Главная > АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ТОМ 2. (Ж. ЛАНГРАЖ)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

26. Возьмем ось вращения на оси $z$; если положить
\[
x=\rho \cos \varphi, \quad y=\rho \sin \varphi,
\]

то $z$ будет абсциссой и $\rho$-ординатой кривой, которая своим вращением вокруг оси абсцисс образует рассматриваемое твердое тело. Таким образом, мы получим уравнение между $z$ и $\rho$, с помощью которого $z$ будет представлено в виде заданной функции $p$.

Если теперь предположить, что ось $z$ вертикальна и что ординаты $z$ направлены сверху вниз, то мы будем иметь
\[
T=\frac{\rho^{2} d \varphi^{2}+d \rho^{2}+d z^{2}}{2 d t^{2}}, \quad V=-g z,
\]

а приняв $\rho$ и $\varphi$ за две независимые переменные, мы тотчас же (I. 11) получим два следующих уравнения, относящихся к этим двум переменным:
\[
\frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}-\frac{\rho \rho^{2}}{d t^{2}}+\left(\frac{d^{2} z}{d t^{2}}-g\right) \frac{\delta z}{\delta \rho}=0, \quad d \frac{\rho^{2} d \rho}{d t^{2}}=0 .
\]

Если бы ось $z$ не была вертикальной, а была бы наклонена к вертикали на угол $\alpha$, то значение $T$ осталось бы без изменения, но значение $V$ перешло бы в $-g(z \cos \alpha-x \sin \alpha)$; стало быть, следовало бы лишь в первом уравнении поставить $g \cos \alpha$ вместо $g$ и к левой части его прибавить член $g \sin \alpha \cos \varphi$; равным образом к левой части второго уравнения следовало бы прибавить член $g \sin \alpha \sin \varphi$.

Вообще, какие бы изменения мы ни произвели в положении поверхности или линии, по которой цвижется тело, выражение $T$, из которого проистекают дифференциальные члены уравнения, не претерпело бы никакого изменения; мы будем иметь лишь изменение функции $V$, которое зависит от положения поверхности или линии.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru