Найденные нами в «Статике» дифференциальные формулы для выражения вариаций, которые могут получить координаты любой системы точек, расстояния между которыми предполагаются неизменными, могут быть естественно применены к тому исследованию, о котором здесь идет речь; действительно, указанное предположение приводит лишь к исчезновению тех членов, которые явились бы результатом варьирования расстояний между различными точками. Таким образом, остающиеся члены выражают то, что имеется общего и свойственного всем членам при движении системы, если отвлечься от их относительных движений; как раз это общее абсолютное движение мы и собираемся здесь исследовать.
1. Обратимся к формулам пункта 55 отдела V, найденным нами путем прямого анализа, основанного исключительно на предположении, что точки системы сохраняют неизменными свои взаимные расстояния. Если символ $\delta$ заменить символом $d$, то мы получим для абсолютного движения системы три следующих уравнения:
\[
\begin{array}{l}
d x=d \lambda+z d M-y d N, \\
d y=d \mu+x d N-z d L, \\
d z=d
u+y d L-x d M,
\end{array}
\]

в которых $x, y, z$, как обычно, выражают координаты каждой точки системы по отношению к трем неподвижным и взаимно перпендикулярным осям, а $d \lambda, d \mu$, $d
u, d L, d M, d N$ являются неопределенными величинами, одинаковыми для всех точек и зависящими лишь от движения системы в целом.

Пусть теперь $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$-координаты какой-либо определенной точки системы; тогда мы имеем также
\[
\begin{array}{l}
d x^{\prime}=d \lambda+z^{\prime} d M-y^{\prime} d N \\
d y^{\prime}=d \mu+x^{\prime} d N-z^{\prime} d L, \\
d z^{\prime}=d v+y^{\prime} d L-x^{\prime} d M
\end{array}
\]

следовательно, если последние формулы вычесть из предыдущих и для упрощения положить
\[
x=x^{\prime}+\xi, \quad y=y^{\prime}+\eta, \quad z=z^{\prime}+\zeta,
\]

то мы получим следующие дифференциальные уравнения:
\[
d \xi=\zeta d M-\eta d N, \quad d \eta=\xi d N-\zeta d L, \quad d \zeta=\eta d L-\xi d M,
\]

в которых переменные $\xi, \eta, \zeta$ представляют координаты различных точек системы относительно одной определенной точки той же системы, — точки, которую мы впредь будем называть центром системы.

Так как эти уравнения линейны и являются уравнениями только первого порядка, то из известной теории этого вида уравнений следует, что если обозначить через $\xi^{\prime}$, $\xi^{\prime \prime}$, $\xi^{\prime \prime \prime}$ три частных значения $\xi$ и через $\eta^{\prime}, \eta^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime \prime}$ и $\zeta^{\prime}, \zeta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime \prime}$ — соответствующие значения $\eta$ и $\zeta$, то мы получим следующие полные интегралы:
\[
\begin{array}{l}
\xi=a \xi^{\prime}+b \xi^{\prime \prime}+c \xi^{\prime \prime \prime}, \\
\eta=a \eta^{\prime}+b \eta^{\prime \prime}+c \eta^{\prime \prime \prime}, \\
\zeta=a \zeta^{\prime}+b \zeta^{\prime \prime}+c \zeta^{\prime \prime \prime},
\end{array}
\]

где $a, b, c$-три произвольные постоянные.
Ясно, что $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$ являются не чем иным, как координатами произвольно заданной точки системы, и что $\xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime}$ и $\xi^{\prime \prime \prime}, \eta^{\prime \prime \prime}, \zeta^{\prime \prime \prime}$ представляют собою координаты двух других точек системы, точно так же взятых произвольно, причем все эти координаты имеют свое общее начало в центре системы.

Таким образом, зная координаты трех заданных точек, мы с помощью приведенных выше формул будем иметь значения координат для любой другой точки, зависящей от постоянных $a, b, c$; следует, однако, определить значения этих постоянных.
2. Если предположить- а это всегда допустимо,что в начальном состоянии три заданные точки лежат на трех осях координат и притом на расстоянии, равном единице, от начала, то ясно, что тогда мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime}=1, \quad \eta^{\prime}=0, \quad \zeta^{\prime}=0 ; \\
\xi^{\prime \prime}=0, \quad \eta^{\prime \prime}=1, \quad \zeta^{\prime \prime}=0 ; \\
\xi^{\prime \prime}=0, \quad \eta^{\prime \prime \prime}=0, \quad \zeta^{\prime \prime \prime}=1 \text {, } \\
\end{array}
\]

