B r. IV Crelle’s Journal Гаусс опубликовал красивую теорему, содержащую одновременно общие законы равновесия и движения и являющуюся, повидимому, наиболее общим и наиболее изящным выраженшем, какое только им было придано; французские читатели будут нам благодарны, если мы приведем здесь перевод нескольких страниц, посвященных знаменитым геометром изложению этого нового принципа.
«Как известно, принцип виртуальных скоростей превращ хет любую проблему статики в вопрос чистой математики, а с помощью принципа Даламбера динамика, в свою очередь, сводится к статике. Отсюда следует, что ни один основной принцип равновесия и движения не может существенно отличаться от двух упомянутых нами выше принципов и что, каков бы ни был этот принцип, его всегда можно рассматривать как более или менее непосредственный вывод из них.

Это не значит, что всякая новая теорема не заслуживает поэтому никакого внимания. Наоборот, всегда интересно и поучительно исследовать законы природы с новой точки зрения, придем ли мы при әтом к более простому трактованию того или иного частного вопроса или достигнем лишь больщей точности формулировок.

Великий геометр, столь блестяще обосновавпий науку о движении на принципе виртуальных скоростей, не пренебрег возможностью улучпить и обобщить принцип Мошертюи, касающийся наименьшего действия, и, как известно, этот принцип зачастую с большой пользой применяется геометрами *).
*) Я позволю себе здесь сделать одно замечание. Я считаю неудовлетворительным метод, примененный другим великим геометром (Laplace, Mémoires de L’Institut, 1809) для вывода

Подлинный характер принципа виртуальных скоростей заключается в том, что он является, так сказать, общей формулой, решающей задачи статики, и тто, следовательно, он может занять место всякого другого принципа, но он не носит на себе печати абсолютной очевидности, которая убеждает, как только ознакомишься с его изложением.
¿ этой точки зрения основная теорема, которую я собираюсь изложить, должна, мне кажется, получить предпочтение; сверх того, она обладает тем преимуществом, что одновременно охватывает общие законы равновесия и движения.

Если для прогрессивного развития науки и для индивидуального исследования представляется более удобным идти от легкого к тому, что кажется более трудным, и от простых законов к более сложным, то, с другой стороны, наш ум, дойдя до более высокой точки зрения, требует обратного движения, в свете которого вся статика представляется ему в качестве частного случая динамики. И упомянутый нами геометр, повидимому, оценил это обратное движение, представляя в качестве преимущества принципа наименьшего действия возможность охватить одновременно законы движения и законы равновесия, если его рассматривать в качестве шринципа наибольшей или наименьшей живой силы. Но надо признать, что эта мысль является более остроумной, чем верной, так как в этих двух случаях миннмум имеет место при совершенно различных условиях.
Новый іринцип заключается в следующем:
Двияение системы материальных точек, сзязанных между собою произзольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое менозение происходит в наиболе совериенном, какое только возможно, содласии с тем дзижением, каким обладали бы эти толки, если бы все они стали сзободными, m. е. оно происходит с наименьиим возможным принуэдением, если в качестве меры принуждения, примененного в течение бесконечно малого манозения, принять сумму прсизведений массы каждой точки на квадрат величины ее отклоне-

закона преломлений Гюйгенса из принципа наименьшего действия. Действительно, этот принцип по существу предполагает наличие принципа живых сил, на основании которого скорость точек в движении полностью определяется их положением, а направление, по которому они движутся, не оказывает на нее никакого влияния. Тем не менее это влияние является исходной точкой рассуждений упомлнутого нами автора. Мне думается, что все усилия гемметров объяснить двойное преломление в рамках эмиссионной гипотезы останутся бесплодными до тех пор, пока световые молекулы будут рассматриваться как простые точки. (Прим. Г’аусса.)

ния от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной.
ПІусть
$m, m^{\prime}, m^{\prime \prime} \longrightarrow$ массы точек,
$a, a^{\prime}, a^{\prime \prime}$ – их соответственные положения,
$b^{\prime} b^{\prime}, b^{\prime \prime}$ – места, какие они заняли бы по истечении

некоторого бесконечно малого промежутка времени $d t$ под влиянием действующих на них сил и скорости, приобретенной ими к началу әтого промежутка.

