldots$, данные формулами, найденными в первой главе; этим путем мы получим столько уравнений первого порядка между временем $t$ и элементами $a, b, c, \ldots$, ставшими переменными величинами, сколько имеется этих элементов, и тогда все дело сведется к их интегрированию. Если бы мы захотели ввести возмущающие силы непосредственно в уравнеңия первоначальной орбиты (п. 4), то надо было бы лишь прибавить величины $X, Y, Z$ соответственно к членам $R \frac{\partial r}{\partial x}, R \frac{\partial r}{\partial y}, R \frac{\partial r}{\partial z}$ указанных уравнений. Таким образом, цриведенные уравнения между новыми переменными $a, b, c, \ldots$ можно рассматривать как преобразованные уравнения в $x, y, z$; однако эти преобразования принесли бы мало пользы при общем решении задачи. Но они очень полезны в том случае, когда строгое решение невозможно и когда возмущающие силы очень малы; тогда они дают способ приближения, который в общем виде был нами изложен в отделе V.
59. Это приближение, основанное на вариации элементов, особенно применимо к эллиптическим орбитам планет, поскольку они испытывают возмущения под действием других планет, и геометры зачастую им пользовались в теории планет и комет; можно сказать, что самые наблюдения знакомят с приближением раньше, чем к нему привели вычисления; это приближение имеет то преимущество, что при нем сохраняется әллиптическая форма орбит, так что не только место планеты, но и ее скорость и направление движения*) не испытывают на себе никакого влияния мгновенного изменения элементов.

Действительно, если координаты $x, y, z$ рассматривать как функции времени и элементов $a, b, c, \ldots$, ставших переменными, то путем дифференцирования мы получаем
\[
d x=\frac{\partial x}{\partial t} d t+\frac{\partial x}{\partial a} d \dot{a}+\frac{\partial x}{\partial b} d b+\frac{\partial x}{\partial c} d c+\ldots,
\]

и легко доказать, что часть, содержащая вариации $d a, d b, \ldots$, обращается в нуль при подстановке приведенного выше выражения $d a$ и аналогичных выражений $d b, d c, \ldots$; в самом деле, если произвести указанные подстановки в членах $\frac{\partial x}{\partial a} d a+\frac{\partial x}{\partial b} d b+\ldots$
*) То-есть формула, выражающая скорость, и формулы, дающие направление движения. (П рим. Бертрана.)

и расположить члены по величинам $X, Y, Z$, то мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial x^{\prime}}+\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial x^{\prime}}+\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial c}{\partial x^{\prime}}+\ldots\right) X d t+ \\
+\left(\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial y^{\prime}}+\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial y^{\prime}}+\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial c}{\partial y^{\prime}}+\ldots\right) Y d t+ \\
+\left(\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial z^{\prime}}+\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial z^{\prime}}+\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial c}{\partial z^{\prime}}+\ldots\right) Z d t
\end{array}
\]

Но если рассматривать сначала $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ как функции $a, b, c, h, i, k$, а затем $a, b, c, \ldots$ как функции $x, y, z, x^{\prime}, \ldots$ то мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
d x=\frac{\partial x}{\partial a} d a+\frac{\partial x}{\partial b} d b+\frac{\partial x}{\partial c} d c+\frac{\partial x}{\partial h} d h+\ldots, \\
d y=\frac{\partial y}{\partial a} d a+\frac{\partial y}{\partial b} d b+\frac{\partial y}{\partial c} d c+\frac{\partial y}{\partial h} d h+\ldots, \\
d a=\frac{\partial a}{\partial x} d x+\frac{\partial a}{\partial y} d y+\frac{\partial a}{\partial z} d z+\frac{\partial a}{\partial x^{\prime}} d x^{\prime}+\ldots \\
d b=\frac{\partial b}{\partial x} d x+\frac{\partial b}{\partial y} d y+\frac{\partial b}{\partial z} d z+\frac{\partial b}{\partial x^{\prime}} d x^{\prime}+\ldots, \\
\ldots \ldots . \ldots
\end{array}
\]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Подставляя в выражения $d x, d y, \ldots$ эти значения для $d a, d b, \ldots$, мы должны получить тождества; для этого нужно, чтобы члены, содержащие $d x^{\prime}, d y^{\prime}, d z^{\prime}$ в выражениях $d x, d y, d z$, были равны нулю; это дает по отношению к $d x$ следующие тождества:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial x^{\prime}}+\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial x^{\prime}}+\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial c}{\partial x^{\prime}}+\ldots=0, \\
\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial y^{\prime}}+\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial y^{\prime}}+\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial c}{\partial y^{\prime}}+\ldots=0, \\
\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial z^{\prime}}+\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial z^{\prime}}+\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial c}{\partial z^{\prime}}+\ldots=0 .
\end{array}
\]

Таким образом, мы имеем просто
\[
d x=\frac{\partial x}{\partial t} d t
\]

аналогичным образом мы получим
\[
d y=\frac{\partial y}{\partial t} d t, \quad d z=\frac{\partial z}{\partial t} d t,
\]

как если бы постоянные $a, b, c, h, \ldots$ совершенно не изменялись.
60. Когда возмущающие силы происходят вследствие притяжений других тел, неподвижных или находящихся в движении, и когда эти притяжения пронорциональны функциям расстояний, то если, как это было сделано в пункте 8 отдела $\mathrm{V}$, обозначить через-Q сумму интегралов каждой силы, умноженной на элемент ее расстояния от центра притяжения, и величину $Q$ рассматривать как функцию $x, y, z$, то силы $X, Y, Z$ имеют следующий вид:
\[
X=\frac{\partial Q}{\partial x}, \quad Y=\frac{\partial .}{\partial y}, \quad Z=\frac{\partial \Omega}{\partial z} ;
\]

я приписываю здесь величине $Q$ знак + , так как я предположил, что силы $X, Y, Z$ стремятся увеличить расстояния $x, y, z$, между тем как в функции- $\Omega$ возмущающие силы, направленные к центрам, должны были, по предположению, стремиться уменьшить расстояния тел от әтих цептров.

В данном случае, который фактически мы встречаем в природе, вариации элементов $a, b, c, \ldots$ могут быть выражены более просто, если вместо частных производных функции $Q$ по $x, y, z$ воспользоваться ее частными производными по $a, b, c, \ldots$, произведя предварительно подстановку $x, y, z$, выраженных в функции $t$ и $a, b, c, \ldots$; из этого именно рассуждения и возникла новая теория вариадии произвольных постоянных.

Если $x, y, z$ рассматривать как функции $a, b, c, \ldots$, то мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \Omega}{\partial x}=\frac{\partial \Omega}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial \Omega}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial x}+\frac{\partial \Omega}{\partial c} \frac{\partial c}{\partial x}+\ldots, \\
\frac{\partial \Omega}{\partial y}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial y}+\frac{\partial \Omega}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial y}+\frac{\partial \mathcal{\partial}}{\partial c} \frac{\partial c}{\partial y}+\ldots, \\
\frac{\partial\lrcorner}{\partial z}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial z}+\frac{\partial \Omega}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial z}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c} \frac{\partial c}{\partial z}+\ldots ;
\end{array}
\]

если эти выражения подставить вместо $X, Y, Z$ в выражение для $d a$, приведенное в пункте 58 , то оно примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
d a & =\left(\frac{\partial a}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial a}{\partial y^{\prime}} \frac{\partial a}{\partial y}+\frac{\partial a}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial a}{\partial z}\right) \frac{\partial 2}{\partial a} d t+ \\
& +\left(\frac{\partial a}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial b}{\partial x}+\frac{\partial a}{\partial y^{\prime}} \frac{\partial b}{\partial y}+\frac{\partial a}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial b}{\partial z}\right) \frac{\partial Z}{\partial b} d t+ \\
& +\left(\frac{\partial a}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial c}{\partial x}+\frac{\partial a}{\partial y^{\prime}} \frac{\partial c}{\partial y}+\frac{\partial a}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial c}{\partial z}\right) \frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial c} d t .
\end{aligned}
\]

Можно добиться исчезновения в этом выражении членов, умножающихся на $\frac{\partial Q}{\partial a}$, пользуясь тем соображением, что так как $Q$ совершенно не содержит в себе цеременных $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, то мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial Q}{\partial x^{\prime}}=\frac{\partial \Omega}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial x^{\prime}}+\frac{\partial \Omega}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial x^{\prime}}+\frac{\partial \Omega}{\partial c} \frac{\partial c}{\partial x^{\prime}}+\ldots=0, \\
\frac{\partial \Omega}{\partial y^{\prime}}=\frac{\partial \Omega}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial y^{\prime}}+\frac{\partial \Omega}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial y^{\prime}}+\frac{\partial Q}{\partial c} \frac{\partial c}{\partial y^{\prime}}+\ldots=0, \\
\frac{\partial \Omega}{\partial z^{\prime}}=\frac{\partial \Sigma}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial z^{\prime}}+\frac{\partial L}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial z^{\prime}}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c} \frac{\partial c}{\partial z^{\prime}}+\ldots=0 .
\end{array}
\]

Следовательно, если из $d a$ вычесть величину
\[
\left(\frac{\partial \Omega}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial \Omega}{\partial y^{\prime}} \frac{\partial a}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial a}{\partial z}\right) d t,
\]

которая равна нулю, то мы получим
\[
\begin{array}{l}
d a=\left(\frac{\partial a}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial b}{\partial x}+\frac{\partial a}{\partial y^{\prime}} \frac{\partial b}{\partial y}+\frac{\partial a}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial b}{\partial z}-\frac{\partial a}{\partial x} \frac{\partial b}{\partial x^{\prime}}-\right. \\
\left.-\frac{\partial a}{\partial y} \frac{\partial b}{\partial y^{\prime}}-\frac{\partial a}{\partial z} \frac{\partial b}{\partial z^{\prime}}\right) \frac{\partial \Omega}{\partial b} d t+\left(\frac{\partial a}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial c}{\partial x}+\frac{\partial a}{\partial y^{\prime}} \frac{\partial c}{\partial y}+\right. \\
\left.+\frac{\partial a}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial c}{\partial z}-\frac{\partial a}{\partial x} \frac{\partial c}{\partial x^{\prime}}-\frac{\partial a}{\partial y} \frac{\partial c}{\partial y^{\prime}}-\frac{\partial a}{\partial z} \frac{\partial c}{\partial z^{\prime}}\right) \frac{\partial z}{\partial c} d t
\end{array}
\]