что дает
\[
\xi=a, \quad \eta=b, \quad \zeta=c .
\]

Таким образом, величины $a, b, c$ представляют собою не что иное, как координаты любой точки системы, отнесенные к тем же осям. Но благодаря движению системы оси этих координат изменяют свое положение в пространстве, оставаясь неподвижными в системе, так как для одной и той же точки эти координаты остаются неизменными, а изменяются лишь при переходе от одной точки к другой. Положение осей координат в любое мгновение по отношению к неподвижным осям $\xi, \eta, \zeta$ зависит лишь от коэффициентов $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime}, \eta^{\prime \prime}, \ldots$ В самом деле, если положить $b=0, c=0$, что дает
\[
\xi=a \xi^{\prime \prime}, \quad \eta=a \eta^{\prime}, \quad \zeta=a \zeta^{\prime}
\]

и, следовательно,
\[
a=\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}},
\]

то легко видеть, что коэффициенты $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$ представляют собою косинусы углов, образуемых осью $a$ с осями $\xi, \eta, \zeta$. Точно так же ясно, что если ноложить $a$ и $c$ одновременно равными нулю, а затем $a$ и $b$ тоже равными нулю, то коэффициенты $\xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime}$ будут косинусами углов оси $b$, а коэффициенты $\xi^{\prime \prime \prime}, \eta^{\prime \prime \prime}, \zeta^{\prime \prime \prime}$ будут косинусами углов оси $c$ с теми же осями $\xi, \eta, \zeta$.
3. Так как эти коэффициенты вообще выражают координаты трех данных точек системы, которые, согласно допущению, находятся на расстоянии, равном единице, от начала координат и в начале движения лежат на осях прямоугольных координат $a, b, c$, то мы прежде всего имеем три следующих уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\xi^{\prime 2}+\eta^{\prime 2}+\zeta^{\prime 2}=1, \quad \xi^{\prime \prime 2}+\eta^{\prime \prime 2}+\zeta^{\prime \prime 2}=1, \\
\xi^{\prime \prime \prime 2}+\eta^{\prime \prime 2}+\zeta^{\prime \prime \prime 2}=1 .
\end{array}
\]

Далее, так как взаимные расстояния между этими точками являются гипотенузами прямоугольных треугольников, қатеты которых равны единице, мы имеем
\[
\begin{array}{r}
\left(\xi^{\prime}-\xi^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(\eta^{\prime}-\eta^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(\zeta^{\prime}-\zeta^{\prime \prime}\right)^{2}=2, \\
\left(\xi^{\prime}-\xi^{\prime \prime \prime}\right)^{2}+\left(\eta^{\prime}-\eta^{\prime \prime \prime}\right)^{2}+\left(\zeta^{\prime}-\zeta^{\prime \prime \prime}\right)^{2}=2, \\
\left(\xi^{\prime \prime}-\xi^{\prime \prime \prime}\right)^{2}+\left(\eta^{\prime \prime}-\eta^{\prime \prime \prime}\right)^{2}+\left(\xi^{\prime \prime}-\zeta^{\prime \prime \prime}\right)^{2}=2,
\end{array}
\]

откуда вытекают следующие три уравнения:
\[
\begin{aligned}
\xi^{\prime} \xi^{\prime \prime}+\eta^{\prime} \eta^{\prime \prime}+\zeta^{\prime} \zeta^{\prime \prime} & =0, \\
\xi^{\prime \prime \prime \prime}+\eta^{\prime} \eta^{\prime \prime \prime}+\zeta^{\prime \prime \prime \prime} & =0, \\
\xi^{\prime \prime} \xi^{\prime \prime \prime}+\eta^{\prime \prime} \eta^{\prime \prime \prime}+\zeta^{\prime \prime} \zeta^{\prime \prime \prime} & =0 .
\end{aligned}
\]

Таким образом, между девятью коэффициентами $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \xi^{\prime \prime \prime}, \eta^{\prime}, \eta^{\prime \prime}, \ldots$ мы имеем шесть условных уравнеиий, благодаря которым они своднтся к трем неопределенным величинам.
4. С помощью этих уравнений общие выражения координат $\xi, \eta, \zeta$, приведенные в пункте 1 , удовлетворяют первоначальному условию, что расстояние между двумя любыми точками системы должно оставаться неизменным. Действительно, если $\xi, \eta, \zeta$ являются координатами одной из этих точек, а $\xi_{1}, \eta_{1}, \zeta_{1}$ координатами другой точки, то квадрат их расстояния выражается через
\[
\left(\xi-\xi_{1}\right)^{2}+\left(\eta-\eta_{1}\right)^{2}+\left(\zeta-\zeta_{1}\right)^{2},
\]

