80. Хотя эта задача не может иметь никакого применения в солнечной системе, в которой все дентры притяжения находятся в движении, тем не менее она настолько интересна с аналитической точки зрения, что ее стоит рассмотреть в отдельности несколько подробнее.

Предположим, что некоторое изолированное тело притнгивается одновременно к двум неподвижным центрам силами, пропорциональными каким-либо функциям расстояний.

Пусть; как в пункте 4, один из центров находится в начале координат и пусть $R$ – его сила притяжения; относительно другого центра мы предположим, что его положение определяется координатами $a, b, c$, параллельными $x, y, z$; далее, пусть $Q$-его сила притяжения и $q$-расстояние тела от этого центра, тогда ясно, что мы будем иметь
\[
q=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}},
\]

или же, подставив вместо $x, y, z$ их выражения в функции $r, \psi, \varphi$ (п. 4):
\[
q=\sqrt{r^{2}-2 r[(a \cos \varphi+b \sin \varphi) \cos \psi+c \sin \psi]+h^{2}},
\]

где $h=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ есть расстояние между обоими центрами.

Ясно, что значение величины $T$ останется тем же, что и в задаче главы $\mathrm{I}$, но значение $V$ увеличится на член $\int Q d q$, а так как $Q$ является функцией $q$, а $q$-функцией $r$,,$\psi$, то этот член даст в выражениях производных $\frac{\partial V}{\partial \psi}, \frac{\partial V}{\partial p}, \frac{\delta V}{\partial r}$ члены $Q \frac{\partial q}{\partial \psi}, Q \frac{\partial q}{\partial \varphi}$. $Q \frac{\partial q}{\partial r}$, которые, стало быть, придется соответственно прибавить к левым частям дифференциальных уравнений упомянутого пункта.

Таким образом, для движения тела, притягиваемого к двум центрам силами $R$ и $Q$, мы будем иметь следующие три уравнения:
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} r}{d t^{2}}-\frac{r\left(\cos ^{2} \psi d \rho^{2}+d \psi^{2}\right)}{d t^{2}}+R+Q \frac{\partial q}{\partial r} & =0, \\
\frac{d\left(r^{2} d \psi\right)}{d t^{2}}+\frac{r^{2} \sin \psi \cos \psi d \varphi^{2}}{d t^{2}}+Q \frac{\partial q}{\partial \psi} & =0, \\
\frac{d\left(r^{2} \cos ^{2} \psi d \varphi\right)}{d t^{2}}+Q \frac{\partial q}{\partial \varphi} & =0 .
\end{aligned}
\]

Если бы в то же время тело испытывало притяжение со стороны других центров, то в эти уравнения следовало бы лишь ввести аналогичные члены для каждого из этих центров.

Уравнение $T+V=H$ дает нижеследующее, четвертое уравнение, которое является интегралом предыдущих :
\[
\frac{r^{2}\left(\cos ^{2} \psi d \rho^{2}+d \psi^{2}\right)+d r^{2}}{2 d t^{2}}+\int R d r+\int Q d q=2 H ;
\]

в самом деле, очевидно, что три приведенных выше уравнения, будучи умножены соответственно на $d r$, $d \psi, d \varphi$ и сложены, дают интегрируемое уравнение, интегралом которого является приведенное выше уравнение.
Из этого уравнения получается
\[
\frac{r^{2}\left(\cos ^{2} \psi d \varphi^{2}+d \psi^{2}\right)}{d t^{2}}=4 H-2 \int R d r-2 \int Q d q-\frac{d r^{2}}{d t^{2}} ;
\]

если это выражение подставить в первое уравнение, умноженное на $r$, то оно принимает следующий вид:
\[
\frac{d^{2}\left(r^{2}\right)}{2 d t^{2}}+R r+2 \int R d r+Q r \frac{\partial q}{\partial r}+2 \int Q d q=4 H .
\]

Но так как
\[
q^{2}=r^{2}+h^{2}-2 r[(a \cos \varphi+b \sin \psi) \cos \psi+c \sin \psi],
\]

то если изменять $r$, получается
\[
\begin{aligned}
q \frac{\partial q}{\partial r} & =r-(a \cos \varphi+b \sin \varphi) \cos \psi-c \sin \psi= \\
& =r-\frac{r^{2}+h^{2}-q^{2}}{2 r}=\frac{r^{2}+q^{2}-h^{2}}{2 r} ;
\end{aligned}
\]