Это выражение для $d a$ кажется сложнее первоначальной формулы, из которой мы исходили; но, с другой стороны, оно обладает большим преимуществом, заключающимся в том, что после цодстановки значений $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ в функции $t$ и $a, b, c$, , заданных әллиптическим движением планеты, коэффициенты частных производных $\frac{\partial L}{\partial b}, \frac{\partial 2}{\partial c}, \ldots$ становятся независимыми от времени $t$, в чем легко убедиться путем дифференцирования, при котором мы будем в коэффициентах варьировать время $t$.
61. Действительно, так как $a$ рассматривается как функция $t, x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, \mathbf{a} x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ тоже изменяются с изменением $t$, так что, согласно дифференциальным уравнениям задачи (п. 4),
\[
\frac{d x}{d t}=x^{\prime}, \quad \frac{d y}{d t}=y^{\prime}, \quad \frac{d z}{d t}=z^{\prime}
\]

и
\[
\frac{d x^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial V}{\partial x}, \quad \frac{d y^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial V}{\partial y}, \quad \frac{d z^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial V}{\partial z},
\]

то отсюда следует, что, дифференцируя по $t$, мы получим
\[
\begin{aligned}
d \frac{\partial a}{\partial x}=\left(\frac{\partial^{2} a}{\partial x \partial t}+\right. & \frac{\partial^{2} a}{\partial x^{2}} x^{\prime}+\frac{\partial^{2} a}{\partial x \partial y} y^{\prime}+\frac{\partial^{2} a}{\partial x \partial z} z^{\prime}- \\
& \left.-\frac{\partial^{2} a}{\partial x \partial x^{\prime}} \frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial^{2} a}{\partial x \partial y^{\prime}} \frac{\partial V}{\partial y}-\frac{\partial^{2} a}{\partial x \partial z^{\prime}} \frac{\partial V}{\partial z}\right) d t .
\end{aligned}
\]

Но так как $a$ является одной из произвольных постоянных, введенных при интегрировании этих же уравнений, то ее дифференциал по $t$ должен тождественно обращаться в нуль теми же значениями $\frac{d x^{\prime}}{d t}, \frac{d y^{\prime}}{d t}, \frac{d z^{\prime}}{d t}$; таким образом, мы имеем
\[
\frac{\partial a}{\partial t}+\frac{\partial a}{\partial x} x^{\prime}+\frac{\partial a}{\partial y} y^{\prime}+\frac{\partial a}{\partial z} z^{\prime}-\frac{\partial a}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial a}{\partial y^{\prime}} \frac{\partial V}{\partial y}-\frac{\partial a}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial V}{\partial z}=0
\]
– тождество, которое остается в силе, если отдельно варьировать $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$.
Будем варьировать $x$; тогда мы также получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} a}{\partial x \partial t}+\frac{\partial^{2} a}{\partial x^{2}} x^{\prime}+\frac{\partial^{2} a}{\partial x \partial y} y^{\prime}+\frac{\partial^{2} a}{\partial x \partial z} z^{\prime}-\frac{\partial^{2} a}{\partial x \partial x^{\prime}} \frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial^{2} a}{\partial x \partial y^{\prime}} \frac{\partial V}{\partial y}- \\
-\frac{\partial^{2} a}{\partial x \partial z^{\prime}} \frac{\partial V}{\partial z}-\frac{\partial a}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}-\frac{\partial a}{\partial y^{\prime}} \frac{\partial^{2} V}{\partial x \partial y}-\frac{\partial a}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial^{2} V}{\partial x \partial z}=0 .
\end{array}
\]

Таким образом, выражение для дифференциала $\frac{\partial a}{\partial x}$ сведется к
\[
d \frac{\partial a}{\partial x}=\left(\frac{\partial a}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial a}{\partial y^{\prime}} \frac{\partial^{2} V}{\partial x \partial y}+\frac{\partial a}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial^{2} V}{\partial x \partial z}\right) d t .
\]

Тем же путем мы найдем
\[
\begin{array}{l}
d \frac{\partial a}{\partial y}=\left(\frac{\partial a}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial^{2} V}{\partial x \partial y}+\frac{\partial a}{\partial y^{\prime}} \frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial a}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial^{2} V}{\partial x} \frac{\partial y}{\partial y}\right) d t, \\
d \frac{\partial a}{\partial z}=\left(\frac{\partial a}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial^{2} V}{\partial x \partial z}+\frac{\partial a}{\partial y^{\prime}} \frac{\partial^{2} V}{\partial x \partial z}+\frac{\partial a}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}}\right) d t .
\end{array}
\]

Затем мы будем иметь
\[
d \frac{\partial a}{\partial x^{\prime}}=\left\{\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} a}{\partial t \partial x^{\prime}}+\frac{\partial^{2} a}{\partial x \partial x^{\prime}} x^{\prime}+\frac{\partial^{2} a}{\partial y \partial x^{\prime}} y^{\prime}+\frac{\partial^{2} a}{\partial z \partial x^{\prime}} z^{\prime} \\
-\frac{\partial^{2} a}{\partial x^{\prime 2}} \frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial^{2} a}{\partial x^{\prime} \partial y^{\prime}} \frac{\partial V}{\partial y}-\frac{\partial^{2} a}{\partial x^{\prime} \partial z^{\prime}} \frac{\partial V}{\partial z}
\end{array}\right\} d t .
\]

Но если в тождестве $d a=0$ варьировать $x^{\prime}$ и принять во внимание, что, согласно допущению, функция $V$ не содержит переменных $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, то мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} a}{\partial t \partial x^{\prime}}+\frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial^{2} a}{\partial x \partial x^{\prime}} x^{\prime}+\frac{\partial^{2} a}{\partial y \partial x^{\prime}} y^{\prime}+\frac{\partial^{2} a}{\partial z \partial x^{\prime}} z^{\prime}- \\
-\frac{\partial^{2} a}{\partial x^{\prime \prime 2}} \frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial^{2} a}{\partial x^{\prime} \partial y^{\prime}} \frac{\partial V}{\partial y}-\frac{\partial^{2} a}{\partial x^{\prime} \frac{\partial z^{\prime}}{}} \frac{\partial V}{\partial z}=0 ; \\
\end{array}
\]

следовательно, мы будем иметь
\[
d \frac{\partial a}{\partial x^{\prime}}=-\frac{\partial a}{\partial x} d t
\]

аналогичным путем мы найдем
\[
\begin{array}{l}
d \frac{\partial a}{\partial y^{\prime}}=-\frac{\partial a}{\partial y} d t, \\
d \frac{\partial a}{\partial z^{\prime}}=-\frac{\partial a}{\partial z} d t .
\end{array}
\]

Подобные же выражения мы получим для дифференциалов $d \frac{\partial b}{\partial x}, d \frac{\partial b}{\partial y}, d \frac{\partial b}{\partial z}, d \frac{\partial b}{\partial x^{\prime}}, d \frac{\partial b}{\partial y^{\prime}}, d \frac{\partial b}{\partial z^{\prime}}, \quad$ заменяя лишь букву $a$ буквой $b$, и точно так же для других подобных величин.

Если теперь продифференцировать коэффициент величины $\frac{\partial \Omega}{\partial b} d t$ в выражении $d a$ пункта 60 и подставить значения, найденные для $\frac{\partial a}{\partial x}, \frac{\partial a}{\partial y}, \frac{\partial a}{\partial z}, \frac{\partial a}{\partial x^{\prime}}, \frac{\partial a}{\partial y^{\prime}}$, $\frac{\partial a}{\partial z^{\prime}}$, то мы прежде всего увидим, что члены, содержащие производные $\frac{\partial a}{\partial x^{\prime}}, \frac{\partial b}{\partial x^{\prime}}, \frac{\partial a}{\partial y^{\prime}}, \frac{\partial b}{\partial y^{\prime}}, \frac{\partial a}{\partial z^{\prime}}, \frac{\partial b}{\partial z^{\prime}}$, взаимно уничтожатся, а члены, содержащие производные $\frac{\partial a}{\partial x}$, $\frac{\partial b}{\partial x}, \ldots$, будучи расположены по частным производным, тоже взаимно уничтожатся в каждом коәффициенте этих частных производных.

Отсюда можно заключить, что коэффициент $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b}$ в выражении для $d a$ после подстановки значений $x, y$, $z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, выраженных в функции $a, b, c, \ldots$, и $t$, будет постоянной величиной по отношению к $t$ и будет лишь функцией $a, b, c, \ldots$; таким образом, переменная $t$ сама собою исчезнет, и будет достаточно подставить значения $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, соответствующие $t=0$ или какому угодно другому значению $t$.

Таким же путем можно доказать, что $t$ исчезнет в других коэффициентах частных производных $Q$ в том же выражении для $d a$. Следовательно, вариация $a$ будет представлена с помощью формулы, содержащей лишь частные производные $Q$ по $b, c, \ldots$, каждан из которых будет помножена на некоторую функцию $a, b, c, \ldots$, но без $t$. То же самое будет иметь место по отношению к вариациям других произвольных постоянных величин $b, c, h, \ldots$.