и если через $a_{1}, b_{1}, c_{1}$ обозначить координаты второй точки, отнесенной к осям $a, b, c$, то мы получим $\xi_{1}, \eta_{1}, \zeta_{1}$, подставив в выражениях для $\xi, \eta, \zeta$ буквы $a_{1}, b_{1}, c_{1}$ вместо $a, b, c$.

Если произвести указанные подстановки в предыдущем выражении и принять во внимание шесть условных уравнений, то это выражение преобразуется в
\[
\left(a-a_{1}\right)^{2}+\left(b-b_{1}\right)^{2}+\left(c-c_{1}\right)^{2}
\]

и, следовательно, будет оставаться неизменным в течение движения. Отсюда можно придти к заключению, что указанные шесть условных уравнений являются единственными необходимыми для того, чтобы взаимное положение различных точек системы зависело лишь от постоянных $a, b, c$ и нисколько не зависело от переменных $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}, \ldots$

Впрочем, ясно, что координаты $\xi, \eta$, $\zeta$ являются не чем иным, как преобразованиями координат $a, b, c$, и что шесть условных уравнений являются следствиями общего условия
\[
\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2},
\]

в чем можно убедиться путем сравнения этих формул с формулами пункта 15 отдела III первой части, в которых координаты $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ соответствуют $\xi, \eta, \zeta, a, b, c$, а коэффициенты $\alpha, \beta, \gamma, \alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}, \alpha^{\prime \prime}, \beta^{\prime \prime}, \gamma^{\prime \prime}$ соответствуют $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime}, \eta^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime \prime}, \zeta^{\prime}, \zeta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime \prime}$.
5. Если сложить приведенные в пункте 1 выражения для $\xi, \eta, \zeta$, умножив их соответственно на $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$, затем на $\xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime}$ и, наконец, на $\zeta^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime \prime}, \zeta^{\prime \prime \prime}$,
то с помощью условных уравнений пункта 3 мы получим следующие формулы:
\[
\begin{array}{l}
a=\xi \xi^{\prime}+\eta \eta^{\prime}+\zeta \zeta^{\prime}, \\
b=\xi \xi^{\prime \prime}+\eta \eta^{\prime \prime}+\zeta \zeta^{\prime \prime}, \\
c=\xi \xi^{\prime \prime \prime}+\eta \eta^{\prime \prime \prime}+\zeta \zeta^{\prime \prime \prime} ;
\end{array}
\]

а если эти выражения $a, b, c$ подставить в равенство
\[
\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}=: a^{2}+b^{2}+c^{2},
\]

которое всегда должно иметь место, каковы бы ни были значения $\xi, \eta$, $\zeta$, то путем сопоставления членов мы получим следующие новые условные уравнения:
\[
\begin{aligned}
\xi^{2}+\xi^{\prime 2}+\xi^{\prime \prime \prime 2} & =1, & \xi^{\prime} \eta^{\prime}+\xi^{\prime \prime} \eta^{\prime \prime}+\xi^{\prime \prime \prime} \eta^{\prime \prime \prime} & =0, \\
\eta^{\prime 2}+\eta^{\prime \prime 2}+\eta^{\prime \prime 2} & =1, & \xi^{\prime} \zeta^{\prime}+\xi^{\prime \prime} \zeta^{\prime \prime}+\xi^{\prime \prime \prime} \zeta^{\prime \prime \prime} & =0, \\
\zeta^{\prime 2}+\zeta^{\prime \prime 2}+\zeta^{\prime \prime \prime 2} & =1, & \eta^{\prime} \zeta^{\prime}+\eta^{\prime \prime \prime} \zeta^{\prime \prime}+\eta^{\prime \prime \prime} \zeta^{\prime \prime \prime} & =0,
\end{aligned}
\]

