Найденные нами в «Статике» дифференциальные формулы для выражения вариаций, которые могут получить координаты любой системы точек, расстояния между которыми предполагаются неизменными, могут быть естественно применены к тому исследованию, о котором здесь идет речь; действительно, указанное предположение приводит лишь к исчезновению тех членов, которые явились бы результатом варьирования расстояний между различными точками. Таким образом, остающиеся члены выражают то, что имеется общего и свойственного всем членам при движении системы, если отвлечься от их относительных движений; как раз это общее абсолютное движение мы и собираемся здесь исследовать.
1. Обратимся к формулам пункта 55 отдела V, найденным нами путем прямого анализа, основанного исключительно на предположении, что точки системы сохраняют неизменными свои взаимные расстояния. Если символ $\delta$ заменить символом $d$, то мы получим для абсолютного движения системы три следующих уравнения:
$$\begin{array}{l}dx=d\lambda +zdM-ydN,\\ dy=d\mu +xdN-zdL,\\ dz=du+ydL-xdM,\end{array}$$

в которых $x,y,z$, как обычно, выражают координаты каждой точки системы по отношению к трем неподвижным и взаимно перпендикулярным осям, а $d\lambda ,d\mu$, $du,dL,dM,dN$ являются неопределенными величинами, одинаковыми для всех точек и зависящими лишь от движения системы в целом.

Пусть теперь $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$-координаты какой-либо определенной точки системы; тогда мы имеем также
$$\begin{array}{l}d{x}^{\prime }=d\lambda +z^{\prime }dM-y^{\prime }dN\\ d{y}^{\prime }=d\mu +x^{\prime }dN-z^{\prime }dL,\\ d{z}^{\prime }=dv+y^{\prime }dL-x^{\prime }dM\end{array}$$

следовательно, если последние формулы вычесть из предыдущих и для упрощения положить
$$x=x^{\prime }+\xi ,y=y^{\prime }+\eta ,z=z^{\prime }+\zeta ,$$

то мы получим следующие дифференциальные уравнения:
$$d\xi =\zeta dM-\eta dN,d\eta =\xi dN-\zeta dL,d\zeta =\eta dL-\xi dM,$$

в которых переменные $\xi ,\eta ,\zeta$ представляют координаты различных точек системы относительно одной определенной точки той же системы, — точки, которую мы впредь будем называть центром системы.

Так как эти уравнения линейны и являются уравнениями только первого порядка, то из известной теории этого вида уравнений следует, что если обозначить через ${\xi }^{\prime }$, ${\xi }^{\prime \prime }$, ${\xi }^{\prime \prime \prime }$ три частных значения $\xi$ и через ${\eta }^{\prime },{\eta }^{\prime \prime },{\eta }^{\prime \prime \prime }$ и ${\zeta }^{\prime },{\zeta }^{\prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime \prime }$ — соответствующие значения $\eta$ и $\zeta$, то мы получим следующие полные интегралы:
$$\begin{array}{l}\xi =a{\xi }^{\prime }+b{\xi }^{\prime \prime }+c{\xi }^{\prime \prime \prime },\\ \eta =a{\eta }^{\prime }+b{\eta }^{\prime \prime }+c{\eta }^{\prime \prime \prime },\\ \zeta =a{\zeta }^{\prime }+b{\zeta }^{\prime \prime }+c{\zeta }^{\prime \prime \prime },\end{array}$$

где $a,b,c$-три произвольные постоянные.
Ясно, что ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{\zeta }^{\prime }$ являются не чем иным, как координатами произвольно заданной точки системы, и что ${\xi }^{\prime \prime },{\eta }^{\prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime }$ и ${\xi }^{\prime \prime \prime },{\eta }^{\prime \prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime \prime }$ представляют собою координаты двух других точек системы, точно так же взятых произвольно, причем все эти координаты имеют свое общее начало в центре системы.

Таким образом, зная координаты трех заданных точек, мы с помощью приведенных выше формул будем иметь значения координат для любой другой точки, зависящей от постоянных $a,b,c$; следует, однако, определить значения этих постоянных.
2. Если предположить- а это всегда допустимо,что в начальном состоянии три заданные точки лежат на трех осях координат и притом на расстоянии, равном единице, от начала, то ясно, что тогда мы будем иметь
$$\begin{array}{l}{\xi }^{\prime }=1,{\eta }^{\prime }=0,{\zeta }^{\prime }=0;\\ {\xi }^{\prime \prime }=0,{\eta }^{\prime \prime }=1,{\zeta }^{\prime \prime }=0;\\ {\xi }^{\prime \prime }=0,{\eta }^{\prime \prime \prime }=0,{\zeta }^{\prime \prime \prime }=1\text{, }\end{array}$$

что дает
$$\xi =a,\eta =b,\zeta =c.$$

Таким образом, величины $a,b,c$ представляют собою не что иное, как координаты любой точки системы, отнесенные к тем же осям. Но благодаря движению системы оси этих координат изменяют свое положение в пространстве, оставаясь неподвижными в системе, так как для одной и той же точки эти координаты остаются неизменными, а изменяются лишь при переходе от одной точки к другой. Положение осей координат в любое мгновение по отношению к неподвижным осям $\xi ,\eta ,\zeta$ зависит лишь от коэффициентов ${\xi }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime },{\xi }^{\prime \prime },{\eta }^{\prime },{\eta }^{\prime \prime },\dots$ В самом деле, если положить $b=0,c=0$, что дает
$$\xi =a{\xi }^{\prime \prime },\eta =a{\eta }^{\prime },\zeta =a{\zeta }^{\prime }$$

и, следовательно,
$$a=\sqrt{{\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2},$$

то легко видеть, что коэффициенты ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{\zeta }^{\prime }$ представляют собою косинусы углов, образуемых осью $a$ с осями $\xi ,\eta ,\zeta$. Точно так же ясно, что если ноложить $a$ и $c$ одновременно равными нулю, а затем $a$ и $b$ тоже равными нулю, то коэффициенты ${\xi }^{\prime \prime },{\eta }^{\prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime }$ будут косинусами углов оси $b$, а коэффициенты ${\xi }^{\prime \prime \prime },{\eta }^{\prime \prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime \prime }$ будут косинусами углов оси $c$ с теми же осями $\xi ,\eta ,\zeta$.
3. Так как эти коэффициенты вообще выражают координаты трех данных точек системы, которые, согласно допущению, находятся на расстоянии, равном единице, от начала координат и в начале движения лежат на осях прямоугольных координат $a,b,c$, то мы прежде всего имеем три следующих уравнения:
$$\begin{array}{c}{\xi }^{\prime 2}+{\eta }^{\prime 2}+{\zeta }^{\prime 2}=1,{\xi }^{\prime \prime 2}+{\eta }^{\prime \prime 2}+{\zeta }^{\prime \prime 2}=1,\\ {\xi }^{\prime \prime \prime 2}+{\eta }^{\prime \prime 2}+{\zeta }^{\prime \prime \prime 2}=1.\end{array}$$