Приведенный выше принцип гласит, что положения $c, c^{\prime}, c^{\prime \prime}, \ldots$, которые эти точки займут, являются между всеми иоложениями, допускаемыми наложенными на них связями, такими, для которых сумма
\[
m \overline{b c^{2}}+m^{\prime} \overline{b^{\prime} c^{\prime 2}}+m^{\prime \prime} \overline{b^{\prime \prime} c^{\prime \prime}}+\ldots
\]

является минимумом.
Равновесие является частным случаем общего закона; оно имеет место в том случае, когда точки не имеют скорости, и сумма
\[
m \cdot \overline{a b^{2}}+m^{\prime} \cdot \overline{a^{\prime} b^{\prime}}+\ldots .
\]

является минимумом или, другими словами, когда сохранение системы в состоянии покоя является более близким к свободному движению, какое каждая точка етремится принять, из всех любых возможных перемещений. Обоснование принципа может быть легко проведено следующим образом:

Сила, действующая на точку $m$ в течение мгновения $d t$, очевидно, состоит из: 1) силы, которая, присоединяясь к әффекту приобретенной скорости, переместила бы точку из $a$ в $c$, 2) силы, которая, — если допустить, что точка находится в покое в $c$, – одновременно заставила бы ее переместиться из $c$ в . Сказанное, очевидно, относится и к остальным точкам.

Согласно принципу Даламбера, точки $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$ находились бы в равновесии, если бы в положениях $c, c^{\prime}, c^{\prime \prime}, \ldots$ они быи бы под влиянием вторых из указанных выше сил, действующих по направлениям $c b, c^{\prime} b^{\prime}$, … и пропорциональных этим малым отрезкам. Следовательно, согласно принципу виртуальных скоростей, сумма виртуальных моментов әтих сил должна быть равна нулю для всех перемещений, совместимых со связями, или же, точнее, эта сумма никогда не может стать положительной.

Пусть $\gamma, \gamma^{\prime}, \gamma^{\prime \prime}, \ldots$ будут положения, которые точки $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$ могут принять без нарушения связей системы, и $\theta, \theta^{\prime}, \theta^{\prime \prime}, \ldots$ углы, образуемые $c \gamma, c^{\prime} \gamma^{\prime}, c^{\prime \prime} \gamma^{\prime \prime}, \ldots$ соответственно с $c b, c^{\prime} b^{\prime}, c^{\prime \prime} b^{\prime \prime}, \ldots$; тогда сумма
\[
\sum m \cdot c b \cdot c \gamma \cos \theta
\]

должна равняться нулю или быть отрицательной.

Но ясно, что мы имеем и, стало быть,
\[
\begin{array}{c}
\overline{\gamma b}^{2}=\overline{c b}^{2}+\overline{c \gamma^{2}}-2 \overline{c b} \cdot \overline{c \gamma} \cos \theta \\
\sum m \cdot \overline{\gamma b}^{2}=\sum m \cdot \overline{c b}^{2}+\sum m \cdot \overline{c \gamma^{2}}-2 \sum m \cdot c b \cdot c \gamma \cos \theta ;
\end{array}
\]

следовательно,
\[
\sum m \cdot \overline{\gamma b}^{2}=\sum m \cdot \overline{c b}^{2}+\sum m \cdot \bar{c}^{2}-2 \sum m \cdot c b \cdot c \gamma \cos \theta,
\]

и, стало быть, выражение
\[
\sum m \cdot \overline{\gamma b^{2}}-\sum m \cdot \overline{c b}^{2}
\]

всегда положительно, откуда следует, что $\sum m \cdot \bar{\gamma}^{2}$ всегда большө суммы $\sum m \cdot \overline{c b^{2}}$, т. е. что $\sum m \cdot \overline{c b}^{2}$ всегда является минимумом, что и требовалось доказать. Весьма примечательно, что когда свободные движения несовместимы с природой системы, то они изменяются совершенно так же, как геометры при своих исчислениях изменяют выводы, полученные ими непосредственно, применяя $\mathrm{k}$ ним метод наименьших квадратов, с тем, чтобы сделать эти выводы совместимыми с необходимыми условиями, предписанными природой вопроса.

Настоящую аналогию можно было бы продолжить, но это выходиг за пределы поставленной мною в данный момент задачи».

Было бы легким и мало полезным упражнением из прочитанной нами выше теоремы вывести общие уравнения движения и покоя; мы тотчас же снова пришли бы к известным фөрмам, и, стало быть, общая проблема, с аналитической точки зрения, нисколько не продвинулась бы. Но следует ли на этом основании считать красивый принцип Гаусса бесполезным?-Этого никто не думает. Целью науки является прежде всего познание общих законов, управляющих явлениями, а теорема, составляющая предмет настоящей статьи, представляется наиболее ясным и удовлетворительным выражением, какое геометры могли бы им дать. Действительно, насколько я знаю, не существует ни одной общей теоремы динамики, которая казалась бы более способной вызвать восхищение тонкого ума, но еще мало искушенного в аналитических преобразованиях, и породить у него желание изучить науку, которая позволила бы ему ясно воспринять ее доказательство.