которые являются необходимым следствием уравнений пункта 3, так как и те и другие одинаково вытекают из следующего общего условия:
\[
\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2} .
\]
6. Но если значения $a, b, c$ определить непосредственно путем решения уравнений пункта 1 , то с помощью известных формул мы получим
\[
\begin{array}{l}
a=\frac{\xi\left(\eta^{\prime \prime} \xi^{\prime \prime \prime}-\eta^{\prime \prime \prime} \zeta^{\prime \prime}\right)+\eta\left(\xi^{\prime \prime} \xi^{\prime \prime \prime}-\zeta^{\prime \prime \prime} \xi^{\prime \prime}\right)+\zeta\left(\xi^{\prime \prime} \eta^{\prime \prime \prime}-\xi^{\prime \prime \prime} \eta^{\prime \prime}\right)}{k}, \\
b=\frac{\xi\left(\xi^{\prime} \eta^{\prime \prime \prime}-\zeta^{\prime \prime \prime} \eta^{\prime}\right)+\eta\left(\xi^{\prime} \xi^{\prime \prime \prime}-\xi^{\prime \prime \prime} \xi^{\prime}\right)+\zeta\left(\eta^{\prime} \xi^{\prime \prime \prime}-\eta^{\prime \prime \prime} \xi^{\prime}\right)}{k}, \\
c=\frac{\xi\left(\eta^{\prime} \xi^{\prime \prime}-\eta^{\prime \prime} \zeta^{\prime}\right)+\eta\left(\xi^{\prime} \xi^{\prime \prime}-\xi^{\prime \prime} \xi^{\prime}\right)+\zeta\left(\xi^{\prime} \eta^{\prime \prime}-\xi^{\prime \prime} \eta^{\prime}\right)}{k},
\end{array}
\]

где положено
\[
k=\xi^{\prime} \eta^{\prime \prime} \zeta^{\prime \prime \prime}-\eta^{\prime} \xi^{\prime \prime} \zeta^{\prime \prime \prime}+\zeta^{\prime \prime} \xi^{\prime \prime} \eta^{\prime \prime \prime}-\xi^{\prime} \zeta^{\prime \prime} \eta^{\prime \prime \prime}+\eta^{\prime} \zeta^{\prime \prime} \xi^{\prime \prime \prime}-\zeta^{\prime} \eta_{i}^{\prime \prime} \xi^{\prime \prime \prime} .
\]

Эти выражения должны быть тождественными с выражениями, приведенными в предыдущем пункте, поэтому, сравнивая коэффициенты величин $\xi, \eta, \zeta$, мы получим следующие равенства:
\[
\begin{array}{l}
\eta^{\prime \prime} \zeta^{\prime \prime \prime}-\eta^{\prime \prime \prime} \zeta^{\prime \prime}=k \xi^{\prime}, \quad \zeta^{\prime \prime} \xi^{\prime \prime \prime}-\zeta^{\prime \prime \prime} \xi^{\prime \prime}=k \eta^{\prime}, \\
\zeta^{\prime} \eta^{\prime \prime \prime}-\zeta^{\prime \prime \prime} \eta^{\prime}=k \delta_{8}^{\prime \prime}, \quad \xi^{\prime} \zeta^{\prime \prime \prime}-\xi^{\prime \prime \prime \prime \prime}=k \eta^{\prime \prime}, \\
\eta^{\prime \prime \prime}-\eta^{\prime \prime \prime} \zeta^{\prime}=k \sigma^{\prime \prime \prime}, \quad \zeta_{\zeta^{\prime \prime}}^{\prime \prime}-\zeta_{\zeta}^{\prime \prime \prime}=k \eta^{\prime \prime \prime}, \\
\xi^{\prime \prime} \eta^{\prime \prime \prime}-\xi^{\prime \prime \prime} \eta^{\prime \prime}=k^{\prime \prime} \text {, } \\
\eta^{\prime \prime \xi^{\prime \prime \prime}}-\eta^{\prime \prime i} \xi^{\prime}=k_{\sigma}^{\prime \prime \prime}, \\
\xi^{\prime} \eta^{\prime \prime}=-\xi^{\prime \prime \prime} \eta^{\prime}=k_{\rightharpoonup}^{\prime \prime \prime \prime} . \\
\end{array}
\]

Если сложить квадраты трех первых равенств, то мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\left(\eta^{\prime \prime} \zeta^{\prime \prime \prime}-\eta^{\prime \prime \prime} \zeta^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(\zeta^{\prime \prime} \xi^{\prime \prime}-\zeta^{\prime \prime \prime} \zeta^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(\xi^{\prime \prime} \eta^{\prime \prime \prime}-\xi^{\prime \prime \prime} \eta^{\prime \prime}\right)^{2}= \\
=k^{2}\left(\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}\right) ;
\end{array}
\]