Далее, так как взаимные расстояния между этими точками являются гипотенузами прямоугольных треугольников, қатеты которых равны единице, мы имеем
$$\begin{array}{r}{({\xi }^{\prime }-{\xi }^{\prime \prime })}^2+{({\eta }^{\prime }-{\eta }^{\prime \prime })}^2+{({\zeta }^{\prime }-{\zeta }^{\prime \prime })}^2=2,\\ {({\xi }^{\prime }-{\xi }^{\prime \prime \prime })}^2+{({\eta }^{\prime }-{\eta }^{\prime \prime \prime })}^2+{({\zeta }^{\prime }-{\zeta }^{\prime \prime \prime })}^2=2,\\ {({\xi }^{\prime \prime }-{\xi }^{\prime \prime \prime })}^2+{({\eta }^{\prime \prime }-{\eta }^{\prime \prime \prime })}^2+{({\xi }^{\prime \prime }-{\zeta }^{\prime \prime \prime })}^2=2,\end{array}$$

откуда вытекают следующие три уравнения:
$$\begin{array}{rl}{\xi }^{\prime }{\xi }^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime }{\eta }^{\prime \prime }+{\zeta }^{\prime }{\zeta }^{\prime \prime }& =0,\\ {\xi }^{\prime \prime \prime \prime }+{\eta }^{\prime }{\eta }^{\prime \prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime \prime \prime }& =0,\\ {\xi }^{\prime \prime }{\xi }^{\prime \prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime }{\eta }^{\prime \prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime }{\zeta }^{\prime \prime \prime }& =0.\end{array}$$

Таким образом, между девятью коэффициентами ${\xi }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime },{\xi }^{\prime \prime \prime },{\eta }^{\prime },{\eta }^{\prime \prime },\dots$ мы имеем шесть условных уравнеиий, благодаря которым они своднтся к трем неопределенным величинам.
4. С помощью этих уравнений общие выражения координат $\xi ,\eta ,\zeta$, приведенные в пункте 1 , удовлетворяют первоначальному условию, что расстояние между двумя любыми точками системы должно оставаться неизменным. Действительно, если $\xi ,\eta ,\zeta$ являются координатами одной из этих точек, а ${\xi }_1,{\eta }_1,{\zeta }_1$ координатами другой точки, то квадрат их расстояния выражается через
$${(\xi -{\xi }_1)}^2+{(\eta -{\eta }_1)}^2+{(\zeta -{\zeta }_1)}^2,$$

и если через $a_1,b_1,c_1$ обозначить координаты второй точки, отнесенной к осям $a,b,c$, то мы получим ${\xi }_1,{\eta }_1,{\zeta }_1$, подставив в выражениях для $\xi ,\eta ,\zeta$ буквы $a_1,b_1,c_1$ вместо $a,b,c$.

Если произвести указанные подстановки в предыдущем выражении и принять во внимание шесть условных уравнений, то это выражение преобразуется в
$${(a-a_1)}^2+{(b-b_1)}^2+{(c-c_1)}^2$$

и, следовательно, будет оставаться неизменным в течение движения. Отсюда можно придти к заключению, что указанные шесть условных уравнений являются единственными необходимыми для того, чтобы взаимное положение различных точек системы зависело лишь от постоянных $a,b,c$ и нисколько не зависело от переменных ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{\zeta }^{\prime },\dots$

Впрочем, ясно, что координаты $\xi ,\eta$, $\zeta$ являются не чем иным, как преобразованиями координат $a,b,c$, и что шесть условных уравнений являются следствиями общего условия
$${\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2=a^2+b^2+c^2,$$

в чем можно убедиться путем сравнения этих формул с формулами пункта 15 отдела III первой части, в которых координаты $x,y,z,x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ соответствуют $\xi ,\eta ,\zeta ,a,b,c$, а коэффициенты $\alpha ,\beta ,\gamma ,{\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },{\gamma }^{\prime },{\alpha }^{\prime \prime },{\beta }^{\prime \prime },{\gamma }^{\prime \prime }$ соответствуют ${\xi }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime },{\xi }^{\prime \prime },{\eta }^{\prime },{\eta }^{\prime \prime },{\eta }^{\prime \prime \prime },{\zeta }^{\prime },{\zeta }^{\prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime \prime }$.
5. Если сложить приведенные в пункте 1 выражения для $\xi ,\eta ,\zeta$, умножив их соответственно на ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{\zeta }^{\prime }$, затем на ${\xi }^{\prime \prime },{\eta }^{\prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime }$ и, наконец, на ${\zeta }^{\prime \prime },{\eta }^{\prime \prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime \prime }$,
то с помощью условных уравнений пункта 3 мы получим следующие формулы:
$$\begin{array}{l}a=\xi {\xi }^{\prime }+\eta {\eta }^{\prime }+\zeta {\zeta }^{\prime },\\ b=\xi {\xi }^{\prime \prime }+\eta {\eta }^{\prime \prime }+\zeta {\zeta }^{\prime \prime },\\ c=\xi {\xi }^{\prime \prime \prime }+\eta {\eta }^{\prime \prime \prime }+\zeta {\zeta }^{\prime \prime \prime };\end{array}$$

а если эти выражения $a,b,c$ подставить в равенство
$${\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2=:a^2+b^2+c^2,$$

которое всегда должно иметь место, каковы бы ни были значения $\xi ,\eta$, $\zeta$, то путем сопоставления членов мы получим следующие новые условные уравнения:
$$\begin{array}{rlrl}{\xi }^2+{\xi }^{\prime 2}+{\xi }^{\prime \prime \prime 2}& =1,& {\xi }^{\prime }{\eta }^{\prime }+{\xi }^{\prime \prime }{\eta }^{\prime \prime }+{\xi }^{\prime \prime \prime }{\eta }^{\prime \prime \prime }& =0,\\ {\eta }^{\prime 2}+{\eta }^{\prime \prime 2}+{\eta }^{\prime \prime 2}& =1,& {\xi }^{\prime }{\zeta }^{\prime }+{\xi }^{\prime \prime }{\zeta }^{\prime \prime }+{\xi }^{\prime \prime \prime }{\zeta }^{\prime \prime \prime }& =0,\\ {\zeta }^{\prime 2}+{\zeta }^{\prime \prime 2}+{\zeta }^{\prime \prime \prime 2}& =1,& {\eta }^{\prime }{\zeta }^{\prime }+{\eta }^{\prime \prime \prime }{\zeta }^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime \prime }{\zeta }^{\prime \prime \prime }& =0,\end{array}$$

которые являются необходимым следствием уравнений пункта 3, так как и те и другие одинаково вытекают из следующего общего условия:
$${\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2=a^2+b^2+c^2.$$
6. Но если значения $a,b,c$ определить непосредственно путем решения уравнений пункта 1 , то с помощью известных формул мы получим
$$\begin{array}{l}a=\frac{\xi ({\eta }^{\prime \prime }{\xi }^{\prime \prime \prime }-{\eta }^{\prime \prime \prime }{\zeta }^{\prime \prime })+\eta ({\xi }^{\prime \prime }{\xi }^{\prime \prime \prime }-{\zeta }^{\prime \prime \prime }{\xi }^{\prime \prime })+\zeta ({\xi }^{\prime \prime }{\eta }^{\prime \prime \prime }-{\xi }^{\prime \prime \prime }{\eta }^{\prime \prime })}{k},\\ b=\frac{\xi ({\xi }^{\prime }{\eta }^{\prime \prime \prime }-{\zeta }^{\prime \prime \prime }{\eta }^{\prime })+\eta ({\xi }^{\prime }{\xi }^{\prime \prime \prime }-{\xi }^{\prime \prime \prime }{\xi }^{\prime })+\zeta ({\eta }^{\prime }{\xi }^{\prime \prime \prime }-{\eta }^{\prime \prime \prime }{\xi }^{\prime })}{k},\\ c=\frac{\xi ({\eta }^{\prime }{\xi }^{\prime \prime }-{\eta }^{\prime \prime }{\zeta }^{\prime })+\eta ({\xi }^{\prime }{\xi }^{\prime \prime }-{\xi }^{\prime \prime }{\xi }^{\prime })+\zeta ({\xi }^{\prime }{\eta }^{\prime \prime }-{\xi }^{\prime \prime }{\eta }^{\prime })}{k},\end{array}$$

где положено
$$k={\xi }^{\prime }{\eta }^{\prime \prime }{\zeta }^{\prime \prime \prime }-{\eta }^{\prime }{\xi }^{\prime \prime }{\zeta }^{\prime \prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime }{\xi }^{\prime \prime }{\eta }^{\prime \prime \prime }-{\xi }^{\prime }{\zeta }^{\prime \prime }{\eta }^{\prime \prime \prime }+{\eta }^{\prime }{\zeta }^{\prime \prime }{\xi }^{\prime \prime \prime }-{\zeta }^{\prime }{\eta }_i^{\prime \prime }{\xi }^{\prime \prime \prime }.$$

Эти выражения должны быть тождественными с выражениями, приведенными в предыдущем пункте, поэтому, сравнивая коэффициенты величин $\xi ,\eta ,\zeta$, мы получим следующие равенства:
$$\begin{array}{l}{\eta }^{\prime \prime }{\zeta }^{\prime \prime \prime }-{\eta }^{\prime \prime \prime }{\zeta }^{\prime \prime }=k{\xi }^{\prime },{\zeta }^{\prime \prime }{\xi }^{\prime \prime \prime }-{\zeta }^{\prime \prime \prime }{\xi }^{\prime \prime }=k{\eta }^{\prime },\\ {\zeta }^{\prime }{\eta }^{\prime \prime \prime }-{\zeta }^{\prime \prime \prime }{\eta }^{\prime }=k{\delta }_8^{\prime \prime },{\xi }^{\prime }{\zeta }^{\prime \prime \prime }-{\xi }^{\prime \prime \prime \prime \prime }=k{\eta }^{\prime \prime },\\ {\eta }^{\prime \prime \prime }-{\eta }^{\prime \prime \prime }{\zeta }^{\prime }=k{\sigma }^{\prime \prime \prime },{\zeta }_{{\zeta }^{\prime \prime }}^{\prime \prime }-{\zeta }_{\zeta }^{\prime \prime \prime }=k{\eta }^{\prime \prime \prime },\\ {\xi }^{\prime \prime }{\eta }^{\prime \prime \prime }-{\xi }^{\prime \prime \prime }{\eta }^{\prime \prime }=k^{\prime \prime }\text{, }\\ {\eta }^{\prime \prime {\xi }^{\prime \prime \prime }}-{\eta }^{\prime \prime i}{\xi }^{\prime }=k_{\sigma }^{\prime \prime \prime },\\ {\xi }^{\prime }{\eta }^{\prime \prime }=-{\xi }^{\prime \prime \prime }{\eta }^{\prime }=k_{\rightharpoonup }^{\prime \prime \prime \prime }.\end{array}$$

Если сложить квадраты трех первых равенств, то мы будем иметь
$$\begin{array}{l}{({\eta }^{\prime \prime }{\zeta }^{\prime \prime \prime }-{\eta }^{\prime \prime \prime }{\zeta }^{\prime \prime })}^2+{({\zeta }^{\prime \prime }{\xi }^{\prime \prime }-{\zeta }^{\prime \prime \prime }{\zeta }^{\prime \prime })}^2+{({\xi }^{\prime \prime }{\eta }^{\prime \prime \prime }-{\xi }^{\prime \prime \prime }{\eta }^{\prime \prime })}^2=\\ =k^2({\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2);\end{array}$$

левая часть этого равенства может быть представлена в следующем виде:
$$({\xi }^{\prime \prime 2}+{\eta }^{\prime \prime 2}+{\zeta }^{\prime \prime 2})({\xi }^{\prime \prime \prime 2}+{\eta }^{\prime \prime \prime 2}+{\zeta }^{\prime \prime \prime 2})-{({\xi }^{\prime \prime }{\xi }^{\prime \prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime }{\eta }^{\prime \prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime {\zeta }^{\prime \prime \prime }})}^2;$$

следовательно, с помощью условных уравнений пункта 3 это равенство может быть приведено к виду
$$1=k^2,\text{ откуда }k=\pm 1.$$

Для того чтобы определить, какой из двух знаков здесь следует взять, достаточно рассмотреть лишь значение $k$ в одном частном случае; наиболее простым является тот случай, когда три оси координат $a,b,c$ совпадают с тремя осями координат $\xi ,\eta ,\xi$; этом случае мы имеем
$$\xi =a,\eta =b,\zeta =c$$

и, следовательно, согласно формулам пункта 1 ,
$${\xi }^{\prime }=1,{\eta }^{\prime \prime }=1,{\zeta }^{\prime \prime \prime }=1,$$

все же прочие величины \»ै\», है\»‘, … равны нулю. Если эти величины подставить в общее выражение для величины $k$, то последняя окажется равной 1. Следовательно, мы всегда имеем
$$k=1.$$

7. Так как между девятью неопределенными величинами ${\xi }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime },{\xi }^{\prime \prime \prime },{\eta }^{\prime },{\eta }^{\prime \prime },{\eta }^{\prime \prime \prime },{\zeta }^{\prime },{\zeta }^{\prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime \prime }$ всегда имеется шесть условных уравнений, то все неопределенные величины можно свести к трем; было бы достаточно свести к ним шесть величин ${\xi }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime },{\eta }^{\prime },{\eta }^{\prime \prime },{\zeta }^{\prime },{\zeta }^{\prime \prime }$, пользуясь тремя условными уравнениями
$$\begin{array}{c}{\xi }^{\prime 2}+{\eta }^{\prime 2}+{\zeta }^{\prime 2}=1,{\xi }^{\prime \prime 2}+{\eta }^{\prime 2}+{\zeta }^{\prime \prime 2}=1,\\ {\xi }^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime }{\eta }^{\prime \prime }+{\zeta }^{\prime }{\zeta }^{\prime \prime }=0,\end{array}$$

так как указанными выше формулами три остальные величины ${\xi }^{\prime \prime \prime },{\eta }^{\prime \prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime \prime }$ уже выражаются в функции этих шести величин.