Этот важный вывод, который мы сделали только что a posteriori, представляет собою лишь частный случай общей теории вариации произвольных постоянных, изложенной нами в § II отдела V, и его можно было бы вывести непосредственно из этой теории. Однако нам представлялось небесполезным показать, каким образом к нему можно придти, исходя из формул, дающих прямо вариации элементов, вызванные возмущающими силами, и в особенности, каким образом эти вариации приобретают простой и изящный вид благодаря выражению возмущающих сил частными производными одной и той же функции, взятыми по тем же элементам, рассматриваемым как переменные. 62. В пункте 60 мы допустили, что силы $X, Y, Z$ могут быть выражены с помощью частных производных по $x, y, z$ одной и той же функции $\mathbf{Q}$. Это допущение упрощает расчет, но оно не является совершенно необходимым для его правильности, так как дифференциальные уравнения всегда независимы от природы ускоряющих сил движущегося тела; вопрос сводится лишь к тому, чтобы знать, что́ следует педставить вместо частных производных $Q$ по произвольным постоянным $a, b, c, \ldots$ Но эти постоянные входят в функцию $Q$ лишь потому, что они входят в выражения переменных $x, y, z$, функцией которых является $Q$; таким образом, мы имеем
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial a}=\frac{\partial \Omega}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial a}+\frac{\partial \Omega}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial a}+\frac{\partial \varrho}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial a},
\]

а подставив $X, Y, Z$ вместо $\frac{\partial \Omega}{\partial x}, \frac{\partial \Omega}{\partial y}, \frac{\partial \Omega}{\partial z}$, мы получим
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial a}=X \frac{\partial x}{\partial a}+Y \frac{\partial y}{\partial a}+Z \frac{\partial z}{\partial a},
\]

каковы бы ни были $X, Y, Z$. То же самое мы получим для $\frac{\partial Q}{\partial b}, \frac{\partial Q}{\partial c}, \ldots$ заменив лишь букву $a$ буквами $b, c, \ldots$

Вообще, если мы обозначим символом $\delta$ вариации $Q$ по отношению к произвольным постоянным $a, b, c, \ldots$, то мы будем иметь
\[
\delta \Omega=X \delta x+Y \delta y+Z \delta z ;
\]

а если допустить, что возмущающими силами являются силы $R, Q, P, \ldots$, направленные к центрам, находящимся на расстояниях $r, q, p, \ldots$ что дает
\[
-d Q=R d r+Q d q+P d p+\ldots,
\]

то мы будем также иметь относительно произвольных постоянных
\[
-\hat{Q}=R \hat{\partial} r+Q \hat{\partial} q+P \hat{\delta} p+\ldots
\]

Я приписываю здесь $d Q$ знак -, так как силы $R, Q$, $p, \ldots$, согласно допущению, стремятся уменьшить расстояния $r, q, p, \ldots$, между тем как относительно сил $X, Y, Z$ мы предположили, что они стремятся увеличить линии $x, y, z$, как мы это уже отметили выше, в пункте $60^{*}$ ).
63. Для того чтобы общие формулы пункта 18 упомянутого выше отдела применить к элементам планеты, следует лишь принять во внимание, что координаты $x, y, z$, будучи независимыми, должны быть взяты вместо переменных $\xi$, $\psi$, $\varphi$, а так как мы имеем дело с одним движущимся телом, массу которого мы можем принять равной единице, то мы будем иметь просто, как в пункте 3:
\[
T=\frac{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}{2 d t^{2}}=\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}{2} ;
\]

следовательно,
\[
\frac{\partial T}{\partial x^{\prime}}=x^{\prime}, \quad \frac{\partial T}{\partial y^{\prime}}=y^{\prime}, \quad \frac{\partial T}{\partial z^{\prime}}=z^{\prime} .
\]

Таким образом, постоянные $\alpha, \beta, \gamma$ и к, $\mu,
u$, выражающие значения $x, y, z$ и $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, когда $t=0$ (отд. V, п. 12), будут в данном случае равны $\mathrm{x}, \mathbf{y}$, $\mathrm{z}, \mathrm{x}^{\prime}, \mathrm{y}^{\prime}, \mathrm{z}^{\prime}$ (п. 31), и вариации элементов $a, b, c, \ldots$ примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
d a=\left[+(a, b) \frac{\partial \Omega}{\partial b}+(a, c) \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c}+\ldots\right] d t, \\
d b=\left[-(a, b) \frac{\partial \partial}{\partial a}+(b, c) \frac{\partial \partial}{\partial c}+\ldots\right] d t, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , } \\
\end{array}
\]
*) Введение функции $\Omega$ при рассуждении, относящемся к случаю, когда этой функции не существует, придает настоящему параграфу некоторую видимость неясности, кот рая, однако, исчезает, если данный вопрос несколько продумать. (Прим. Бертрана.)

причем коэффициенты, представленные символами $(a, b),(a, c), \ldots$, будут иметь следующие выражения:
\[
\begin{array}{l}
(a, b)={ }_{{ }^{2} \mathrm{x}^{\prime}}^{\partial a} \frac{\partial b}{\partial \mathrm{x}}+\frac{\partial a}{\partial \mathrm{y}^{\prime}} \frac{\partial b}{\partial \mathrm{y}}+\frac{\partial a}{\partial \mathrm{z}^{\prime}} \frac{\partial b}{\partial \mathrm{z}}-\frac{\partial a}{\partial \mathrm{x}} \frac{\partial b}{\partial \mathrm{x}^{\prime}}-\frac{\partial a}{\partial \mathrm{y}} \frac{\partial b}{\partial \mathrm{y}^{\prime}}-\frac{\partial a}{\partial \mathrm{z}} \frac{\partial b}{\partial \mathrm{z}^{\prime}} \\
(a, c)=\frac{\partial a}{\partial \mathrm{x}^{\prime}} \frac{\partial c}{\partial \mathrm{x}}+\frac{\partial a}{\partial \mathrm{y}^{\prime}} \frac{\partial c}{\partial \mathrm{y}}+\frac{\partial a}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial c}{\partial \mathrm{z}}-\frac{\partial a}{\partial \mathrm{x}} \frac{\partial c}{\partial \mathrm{x}^{\prime}}-\frac{\partial a}{\partial \mathrm{y}} \frac{\partial c}{\partial \mathrm{y}^{\prime}}-\frac{\partial a}{\partial \mathrm{z}} \frac{\partial c}{\partial \mathrm{z}^{\prime}}
\end{array}
\]

Как видим, эти выражения для $d a, d b, \ldots$ совпадают с теми, которые мы дали выше (п. 60); различие заключается лишь в том, что вместо букв $x, y, z$ мы имеем буквы $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$, выражающие значения $x, y, z$, когда $t$ равно нулю или какому угодно другому значению, так как начало счета времени $t$ является произвольным. Последнее совершенно безразлично, так как коэффициенты $(a, b),(a, c), \ldots$ должны быть независимы от времени $t$, и следовательно, величины $a, b, c, \ldots$ должны быть такими же функциями от $x$, $y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, как и от $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \mathrm{x}^{\prime}, \mathrm{y}^{\prime}, \mathrm{z}^{\prime}$.
64. Так как величины $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ тоже являются произвольными постоянными, то их можно взять вместо шести постоянных величин $a, b, c, h$, $i, k$. Следовательно, подставив х вместо $a, \mathrm{x}^{\prime}$ вместо $b$, у вместо $c, \mathrm{y}^{\prime}$ вместо $h, \ldots$, мы будем иметь
\[
\left(\mathrm{x}, \mathrm{x}^{\prime}\right)=-1, \quad\left(\mathrm{y}, \mathrm{y}^{\prime}\right)=-1, \quad\left(\mathrm{z}, \mathrm{z}^{\prime}\right)=-1,
\]

а все прочие коэффициенты $(x, y),(x, z),\left(x^{\prime}, y\right), \ldots$ будут равны нулю; таким образом, вариации $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$, $\mathrm{x}^{\prime}, \mathrm{y}^{\prime}, \mathrm{z}^{\prime}$ будут выражены следующими очень простыми формулами:
\[
\begin{array}{lll}
d \mathrm{x}=-\frac{\partial Q}{\partial \mathrm{x}^{\prime}} d t, & d \mathrm{y}=-\frac{\partial Q}{\partial \mathrm{y}^{\prime}} d t, & d \mathrm{z}=-\frac{\partial Q}{\partial \mathrm{L}^{\prime}} d t, \\
d \mathrm{x}^{\prime}=+\frac{\partial Q}{\partial \mathrm{x}} d t, & d \mathrm{y}^{\prime}=+\frac{\partial \Omega}{\partial \mathrm{y}} d t, \quad d \mathrm{z}^{\prime}=+\frac{\partial Q}{\partial \mathrm{z}} d t
\end{array}
\]

последние вытекают также из тех формул, к которым мы пришли непосредственно в пункте 14 отдела V; поэтому применение этих постоянных вместо других постоянных $a, b, c, \ldots$ всегда џредставляло бы для нас известное преимущество.

Но, каковы бы ни были постоянные $a, b, c, \ldots$, они будут функциями постоянных $x, y, z, x^{\prime}, \ldots$, следовательно, и обратно, последние можно рассматривать как функции первых. Таким образом, мы имеем
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial a}=\frac{\partial \Omega}{\partial \mathrm{x}} \frac{\partial \mathrm{x}}{\partial a}+\frac{\partial \Omega}{\partial \mathrm{y}} \frac{\partial \mathrm{y}}{\partial a}+\frac{\partial \Omega}{\partial \mathrm{z}} \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial a}+\frac{\partial \Omega}{\partial \mathrm{x}^{\prime}} \frac{\partial \mathrm{x}^{\prime}}{\partial a}+\frac{\partial \mathrm{Q}}{\partial \mathrm{y}^{\prime}} \frac{\partial \mathrm{y}^{\prime}}{\partial a}+\frac{\partial \Omega}{\partial \mathrm{z}^{\prime}} \frac{\partial \mathrm{z}^{\prime}}{\partial a} .
\]

Следовательно, подставив выражения $\frac{\partial Q}{\partial \mathrm{x}}, \frac{\partial Q}{\partial \mathrm{y}}, \ldots$ настоящего пункта, мы получим
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial a} d t=\frac{\partial \mathrm{x}}{\partial a} d \mathrm{x}^{\prime}+\frac{\partial \mathrm{y}}{\partial a} d \mathrm{y}^{\prime}+\frac{\partial \mathrm{z}}{\partial a} d \mathrm{z}^{\prime}-\frac{\partial \mathrm{x}^{\prime}}{\partial a} d \mathrm{x}-\frac{\partial \mathrm{y}^{\prime}}{\partial a} d \mathrm{y}-\frac{\partial \mathrm{z}^{\prime}}{\partial a} d \mathrm{z} .
\]