левая часть этого равенства может быть представлена в следующем виде:
\[
\left(\xi^{\prime \prime 2}+\eta^{\prime \prime 2}+\zeta^{\prime \prime 2}\right)\left(\xi^{\prime \prime \prime 2}+\eta^{\prime \prime \prime 2}+\zeta^{\prime \prime \prime 2}\right)-\left(\xi^{\prime \prime} \xi^{\prime \prime \prime}+\eta^{\prime \prime} \eta^{\prime \prime \prime}+\zeta^{\prime \prime \zeta^{\prime \prime \prime}}\right)^{2} ;
\]

следовательно, с помощью условных уравнений пункта 3 это равенство может быть приведено к виду
\[
1=k^{2}, \quad \text { откуда } \quad k= \pm 1 .
\]

Для того чтобы определить, какой из двух знаков здесь следует взять, достаточно рассмотреть лишь значение $k$ в одном частном случае; наиболее простым является тот случай, когда три оси координат $a, b, c$ совпадают с тремя осями координат $\xi, \eta, \xi$; этом случае мы имеем
\[
\xi=a, \quad \eta=b, \quad \zeta=c
\]

и, следовательно, согласно формулам пункта 1 ,
\[
\xi^{\prime}=1, \quad \eta^{\prime \prime}=1, \quad \zeta^{\prime \prime \prime}=1,
\]

все же прочие величины \»ै\», है\»‘, … равны нулю. Если эти величины подставить в общее выражение для величины $k$, то последняя окажется равной 1. Следовательно, мы всегда имеем
\[
k=1 .
\]

7. Так как между девятью неопределенными величинами $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \xi^{\prime \prime \prime}, \eta^{\prime}, \eta^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime \prime}, \zeta^{\prime}, \zeta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime \prime}$ всегда имеется шесть условных уравнений, то все неопределенные величины можно свести к трем; было бы достаточно свести к ним шесть величин $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime}, \eta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime}, \zeta^{\prime \prime}$, пользуясь тремя условными уравнениями
\[
\begin{array}{c}
\xi^{\prime 2}+\eta^{\prime 2}+\zeta^{\prime 2}=1, \quad \xi^{\prime \prime 2}+\eta^{\prime 2}+\zeta^{\prime \prime 2}=1, \\
\xi^{\prime \prime}+\eta^{\prime} \eta^{\prime \prime}+\zeta^{\prime} \zeta^{\prime \prime}=0,
\end{array}
\]

так как указанными выше формулами три остальные величины $\xi^{\prime \prime \prime}, \eta^{\prime \prime \prime}, \zeta^{\prime \prime \prime}$ уже выражаются в функции этих шести величин.

Однако это приведение очень сильно упрощается, если воспользоваться синусами и косинусами углов; его можно даже осуществить непосредственно путем известных преобразований координат.

В самом деле, так как $\xi, \eta, \zeta$-прямоугольные координаты любой точки тела по отношению к трем осям координат, проведенным через дентр этого тела параллельно неподвижным осям координат $x, y, z$, и так как $a, b, c$-прямоугольные координаты той же точки по отношению к трем другим осям, проходящим через тот же центр, но остающимся неподвижными в теле и, следовательно, изменяющим свое положение относительно осей $\xi, \eta, \zeta$, то отсюда следует, что для получения выражений $\xi, \eta, \zeta$ через $a, b, c$ надо лишь одни координаты наиболее общим способом преобразовать в другие.

Для этой цели обозначим через (1) угол, образуемый плоскостью координат $a, b$ с плоскостью координат $\xi, \eta$, и через Џ-угол, образуемый пересечением указанных двух плоскостей с осью 巨; наконец, через $\varphi$ обозначим угол, образуемый осью $a$ с той же линией пересечения; как видим, эти три величины $\omega, \psi$, могут послужить для определения положения осей координат $a, b, c$ относительно осей координат $\xi, \eta, \zeta$, следовательно, с помощью этих величин можно последние координаты выразить в функции других.

Если для большей наглядности предположить, что рассматриваемым телом является Земля, что плоскость $a b$ — это плоскость экватора, что ось $a$ проходит через заданный меридиан и, далее, что плоскостью हท является плоскость эклиптики и что ось $\xi$ направлена к точке весеннего равноденствия, то ясно, что угол () будет наклонением эклиптики, угол \& будет долготой осеннего равноденствия, или восходящего узла экватора на эклиптике, а $\varphi$ будет расстоянием данного меридиана от этой равноденственной точки.