Однако это приведение очень сильно упрощается, если воспользоваться синусами и косинусами углов; его можно даже осуществить непосредственно путем известных преобразований координат.

В самом деле, так как $\xi ,\eta ,\zeta$-прямоугольные координаты любой точки тела по отношению к трем осям координат, проведенным через дентр этого тела параллельно неподвижным осям координат $x,y,z$, и так как $a,b,c$-прямоугольные координаты той же точки по отношению к трем другим осям, проходящим через тот же центр, но остающимся неподвижными в теле и, следовательно, изменяющим свое положение относительно осей $\xi ,\eta ,\zeta$, то отсюда следует, что для получения выражений $\xi ,\eta ,\zeta$ через $a,b,c$ надо лишь одни координаты наиболее общим способом преобразовать в другие.

Для этой цели обозначим через (1) угол, образуемый плоскостью координат $a,b$ с плоскостью координат $\xi ,\eta$, и через Џ-угол, образуемый пересечением указанных двух плоскостей с осью 巨; наконец, через $\phi$ обозначим угол, образуемый осью $a$ с той же линией пересечения; как видим, эти три величины $\omega ,\psi$, могут послужить для определения положения осей координат $a,b,c$ относительно осей координат $\xi ,\eta ,\zeta$, следовательно, с помощью этих величин можно последние координаты выразить в функции других.

Если для большей наглядности предположить, что рассматриваемым телом является Земля, что плоскость $ab$ — это плоскость экватора, что ось $a$ проходит через заданный меридиан и, далее, что плоскостью हท является плоскость эклиптики и что ось $\xi$ направлена к точке весеннего равноденствия, то ясно, что угол () будет наклонением эклиптики, угол \& будет долготой осеннего равноденствия, или восходящего узла экватора на эклиптике, а $\phi$ будет расстоянием данного меридиана от этой равноденственной точки.

Угол $\phi$ будет вообще углом, ошисываемым телом при вращении его вокруг оси координат $c$; в силу этого данную ось можно назвать осью тела; ${90}^{\circ }$ будет углом наклона этий оси $\mathrm{k}$ неподвижной плоскости координат $\xi$, $\eta$; а $\psi -{90}^{\circ }$ будет углом, образуемым проекцией этой же оси с осью координат в.

Установив это, допустим сначала, что мы заменяем две координаты $a,b$ двумя другими, $a^{\prime },b^{\prime }$, расположенными в той же плоскости, причем ось $a^{\prime }$ проходит на пересечении обеих плоскостей, а ось $b^{\prime }$ перпендикулярна к указанной линии пересечения; тогда мы будем иметь
$$a^{\prime }=a\cos \phi -b\sin \phi ,b^{\prime }=b\cos \phi +a\sin \phi .$$

Затем предположим, что координаты $b^{\prime },c$ заменяются двумя другими $b^{\prime \prime },c^{\prime }$, из которых одна $b^{\prime \prime }$ нусть будет всегда перпендикулярна к линии пересечения плоскостей, но лежит в плоскости $\xi \eta$, а другая $c^{\prime }$ пусть будет перпендикулярна к этой плоскости; тогда мы таким же образом найдем
$$b^{\prime \prime }=b^{\prime }\cos (\omega -c^{\prime }\sin \omega ,c^{\prime }=c\cos \omega +b^{\prime }\sin \omega .$$

Наконец, предположим еще, что координаты $a^{\prime },b^{\prime \prime }$, лежащие уже в плоскости $\xi \eta$, заменяются двумя другими $a^{\prime \prime },b^{\prime \prime \prime }$, расположенными в той же плоскости, но направленными таким образом, что ось $a^{\prime \prime }$ совпадает с осью $\xi$; тогда аналогичным путем найдем
$$a^{\prime \prime }=a^{\prime }\cos \psi -b^{\prime \prime }\sin \psi ,b^{\prime \prime \prime }=b^{\prime \prime }\cos \psi +a^{\prime }\sin \psi .$$

Ясно, что три координаты $a^{\prime \prime },b^{\prime \prime \prime },c^{\prime }$ будут совершенно те же, что и координаты $\xi ,\eta ,\zeta$, так как они отнесены к тем же самым осям; стало быть, если последовательно подставить значения $a^{\prime },b^{\prime \prime },b^{\prime }$, мы получим выражения $\xi ,\eta ,\zeta$ в функции $a,b,c$, которые будут иметь тот же вид, что и выражения пункта 1 , если положить
$$\begin{array}{rl}{\xi }^{\prime }& =\cos \phi \cos \psi -\sin \phi \sin \psi \cos \omega ,\\ {\xi }^{\prime \prime }& =-\sin \phi \cos \psi -\cos \phi \sin \psi \cos \omega ,\\ {\xi }^{\prime \prime \prime }& =\sin \psi \sin \omega ,\\ {\eta }^{\prime }& =\cos \phi \sin \psi +\sin \phi \cos \psi \cos \omega ,\\ {\eta }^{\prime \prime }& =-\sin \phi \sin \psi +\cos \phi \cos \psi \cos \omega ,\\ {\eta }^{\prime \prime \prime }& =-\cos \psi \sin \omega ,\\ {\zeta }^{\prime }& =\sin \phi \sin \omega ,\\ {\zeta }^{\prime \prime }& =\cos \phi \sin \omega ,\\ {\zeta }^{\prime \prime }& =\cos \omega .\end{array}$$

Эти значения удовлетворяют и шести условным уравнениям пункта 3 , равно как и уравнениям пункта 5 , и решают эти уравнения в полном их объеме, так как они содержат три неопределенные переменные величины $\phi ,\psi$, .

С подстановкой этих значений выражения координат $\xi ,\eta ,\zeta$ упрощаются; но іредставляется полезным сохранить в них коәффициенты ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{\zeta }^{\prime }$, дабы соблюсти симметрию в формулах и облегчить их преобразования.
8. Так как величины ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{\zeta }^{\prime }$ суть частные значения $\xi ,\eta ,\zeta$, то они должны удовлетворять дифференциальным уравнениям пункта 1 между этими последними переменными; таким образом, мы будем иметь
$$\begin{array}{l}d{\xi }^{\prime }={\zeta }^{\prime }dM-{\eta }^{\prime }dN,\\ d{\eta }^{\prime }={\xi }^{\prime }dN-{\zeta }^{\prime }dL,\\ d{\zeta }^{\prime }={\eta }^{\prime }dL-{\xi }^{\prime }dM\end{array}$$

и точно так же
$$\begin{array}{ll}d{\xi }^{\prime \prime }={\zeta }^{\prime \prime }dM-{\eta }^{\prime \prime }dN,& d{\xi }^{\prime \prime \prime }={\zeta }^{\prime \prime \prime }dM-{\eta }^{\prime \prime \prime }dN,\\ d{\eta }^{\prime \prime }={\xi }^{\prime \prime }dN-{\xi }^{\prime \prime }dL,& d{\eta }^{\prime \prime \prime }={\xi }^{\prime \prime \prime }dN-{\xi }^{\prime \prime \prime }dL,\\ d{\zeta }^{\prime \prime }={\eta }^{\prime \prime }dL-{\xi }^{\prime \prime }dM,& d{\zeta }^{\prime \prime \prime }={\eta }^{\prime \prime \prime }dL-{\xi }^{\prime \prime \prime }dM.\end{array}$$