Но так как $x, y, z, x^{\prime}, \ldots$ являются функциями $a, b, c, \ldots$, то мы имеем
\[
\begin{array}{c}
d \mathrm{x}=\frac{\partial \mathrm{x}}{\partial a} d a+\frac{\partial \mathrm{x}}{\partial b} d b+\frac{\partial \mathrm{x}}{\partial c} d c+\ldots, \\
d \mathrm{x}^{\prime}=\frac{\partial \mathrm{x}^{\prime}}{\partial a} d a+\frac{\partial \mathrm{x}^{\prime}}{\partial b} d b+\frac{\partial \mathrm{x}^{\prime}}{\partial c} d c+\ldots,
\end{array}
\]

Подставив эти значения и расположив члены по вариациям $d a, d b, d c, \ldots$, мы получим
\[
\frac{\partial 2}{\partial a} d t=[a, b] d b+[a, c] d c+[a, h] d h+\ldots,
\]

где символы $[a, b],[a, c], \ldots$ определяются следующими формулами:
\[
\begin{array}{l}
{[a, b]=\frac{\partial \mathrm{x}}{\partial a} \frac{\partial \mathbf{x}^{\prime}}{\partial b}+\frac{\partial \mathrm{y}}{\partial a} \frac{\partial \mathrm{y}^{\prime}}{\partial b}+\frac{\partial \mathrm{z}}{\partial a} \frac{\partial \mathrm{z}^{\prime}}{\partial b}-\frac{\partial \mathrm{x}^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial \mathrm{x}}{\partial b}-\frac{\partial \mathrm{y}^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial \mathrm{y}}{\partial b}-\frac{\partial \mathrm{z}^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial b},} \\
{[a, c]=\frac{\partial \mathrm{x}}{\partial a} \frac{\partial \mathbf{x}^{\prime}}{\partial c}+\frac{\partial \mathrm{y}}{\partial a} \frac{\partial \mathrm{y}^{\prime}}{\partial c}+\frac{\partial \mathrm{z}}{\partial a} \frac{\partial \mathrm{z}^{\prime}}{\partial c}-\frac{\partial \mathrm{x}^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial c}-\frac{\partial \mathrm{y}^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial \mathrm{y}}{\partial c} \cdots \frac{\partial \mathrm{z}^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial c},}
\end{array}
\]

точно так же, в силу $[b, a]=-[a, b]$, мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \Omega}{\partial b} d t=-[a, b] d a+[b, c] d c+[b, h] d h+\ldots, \\
{[b, c]=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial b} \frac{\partial \mathbf{x}^{\prime}}{\partial c}+\frac{\partial \mathrm{y}}{\partial b} \frac{\partial \mathrm{y}^{\prime}}{\partial c}+\frac{\partial \mathrm{z}}{\partial b} \frac{\partial \mathrm{z}^{\prime}}{\partial c}-\frac{\partial \mathrm{x}^{\prime}}{\partial b} \frac{\partial \mathrm{x}}{\partial c}-\frac{\partial \mathrm{y}^{\prime}}{\partial b} \frac{\partial \mathrm{y}}{\partial c}-\frac{\partial \mathrm{z}^{\prime}}{\partial b} \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial c},}
\end{array}
\]

и так далее, просто заменяя взаимно величины $a, b$, $c, h, i, k$, взятые попарно, и шринимая во внимание что вообще
\[
[b, a]=-[a, b],
\]

так что при перестановке двух величин, входящих в состав символа, последний изменяет только свой знак.

Если символы, обозначенные прямоугольными скобками, сравнить с аналогичными символами, обозначенными круглыми скобками (п. 63), то мы заметим замечательную аналогию, заключающуюся в том, что они выраяаются совершенно одинаковым образом в частных производных $a, b, c, \ldots$, по $\mathbf{x}, \mathrm{x}^{\prime}, \mathrm{y}, \ldots$ или в частных производных $\mathrm{x}, \mathrm{x}^{\prime}, \mathrm{y}, \ldots$ по $a, b, c, \ldots$ 65. Последние формулы – это те формулы, которые

я вывел нешосредственно в первом своем мемуаре о вариации произвольных постоянных*); они вытекают также прямо из формулы пункта 12 отдела V, которая после осуществления указанных выше (п. 61) подстановок приводится к следующему виду:
\[
\Delta Q d t=\Delta \mathrm{x} \delta \mathrm{x}^{\prime}+\Delta \mathrm{y} \hat{\delta} \mathrm{y}^{\prime}+\Delta \mathrm{z} \hat{\mathrm{z}} \mathrm{z}^{\prime}-\Delta \mathrm{x}^{\prime} \hat{\mathrm{\delta}} \mathrm{x}-\Delta \mathrm{y}^{\prime} \hat{\delta} \mathrm{y}-\Delta \mathrm{z}^{\prime} \hat{\mathrm{z}} \mathrm{z} .
\]

В этой формуле дифференциалы, обозначенные через $\delta$, должны относиться к вариациям всех постоянных величин $a, b, c, \ldots$, но дифференциалы, обозначенные через $\Delta$, могут относиться к вариации каждой из этих постоянных в отдельности (упомянутый выше отдел, п. 10). Следовательно, относя символ $\Delta$ последовательно к $a, b, c, \ldots$, мы получим
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial a} d t=\frac{\partial \mathrm{x}}{\partial a} \delta \mathrm{x}^{\prime}+\frac{\partial \mathrm{y}}{\partial a} \delta \mathrm{y}^{\prime}+\frac{\partial \mathrm{z}}{\partial a} \delta \mathrm{z}^{\prime}-\frac{\partial \mathrm{x}^{\prime}}{\partial a} \hat{\delta \mathrm{x}}-\frac{\partial \mathrm{y}^{\prime}}{\partial a} \delta \mathrm{y}-\frac{\partial \mathrm{z}^{\prime}}{\partial a} \delta \mathrm{z} ;
\]

аналогичные выражения мы получим, заменяя букву $a$ буквами $b, c, \ldots$ $\qquad$
*) См. Mémoires de la première classe de l’Institut pour $1808^{a}$ ). (Прим, Лаеранжа.)
a) Oeuvres de Lagrange,
т. VI, стр. 169 (Прим. Дарбу.)

Но мы имеем
\[
\begin{aligned}
\partial \mathrm{x} & =\frac{\partial \mathrm{x}}{\partial a} d a+\frac{\partial \mathrm{x}}{\partial b} d b+\frac{\partial \mathrm{x}}{\partial c} d c+\ldots \\
\delta \mathrm{x}^{\prime} & =\frac{\partial \mathrm{x}^{\prime}}{\partial a} d a+\frac{\partial \mathrm{x}^{\prime}}{\partial b} d b+\frac{\partial \mathrm{x}^{\prime}}{\partial c} d c+\ldots
\end{aligned}
\]

и аналогичные выражения для $\delta \mathrm{y}, \delta \mathrm{y}^{\prime}, \bar{z}, \delta \mathrm{z}^{\prime}$; произведя эти подстановки, мы получим для $\frac{\partial Q}{\partial a}, \frac{\partial Q}{\partial b}, \ldots$ те же самые формулы, какие мы нашли выше.

Но из этих формул вытекает одно важное следствие, заключающееся в том, что вариация функции $Q$, поскольку она зависит от вариации элементов $a, b, c, \ldots$, всегда равна нулю. В самом деле, если в дифференциале
\[
\frac{\partial 2}{\partial a} d a+\frac{\partial z}{\partial b} d b+\frac{\partial z}{\partial c} d c+\ldots
\]

подставить значения $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a}, \frac{\partial_{2}}{\partial b}, \ldots$, выраженные через $\frac{d a}{d t}, \frac{d b}{d t}, \ldots$, то мы найдем, что все члены взаимно уничтожаются; последнее представляет собою очень интересный результат.
66. Так как решение основной задачи, при которой возмущающие силы совершенно не принимаются в расчет, должно дать значения $x, y, z$ в функции $t$ и произвольных постоянных $a, b, c, \ldots$, следует лишь в этих выражениях, а также в выражениях их производных по $t$ положить сначала $t=0$, а затем взять их частные производные по $a, b, c$, .. Таким образом, мы легко получим коэффициенты дифференциалов $d a$, $d b, \ldots$ в значениях $\frac{\partial Q}{\partial a} d t, \frac{\partial Q}{\partial b} d t, \ldots$, и тогда все сведется лишь к тому, чтобы определить сами дифференциалы с помощью линейных исключений, как я это сделал в упомянутом выше мемуаре применительно к элементам планет.

С этой точки зрения формулы пункта 63 имеют, повидимому, преимущество, заключающееся в том, что они непосредственно дают указанные дифференциалы; однако они требуют предварительного получения выражений произвольных постоянных $a, b, c, \ldots$ в функции переменных $x, y, z$ и их производных, что во многих случаях может быть осуществлено лишь путем исключений порядка более высокого, чем первый; затем после того, как взяты их частные производные по $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, следует в них снова подставить выражения этих переменных в функции $a, b, c, \ldots$, так как в конечном результате коэффициенты $(a, b),(a, c), \ldots$ должны быть функциями $a, b$, $c, \ldots$, но без $t$, в чем и заключаются сущность и ценность этого анализа.

Но во всяком случае, после того как в § І мы дали очень простые выражения для координат $x, y, z$ в функции $t$ и $a, b, c, h, i, k$, мы применим здесь формулы последнего пункта с тем, чтобы из вих получить вариации элементов $a, b, c, \ldots$ подобно тому как мы это сделали в упомянутом выше мемуаре, ибо вычисление на шснове этих формул производится с такой простотой и изяществом, которые почти не осуществимы при пользовании другими формулами.
67. Обратимся снова к выражениям для $x, y, z$, данным в пункте 13:
\[
x=\alpha X+\beta Y, \quad y=\alpha_{1} X+\beta_{1} Y, z=\alpha_{2} X+\beta_{2} Y,
\]

в которых (п. 17)
\[
X=a(\cos \theta-e), \quad Y=a \sqrt{1-e^{2}} \sin \theta,
\]

где угол $\theta$ определяется с помощью уравнения (п. 16)
\[
t-c=\sqrt{\frac{a^{3}}{g}}(\theta-e \sin \theta) .
\]

Эти формулы обладают тем преимуществом, что три элемента орбиты $a, b, c$ входят лишь в состав выражений для переменных величин $X Y$ и, следовательно, отделены от трех элементов $h, i, k$, которые зависят от положения орбиты и функциями которых являются коэффициенты $\alpha, 3, \alpha^{\prime}, \ldots$ (п. 13).