Угол $\varphi$ будет вообще углом, ошисываемым телом при вращении его вокруг оси координат $c$; в силу этого данную ось можно назвать осью тела; $90^{\circ}$ будет углом наклона этий оси $\mathrm{k}$ неподвижной плоскости координат $\xi$, $\eta$; а $\psi-90^{\circ}$ будет углом, образуемым проекцией этой же оси с осью координат в.

Установив это, допустим сначала, что мы заменяем две координаты $a, b$ двумя другими, $a^{\prime}, b^{\prime}$, расположенными в той же плоскости, причем ось $a^{\prime}$ проходит на пересечении обеих плоскостей, а ось $b^{\prime}$ перпендикулярна к указанной линии пересечения; тогда мы будем иметь
\[
a^{\prime}=a \cos \varphi-b \sin \varphi, \quad b^{\prime}=b \cos \varphi+a \sin \varphi .
\]

Затем предположим, что координаты $b^{\prime}, c$ заменяются двумя другими $b^{\prime \prime}, c^{\prime}$, из которых одна $b^{\prime \prime}$ нусть будет всегда перпендикулярна к линии пересечения плоскостей, но лежит в плоскости $\xi \eta$, а другая $c^{\prime}$ пусть будет перпендикулярна к этой плоскости; тогда мы таким же образом найдем
\[
b^{\prime \prime}=b^{\prime} \cos \left(\omega-c^{\prime} \sin \omega, \quad c^{\prime}=c \cos \omega+b^{\prime} \sin \omega .\right.
\]

Наконец, предположим еще, что координаты $a^{\prime}, b^{\prime \prime}$, лежащие уже в плоскости $\xi \eta$, заменяются двумя другими $a^{\prime \prime}, b^{\prime \prime \prime}$, расположенными в той же плоскости, но направленными таким образом, что ось $a^{\prime \prime}$ совпадает с осью $\xi$; тогда аналогичным путем найдем
\[
a^{\prime \prime}=a^{\prime} \cos \psi-b^{\prime \prime} \sin \psi, \quad b^{\prime \prime \prime}=b^{\prime \prime} \cos \psi+a^{\prime} \sin \psi .
\]

Ясно, что три координаты $a^{\prime \prime}, b^{\prime \prime \prime}, c^{\prime}$ будут совершенно те же, что и координаты $\xi, \eta, \zeta$, так как они отнесены к тем же самым осям; стало быть, если последовательно подставить значения $a^{\prime}, b^{\prime \prime}, b^{\prime}$, мы получим выражения $\xi, \eta, \zeta$ в функции $a, b, c$, которые будут иметь тот же вид, что и выражения пункта 1 , если положить
\[
\begin{aligned}
\xi^{\prime} & =\cos \varphi \cos \psi-\sin \varphi \sin \psi \cos \omega, \\
\xi^{\prime \prime} & =-\sin \varphi \cos \psi-\cos \varphi \sin \psi \cos \omega, \\
\xi^{\prime \prime \prime} & =\sin \psi \sin \omega, \\
\eta^{\prime} & =\cos \varphi \sin \psi+\sin \varphi \cos \psi \cos \omega, \\
\eta^{\prime \prime} & =-\sin \varphi \sin \psi+\cos \varphi \cos \psi \cos \omega, \\
\eta^{\prime \prime \prime} & =-\cos \psi \sin \omega, \\
\zeta^{\prime} & =\sin \varphi \sin \omega, \\
\zeta^{\prime \prime} & =\cos \varphi \sin \omega, \\
\zeta^{\prime \prime} & =\cos \omega .
\end{aligned}
\]

Эти значения удовлетворяют и шести условным уравнениям пункта 3 , равно как и уравнениям пункта 5 , и решают эти уравнения в полном их объеме, так как они содержат три неопределенные переменные величины $\varphi, \psi$, .