следовательно, подставив это выражение $\frac{\partial q}{\partial r}$, мы, наконец, получим
\[
\frac{d^{2}\left(r^{2}\right)}{2 d t^{2}}+R r+2 \int R d r+Q \frac{r^{2}+q^{2}-h^{2}}{2 q}+2 \int Q d q=4 H .
\]

Это уравнение обладает тем преимуществом, что содержит лишь две переменные величины $r$ и $q$; в то же время оно указывает, что должно существовать аналогичное уравнение между $q$ и $r$, которое получится, если просто поменять местами $r$ и $q$, а равно $R$ и $Q$; ведь безразлично, отнести ли движение тела к одному или другому из двух неподвижных центров, и ясно, что если его отнести к центру силы $Q$, то в результате анализа, аналогичного изложенному выше, мы найдем
\[
\frac{d^{2}\left(q^{2}\right)}{2 d t^{2}}+Q q+2 \int Q d q+R \frac{r^{2}+q^{2}-h^{2}}{2 r}+2 \int R d r=4 H ;
\]
таким образом, с помощью этих двух уравнений можно прямо определить оба радиуса $r$ и $q$.

Теперь отмечу, что, нисколько не нарушая общности, можно допустить, что координаты $a$ и $b$ центра силы $Q$ равны нулю, а это означает, что ось координат $z$ мы помещаем на линии, соединяющей оба центра. При таком допущении мы имеем $c=h$; и величина $q$ становится равной
\[
\sqrt{r^{2}-2 k r \sin \psi+h^{2}} ;
\]

в этом выражении уже не содержится $\varphi$; поэтому мы имеем
\[
\frac{\partial q}{\partial \varphi}=0 .
\]

Следовательно, третье дифференциальное уравнение сводится к
\[
\frac{d\left(r^{2} \cos ^{2} \psi d \varphi\right)}{d t^{2}}=0,
\]

интегралом которого является
\[
\frac{r^{2} \cos ^{2} \psi d ?}{d t}=B,
\]

где $B$-произвольная постоянная; отсюда получается
\[
\frac{d \rho}{d t}=\frac{B}{r^{2} \cos ^{2} \psi} .
\]

Но мы имеем
\[
\sin \psi=\frac{r^{2}+h^{2}-q^{2}}{2 h r} ;
\]

стало быть,
\[
\cos \psi=\frac{\sqrt{4 h^{2} r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}}}{2 h r} ;
\]

следовательно, если подставить это значение, то мы получим
\[
\frac{d \rho}{d t}=\frac{4 B h^{2}}{4 h^{2} r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}} ;
\]

таким образом, зная выражения $r$ и $q$ в функции $t$, мы будем также иметь и выражение $\varphi$ в функции $t$.

Так как $\sin \psi$ и $\frac{d p}{d t}$ уже заданы в функции $r$ и $q$, то ясно, что четвертое уравнение можно привести к такому виду, чтобы оно содержало лишь $r$ и $q$, и тогда, в силу существования произвольной постоянной $B$, оно необходимо будет полным интегралом двух приведенных выше уравнений для $r$ и $q$. Действительно, мы имеем
\[
r^{2} d \psi^{2}=\frac{\left[\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right) d r-2 r_{1} d q\right]^{2}}{4 h^{2} r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}} ;
\]

если сюда прибавить $d r^{2}$ и произвести соответствующее преобразование, то получим
\[
r^{2} d \psi^{2}+d r^{2}=4 \frac{q^{2} r^{2} d r^{2}+r^{2} q^{2} d q^{2}-\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right) r q d r d q}{4 h^{2} r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}} .
\]

Далее, мы имеем
\[
\frac{r^{2} \cos ^{2} \psi d \rho^{2}}{d t^{2}}=\frac{4 B^{2} h^{2}}{4 h^{2} r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}} ;
\]

следовательно, если произвести эти подстановки в четвертом уравнении и освободиться от знаменателя, то мы получим следующий интеграл:
\[
\begin{array}{l}
2 \frac{q^{2} r^{2} d r^{2}+r^{2} q^{2} d q^{2}-\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right) r q d r d q}{d t^{2}}+2 B^{2} h^{2}+ \\
+\left[4 h^{2} r^{2}-\left(r^{2}+h^{2}-q^{2}\right)^{2}\right]\left(\int R d r+\int Q d q-2 H\right)=0 .
\end{array}
\]