Рассмотрим сначала выражение
\[
\frac{\partial x}{\partial \dot{a}} \frac{\partial x^{\prime}}{\partial b}+\frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial y^{\prime}}{\partial b}+\frac{\partial z}{\partial a} \frac{\partial z^{\prime}}{\partial b} \cdots \frac{\partial x^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial x}{\partial b}-\frac{\partial y^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial b}-\frac{\partial z^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial z}{\partial b}
\]

и подставим в него приведенные выше значения $x, y, z$; положив
\[
X^{\prime}=\frac{d X}{d t}, \quad Y^{\prime}=\frac{d Y}{t},
\]

мы получим для $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ такие же выражения, в которых величины $X, Y$ будут снабжены одним штрихом; так как постоянғые величины $a, b$ входнт лишь в состав $X$ и $Y$, то мы будем иметь
\[
\begin{array}{ll}
\frac{\partial x}{\partial a}=\boldsymbol{\partial} \frac{\partial X}{\partial a}+\beta \frac{\partial Y}{\partial a}, & \frac{\partial x^{\prime}}{\partial a}=\alpha \frac{\partial X^{\prime}}{\partial a}+\beta \frac{\partial Y^{\prime}}{\partial a}, \\
\frac{\partial x}{\partial b}=\alpha \frac{\partial X}{\partial b}+\beta \frac{\partial Y}{\partial b}, & \frac{\partial x^{\prime}}{\sigma b}=\gamma \frac{\partial X^{\prime}}{\partial b}+\beta \frac{\partial Y^{\prime}}{\partial b}
\end{array}
\]

а заменив буквы $\alpha, \beta$ буквами $\alpha_{1}, \beta_{1}$ и $\alpha_{2}, \beta_{2}$, мы получим значения $\frac{\partial y}{\partial a}, \frac{\partial y^{\prime}}{\partial a}, \ldots$

Если эти выражения годставить в приведенное выше выражение и принять во внимание условные уравнения
\[
\alpha^{2}+\alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}=1, \quad \beta^{2}+\beta_{1}^{2}+\beta_{2}^{2}=1, \quad \alpha \beta+\alpha_{1} \beta_{1}+\alpha_{2} \beta_{2}=0,
\]

существующие мекду коэффициентами $\alpha, \beta, \alpha_{1}, \ldots$ (II. 14), то это выражение примет следующий вид:
\[
\frac{\partial X}{\partial a} \frac{\partial X^{\prime}}{\partial b}+\frac{\partial Y}{\partial a} \frac{\partial Y^{\prime}}{\partial b}-\frac{\partial X^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial X}{\partial b}-\frac{\partial Y^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial Y}{\partial b},
\]

при котором величины $\alpha, \beta, \alpha^{\prime}, \ldots$, зависящие от положения орбиты, как видим, исчезли.

Аналогичный результат получится для частных производных по $c$, причем для этого достаточно в приведенной выше формуле заменить $a$ буквой $b$ и $b$ буквой $c$.

Следовательно, если в $X, Y, X^{\prime}, Y^{\prime}$ подставить их выражения в функции $t$, затем положить $t$ равным нулю или какой-либо определенной величине и через $\mathrm{X}, \mathrm{Y}, \mathrm{X}^{\prime}, \mathrm{Y}^{\prime}$ обозначить те значения, какие примут $X$, $Y, X^{\prime}, Y^{\prime}$, то мы получим (п. 64)
\[
[a, b]=\frac{\partial \mathrm{X}}{\partial a} \frac{\partial \mathrm{X}^{\prime}}{\partial b}+\frac{\partial \mathrm{Y}}{\partial a} \frac{\partial \mathrm{Y}^{\prime}}{\partial b}-\frac{\partial \mathrm{X}^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial \mathrm{X}}{\partial b}-\frac{\partial \mathrm{Y}^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial \mathrm{Y}}{\partial b} ;
\]

точно так же мы получим величины $[a, c],[b, c]$, заменив в частных дифференциалах букву $b$ буквой $c$ и букву $a$ буквой $b$.
68. Но мы имеем
\[
X=a(\cos \theta-c), \quad Y=a \sqrt{1-e^{2}} \sin t ;
\]

следовательно, так как $X^{\prime}=\frac{d X}{d t}, Y^{\prime}=\frac{d Y}{d t}$, мы получаем
\[
X^{\prime}=-a \sin \theta \frac{d \theta}{d t}, \quad Y^{\prime}=a \sqrt{1-e^{2}} \cos \theta \frac{d \theta}{d t} .
\]

Но из уравнения
\[
(t-c) \sqrt{\frac{\bar{g}}{a^{3}}}=\theta-e \sin \theta
\]

дифферендированием получаем
\[
\frac{d \theta}{d t}=\frac{\sqrt{\bar{g}}}{1-e \cos \theta} ;
\]

следовательно, мы имеем
\[
X^{\prime}=-\sqrt{\frac{\bar{g}}{a}} \frac{\sin \theta}{1-e \cos \theta}, \quad Y^{\prime}=\sqrt{\frac{\overline{g\left(1-e^{2}\right)}}{a}} \frac{\cos \theta}{1-e \cos \theta} .
\]

Эти формулы следует тешерь шродифференцировать, варьируя три постоянные величины $a, e, c$; вариадии по этим постоянным будем обозначать символом $\delta$; этим путем мы сначала получим
\[
\delta \theta=\frac{t(-c) d \sqrt{\frac{\bar{g}}{a^{3}}}+\sin \theta d e-\sqrt{\frac{\bar{g}}{a^{3}}} d c}{1-e \cos \theta}
\]

и затем
\[
\begin{aligned}
\delta X= & -a \sin \theta \delta \theta+\cos \theta d a-d(a e), \\
\delta Y= & a \sqrt{1-e^{2}} \cos \theta \delta \theta+\sin \theta d\left(a \sqrt{1-e^{2}}\right), \\
\delta X^{\prime}= & -\sqrt{\frac{g}{a}} \frac{\cos \theta-e}{(1-e \cos \theta)^{2}} \delta \theta- \\
& -\sqrt{\frac{g}{a}} \frac{\sin \theta \cos \theta}{(1-e \cos \theta)^{2}} d e-\frac{\sin \theta}{1-e \cos \theta} d \sqrt{\frac{g}{a}}, \\
\delta Y^{\prime}= & -\sqrt{\frac{g}{a}} \sqrt{1-e^{2}} \frac{\sin \theta}{(1-e \cos \theta)^{2}} \partial \theta+ \\
& +\sqrt{\frac{g}{a}} \sqrt{1-e^{2}} \frac{\cos ^{2} \theta}{(1-e \cos \theta)^{2}} d e+ \\
& +\frac{\cos \theta}{1-e \cos \theta} d\left(\sqrt{\frac{g}{a}} \sqrt{1-e^{2}}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь можно положить $t=0$, однако проще будет положить $t=c$, что дает также $\theta=0$; заменив буквы $X, Y$ буквами $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$, мы таким образом получим
\[
\begin{aligned}
\delta \theta & =-\sqrt{\frac{g}{a^{3}}} \frac{d c}{1-e}, \\
\delta \mathrm{X} & =(1-e) d a-a d e, \\
\delta \mathrm{Y} & =a \sqrt{1-e^{2}} \iota \theta=-\sqrt{\frac{g}{a} \frac{\sqrt{1-e^{2}}}{1-e}} d c, \\
\delta \mathrm{X}^{\prime} & =-\sqrt{\frac{\bar{g}}{a}} \frac{\delta 0}{1-e}=\frac{g}{a^{2}} \frac{d e}{(1-e)^{2}}, \\
\delta \mathrm{Y}^{\prime} & =\sqrt{\frac{g}{a}} \sqrt{1-e^{2}} \frac{d e}{(1-e)^{2}}+\frac{d\left(\sqrt{\frac{g}{a}} \sqrt{1-e^{2}}\right)}{1-e}= \\
& =d\left(\sqrt{\frac{g}{a}} \frac{\sqrt{1-e^{2}}}{1-e}\right)== \\
& =\frac{\sqrt{1-e^{2}}}{1-e} d \sqrt{\frac{g}{a}}+\sqrt{\frac{g}{a}} \frac{d e}{(1-e) \sqrt{1-e^{2}}} .
\end{aligned}
\]
69. Мы сохранили здесь величину $e$, представляющую собою эксцентриситет, но если желательно вместо нее воспользоваться параметром $b=a\left(1-e^{2}\right)$, то, дифференцируя, получим
\[
d e=\frac{\left(1-e^{2}\right) d a-d b}{2 a e},
\]

и выражения для $\delta \mathrm{X}$ и $\delta \mathrm{Y}^{\prime}$, содержащие $d e$, примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\partial \mathrm{X}=\frac{-(1-e)^{2} d a+d b}{2 e}, \\
\delta \mathrm{Y}^{\prime}=\sqrt{\frac{\sigma}{a}} \frac{\sqrt{1-e^{2}}}{2 a e} d a-\sqrt{\frac{g}{a}} \frac{d b}{2 a e(1-e) \sqrt{1-e^{2}}} . \\
\end{array}
\]

Отсюда мы получим частные прсизводные
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \mathrm{Y}^{\prime}}{\partial b}=-\boldsymbol{V}^{\prime} \frac{\mathrm{g}}{a} \frac{1}{2 a e(1-e) \sqrt{1-e^{2}}}, \quad \frac{\partial \mathrm{Y}^{\prime \prime}}{\partial c}=0, \\
\end{array}
\]

а путем подстановки этих выражений в выражен қля символов $[a, b],[a, c],[b, c]$ пунктя 67 мы най¡ем
\[
\begin{array}{l}
{[a, b]=0,} \\
{[a, c]=-\frac{g}{2 a^{2} e}+\frac{g\left(1-e^{2}\right)}{2 a^{2} e(1-e)}=\frac{g}{2 a^{2}}} \\
{[b, c]=\frac{g}{2 a^{2} e}\left[\frac{1}{(1-e)^{2}}-\frac{\sqrt{1-e^{2}}}{(1-e)^{2} \sqrt{1-e^{2}}}\right]=0 .}
\end{array}
\]

Те же результаты мы получили бы, заменяя $b$ величиной $e$, если бы мы пожелали сохранить эксцентриситет вместо параметра.