С подстановкой этих значений выражения координат $\xi, \eta, \zeta$ упрощаются; но іредставляется полезным сохранить в них коәффициенты $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$, дабы соблюсти симметрию в формулах и облегчить их преобразования.
8. Так как величины $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$ суть частные значения $\xi, \eta, \zeta$, то они должны удовлетворять дифференциальным уравнениям пункта 1 между этими последними переменными; таким образом, мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
d \xi^{\prime}=\zeta^{\prime} d M-\eta^{\prime} d N, \\
d \eta^{\prime}=\xi^{\prime} d N-\zeta^{\prime} d L, \\
d \zeta^{\prime}=\eta^{\prime} d L-\xi^{\prime} d M
\end{array}
\]

и точно так же
\[
\begin{array}{ll}
d \xi^{\prime \prime}=\zeta^{\prime \prime} d M-\eta^{\prime \prime} d N, & d \xi^{\prime \prime \prime}=\zeta^{\prime \prime \prime} d M-\eta^{\prime \prime \prime} d N, \\
d \eta^{\prime \prime}=\xi^{\prime \prime} d N-\xi^{\prime \prime} d L, & d \eta^{\prime \prime \prime}=\xi^{\prime \prime \prime} d N-\xi^{\prime \prime \prime} d L, \\
d \zeta^{\prime \prime}=\eta^{\prime \prime} d L-\xi^{\prime \prime} d M, & d \zeta^{\prime \prime \prime}=\eta^{\prime \prime \prime} d L-\xi^{\prime \prime \prime} d M .
\end{array}
\]

Отсюда легко получить величины $d L, d M, d N$ в функции $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \ldots$ В самом деле, если сложить $d_{
u^{\prime \prime}}^{\prime} d \zeta^{\prime \prime}, d \zeta^{\prime \prime \prime}$, умножив их предварительно на $\eta^{\prime}, \eta^{\prime \prime}$, $\eta^{\prime \prime \prime}$, то, в силу условных уравнений, мы получим
\[
d L=\eta^{\prime} d \zeta^{\prime}+\eta^{\prime \prime} d_{\zeta}^{\prime \prime}+\eta^{\prime \prime \prime} d_{\zeta}^{\prime \prime \prime} .
\]

Тично так же, умножив $d \xi^{\prime}, d \xi^{\prime \prime}, d \xi^{\prime \prime \prime}$ на $\zeta^{\prime}, \zeta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime \prime}$ и $d \eta^{\prime}, d \eta^{\prime \prime}, d \eta^{\prime \prime \prime}$ на $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \xi^{\prime \prime \prime}$, мы найдем
\[
\begin{array}{l}
d M=\zeta^{\prime} d \xi^{\prime}+\zeta^{\prime \prime} d \xi^{\prime \prime}+\zeta^{\prime \prime \prime} d \xi^{\prime \prime \prime}, \\
d N=\xi^{\prime} d \eta^{\prime}+\xi^{\prime \prime} d \eta^{\prime \prime}+\xi^{\prime \prime \prime} d \eta^{\prime \prime \prime} .
\end{array}
\]

Если в найденные таким образом выражения $d L$, $d M, d N$ в функции $\zeta^{\prime}, \zeta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime \prime}, \ldots$ подставить вкражения этих последних величин в функции углов $\varphi, \psi, \omega(п .7)$, то после преобразований мы получим следующие достаточно простые выражения:
\[
\begin{aligned}
d L & =\sin \psi \sin \omega d \varphi+\cos \psi d \omega, \\
d M & =-\cos \psi \sin \omega d \varphi+\sin \psi d \omega, \\
d N & =\cos \omega d \varphi+d \psi .
\end{aligned}
\]
9. Мы предположили, что ось, вокруг которой система может вращаться, описывая угол $\varphi$, и положение которой зависит от двух углов $\dot{\psi}$ и , остается неподвижной в системе и движется в пространстве; но, как мы видели в отделе III «Статики» (і. 11 и 12), всегда существует ось, вокруг которой система фактически вращается в каждое мгновение и которую мы назвали меновенной осью вращения. Можно определить также мгновенное положение этой оси, равно как элементарный угол вращения, с помощью углов, аналогичных углам $\psi$, $\omega, \varphi$, которые мы обозначим через $\bar{\psi}, \bar{\omega}, \bar{\varphi}$; в самом деле, так как выражения для $d L, d M, d N$ являются общими для каких угодно положений оси вращения $ф$, то они сохраняют силу и для мгновенной оси вращения, если в них $\psi, \omega$, $\varphi$ заменить величинами $\bar{\psi}, \stackrel{\rightharpoonup}{\bar{
u}}, \overline{-}$, но так как эта последняя ось обладает тем свойством, что в течение мгновения она остается неподвижной, то дифференциалы $d \Psi, d \omega$, связанные с изменением положения оси, должны быть равны нулю; таким образом, для рассматриваемой оси мы будем иметь
\[
\begin{aligned}
\sin \bar{\psi} \sin \bar{\omega} d \bar{\varphi} & =d L, \\
\cos \bar{\psi} \sin \bar{\omega} d \bar{\varphi} & =-d M, \\
\cos \bar{\omega} d \bar{\varphi} & =d N,
\end{aligned}
\]

откуда следует
\[
d \bar{\varphi}=\sqrt{d L^{2}+\bar{M} \bar{M}^{2}+d N^{2}} ;
\]

это-угол мгновенного вращения, который в упомянутом выше месте первой части мы обозначали через $d \theta$.

