Выражения, найденные нами на стр. 245, очень удобны для представления значений сумм
\[
\mathbf{S} m\left(d \xi^{2}+d \eta^{2}+d \xi^{2}\right), \quad \mathbf{S} m\left(\xi d_{\eta}-\eta d \xi\right), \ldots,
\]

распространенных на все тела $m$ любой системы; действительно, ясно, что знаки суммирования должны распространяться только на координаты $a, b, c$ и не должны относиться к величинам $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \ldots$ Следовательно, после разложения мы будем иметь
\[
\begin{aligned}
\mathbf{S} m\left(d \xi^{2}+d \eta^{2}+d \xi^{2}\right)= \\
=d P^{2} \mathbf{S} m\left(b^{2}+c^{2}\right)+d Q^{2} \mathbf{S} m\left(a^{2}+c^{2}\right)+d R^{2} \mathbf{S} m\left(a^{2}+b^{2}\right)- \\
-2 d P d Q \mathbf{S} m a b-2 d P d R \mathbf{S} m a c-2 d Q d R \mathbf{S} m b c- \\
-2 d P \mathbf{S} m(b d c-c d b)+2 d Q \mathbf{S} m(c d a-a d c)+ \\
+2 d R \mathbf{S} m(a d b-b d a)+\mathbf{S} m\left(d a^{2}+d b^{2}+d c^{2}\right), \\
\mathbf{S} m(\xi d \eta-\eta d \xi)=\zeta^{\prime} d \Gamma+\zeta^{\prime \prime} d \Delta+\xi^{\prime \prime \prime} d \Lambda, \\
\mathbf{S} m(\zeta d \xi-\xi d \zeta)=\eta^{\prime} d \Gamma^{\prime}+\eta^{\prime \prime} d \Delta+\eta^{\prime \prime \prime} d \Delta, \\
\mathbf{S} m(\eta d \zeta-\zeta d \eta)=\xi^{\prime} d \Gamma^{\prime}+\xi^{\prime \prime} d \Delta+\xi^{\prime \prime \prime} d \Delta,
\end{aligned}
\]

если для кратксти псложить
\[
\begin{array}{l}
d \Gamma=d P \mathbf{S} m\left(b^{2}+c^{2}\right)-d Q \mathbf{S} m a b-d R \mathbf{S} m a c+\mathbf{S} m(b d c-c d b), \\
d\lrcorner=d Q \mathbf{S} m\left(a^{2}+c^{2}\right)-d P \mathbf{S} m a b-d R \mathbf{S} m b c+\mathbf{S} m(c d a-a d c), \\
d \perp=d R \mathbf{S} m\left(a^{2}+b^{2}\right)-d P \mathbf{S} m a c-d Q \mathbf{S} m b c+\mathbf{S} m(a d b-b d a) ;
\end{array}
\]

следует отметить, тто значения величин $d \Gamma, d \Delta, d \Lambda$ представляют собою частные дифференциалы величины
\[
\frac{1}{2} \int m\left(d \xi^{2}+d \eta^{2}+d \xi^{2}\right)
\]

по переменным $d P, d Q, d R$.
Если три последних уравнения продифференцировать, то мы получим значения величин
\[
\mathbf{S} m\left(\xi d^{2} \eta-r_{i} d^{\prime}\right), \quad \mathbf{S} m\left(\xi d \xi-\xi d^{2} \xi\right), \quad \mathbf{S} m\left(\eta d^{2} \xi-\xi d^{2} \eta\right) .
\]

входящих в общие уравнения движения любой системы тел вокруг ее центра тяжести или вокруг неподвижного центра, которые мы дали в пункте 7 отдела III.

Таким образом, если вмссто дифференциалов $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \ldots$ подставить выражения, приведенные в пункте 13, то указанные уравнения примут следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
\zeta^{\prime}\left(d^{2} \Gamma-d \Delta d R+d \Lambda d Q\right)+\zeta^{\prime \prime}\left(d^{2} \Delta-d \Lambda d P+d \Gamma^{\prime} d R\right)+ \\
+\zeta^{\prime \prime \prime}\left(d^{2} \Lambda-d \Gamma d Q+d \Delta d P\right)+\mathbf{S} m(\xi Y-\eta X)=0, \\
\eta^{\prime}\left(d^{2} \Gamma^{\prime}-d \Delta d R+d \Delta d Q\right)+\eta^{\prime \prime}\left(d^{2} \Delta-d \Delta d \digamma+d \Gamma d R\right)+ \\
+\eta^{\prime \prime \prime}\left(d^{2} \Lambda-d \Gamma d Q+d \Delta d P\right)+\mathbf{S} m(\zeta X-\xi Z)=0, \\
\xi^{\prime}\left(d^{\prime} \Gamma-d \Delta d R+d \Delta d Q\right)+\xi^{\prime \prime}\left(d^{2} \Delta-d \Delta d P+d \Gamma d R\right)+ \\
+\xi^{\prime \prime \prime}\left(d^{2} \Lambda-d \Gamma d Q+d \Delta d P\right)+\mathbf{S} m(\eta Z-\zeta Y)=0 .
\end{array}
\]

Если эти уравнения сложить, умножив их соответственно на $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \xi^{\prime}$, на $\zeta^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime}, \xi^{\prime \prime}$ и на $\zeta^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime \prime}, \xi^{\prime \prime \prime}$, и для краткости положить
\[
\begin{array}{l}
X^{\prime}=\xi^{\prime} X+\eta^{\prime} Y+\xi^{\prime} Z, \\
Y^{\prime}=\xi^{\prime \prime} X+\eta^{\prime \prime} Y+\zeta^{\prime \prime} Z, \\
Z^{\prime}=\xi^{\prime \prime \prime} X+\eta^{\prime \prime \prime} Y+\zeta^{\prime \prime \prime} Z,
\end{array}
\]

то на основании формул пунктов 2 и 5 мы получим три следующих уравнения:
\[
\begin{array}{l}
d^{2} \Gamma-d \Delta d R+d \Delta d Q=\mathbf{S} m\left(c Y^{\prime}-b Z^{\prime}\right), \\
d^{2} \Delta-d \Delta d P+d \Gamma d R=\mathbf{S} m\left(a Z^{\prime}-c X^{\prime}\right), \\
d^{2} \Lambda-d \Gamma d Q+d \Delta d P=\mathbf{S} m\left(b X^{\prime}-a Y^{\prime}\right),
\end{array}
\]

обладающих всей той общностью и простотой, какая может быть придана настоящей задаче.