Теперь из вида этого уравнения легко усмотреть, что оно получается из двух уравнений между $r$ и $q$, умножением соответственно на
\[
2 q^{2} d\left(r^{2}\right)-\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right) d\left(q^{2}\right), 2 r^{2} d\left(q^{2}\right)-\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right) d\left(r^{2}\right) .
\]

сложением и затем интегрированием; однако было бы довольно трудно найти этот интеграл a priori.
81. Для того чтобы довести решение до конца, следует найти еще другой интеграл этих же уравнений, но это мсжно осуществить лишь для частных видов $R$ и $Q$.

Если допустить, как это и имеет место в природе, что
\[
R=\frac{\alpha}{r^{2}}, \quad Q=\frac{\beta}{q^{2}},
\]

то мы найдем, что эти уравнения, будучи умножены одно – на $d\left(q^{2}\right)$, а другое-на $d\left(r^{2}\right)$, дают интегрируемую сумму, имеющую своим интегралом
\[
\begin{aligned}
\frac{d\left(r^{2}\right) d\left(q^{2}\right)}{2 d t^{2}}-\frac{\alpha\left(3 r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)}{r}-\frac{\beta\left(3 q^{2}+r^{2}-h^{2}\right)}{q}= \\
=4 H\left(r^{2}+q^{2}\right)+2 C,
\end{aligned}
\]

где $C$ – новая произвольная постоянная.
Если это уравнение умножить на $r^{2}+q^{2}-h^{2}$ и прибавить к найденному выше интегралу (а), то на основе приведенного выше допущения получится уравнение следующего вида:
\[
\begin{aligned}
& \frac{q^{2}\left[d\left(r^{2}\right)\right]^{2}+r^{2}\left[d\left(q^{2}\right)\right]^{2}}{2 d t^{2}}-2 \alpha r\left(3 q^{2}+r^{2}-h^{2}\right)- \\
& -2 \beta q\left(3 r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)= \\
= & 2 H\left(r^{4}+q^{4}+6 r^{2} q^{2}-h^{4}\right)+2 C\left(r^{2}+q^{2}-h^{2}\right)-2 B^{2} h^{2} .
\end{aligned}
\]

То же уравнение, будучи умножено на $2 r q$ и затем прибавлено или вычтено из первого, даст следующее двойное уравнение:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\left[q d\left(r^{2}\right) \pm r d\left(q^{2}\right)\right]^{2}}{4 d t^{2}}-\alpha\left[(r \pm q)^{3}-h^{2}(r \pm q)\right]- \\
-\beta\left[(q \pm r)^{3}-h^{2}(q \pm r)\right]= \\
=H\left[(r \pm q)^{4}-h^{4}\right]+C(r \pm q)^{2}-\left(B^{2}+C\right) h^{2},
\end{array}
\]

так что, положив $r+q=s, r-q=u$, мы получим следующие два уравнения:
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{\left(s^{2}-u^{2}\right)^{2} d s^{2}}{16 d t^{2}}-(\alpha+\beta) s^{3}+h^{2}(\alpha+\beta) s= \\
=H\left(s^{4}-h^{4}\right)+C s^{2}-\left(B^{2}+C\right) h^{2}, \\
\frac{\left(s^{2}-u^{2}\right)^{2} d u^{2}}{16 d t^{2}}-(\alpha-\beta) u^{3}+h^{2}(\alpha-\beta) u= \\
=H\left(u^{4}-h^{4}\right)+C u^{2}-\left(B^{2}+C\right) h^{2},
\end{array}\right\}
\]

откуда вытекает следующее уравнение с разделенными переменными:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d s}{\sqrt{H s^{4}+(x+\beta) s^{3}+C s^{2}-h^{2}(\alpha+\beta) s-H h^{4}-\left(B^{2}+C\right) h^{2}}}= \\
=\frac{d u}{\sqrt{H u^{4}+(\alpha-\beta) u^{3}+C u^{2}-h^{2}(\alpha-\beta) u-H h^{4}-\left(B^{2}+C\right) h^{2}}},
\end{array}
\]