Отсюда легко получить величины $dL,dM,dN$ в функции ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{\zeta }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime },\dots$ В самом деле, если сложить $d_{u^{\prime \prime }}^{\prime }d{\zeta }^{\prime \prime },d{\zeta }^{\prime \prime \prime }$, умножив их предварительно на ${\eta }^{\prime },{\eta }^{\prime \prime }$, ${\eta }^{\prime \prime \prime }$, то, в силу условных уравнений, мы получим
$$dL={\eta }^{\prime }d{\zeta }^{\prime }+{\eta }^{\prime \prime }{d}_{\zeta }^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime \prime }{d}_{\zeta }^{\prime \prime \prime }.$$

Тично так же, умножив $d{\xi }^{\prime },d{\xi }^{\prime \prime },d{\xi }^{\prime \prime \prime }$ на ${\zeta }^{\prime },{\zeta }^{\prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime \prime }$ и $d{\eta }^{\prime },d{\eta }^{\prime \prime },d{\eta }^{\prime \prime \prime }$ на ${\xi }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime },{\xi }^{\prime \prime \prime }$, мы найдем
$$\begin{array}{l}dM={\zeta }^{\prime }d{\xi }^{\prime }+{\zeta }^{\prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime \prime },\\ dN={\xi }^{\prime }d{\eta }^{\prime }+{\xi }^{\prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime }+{\xi }^{\prime \prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime \prime }.\end{array}$$

Если в найденные таким образом выражения $dL$, $dM,dN$ в функции ${\zeta }^{\prime },{\zeta }^{\prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime \prime },\dots$ подставить вкражения этих последних величин в функции углов $\phi ,\psi ,\omega (п.7)$, то после преобразований мы получим следующие достаточно простые выражения:
$$\begin{array}{rl}dL& =\sin \psi \sin \omega d\phi +\cos \psi d\omega ,\\ dM& =-\cos \psi \sin \omega d\phi +\sin \psi d\omega ,\\ dN& =\cos \omega d\phi +d\psi .\end{array}$$
9. Мы предположили, что ось, вокруг которой система может вращаться, описывая угол $\phi$, и положение которой зависит от двух углов $\dot{\psi }$ и , остается неподвижной в системе и движется в пространстве; но, как мы видели в отделе III «Статики» (і. 11 и 12), всегда существует ось, вокруг которой система фактически вращается в каждое мгновение и которую мы назвали меновенной осью вращения. Можно определить также мгновенное положение этой оси, равно как элементарный угол вращения, с помощью углов, аналогичных углам $\psi$, $\omega ,\phi$, которые мы обозначим через $\overline{\psi },\overline{\omega },\overline{\phi }$; в самом деле, так как выражения для $dL,dM,dN$ являются общими для каких угодно положений оси вращения $ф$, то они сохраняют силу и для мгновенной оси вращения, если в них $\psi ,\omega$, $\phi$ заменить величинами $\overline{\psi },\stackrel{\rightharpoonup }{\overline{u}},\overline{-}$, но так как эта последняя ось обладает тем свойством, что в течение мгновения она остается неподвижной, то дифференциалы $d\mathrm{\Psi },d\omega$, связанные с изменением положения оси, должны быть равны нулю; таким образом, для рассматриваемой оси мы будем иметь
$$\begin{array}{rl}\sin \overline{\psi }\sin \overline{\omega }d\overline{\phi }& =dL,\\ \cos \overline{\psi }\sin \overline{\omega }d\overline{\phi }& =-dM,\\ \cos \overline{\omega }d\overline{\phi }& =dN,\end{array}$$

откуда следует
$$d\overline{\phi }=\sqrt{d{L}^2+\overline{M}{\overline{M}}^2+d{N}^2};$$

это-угол мгновенного вращения, который в упомянутом выше месте первой части мы обозначали через $d\theta$.

Затем мы получим положение этой оси с помощью двух углов () и $\overline{\psi }$; но для того, чтобы отнести их $\kappa$ неподвижным осям $\xi ,\eta ,\zeta$, достаточно принять во внимание, что коль скоро мы приняли ось $c$ за ось вращения, то для всех точек этой оси мы имеем $a=0,b=0$; следовательно, если через $\overline{\xi },\overline{\eta },\overline{\zeta }$ обозначить координаты, соответствующие точке, в которой $c=1$, и в то же время являющиеся синусами углов, образуемых осью вращения с тремя осями $\xi ,\eta ,\xi$, то на основании формул пункта 8 мы получим
$$\overline{\xi }=\frac{dL}{d\phi },\overline{\eta }=\frac{dM}{d\phi },\overline{\zeta }=\frac{dN}{d\phi }.$$

Действительно, эти значения $\overline{\xi },\overline{\eta },\overline{\zeta }$ обращают в нуль свои дифференциалы, как это можно видеть из формул пункта 1; таково свойство всех точек мгновенной оси вращения: исходя из него, мы и определили эту ось в III отделе «Статики».

Из сказанного ясно, что величины $dL,dM,dN$ в точности соответствуют тем углам вращения, которые

в только что упомянутом отделе мы обозначили через $d\psi ,d\omega ,d\phi$ и которые мы сохранили в отделе III «Динамики».
10. Теперь, если эти же величины $\overline{\xi },\overline{\eta },\overline{\zeta }$ нодставить вместо $\xi ,\eta ,\zeta$ в общие выражения $a,b,c$ пункта 5 , то мы получим значения координат $a,b,c$, соответствующие мгновенной оси вращения, которые мы обозначим через $\overline{a},\overline{b},\overline{c}$. Таким образом, положив для сокращения письма
$$\begin{array}{l}dP={\xi }^{\prime }dL+{\eta }^{\prime }dM+{\zeta }^{\prime }dN,\\ dQ={\xi }^{\prime \prime }dL+{\eta }^{\prime \prime }dM+{\zeta }^{\prime \prime }dN,\\ dR={\xi }^{\prime \prime \prime }dL+{\eta }^{\prime \prime \prime }dM+{\zeta }^{\prime \prime \prime }dN,\end{array}$$

что на основании условных уравнений пункта 5 дает
$$d{P}^2+d{Q}^2+d{R}^2=d{L}^2+d{M}^2+d{N}^2=d{\overline{\phi }}^2.$$

мы получим
$$\overline{a}=\frac{dP}{d\overline{\rho }},\overline{b}=\frac{dQ}{d\overline{\rho }},\overline{c}=\frac{dP}{\overline{d_{\rho }}};$$

эти выражения совершенно аналогичны выражениям $\overline{\zeta },\overline{\eta },\overline{\zeta }$; из них мы видим, что величины $dP,dQ,d{R}^{\ast })$ соответствуют величинам $dL,dM,dN$. Эти значения $\overline{a},\overline{b},\overline{c}$ являются также косинусами углов, образуемых осью вращения с осями координат $a,b,c$.
11. Для того чтобы получить величины $dP,dQ,dR$, выраженные через переменные ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{\zeta }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime },\dots$, следует лишь вместо $dL,dM,dN$ подставить значения, приведенные в пункте 8. Однако для того, чтобы получить наиболее простые формулы, представляется более удобным эти последние формулы привести
*) Следует отметить, что Јагранж определяет здесь величины $dP,dQ,dR$, не задаваясь совершенно вопросом о том, являются ли интегрируемыми те величины, которым он шрисваивает это наименование, т. е. существует ли в действительности какая-либо функция рассматриваемых переменных, которая может выразить $P,Q,R$. Это замечание существенно для правильного истолкования пункта 15 , стр. 246. (II рим. Бертрана).

