На стр. 129 настоящего тома Лагранж показал, что коническое сечение, которое может быть описано под влиянием силы, действующей в направлении одного из фокусов обратно пропорционально квадрату расстояния или действующей по направлению к ценіру прямо пропорционально расстоянию, может быть при некоторых определенных условиях описано также под действием трех аналогичных сил, направленных к двум фокусам и к центру; это, говорит Јагранж, весьма замечательно.

Позднее Лежандр в своем «Traité des fonctions elliptiques» пришел $\kappa$ аналогичному, но более ясно выраженному выводу; действительно, на стр. 426 I тсма этого труда мы читаем:

«Пусть $A$ – верщина эллипа, фокусами которого служат точки $F$ и $G$; пусть $V^{\prime}$ – скорость в $A$, необходимая для того, чтобы этот эллипс был описан под действием силы $A$, приложенной к фокусу $F$; пусть точно так же $V^{\prime \prime}$ – скористь в $A$, необходимая для того, чтобы әллипс был описан под действием силы $B$, приложенной к другому фокусу $G$; если обе эти силы действуют одновременно на движущееся тело, и начальная скорость $V$ такова, что $V^{2}=V^{\prime 2}+V^{\prime \prime 2}$, то оно будет описывать ту же самую кривую».

Эти выводы представляют собою лищь следствия общей теоремы, которую можно выразить следующим образом:

Теорема. Если несколько масс $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$, подверженных соответственно действию сил $F, F^{\prime}, F^{\prime \prime}, \ldots$ и выходящих из точки $A$ со скоростяии $v_{0}, v_{0}^{\prime}, v_{0}^{\prime \prime}, \ldots$, имеющими различные величины, но одинаковое направление, описывают одну и ту же кривую $A C B$, то некоторая масса $M$, подверженная действию равнодействующей сил $F, F^{\prime} ; F^{\prime \prime}, \ldots$ и выходящая из точки $A$ со скоростью $V_{0}$, имеющей то же самое направление, что и скорости $v_{0}, v_{0}^{\prime}, v_{0}^{\prime}, \ldots$ будет также описывать кривую $A C B$, если только силы $F, F^{\prime} F^{\prime \prime}, \ldots$ не зависят от времени и начальная живая сила $M V_{0}^{2}$ массы $M$ равна сумме
\[
m v_{0}^{2}+m^{\prime} m v_{0}^{\prime 2}+m^{\prime \prime} v_{0}^{\prime \prime 2}+\ldots
\]

начальных живых сил масс $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$
Доказательство. Для краткости назовем частными движениями те движения, которые вызываются силами $\widetilde{F}, F^{\prime}, F^{\prime \prime}, \ldots$, когда они действуют порознь, и сложным – то движение, которое вызывается равнодействующей этих сил.

Если тело $M$ не ошисывает кривой $A C B$ при сложном движении, его можно заставить описывать эту кривую, прибавив к равнодей:твующей сил $F, F^{\prime}, F^{\prime \prime}, \ldots$ некоторую соответственным образом выбранную нормальную силу, и тогда мы будем иметь известные уравнения
\[
\begin{array}{l}
M \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=X+X^{\prime}+X^{\prime \prime}+\ldots+N \cos \alpha=\sum X+N \cos \alpha, \\
M \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=Y+Y^{\prime}+Y^{\prime \prime}+\ldots+N \cos \beta=\sum Y+N \cos \beta, \\
M \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=Z+Z^{\prime}+Z^{\prime \prime}+\ldots+N \cos \gamma=\sum Z+N \cos \gamma,
\end{array}
\]

где $x, y, z$ выражают координаты движущегося тела к концу времени $t,(X, Y, Z),\left(X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}\right),\left(X^{\prime \prime}, Y^{\prime \prime}, Z^{\prime \prime}\right), \ldots$ представляют собою соответственно составляющие сил $F, F^{\prime}, F^{\prime \prime}, \ldots$, вэятые параллельно осям, $N$ – интенсивность нормально направленной силы и $\alpha, \beta, \gamma$-углы, образуемые нашравлением этой силы с положительными частями осей координат.

Если первое из этих уравнений умножить на $2 d x$, второе на $2 d y$, третье на $2 d z$ и затем сложить, то мы получим
\[
d M V^{2}=2 d x \sum X+2 d y \sum Y+2 d z \sum Z,
\]

где $V$ представляет скорость двикущегося тела в точке $x, y, z$; но следует отметить, что так как $v, v^{\prime}, v^{\prime \prime}, \ldots$ являются скоростями масс $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$, когда они при своих частных пвижениях проходят через ту же точку, то мы имеем
\[
\begin{array}{l}
d m v^{2}=2(X d x+Y d y+Z d z), \\
d m^{\prime} v^{\prime 2}=2\left(X^{\prime} d x+Y^{\prime} d y+Z^{\prime} d z\right), \\
d m^{\prime \prime} v^{\prime \prime 2}=2\left(X^{\prime \prime} d x+Y^{\prime \prime} d y+Z^{\prime \prime} d z\right), \\
\text {. . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

Следовательно, мы имеем также
\[
d M V^{2}=d m v^{2}+d m^{\prime} v^{\prime 2}+d m^{\prime \prime} v^{\prime \prime 2}+\ldots=\sum d m v^{2}=d \sum n v^{2},
\]

а отсюда путем интегрирования получаем
\[
M V^{2}=C+\sum m v^{2}
\]

или просто
\[
M V^{2}=\sum m v^{2},
\]

приняв во внимание, что, согласно допущению, это равенство имеет место в исходной точке.

Из приведенного уже видно, что для всех положений, как и для начального, живая сила массы $M$ при рассматриваемом нами движении равна сумме живых сил масс $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$ при их частных движениях.

Теперь легко доказать, что сила $N$ равна нулю и, следовательно, что тело $M$ при сложном движении движется по кривой $A C B$. Действительно, эта сила равна и противоположно направлена равнодействующей центробежной силы и нормальных составляющих сил $\boldsymbol{F}, \boldsymbol{F}^{\prime}, F^{\prime \prime}, \ldots$; но центробежная сила, направленная обратно радиусу кривизны, – если этот радиус кривизны обозначить через $\rho$, – ұавна
\[
\frac{M V^{2}}{\rho}
\]

или на основании того, что мы доказали выше,
\[
\frac{m v^{2}}{\rho}+\frac{m^{\prime} v^{\prime 2}}{\rho}+\frac{m^{\prime \prime} v^{\prime \prime 2}}{\rho}+\ldots ;
\]

сверх того, нормальные составляющие силы $F, F^{\prime}, F^{\prime \prime}, \ldots$ соответственно равны и направлены противоположно $\frac{m v^{2}}{p}$, $\frac{m^{\prime} v^{\prime 2}}{\rho}, \frac{m^{\prime \prime} v^{\prime 2}}{\rho}, \ldots$, так как массы $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}$ при своих частных движениях описывают кривую $A B C$; таким образом, между центробежной силой и нормальными составляющими внешних сил существует равновесие; стало быть, сила $N$ равна нулю.

При вышеизложенном рассуждении мы донустили, что движущаяся точка соверщенно свободна; если бы она была вынуждена оставаться на поверхности, то теорема все же была бы верна, так как путем введения силы, направленной нормально к новерхности, этот последний случай может быть сведен к случаю свободной точки.