и затем
$d t=\frac{s^{2} d s}{4 \sqrt{H s^{4}+(\alpha+\mathrm{p}) s^{3}+C s^{2}-h^{2}(\alpha+\mathrm{\beta}) s-H h^{4}-\left(B^{2}+C\right) h^{2}}}$ $-\frac{u^{2} d u}{4 \sqrt{H u^{4}+(\alpha-\beta) u^{3}+C u^{2}-h^{2}(\alpha-\beta) u-H h^{4}-\left(B^{2}+C\right) h^{2}}} \cdot(\mathrm{g})$

Если те же подстановки применить в найденном выше выраяении для $\frac{d ?}{d t}$, то мы получим
\[
\frac{d p}{d t}=-\frac{4 B h^{2}}{\left(s^{2}-h^{2}\right)\left(u^{2}-h^{2}\right)}=\frac{4 B h^{2}}{s^{2}-u^{2}}\left(\frac{1}{s^{2}-h^{2}}-\frac{1}{u^{2}-h^{2}}\right),
\]

а подставив значение $d t$ :
$d \varphi=$
$=\frac{B h^{2} d s}{\left(s^{2}-h^{2}\right) \sqrt{H s^{4}+(x+\beta) s^{3}+C s^{2}-h^{2}(x+\beta) s-H h^{4}-\left(B^{2}+C\right) h^{2}}}-$ $-\frac{B h^{2} d u}{\left(u^{2}-h^{2}\right) \sqrt{H u^{4}+(\alpha-\beta) u^{3}+C u^{2}-h^{2}(\alpha-\mathrm{p}) u-H h^{4}-\left(B^{2}+C\right) h^{2}}} \cdot$

Если бы каждый из этих дифференциалов можно было проинтегрировать, то мы получили бы сначала уравнение между $s$ и $u$, а затем нашли бы $t$ и $\varphi$ в функции $s$ и $u$; следовательно, мы получили бы $q$, а отсюда $t$ и $\varphi$ в функции $r$; а так как
\[
\sin \psi=\frac{r^{2}+h^{2}-q^{2}}{2 h r},
\]

то мы получили бы и в функции $r$. Но эти дифференциалы относятся к случаю спрямления конических сечений $\left[{ }^{15}\right]$, поэтому их можно проинтегрировать лишь приближенно, причем наилучшим для этого методом мне представляется тот, который я дал в другом месте *) для интегрирования всех дифференциальных уравнений, содержащих квадратный корень, в котором под знаком корня находится полином четвертой степени.
82. Если бы помимо двух сил $\frac{\alpha}{r^{2}}$ и $\frac{\beta}{q^{2}}$, притягивающих тело к двум неподвижным центрам, существовала еще третья сила, пропорциональная расстоянию, которая притягивала бы тело к точке, лежащей в средине линии, соединяющей оба центра, то, очевидно, эту силу можно было бы разложить на две силы, направленные к тем же точкам и точно так же пропорциональные расстояниям. Следовательно, в этом случае мы имели бы
\[
R=\frac{\alpha}{r^{2}}+2 \gamma r, \quad Q=\frac{\beta}{q^{2}}+2 \gamma q
\]

и нашли бы, что интеграл (b) имеет место и в данном случае, но только к левой части его пришлось бы прибавить выражение
\[
\gamma\left[5 r^{2} q^{2}+\frac{3}{2}\left(r^{4}+q^{4}\right)-h^{2}\left(r^{2}+q^{2}\right)\right]
\]

затем к левой части уравнения (с) пришлось бы прибавить выражение
\[
\frac{\gamma}{2}\left[r^{6}+q^{6}+15 r^{2} q^{2}\left(r^{2}+q^{2}\right)-h^{2}\left(r^{4}+q^{4}+6 r^{2} q^{2}\right)\right]
\]

и, следовательно, к левой части уравнения (d) – выражение
\[
\frac{\gamma}{4}\left[(r \pm q)^{6}-h^{2}(r \pm q)^{4}\right],
\]

так что полиномы относительно $s$ и $u$ под знаком
$\qquad$
*) См. четвертый том старых Mémoires de Turin ${ }^{a}$ ). (П рим. Лагранжа.)
${ }^{c}$ ) Oeuvres de Lagrange, т. II, етр. 253. (I рим. Дарбу.)