к следующему виду, который, в силу условных уравнений пункта 5, эквивалентен виду, данному в пункте 8:
$$\begin{array}{l}2dL={\eta }^{\prime }d{\zeta }^{\prime }+{\eta }^{\prime \prime }d{\zeta }^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime \prime }d{\zeta }^{\prime \prime \prime }-{\zeta }^{\prime }d{\eta }^{\prime }-{\zeta }^{\prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime }-{\zeta }^{\prime \prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime \prime },\\ 2dM={\zeta }^{\prime }d{\xi }^{\prime }+{\zeta }^{\prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime \prime }-{\xi }^{\prime }d{\zeta }^{\prime }-{\xi }^{\prime \prime }d{\zeta }^{\prime \prime }-{\xi }^{\prime \prime \prime }d{\zeta }^{\prime \prime \prime \prime }\\ 2dN={\xi }^{\prime }d{\eta }^{\prime }+{\xi }^{\prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime }+{\xi }^{\prime \prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime \prime }-{\eta }^{\prime }d{\xi }^{\prime }-{\eta }^{\prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime }-{\eta }^{\prime \prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime \prime }:\end{array}$$

Таким образом, произведя подстановку и группируя члены, мы получим
$$\begin{array}{rl}2dP& =({\xi }^{\prime }{\eta }^{\prime \prime }-{\eta }^{\prime }{\xi }^{\prime \prime })d{\zeta }^{\prime \prime }+({\xi }^{\prime }{\eta }^{\prime \prime \prime }-{\eta }^{\prime }{\xi }^{\prime \prime \prime })d{\zeta }^{\prime \prime \prime }+\\ & +({\zeta }^{\prime }{\xi }^{\prime \prime }-{\xi }^{\prime }{\zeta }^{\prime \prime })d{\eta }^{\prime \prime }+({\zeta }^{\prime \prime \prime \prime }-{\xi }^{\prime }{\zeta }^{\prime \prime \prime })d{\eta }^{\prime \prime \prime }+\\ & +({\eta }^{\prime }{\zeta }^{\prime \prime }-{\zeta }^{\prime }{\eta }^{\prime \prime })d{\xi }^{\prime \prime }+({\eta }^{\prime }{\zeta }^{\prime \prime \prime }-{\zeta }^{\prime }{\eta }^{\prime \prime \prime })d{\xi }^{\prime \prime \prime };\end{array}$$

последнее с помощью формул пункта 6 приводится к $2dP={\zeta }^{\prime \prime \prime }d{\zeta }^{\prime \prime }-{\zeta }^{\prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime }-{\eta }^{\prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime \prime }+{\xi }^{\prime \prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime }-{\xi }^{\prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime }$
и, наконец, с помощью трех продифференцированных условных уравнений пункта 5 -к следующему простому выражению:
$$dP={\xi }^{\prime \prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime \prime }d{\zeta }^{\prime \prime };$$

таким же точно образом мы получим
$$\begin{array}{l}dQ={\xi }^{\prime }d{\xi }^{\prime \prime \prime }+{\eta }^{\prime }d{\eta }^{\prime \prime \prime }+{\zeta }^{\prime }d{\zeta }^{\prime \prime \prime },\\ dR={\xi }^{\prime \prime }d{\xi }^{\prime }+{\eta }^{\prime \prime }d{\eta }^{\prime }+{\zeta }^{\prime \prime }d{\zeta }^{\prime }.\end{array}$$

Если вместо ${\xi }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime },{\xi }^{\prime \prime \prime },\dots$ поставить их выражения в функции $\psi$, $\omega ,\phi$ пункта 7 , то после некоторых преобразований мы получим
$$\begin{array}{l}dP=\sin \phi \sin \omega d\dot{+}\cos \dot{\varphi }d\omega ,\\ dQ=\cos \phi \sin \omega d\psi -\sin \phi d\omega ,\\ dR=d\phi +\cos \omega d\psi .\end{array}$$
12. Легко убедиться, что приведенные выше значения $\overline{a},\overline{b},\overline{c}$ тоже обращают в нуль дифференциалы координат $\xi ,\eta ,\zeta$; в самом деле, если в формулах пункта 1 произвести дифференцирование и положить $d\xi =0,d\eta =0,d\zeta =0$ и затем подставить $\overline{a},\overline{b},\overline{c}$ вместо $a,b,c$, дабы отнести их к мгновенной оси вращения, то мы получим следующие три уравнения:
$$\begin{array}{l}\overline{a}d{\xi }^{\prime }+\overline{b}d{\xi }^{\prime \prime }+\overline{c}d{\xi }^{\prime \prime \prime }=0,\\ \overline{a}d{\eta }^{\prime }+\overline{b}d{\eta }^{\prime \prime }+\overline{c}d{\eta }^{\prime \prime \prime }=0,\\ \overline{a}d{\zeta }^{\prime }+\overline{b}d{\zeta }^{\prime \prime }+\overline{c}d{\zeta }^{\prime \prime \prime }=0.\end{array}$$

Если эти уравнения сложить, умножив их последовательно на ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{\zeta }^{\prime }$, на ${\xi }^{\prime \prime },{\eta }^{\prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime }$ и на ${\xi }^{\prime \prime \prime },{\eta }^{\prime \prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime \prime }$, и при этом принять во внимание условные уравнения пункта 2 , то мы будем иметь
$$\begin{array}{c}\overline{b}({\xi }^{\prime }d{\xi }^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime }d{\eta }^{\prime \prime }+{\zeta }^{\prime }d{\zeta }^{\prime \prime })+\overline{c}({\xi }^{\prime }d{\xi }^{\prime \prime \prime }+{\eta }^{\prime }d{\eta }^{\prime \prime \prime }+{\zeta }^{\prime }d{\zeta }^{\prime \prime \prime })=0,\\ \overline{a}({\xi }^{\prime \prime }d{\xi }^{\prime }+{\eta }^{\prime \prime }d{\eta }^{\prime }+{\zeta }^{\prime \prime }d{\zeta }^{\prime })+\overline{c}({\xi }^{\prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime }d{\zeta }^{\prime \prime \prime })=0,\\ \overline{a}({\xi }^{\prime \prime \prime }d{\xi }^{\prime }+{\eta }^{\prime \prime \prime }d{\eta }^{\prime }+{\zeta }^{\prime \prime \prime }d{\zeta }^{\prime \prime })+\\ +\overline{b}({\xi }^{\prime \prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime \prime }d{\zeta }^{\prime \prime })=0.\end{array}$$