70. Рассмотрим теперь выражение
\[
\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial x^{\prime}}{\partial h}+\frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial y^{\prime}}{\partial h}+\frac{\partial z}{\partial a} \frac{\partial z^{\prime}}{\partial h}-\frac{\partial x^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial x}{\partial h}-\frac{\partial y^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial h}-\frac{\partial z^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial z}{\partial h} .
\]

Так как величина $h$ входит только в коэффициенты $\alpha, \beta, \alpha_{1}, \ldots$, не содержащие $a$, то мы имеем
\[
\frac{\partial x}{\partial h}=\frac{\partial x}{\partial h} X+\frac{\partial \beta}{\partial h} Y, \quad \frac{\partial x^{\prime}}{\partial h}=\frac{\partial \alpha}{\partial h} X^{\prime}+\frac{\partial \beta}{\partial h} Y^{\prime} ;
\]

подставив $\alpha_{1}, \beta_{1}$ и $\alpha_{2}, \beta_{2}$ вместо $\alpha, \beta$, мы получим значения $\frac{\partial y}{\partial h}, \frac{\partial y^{\prime}}{\partial h}, \frac{\partial z}{\partial h}, \frac{\partial z^{\prime}}{\partial h}$. Что касается частных производных по $a$, то они будут теми же, что и в предыдущем пункте.

Произведя эти подстановки, мы заметим, что путем дифференцирования указанных выше условных уравнений получается
\[
\begin{array}{c}
\alpha d \alpha+\alpha_{1} d \alpha_{1}+\alpha_{2} d \alpha_{2}=0, \quad \beta d \beta+\beta_{1} d \beta_{1}+\beta_{2} d \beta_{2}=0, \\
\alpha d \beta+\alpha_{1} d \beta_{1}+\alpha_{2} d \beta_{2}=-\beta d \alpha-\beta_{1} d \alpha_{1}-\beta_{2} d \alpha_{2} ;
\end{array}
\]

так что, если положить для сокращения
\[
\beta d x+\beta_{1} d \alpha_{1}+\beta_{2} d \alpha_{2}=d \%
\]
(я применяю здесь знак дифференциала $d^{*}$ ), хотя величина $d \%$ не представляет собою полного дифференциала), то формула
\[
\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial x^{\prime}}{\partial h}+\frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial y^{\prime}}{\partial h}+\frac{\partial z}{\partial a} \frac{\partial z^{\prime}}{\partial h}
\]

преобразуется к следующему виду:
\[
\left(X^{\prime} \frac{\partial Y}{\partial a}-Y^{\prime} \frac{\partial X}{\partial a}\right) \frac{\partial \gamma}{\partial h},
\]
*) В данной задаче имеется лишь одна независимая переменная величина, а именно-время. Тагим образом, всякое дифференциальное выражение может быть проинтегрировано, и следовательно, замечание Лагранжа представляется бесполезным. Я бы прпбавил, что это замечание может смутить читателя, который ниже (п. 73) увидит, что эта же буква принята в качестве одной из переменных постоянных задачи. (Iрим. Бертрана.) [13].

а выражение
\[
\frac{\partial x^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial x}{\partial h}+\frac{\partial y^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial h}+\frac{\partial z^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial z}{\partial h},
\]
-к следующему аналогичному виду:
\[
\left(X \frac{\partial Y^{\prime}}{\partial a}-Y \frac{\partial X^{\prime}}{\partial a}\right) \frac{\partial \gamma}{\partial h} .
\]

Вычтя вторую из этих величин из первой и приняв во внимание, что
\[
X^{\prime} d Y+Y d X^{\prime}=d\left(X^{\prime} Y\right) \text { и } \quad Y^{\prime} d X+X d Y^{\prime}=d\left(X Y^{\prime}\right),
\]

мы получим в результате преобразования рассматриваемой формулы, содержащей частные производные по $a$ и $h$, нижеследующее выражение:
\[
\frac{\partial\left(Y X^{\prime}-X Y^{\prime}\right)}{\partial a} \frac{\partial \chi}{\partial h} ;
\]

аналогичные преобразования получатся, если букву $a$ заменить буквами $b$ и $c$ и букву $h$-буквами $i$ и $k$.
71. Нам остается еще рассмотреть формулы, в которые входят лишь частные производные по $h, i, k$; так как эти величины входят только в состав коэффициентов $\alpha, \beta, \alpha_{1}, \ldots$, то только эти коэффициенты и становятся переменными величинами.

Дифферендиалы этих коэффициентов приводятся к очень простому виду, если применить аналогичные коэффициенты $\gamma, \gamma^{\prime}, \gamma^{\prime \prime}$ и принять во внимание условные уравнения между этими различными коэффициентами (п. 14).
В самом деле, если положить
\[
\begin{array}{l}
\gamma d \alpha+\gamma_{1} d \alpha_{1}+\gamma_{2} d \alpha_{2}=d \pi \\
\gamma d \beta+\gamma_{1} d \beta_{1}+\gamma_{2} d \beta_{2}=d_{J},
\end{array}
\]

то три уравнения
\[
\begin{array}{l}
\alpha d \alpha+\alpha_{1} d \alpha_{1}+\alpha_{2} d \alpha_{2}=0, \\
\beta d \alpha+\beta_{1} d \alpha_{1}+\beta_{2} d \alpha_{2}=d \%, \\
\gamma d \alpha+\gamma_{1} d \alpha_{1}+\gamma_{2} d \alpha_{2}=d \pi,
\end{array}
\]

будучи умножены первое на $\alpha$, второе на $\beta$ и третье на $\gamma$ и затем сложены, дают
\[
d x=\beta d \gamma+\gamma d \pi
\]

если же их умножить соответственно на $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}$ и на $\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}$ и затем сложить, то мы получим аналогично
\[
\begin{array}{l}
d \alpha_{1}=\beta_{1} d \chi+\gamma_{1} d \pi, \\
d \alpha_{2}=\beta_{2} d \%+\gamma_{2} d \pi .
\end{array}
\]

Точно так же три уравнения
\[
\begin{array}{l}
\alpha d \beta+\alpha_{1} d \beta_{1}+\alpha_{2} d \beta_{2}=-d \%, \\
\beta d \beta+\beta_{1} d \beta_{1}+\beta_{2} d \beta_{2}=0, \\
\gamma d \beta+\gamma_{1} d \beta_{1}+\gamma_{2} d \beta_{2}=d \sigma
\end{array}
\]

дадут
\[
\begin{array}{c}
d \beta=-\alpha d \gamma+\gamma d \sigma \\
d \beta_{1}=-\alpha_{1} d \gamma+\gamma_{1} d \sigma \\
d \beta_{2}=-\alpha_{2} d \%+\gamma_{2} d \sigma .
\end{array}
\]

Наконед, три уравнения
\[
\begin{array}{l}
\alpha d \gamma+\alpha_{1} d \gamma_{1}+\alpha_{2} d \gamma_{2}=-d \pi, \\
\beta d \gamma+\beta_{1} d \zeta_{1}+\beta_{2} d \gamma_{2}=-d \sigma, \\
\gamma d \gamma+\gamma_{1} d \gamma_{1}+\gamma_{2} d \gamma_{2}=0
\end{array}
\]

аналогично дадут
\[
\begin{array}{c}
d \gamma=-\alpha d \pi-\beta d \sigma, \\
d \gamma_{1}=-\alpha_{1} d \pi-\beta_{1} d \sigma, \\
d \gamma_{2}=-\alpha_{2} d \pi-\beta_{2} d \sigma .
\end{array}
\]
72. С помощью приведенных выше формул мы получим
\[
\frac{\partial x}{\partial h}=X \frac{\partial \alpha}{\partial h}+Y \frac{\partial \beta}{\partial h}=(\beta X-\alpha Y) \frac{\partial \chi}{\partial h}+\gamma\left(X \frac{\partial \pi}{\partial h}+Y \frac{\partial \sigma}{\partial h}\right) ;
\]

а снабдив величины $\alpha, \beta, \gamma$ индексом 1 или 2 , мы получим значения $\frac{\partial y}{\partial h}, \frac{\partial z}{\partial h}$; для того чтобы получить значения $\frac{\partial x^{\prime}}{\partial h}, \frac{\partial y^{\prime}}{\partial h}, \frac{\partial z^{\prime}}{\partial h}$, следует лишь снадить штрихом величины $X$ и $Y$. То же самое будет иметь место и для частных производных по $i$ и $k$, для чего нридется лишь букву $h$ заменить буквами $i$ и $k$.

Если произвести указанные подстановки и принять во внимание те же условные уравнения, то выражение
\[
\frac{\partial x}{\partial h} \frac{\partial x^{\prime}}{\partial i}+\frac{\partial y}{\partial \tilde{h}} \frac{\partial y^{\prime}}{\partial i} \cdot \frac{\partial z}{\partial h} \frac{\partial z^{\prime}}{\partial i} \cdots \frac{\partial x^{\prime}}{\partial h} \frac{\partial x}{\partial i}-\frac{\partial y^{\prime}}{\partial h} \frac{\partial y}{\partial i}-\frac{\partial z^{\prime}}{\partial h} \frac{\partial z}{\partial i}
\]

преобразуется к следующему виду:
\[
\begin{array}{l}
\left(X \frac{\partial \pi}{\partial h}+Y \frac{\partial \sigma}{\partial h}\right)\left(X^{\prime} \frac{\partial \pi}{\partial i}+Y^{\prime} \frac{\partial \sigma}{\partial i}\right)- \\
-\left(X^{\prime} \frac{\partial \pi}{\partial h}+Y^{\prime} \frac{\partial \sigma}{\partial h}\right)\left(X \frac{\partial \pi}{\partial i}+Y \frac{\partial \sigma}{\partial i}\right)= \\
-\left(X Y^{\prime}-Y X^{\prime}\right)\left(\frac{\partial \pi}{\partial h} \frac{\partial \sigma}{\partial i}-\frac{\partial \pi}{\partial i} \frac{\partial \sigma}{\partial h}\right) .
\end{array}
\]

Аналогичные выражения мы получим, заменяя букву $h$ буквами $i$ и $k$.