корня в уравнениях (e), (f), (g) пришлось бы лишь соответственно увеличить на члены
\[
-\frac{\gamma}{4}\left(s^{6}-h^{2} s^{4}\right) \quad \text { и } \quad-\frac{\gamma}{4}\left(u^{6}-h^{2} u^{4}\right),
\]

что едва ли усложнило бы решение.
83. Хотя вообще найденное уравнение (f) между $s$ и $u$ невозможно проинтегрировать и, следовательно, невозможно получить определенную зависимость между обеими этими переменными, тем не менее можно получить два частных интеграла: $s=$ const. и $u$ :=const.

Действительно, если это уравнение в общем случае представить в следующем виде:
\[
\frac{d s}{\sqrt{\bar{S}}}=\frac{d u}{\sqrt{\bar{U}}},
\]

то ясно, что оно будет иметь место и в случае, если положить $d s$ или $d u$ равными нулю, если только одновременно и знаменатели $\sqrt{S}$ или $\sqrt{U}$ будут нулями того же порядка.

Для того чтобы определить условия, необходимые в этом случае, положим
\[
s=\mathrm{f}+\omega,
\]

где $\mathrm{f}$ – некоторая постоянная величина, а ( – величина бесконечно малая, и обозначим через $F$ выражение, какое получает $S$, когда вместо $s$ мы берем $\mathbf{f}$; тогда член $\frac{d s}{\sqrt{s}}$ принимает вид
\[
\frac{d \omega}{\sqrt{F+\frac{d F}{d \mathrm{f}} \omega+\frac{d^{2} F}{2 d \mathrm{f}^{2}} \omega^{2}+\ldots}} ;
\]

следовательно, для того чтобы числитель и знаменатель были одного порядка относительно (), необходимо, чтобы соблюдались условия
\[
F=0 \quad \text { и } \quad \frac{d F}{d \mathrm{f}}=0 ;
\]

а так как $\omega$-величина бесконечно малая, то рассматриваемый интеграл сведется к
\[
\frac{d \omega}{\omega \sqrt{\frac{d^{2} F}{2 d \mathrm{f}^{2}}}} ;
\]

интегралом этого выражения является
\[
\frac{1}{\sqrt{\frac{d^{2} F}{2 d \mathrm{f}^{2}}}} \log \frac{\omega}{k},
\]

где $k$ – некоторая произвольная постоянная. Следовательно, если положить $\omega=0$ и одновременно также принять $k=0$, то значение $\log \frac{\omega}{k}$ станет неопределенным, и уравнение всегда сможет существовать, каково бы ни было то значение, которое может принять другой член $\int \frac{d u}{\sqrt{\bar{U}}}$. Но нам известно, и это само по себе очевидно, что
\[
F=0 \quad \text { и } \quad \frac{d F}{d f}=0
\]

представляют собою условия, при которых f становится двойным корнем уравнения $F=0$. Отсюда*) вообе следует, что если полином $S$ имеет один или несколько двойных корней, то каждый из этих корней дает особое значение $s$; сказанное в равной мере относится и к полиному $U$.

Теперь ясно, что уравнение $s=\mathrm{f}$ или $r+q=\mathrm{f}$ представляет эллипс, оба фокуса которого находятся в неподвижных центрах и большая ось которого равна $i$. $\qquad$
*) В своей работе, представленной в Faculté des Sciences de Paris, Серрэ указал, что приведенное выше доказательство является недостаточно точным. Действителыо, представляется бесспорным, что необходимо произвести некоторые исследования для того, чтобы это доказательство стало совершенно удовлетворительным (см. особую статью в конце настоящего тома). (Прим. Бертрана.)

Точно так же уравнение $u=\mathrm{g}$ или $r-q=\mathrm{g}$ выражает гиперболу, фокусы которой находятся в тех же центрах и действительная ось которой равна $\mathrm{g}$.

Таким образом, частные решения, о которых мы выше говорили, дают эллипсы или гиперболы, описанные вокруг центров сил $\frac{\alpha}{r^{2}}, \frac{\beta}{q^{2}}$, взятых в качестве фокусов. А так как полиномы $S$ и $U$ содержат три произвольные постоянные $A, B, C$, зависящие от начальных направления и скорости тела, то ясно, что эти элементы всегда можно взять такими, что тело вокруг данных фокусов опишет заданный эллипс или гиперболу. Таким образом, то же самое коническое сечение, которое может быть описано под влиянием одной силы, направленной к некоторому фокусу и обратно пропорциональной квадрату расстонния, или одной силы, направленной к центру и пропорциональной расстоянию, может быть также описано под влиянием трех аналогичных сил, направленных к двум фокусам и к центру, что весьма замечательно*). 84. Если бы существовал лишь один центр, к которому тело притягивалось бы силой $\frac{a}{r^{2}}$, то мы имели бы случай эллиптической орбиты, рассмотренный нами в главе I. В этом случае мы имели бы $\beta=0, \gamma=0$ и оба полинома $S$ и $U$ стали бы подобными и притом не выше четвертой стенени; уравнения (f), (g), (h) пункта 81 можно было бы тогда проинтегрировать с помощью известных методов, и движение тела определилось бы с помощью формул, содержащих $s$ и $u$, т. е. с помсщью расстсяний от обоих центров, из которых один, а именно тот, притяжение которого равно нулю, мог бы быть помещен в любом месте; таким образом, приведенные формулы служили бы лишь чистой любознательности;
*) Оссиан Боннэ (Ossia: Bonnet) дал (Journal de Liouville, т. IX, стр. 195) очень простое объяснение этого факта, поддающееся интересному ббобщению (см. статью в конце настоящего тома). (Прим. Беріпрана.)
9 ж. Лагранж, т. II

существует, однако, один случай, когда эти формулы упрощаются и приводят к интересному выводу, а именно случай, когда на периметре эллипса помещен центр, притяжение которого равно нулю.

Для того чтобы получить этот случай, определим постоянные $B$ и $C$ таким образом, чтобы радиус $q$ был равен нулю, а другой радиус $r$ был равен $h$, т. е. расстоянию между обоими центрами; следовательно, необходимо, чтобы переменные $s=r+q$ и $u=r-q$ одновременно стали равны $h$. Уравнения (e) пункта 81 очень подходят для этого определения. Если положить $s=u=h$, то первое из этих уравнений дает
\[
B^{2} h^{2}=0 ;
\]

далее, если разность этих уравнений разделить на $s-u$ и положить $s=u=h$, то, в силу $\beta=0$, мы получим
\[
-3 x h^{2}+a h^{2}=4 H h^{3}+2 C h,
\]

откуда следует
\[
C=-\alpha h-2 H h^{2} .
\]

При подстановке этих значений полином
\[
H s^{4}+\alpha s^{3}+C s^{2}-\alpha h^{2} s-H h^{4}-B^{2} h^{2}-C h^{2}
\]

переходит в
\[
H\left(s^{4}-2 s^{2} h^{2}+h^{4}\right)+\alpha\left(s^{3}-s^{2} h-s h^{2}+h^{3}\right),
\]

что можно привести к следующему виду:
\[
H(s+h)^{2}(s-h)^{2}+\alpha(s+h)(s-h)^{2} ;
\]

то же самое относится и к полиному относительно $u$. Но, согласно пункту 15 , мы в данном случае имеем
\[
\alpha=g \quad \text { и } \quad H=-\frac{g}{2 a},
\]

где $a$-большая полуось эллипса, поэтому уравнения (f) и (g) принимают следующий вид:
\[
\frac{d s}{(s-h) \sqrt{g(s+h)-\frac{g}{2 a}(s+h)^{2}}}=\frac{d u}{(u-h) \sqrt{g(u+h)-\frac{g}{2 a}(u+h)^{2}}},
\]
\[
\begin{array}{c}
d t=\frac{s^{2} d s}{4(s-h) \sqrt{g(s+h)-\frac{g}{2 a}(s+h)^{2}}} \\
-\frac{u^{2} d u}{4(u-h) \sqrt{g(u+h)-\frac{g}{2 a}(u+h)^{2}}}
\end{array}
\]

если из последнего уравнения вычесть первое, умноженное на $h^{2}$, и затем числитель и знаменатель разделить соответственно на $s-h$ и $u-h$, то мы получим
\[
d t=\frac{(s+h) d s}{4 \sqrt{g} \sqrt{s+h-\frac{(s+h)^{2}}{2 a}}}-\frac{(u+h) d u}{4 \sqrt{g} \sqrt{u+h-\frac{(u+h)^{2}}{2 a}}} .
\]

Это выражение обладает тем преимуществом, что оно не содержит какого-либо иного әлемента, кроме большой оси $2 a$.
85. Если положить
\[
\int \frac{z d z}{V^{\prime} z-\frac{z^{2}}{2 a}}=f(z)
\]

и взять интеграл таким образом, чтобы его нижний предел соответствовал какому-либо заданному значению $z$, и затем вместо $s$ и $u$ подставить их значения $p+q$, $p-q$, то в результате интегрирования получится
\[
4 t \sqrt{g}=f(h+p+q)-f(h+p \cdots q),
\]

откуда мы видим, что при $q=0 \cdot t=0$, каким бы образом мы ни взяли этот интеграл.