Если затем принять во внимание три других условных уравнения пункта 5 и взять. данные выше выражения $dP,dQ,dR$, то указанные три уравнения примут следующий вид:
$$\overline{c}dQ-\overline{b}dR=0,\overline{a}dR-\overline{c}dP=0,\overline{b}dP-\overline{a}dQ=0,$$

приведенные выше значения $\overline{a},\overline{b},\overline{c}$, очевидно, удовлетворяют этим уравнениям.
13. Как мы видели в пункте 8 , величины $dL,dM$, $dN$ служат для того, чтобы одинаковым образом выразить дифференциалы величин ${\xi }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime },{\xi }^{\prime \prime \prime },\dots$; эти дифференциалы можно также выразить с помощью величин $dP,dQ,dR$.
В самом деле, если взять три уравнения:
$$\begin{array}{rl}{\xi }^{\prime }d{\xi }^{\prime }+{\eta }^{\prime }d{\eta }^{\prime }+{\zeta }^{\prime }d{\zeta }^{\prime }& =0,\\ {\xi }^{\prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime }d{\zeta }^{\prime \prime }& =dR,\\ {\xi }^{\prime \prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime \prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime \prime }d{\zeta }^{\prime \prime \prime }& =-dQ,\end{array}$$

и сложить их, умножив последовательно на ${\xi }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime },{\xi }^{\prime \prime \prime }$, на ${\eta }^{\prime },{\eta }^{\prime \prime },{\eta }^{\prime \prime \prime }$ и на \»‘, ${\zeta }^{\prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime \prime }$, то с помощью условных уравнений пункта 5 мы тотчас же получим
$$\begin{array}{l}d{\xi }^{\prime }={\xi }^{\prime \prime }dR-{\xi }^{\prime \prime \prime }dQ,\\ d{\eta }^{\prime }={\eta }^{\prime \prime }dR-{\eta }^{\prime \prime \prime }dQ,\\ d{\zeta }^{\prime \prime }={\zeta }^{\prime \prime }dR-{\zeta }^{\prime \prime \prime }dQ.\end{array}$$

Точно так же три уравнения:
$$\begin{array}{rl}{\xi }^{\prime }d{\xi }^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime }d{\eta }^{\prime \prime }+{\zeta }^{\prime }d{\zeta }^{\prime \prime }& =-dR,\\ {\xi }^{\prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime }+{\xi }^{\prime \prime }d{\zeta }^{\prime \prime }& =0,\\ {\xi }^{\prime \prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime \prime }d{\zeta }_{\zeta }^{\prime \prime }& =dP,\end{array}$$

будучи умножены последовательно на ${\xi }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime },{\xi }^{\prime \prime \prime },{\eta }^{\prime }$, ${\eta }^{\prime \prime },{\eta }^{\prime \prime \prime }$ и на ${\zeta }^{\prime },{\zeta }^{\prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime \prime }$ и затем сложены, с помощью тех же условных уравнений дадут
$$\begin{array}{l}d{\xi }^{\prime \prime }={\xi }^{\prime \prime \prime }dP-{\xi }^{\prime }dR,\\ d{\eta }^{\prime \prime }={\eta }^{\prime \prime \prime }dP-{\eta }^{\prime }dR,\\ d{\zeta }^{\prime \prime }={\zeta }^{\prime \prime \prime }dP-{\zeta }^{\prime }dR.\end{array}$$

Наконеп, уравнения
$$\begin{array}{rl}{\xi }^{\prime }d{\xi }^{\prime \prime \prime }+{\eta }^{\prime }d{\eta }^{\prime \prime \prime }+{\zeta }^{\prime }d{\zeta }^{\prime \prime \prime }& =dQ,\\ {\xi }^{\prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime }{d}^{\prime \prime \prime }& =-dP,\\ {\xi }^{\prime \prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime \prime }d{b}^{\prime \prime \prime }& =0\end{array}$$

тем же путем дадут
$$\begin{array}{l}d{\xi }^{\prime \prime \prime }={\xi }^{\prime }dQ-{\xi }^{\prime \prime }dP,\\ d{\eta }^{\prime \prime \prime }={\eta }^{\prime }dQ-{\eta }^{\prime \prime }dP,\\ d{\xi }^{\prime \prime \prime }={\zeta }^{\prime }dQ-{\zeta }^{\prime \prime }dP.\end{array}$$
14. С помощью приведенных выше формул можно представить в очень простом виде вариации координат $\xi ,\eta ,\zeta$, когда хотят одновременно рассматривать изменение положения системы вокруг ее центра и изменение взаимных расстояний точек системы. Ясно, что для этого следует продифференцировать выражения $\xi ,\eta ,\zeta$, рассматривая одновременно в качестве переменных все величины ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime }$, ${\zeta }^{\prime },{\eta }^{\prime \prime },\dots$, равно как $a,b,c$; этим путем мы получим
$$\begin{array}{l}d⋮=ad{\xi }^{\prime }+bd{\xi }^{\prime \prime }+cd{\xi }^{\prime \prime \prime }+{\xi }^{\prime }da+{\xi }^{\prime \prime }db+{\xi }^{\prime \prime \prime }dc,\\ d\eta =ad{\eta }^{\prime }+bd{\eta }^{\prime \prime }+cd{\eta }^{\prime \prime \prime }+{\eta }^{\prime }da+{\eta }^{\prime \prime }db+{\eta }^{\prime \prime \prime }dc,\\ d\zeta =ad{\zeta }^{\prime }+bd{\zeta }^{\prime \prime }+cd{\zeta }_{{\zeta }^{\prime \prime }}+{\zeta }^{\prime }da+{\zeta }^{\prime \prime }db+{\zeta }^{\prime \prime \prime }dc;\end{array}$$

если сюда подставить найденные нами выше выражения $d{\xi }^{\prime },d{\eta }^{\prime },d{\zeta }^{\prime },d{\xi }^{\prime \prime },\dots$ и положить для краткости
$$\begin{array}{l}d{a}^{\prime }=da+cdQ-bdR,\\ d{b}^{\prime }=db+adR-cdP,\\ d{c}^{\prime }=dc+bdP-adQ,\end{array}$$

то мы получим следующие очень простые дифференциальные формулы:
$$\begin{array}{l}d\xi ={\xi }^{\prime }d{a}^{\prime }+{\xi }^{\prime \prime }d{b}^{\prime }+{\xi }^{\prime \prime \prime }d{c}^{\prime },\\ d\eta ={\eta }^{\prime }d{a}^{\prime }+{\eta }^{\prime \prime }d{b}^{\prime }+{\eta }^{\prime \prime \prime }d{c}^{\prime },\\ d\zeta ={\zeta }^{\prime }d{a}^{\prime }+{\zeta }^{\prime \prime }d{b}^{\prime }+{\zeta }^{\prime \prime \prime }d{c}^{\prime }.\end{array}$$