Так как коэффициенты $\alpha, \beta, \gamma, \alpha^{\prime}, \ldots$, являются функциями трех элементов $h, i, k$ (II. 13 п 14), то и три величины $d \gamma, d \pi, d \sigma$, введенные нами в предшествующих формулах, должны быть функциями тех же элементов; если в значениях этих трех величин подставить выражения для $\alpha, \beta, \ldots$, приведенные в упомянутых пунктах, то после нескольких очень простых преобразований мы найдем
\[
\begin{array}{l}
d \chi=d k+\cos i d h, \\
d \pi=-\cos k \sin i d h+\sin k d i, \\
d \sigma=\sin k \sin i d h+\cos k d i .
\end{array}
\]

Но эти величины служат не только для упрощения расчета; они очень просто представляют мгновенные изменения положения орбиты. В самом деле, так как плоскость $x y$, к которой мы отнесли наклонение $i$ и долготу $h$ узла, является производьной, ее можно в некоторое мгновение совместить с плоскостью орбиты, положив $i=0$; тогда мы будем иметь;
\[
d \%=d k+d h, \quad d \pi=\sin k d i, \quad d \sigma=\cos k d i .
\]

В этом случае $h+k$ будет углом, образуемым большой осью эллипса с некоторой неподвижной линией, следовательно, $d h+d k$ или $d \%$ будет элементарным вращением большой оси орбиты в ее плоскости.

Элементарный угол $d i$ является наклонением между двумя следующими друг за другом положениями приобревшей подвижность плоскости орбиты, а угол $h$ является долготой узла, образуемого этими двумя положениями, измеренной в той же плоскости; слецовательно, если эти цва элемента обозначить через $d i^{\prime}$ и $h^{\prime}$, то мы будем иметь
\[
d i^{\prime}=\sqrt{d \pi^{2}+d \sigma^{2}} \text { и } \operatorname{tg} h^{\prime}=\frac{d \pi}{d \sigma} .
\]

Таким образом, мгновенное изменение положения орбиты определяется тремя элементами $d \%, d \pi, d s$ совершенно независимо от какой-либо плоскости проекции.
73. Теперь очень легко найти другие коэффициенты, выражаемые символами $[a, h],[b, h], \ldots ;$ для этого достаточно вместо $X Y^{\prime}-Y X^{\prime}$, т. е. вместо $\frac{X d Y-Y d X}{d t}$. подставить его значение, которое равно $D$ (п. 11), или $\sqrt{g b}$ (п. 15), и вместо $d \%, d \pi, d j$ – их выражения через $h, i, k$, приведенные в предыдущем пункте, но вместо элемента $k$ мы сохраним элемент $\% *)$, выражающий угол, описываемый большой осью орбиты
*) Следует признать, что последующее применение формул нункта 6є потребовало бы некоторых объяснений, так как эти формулы предполагают $\Omega$ выраженной в функции постоянных элиптического движения, а буква $\%$ не принадлежит $\kappa$ их числу. Эта буква $\%$ не имеет собственно точного значения, так как она определяется лишь по своему дифференциалу. См. по әтому поводу очень обоснованные замечания Бинэ (Journal de l’Ecole Polytéchnique, выш. XXVIII, т. XVII, стр. 76). (IIри. Бертрана.) [14].

при ее вращении в своей подвижной плоскости; это будет собственно движением афелия или шеригелия в самой плоскости орбиты. Таким образом, мы будем иметь
\[
\chi=k+\int \cos i d h
\]

следовательно,
\[
k=\%-\int \cos i d h ;
\]

затем
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \chi}{\partial \chi}=1, \quad \frac{\partial \pi}{\partial h}=-\cos k \sin i, \quad \frac{\partial \pi}{\partial i}=\sin k, \\
\frac{\partial \sigma}{\partial h}=\sin k \sin i, \quad \frac{\partial \sigma}{\partial i}=\cos k,
\end{array}
\]

все же другие частные производные будут равны нулю, вследствие чего мы будем иметь
\[
\frac{\partial \pi}{\partial h} \frac{\partial s}{\partial i}-\frac{\partial \pi}{\partial i} \frac{\partial s}{\partial h}=-\sin i .
\]

Отсюда мы получим
\[
\begin{array}{lll}
{[a, h]=0,} & {[a, i]=0,} & {[a, \chi]=0,} \\
{[b, h]=0,} & {[b, i]=0,} & {[b, \chi]=-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{b}}} \\
{[c, h]=0,} & {[c, i]=0,} & {[c, \chi]=0,} \\
{[h, i]=-\sqrt{g b} \sin i,} & {[h, \chi]=0,} & {[i, \chi]=0 .}
\end{array}
\]
74. Эти значения, взятые совместно с теми, которые мы уже нашли выше (п. 69), наконец, дадут
\[
\begin{array}{llrl}
\frac{\partial Q}{\partial a} d t=\frac{g}{2 a^{2}} d c, & \frac{\partial Q}{\partial \bar{b}} d t=-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{b}} d \gamma, \\
\frac{\partial \Omega}{\partial c} d t=-\frac{g}{2 a^{2}} d a, & \frac{\partial 2}{\partial h} d t=-\sqrt{g b} \sin i d i, \\
\frac{\partial Q}{\partial i} d t=\sqrt{g b} \sin i d h, & \frac{\partial 2}{\partial \chi} d t=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{b}} d b,
\end{array}
\]

откуда вытекают нижеследующие очень простые выражения для вариаций эллиптических элементов:
\[
\begin{array}{rlrl}
d a & =-\frac{2 a^{2}}{g} \frac{\partial 2}{\partial c} d t, & d c=\frac{2 a^{2}}{g} \frac{\partial 2}{\partial a} d t, \\
d b & =\frac{2 \sqrt{b}}{\sqrt{g}} \frac{\partial 2}{\partial \%} d t, & d \gamma & =-\frac{2 \sqrt{b}}{\sqrt{g}} \frac{\partial 2}{\partial b} d t, \\
d h & =\frac{1}{\sqrt{g b} \sin i} \frac{\partial 2}{\partial i} d t, & d i & =-\frac{1}{\sqrt{g b} \sin i} \frac{\partial Q}{\partial h} d t .
\end{array}
\]
75. Мы получили бы несколько менее простые формулы, если бы вместо параметра $b$ захотели сохранить эксцентриситет $e$. В этом случае, в силу соотношения $b=a\left(1-e^{2}\right)$, мы имели бы
\[
X Y^{\prime}-Y X^{\prime}=\sqrt{g a \overline{\left(1-e^{2}\right)},}
\]

откуда получается
\[
[a, \chi]=-\frac{\sqrt{g\left(1-e^{2}\right)}}{2 \sqrt{a}}, \quad[e, \chi]=\frac{e \sqrt{g a}}{\sqrt{1-e^{2}}},
\]

и величины $\frac{\partial Q}{\partial a} d t, \frac{\partial \rho}{\partial e} d t, \frac{\partial Q}{\partial \chi} d t$ приняли бы следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \Omega}{\partial a} d t=\frac{g}{2 a^{2}} d c-\frac{\sqrt{g\left(1-e^{2}\right)}}{2 \sqrt{a}} d \chi, \\
\frac{\partial \Omega}{\partial e} d t=\frac{e \sqrt{g a}}{\sqrt{1-e^{2}}} d \%, \\
\frac{\partial \Omega}{\partial \%} d t=\frac{\sqrt{g\left(1-e^{2}\right)}}{2 \sqrt{a}} d a-\frac{e \sqrt{g a}}{\sqrt{1-e^{2}}} d e ;
\end{array}
\]

если вместо $d a$ подставить приведенное выше его выражение, то мы получим
\[
\begin{array}{l}
d c=\frac{2 a^{2}}{g} \frac{\partial Q}{\partial a} d t+\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{e \zeta} \frac{\partial Q}{\partial e} d t, \\
d e=-\frac{\sqrt{1-e^{2}}}{e \sqrt{g a}} \frac{\partial Q}{\partial \%} d t-\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{e g} \frac{\partial S}{\partial c} d t, \\
d \gamma=\frac{\sqrt{1-e^{2}}}{e \sqrt{\overline{g a}}} \frac{\partial \Omega}{\partial e} d t .
\end{array}
\]

Эти выражения следует взять вместо $d e, d c, d \%$ предыдущего пункта, остальные же остаются без изме нения.

Таким образом, с помощью приведенных формул можно определить действие возмущающих сил на движение планеты, делая переменными те величины, которые при отсутствии этих сил оставались бы постоянными; но, хотя этим путем можно определить все неравенства, обязанные своим существованием возмущениям, данные нами формулы особенно полезны для установления тех неравенств, которые называют вековыми, так как эти неравенства, будучи независимы от периодов движений планет, чувствительно влияют на их элементы и вызывают в вих изменения, либо возрастающие со временем, либо периодические, но со своими собственными периодами большой продолжительности.
76. Діля определения вековых возмущений необходимо лишь вместо $Q$ подставить непериодическую часть этой функции, т. е. первый член разложения $Q$ в ряды синусов и косинусов углов, зависящих от средних движений возмущаемой и возмущающих планет. Действительно, так как $Q$ является только функцией эллиптических координат этих планет, которые всегда – по крайней мере в том случае, когда эксцентриситеты и наклонения незначительны-могут быть разложены в ряды синусов и косинусов углов, пропорциональных аномалиям и срелним долготам, то функдию 2 можно разложить в ряд подобного же вида, и тогда первый член, не содержащий синуса и косинуса, будет единственным, который может дать вековые уравнения.