Так как $p$ является радиусом-вектором, исходящим из фокуса, $q$-радиусом, исходнщим из другого центра, находящегося в некоторой точке эллипса и
отстоящего от фокуса на расстоянии $h$, то ясно, что $h$ и $p$ представляют собою два радиуса-вектора и что $q$ является хордой дуги, содержащейся между этими двумя радиусами; следовательно, приведенное выше значение $t$ представляет собою время, затрачиваемое движущимся телом на прохождение этой дуги по эллипсу; таким образом, это время определяется с помощью суммы радиусов-векторов $h+p$, хорды $q$ и большой оси $2 a$.

Интеграл, обозначенный нами через $f(z)$, зависит от дуг круга или от логарифмов в зависимости от того, является ли а положительным или отрицательным; но в том случае, когда ось $2 a$ очень велика, эта функция приводится к быстро сходящемуся ряду; тогда мы имеем
\[
f(z)=\frac{2}{3} z^{3 / 2}+\frac{z^{5 / 2}}{5 \cdot 2 a}+\frac{3 z^{7 / 2}}{4 \cdot 7 \cdot 4 a^{2}}+\ldots
\]

Первый член дает выражение для времени при параболической орбите, и мы имеем
\[
4 t \sqrt{g}=\frac{2}{3}(h+p+q)^{3 / 2}-\frac{2}{3}(h+p-q)^{3 / 2},
\]

что совпадает с выражением, найденным нами в пункте 25. Остальная часть ряда дает разность времен, затрачиваемых, с одной стороны, на прохождение дуги параболы, а с другой, – на прохождение дуги әллипса или гиперболы, имеющих ту же хорду $u$ и ту же сумму $s$ радиусов-векторов.

Это изящное свойство движения по коническим сечениям было открыто Ламбертом*), который дал остроумное доказательство его в своей работе, озаглавленной «Insingniores orbitae cometarum proprietates». См. также Mémoires de l’Académie de Berlin за 1778 г. $\left.{ }^{* *}\right)$.
*) См. выноску на стр. 42.
**) Oeuvres de Lagrange, т. IV, стр. 559. Мемуар, на который указывает Лагранж, озаглавлен «Sur une manière particulière d’exprimer le temps dans les sections coniques décrites par

Решенная нами выше задача была впервые разрешена Эйлером для случая, когда имеется лишь два неподвижных центра, притягивающих тело обратно пропорционально квадратам расстояний, и когда тело движется в плоскости, проходящей через оба центра (Mémoires de Berlin за 1760 г.); его решение особенно интересно благодаря искусству, с каким он сумел применить различные подстановки для того, чтобы привести к первому порядку и к квадратурам дифференциальные уравнения, которые, в силу своей сложности, не поддавались разрешению с помощью всех других известных методов.

Придав этим уравнениям иной вид, я прямо пришел к тем же результатам, причем я их смог даже распространить на тот случай, когда кривая не лежит в той же плоскости и когда, сверх того, имеется сила, пропорциональная расстоянию, направленная к неподвикному центру, лежащему посредине между двумя другими центрами. См. четвертый том старых Mémoires de Turin*), откуда заимствован приведенный выше анализ и где можно также найти исследование того случая, когда один из центров удаляется в бесконечность, так что сила, направленная к этому центру, становится равномерной п действует по параллельным линиям. Ивтересно отметить, что в этом случае решение едва ли значительно ушрощается; но только радикалы, образующие знаменатели отделенных уравнений, вместо четвертых степеней переменных содержат лишь их третьи степени, что точно так же ставит их интегрирование в связь с выпрямлением конических сечений.
des forces tendantes au foyer et réciproquement proportionnelles aux carrés des distances». Jагранж излагает здесь различные приемы доказательства этой теоремы, примененные Эйлером и Ламбертом. (Прим. Дарбу.)
*) Oeuvres de Lagrange, t. II, p. 67. Этот мемуар озаглавлен «Recherches sur le mouvement d’un corps qui est attiré par deux centres fixes». (Прим. Дарбу.)