Если эти выражения продифференцировать и вместо $d{\xi }^{\prime },d{\eta }^{\prime },d{\zeta }^{\prime },d{\xi }^{\prime \prime },\dots$ снова подставить найденные выше значения м, наконец, положить для краткости
$$\begin{array}{l}{d}^2{a}^{\prime \prime }=d^2{a}^{\prime }+d{c}^{\prime }dQ-d{b}^{\prime }dR,\\ d^2{b}^{\prime \prime }=d^2{b}^{\prime }+d{a}^{\prime }dR-d{c}^{\prime }dP,\\ d^2{c}^{\prime \prime }=d^2{c}^{\prime }+d{b}^{\prime }dP-d{a}^{\prime }dQ,\end{array}$$

то мы получим вторые дифференциалы
$$\begin{array}{l}{d}^2\xi ={\xi }^{\prime }{d}^2{a}^{\prime \prime }+{\xi }^{\prime \prime }{d}^2{b}^{\prime \prime }+{\xi }^{\prime \prime \prime }{d}^2{c}^{\prime \prime },\\ d^2\eta ={\eta }^{\prime }{d}^2{a}^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime }{d}^2{b}^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime \prime }{d}^2{c}^{\prime \prime },\\ d^2\zeta ={\zeta }^{\prime }{d}^2{a}^{\prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime }{d}^2{b}^{\prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime \prime }{d}^2{c}^{\prime \prime }.\end{array}$$

Как видим, эти выражения для первых и вторых дифференциалов подобны конечным выражениям для $\xi ,\eta ,\zeta$ (II. 1) и величины ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{\zeta }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime },\dots$ входят в них совершенно аналогичным образом; то же самое получилось бы и для дифференциалов всех других порядков, благодаря чему применение величин $dP$, $dQ,dR$ оказывается очень удобным при расчетах, касающихся вращения.
15. Следует, однако, сделать еще одно важное замечание по поводу применения этих величин; замечание это сводится к следующему: хотя эти величины выражены в дифференциальной форме, тем не менее мы впали бы в ошибку, если бы мы их рассматривали в качестве дифференциалов при дифференцированиях в смысле символа $\delta$. Таким образом, в значении $\delta T$ нельзя просто заменять выражение $\delta dP$ выражением $d\delta P,\dots$

Отметим прежде всего, что ничто не пренятствует нам в дифференциальных формулах пункта 13 заменять символ $d$, символом $\delta$, благодаря чему в значения вариаций $\delta {\xi }^{\prime }$, $\delta {\eta }^{\prime }$, $\delta {\xi }^{\prime },\delta {\xi }^{\prime \prime },\dots$ вводятся три неопределенные величины $\delta P,\delta Q,\delta R$, что может послужить для того, чтобы все эти вариации свести к трем произвольным.
Тәк как мы нашли (п. 13)
$$dP={\xi }^{\prime \prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime \prime }d{\zeta }^{\prime \prime },$$

то, заменив символ $d$ символом $\delta$, мы будем также иметь
$$\delta P={\xi }^{\prime \prime \prime }\delta {\xi }^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime \prime }\delta {\eta }^{\prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime \prime }\delta {\zeta }^{\prime \prime };$$

аналогичные выражения мы получим для величин $dQ$, $dR$, которые превратятся в $\delta Q$ и $\delta R$.

Продифференцировав $dP$ по символу $\delta$, мы получим
$$\begin{array}{l}\delta dP={\xi }^{\prime \prime \prime }\delta d{\xi }^{\prime \prime }+{\eta }^{\prime \prime \prime }\delta d{\eta }^{\prime \prime }+{\zeta }^{\prime \prime \prime }\delta d{\zeta }^{\prime \prime }+\\ +\widehat{{\xi }^{\prime \prime \prime }}d{\xi }^{\prime \prime }+\delta {\eta }^{\prime \prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime }+\delta {\zeta }^{\prime \prime \prime }d{\zeta }^{\prime \prime },\end{array}$$

а продифференцировав $\delta P$ по символу $d$,

Но $\delta {\xi }^{\prime \prime },\delta d{\eta }^{\prime \prime },\delta d{\zeta }^{\prime \prime }$ представляют собою то же самое, что $d{\hat{\zeta }}^{\prime \prime },d\hat{\delta }{\eta }^{\prime \prime },d{\hat{\delta }}^{\prime \prime }$, так как величины ${\xi }^{\prime \prime },{\eta }^{\prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime }$ являются

конечными переменными; следовательно, мы будем иметь
$$\begin{array}{l}\delta dP-d\delta P=+\delta {\xi }^{\prime \prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime }+\delta {\eta }^{\prime \prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime }+\delta {\zeta }^{\prime \prime \prime }d{\zeta }^{\prime \prime }-\\ -d{\xi }^{\prime \prime \prime }\delta {\xi }^{\prime \prime }-d{\eta }^{\prime \prime \prime }\delta {\eta }^{\prime \prime }-d{\zeta }^{\prime \prime \prime }\delta {\zeta }^{\prime \prime }.\end{array}$$

Подставим вместо $d{\xi }^{\prime \prime },d{\eta }^{\prime \prime },d{\zeta }^{\prime \prime }$ и $d{\xi }^{\prime \prime \prime },d{\eta }^{\prime \prime \prime },d{\zeta }^{\prime \prime \prime }$ их выражения через $dP,dQ,dR$ (п. 13) и вместо $\delta {\xi }^{\prime \prime }$, $\delta {\eta }^{\prime \prime },\delta {\zeta }^{\prime \prime },\delta {\xi }^{\prime \prime \prime },\delta {\eta }^{\prime \prime \prime },\delta {\zeta }^{\prime \prime \prime }$ аналогичные их выражения, получающиеся при замене символа $d$ символом $\delta$; тогда с помощью условных уравнений пункта 2 мы получим
$$\begin{array}{l}\delta {\xi }^{\prime \prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime }+\delta {\eta }^{\prime \prime \prime }d{\eta }^{\prime \prime }+\delta {\phi }_0^{\prime \prime \prime }d{\zeta }^{\prime \prime }=-\delta QdR,\\ d{\xi }^{\prime \prime \prime }\delta {\xi }^{\prime \prime }+d{\eta }^{\prime \prime \prime }\hat{\partial }{\eta }^{\prime \prime }+d{\zeta }^{\prime \prime \prime }{\delta }_{\bullet }^{\prime \prime \prime }=-dQ\delta R;\end{array}$$

следовательно,
$$\delta dP=d\delta P+dQ\delta R-dR\delta Q.$$

Путем аналогичного вычисления мы также найдем
$$\begin{array}{l}\delta dQ=d\delta Q+dR\delta P-d{P}^{\delta }R,\\ \delta dR=d\delta R+d{P}^{\delta }Q-dQ\delta P^{\ast }).\end{array}$$