Обозначим через (Q) этот первый член разложения $Q$, который будет представлять собою функцию элементов $a, b, c, e, h, i$ возмущаемой планеты и подобных же элементов возмущающих шланет; ясно, что әлемент $c$, который всегда связан со временем $t$, сюда входить не будет; следовательно, подставив (Q) вместо $Q$, мы получим для вековых изменений следующие формулы:
\[
\begin{array}{l}
d a=0, \\
d e=-\frac{\sqrt{1-e^{2}}}{e \sqrt{g a}} \frac{\partial(\underline{g})}{\partial \%} d t, \\
d h=\frac{1}{\sqrt{g b} \sin i} \frac{\partial(\Omega)}{\partial i} d t, \\
d c=\frac{2 a^{2}}{g} \frac{\partial(\boldsymbol{\Omega})}{\partial a} d t+\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{e g} \frac{\partial(\Omega)}{\partial e} d t, \\
d \chi=\frac{\sqrt{1-e^{2}}}{e \sqrt{\overline{g a}}} \frac{\partial(\Omega)}{\partial e} d t, \\
d i=-\frac{1}{\sqrt{g b} \sin i} \frac{\partial(\Omega)}{\partial h} d t, \\
\end{array}
\]

где $b=a\left(1-e^{2}\right)$.
77. Уравнение
\[
d a=0
\]

показывает, что большая полуось, или среднее расстояние, не подвержено какому-либо вековому возмущению, что представляет собою лишь частный случай общей теоремы, доказанной нами в пункте 23 отдела V; в самом деле, величина $H$ этого пункта тождественна с величиной $H$ пункта 3 и следующих пунктов предыдущего отдела; поэтому ясно, что на основании пункта 15 мы имеем
\[
H=-\frac{g}{2 a} .
\]

Таким образом, к среднему расстоянию планет следует применить те выводы, которые мы нашли для живой силы любой системы (отд. V, § III).

Вариация $d c$ вызывает изменение среднего движения; действительно, так как $u=(t-c) \sqrt{\frac{g}{a^{3}}}$ является средней аномалией, т. е. углом среднего движения, отсчитываемым от перигелия (п. 19), то эта аномалия подвержена возмущению, выражающемуся через – $\sqrt{\frac{\vec{g}}{a^{3}}} d c$, так как $d a=0 ;$ а если сюда прибавить вариацию $d \chi$ места перигелия на орбите, то мы получим $d \chi-\sqrt{\frac{g}{a^{3}}} d c$ для векового возмущения средней долготы, которое мы обозначим через $d \lambda$.
Таким образом, мы имеем
\[
\begin{aligned}
d \lambda & =d \chi-\sqrt{\frac{\bar{g}}{a^{3}}} d c= \\
& =-2 \sqrt{\frac{a}{g}} \frac{\partial(Q)}{\partial a} d t+\frac{\sqrt{1-e^{2}}}{\sqrt{g \bar{a}}} \frac{e}{1+\sqrt{1-e^{2}}} \frac{\partial(Q)}{\partial e} d t,
\end{aligned}
\]

ибо
\[
1-\sqrt{1-e^{2}}=\frac{e^{2}}{1+\sqrt{1-e^{2}}} .
\]
78. Когда эксцентриситет $e$ очень мал, значения $d e$ и $d \chi$ представляют то неудобство, что они имеют в знаменателе очень малую величину $e$. Но это неудобство легко устранить, заменяя $e$ и $\gamma$ новыми переменными $e \sin \gamma, e \cos \%$.
Действительно, если положить
\[
\mathrm{m}=e \sin \chi, \quad \mathbf{n}=e \cos \chi,
\]

то мы будем иметь
\[
d \mathrm{~m}=\sin \chi d e+e \cos \gamma d \gamma, \quad d \mathrm{n}=\cos \gamma d e-e \sin \chi d \chi ;
\]

следовательно, подставив значения $d e$ п $d \%$, мы получим
\[
\begin{array}{l}
d \mathrm{~m}=+\frac{\sqrt{1-e^{2}}}{e \sqrt{g a}}\left[e \cos \gamma \frac{\partial(\Omega)}{\partial e}-\sin \gamma \frac{\partial(\Omega)}{\partial \chi}\right] d t \\
d \mathrm{n}=-\frac{\sqrt{1-e^{2}}}{e \sqrt{g a}}\left[e \sin \gamma \frac{\partial(\Omega)}{\partial e}+\cos \gamma \frac{\partial(\Omega)}{\partial \gamma}\right] d t .
\end{array}
\]

Если же (Q) рассматривать как функцию $e, \%$ и затем как функцию $m, n$, то мы будем иметь
\[
\frac{\partial(\Omega)}{\partial \chi} d \chi+\frac{\partial(\Omega)}{\partial e} d e=\frac{\partial(\Omega)}{\partial \mathrm{n}} d \mathrm{~m}+\frac{\partial(\Omega)}{\partial \mathrm{n}} d \mathrm{n} ;
\]

это тождество при подстановке выражений для $d \mathrm{~m}$ и $d \mathrm{n}$ дает следующие два:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial(\Omega)}{\partial \chi}=\frac{\partial(\Omega)}{\partial \mathrm{n}} e \cos \chi-\frac{\partial(\Omega)}{\partial \mathrm{n}} e \sin \gamma, \\
\frac{\partial(\Omega)}{\partial e}=\frac{\partial(\Omega)}{\partial \mathrm{n}} \sin \chi+\frac{\partial(\Omega)}{\partial \mathrm{n}} \cos \gamma ;
\end{array}
\]

следовательно, если произвести указанные подстановки в приведенных выше уравнениях, то мы получим следующие уравнения:
\[
d \mathrm{~m}=\frac{\sqrt{1-e^{2}}}{\sqrt{g a}} \frac{\partial(\Omega)}{\partial \mathrm{n}} d t, \quad d \mathrm{n}=-\frac{\sqrt{1-e^{2}}}{\sqrt{g a}} \frac{(\Omega)}{\partial \mathrm{m}} d t,
\]

которыми и можно заменить уравнения, дающие $d e$ и $d \%$ (п. 75$)$.

Аналогичные преобразования можно произвести над последними уравнениями, дающими значения $d h$ и $d i$.
Положим
\[
p=\sin i \sin h, \quad q=\sin i \cos h ;
\]

с помощью аналогичного приема мы найдем
\[
d p=\frac{\cos i}{\sqrt{g b}} \frac{\partial(\Omega)}{\partial q} d t, \quad d q=-\frac{\cos i}{\sqrt{g b}} \frac{\partial(\Omega)}{\partial p} d t .
\]
79. Возмущающие силы, рассматриваемые в теории планет, происходят вследствие притяжения других планет, и ниже мы дадим значение $\mathcal{Q}$, получающееся из этого притяжения; но как возмущающую силу можно также рассматривать и сопротивление, испытываемое планетами от некоторой очень разреженной среды, если предположить, что они плавают в этой среде. В этом случае, обозначая через $R$ сопротивление, мы положим, как в пункте 8 отдела II,
\[
\delta r=\frac{d x}{d s} \delta x+\frac{d y}{d s} \delta y+\frac{d z}{d s} \delta z,
\]

допуская, что сопротивляющаяся среда находится в покое.

В результате этого в выражении для $\delta Q$ появится член (п. 62)
\[
-R \delta r:=-R \frac{d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z}{d s} .
\]

Обычно сопротивление принимают пропорциональным квадрату скорости, которая равна $\frac{d s}{d t}$, и плотности среды, которую мы обозначим через $\Gamma$; таким образом, члены в выражении $\delta Q$, обязанные своим происхождением сопротивлению, будут иметь следующий вид:
\[
-\frac{\Gamma d s(d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z)}{d t^{2}} .
\]

Чтобы вычислить величину $d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z$, следует лишь применить формулы пунктов 67 и 70 , принимая при этом во внимание, что символ $d$ относится ко времени $t$, входящему лишь в значения $X$ и $Y$, а символ $\delta$ должен относиться $к$ произвольным постоянным $a, b, \ldots$, входящим в $X$ и $\mathbf{Y}$ в коэффициенты $\alpha, \beta, \alpha_{1}, \ldots$

Заменив в выражениях $d a, d \beta, \ldots$ символ $d$ символом $\delta$, мы, таким образом, будем иметь
\[
\begin{aligned}
d x & =\alpha d X+\beta d Y, d y=\alpha_{1} d X+\beta_{1} d Y, d z=\alpha_{2} d X+\beta_{2} d Y, \\
\delta x & =\alpha \hat{\delta} X+\beta \delta Y+X(\beta \delta \chi+\gamma \delta \pi)+Y(-\alpha \delta \gamma+\gamma \delta \sigma)= \\
& =\alpha(\delta X-Y \delta \gamma)+\beta(\delta \gamma Y+X \delta \gamma)+\gamma(X \delta \pi+Y \delta \sigma), \\
\delta y & =\alpha_{1}(\delta X-Y \delta \gamma)+\beta_{1}(\delta Y+X \delta \gamma)+\gamma_{1}(X \delta \pi+Y \delta \sigma), \\
\delta z & =\alpha_{2}(\delta X-Y \delta \gamma)+\beta_{2}(\delta Y+X \delta \gamma)+\gamma_{2}(X \delta \pi+Y \delta \sigma) .
\end{aligned}
\]

Отсюда, приняв во внимание условные уравнения между коэффициентами $\alpha, \beta, \gamma, \alpha_{1}, \ldots$ (п. 14), мы получим
\[
d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z=d X \delta X+d Y \delta Y+(X d Y-Y d X) \hat{\delta} \gamma,
\]

а если вместо $X$ и $Y$ подставить их значения $r \cos \Phi$, $r \sin \Phi$ (I. 13), то
\[
\begin{aligned}
d X \delta X+d Y \delta Y & =d r \delta r+r^{2} d \Phi \delta \Phi, \\
X d Y-Y d X & =r^{2} d \Phi, \\
d s=\sqrt{d X^{2}+d Y^{2}} & =\sqrt{d r^{2}+r^{2} d \Phi^{2}} .
\end{aligned}
\]

Таким образом, члены, которые следует прибавить к $८ \Omega$ в связи с сопротивлением среды, будут представлены выражением
\[
-\frac{\Gamma \sqrt{d r^{2}+r^{2} d
u^{2}}\left(d r \delta r+r^{2} d \Phi \delta \emptyset+r^{2} d \Phi \delta \gamma\right)}{d t^{2}},
\]

в котором следует лишь подставить вместо $r$ и Фих выражения в функции $t$, данные формулами пунктов 21,22 , принимая при этом во внимание, что символ $d$ относится к переменной $t$, а символ $\delta$– к произвольным постоянным.