Затем мы получим положение этой оси с помощью двух углов () и $\bar{\psi}$; но для того, чтобы отнести их $\kappa$ неподвижным осям $\xi, \eta, \zeta$, достаточно принять во внимание, что коль скоро мы приняли ось $c$ за ось вращения, то для всех точек этой оси мы имеем $a=0, b=0$; следовательно, если через $\bar{\xi}, \bar{\eta}, \bar{\zeta}$ обозначить координаты, соответствующие точке, в которой $c=1$, и в то же время являющиеся синусами углов, образуемых осью вращения с тремя осями $\xi, \eta, \xi$, то на основании формул пункта 8 мы получим
\[
\bar{\xi}=\frac{d L}{d \varphi}, \quad \bar{\eta}=\frac{d M}{d \varphi}, \quad \bar{\zeta}=\frac{d N}{d \varphi} .
\]

Действительно, эти значения $\bar{\xi}, \bar{\eta}, \bar{\zeta}$ обращают в нуль свои дифференциалы, как это можно видеть из формул пункта 1; таково свойство всех точек мгновенной оси вращения: исходя из него, мы и определили эту ось в III отделе «Статики».

Из сказанного ясно, что величины $d L, d M, d N$ в точности соответствуют тем углам вращения, которые

в только что упомянутом отделе мы обозначили через $d \psi, d \omega, d \varphi$ и которые мы сохранили в отделе III «Динамики».
10. Теперь, если эти же величины $\bar{\xi}, \bar{\eta}, \bar{\zeta}$ нодставить вместо $\xi, \eta, \zeta$ в общие выражения $a, b, c$ пункта 5 , то мы получим значения координат $a, b, c$, соответствующие мгновенной оси вращения, которые мы обозначим через $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$. Таким образом, положив для сокращения письма
\[
\begin{array}{l}
d P=\xi^{\prime} d L+\eta^{\prime} d M+\zeta^{\prime} d N, \\
d Q=\xi^{\prime \prime} d L+\eta^{\prime \prime} d M+\zeta^{\prime \prime} d N, \\
d R=\xi^{\prime \prime \prime} d L+\eta^{\prime \prime \prime} d M+\zeta^{\prime \prime \prime} d N,
\end{array}
\]

что на основании условных уравнений пункта 5 дает
\[
d P^{2}+d Q^{2}+d R^{2}=d L^{2}+d M^{2}+d N^{2}=d \bar{\varphi}^{2} .
\]

мы получим
\[
\bar{a}=\frac{d P}{d \bar{\rho}}, \quad \bar{b}=\frac{d Q}{d \bar{\rho}}, \quad \bar{c}=\frac{d P}{\overline{d_{\rho}}} ;
\]

эти выражения совершенно аналогичны выражениям $\bar{\zeta}, \bar{\eta}, \bar{\zeta}$; из них мы видим, что величины $\left.d P, d Q, d R^{*}\right)$ соответствуют величинам $d L, d M, d N$. Эти значения $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ являются также косинусами углов, образуемых осью вращения с осями координат $a, b, c$.
11. Для того чтобы получить величины $d P, d Q, d R$, выраженные через переменные $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \ldots$, следует лишь вместо $d L, d M, d N$ подставить значения, приведенные в пункте 8. Однако для того, чтобы получить наиболее простые формулы, представляется более удобным эти последние формулы привести
*) Следует отметить, что Јагранж определяет здесь величины $d P, d Q, d R$, не задаваясь совершенно вопросом о том, являются ли интегрируемыми те величины, которым он шрисваивает это наименование, т. е. существует ли в действительности какая-либо функция рассматриваемых переменных, которая может выразить $P, Q, R$. Это замечание существенно для правильного истолкования пункта 15 , стр. 246. (II рим. Бертрана).

к следующему виду, который, в силу условных уравнений пункта 5, эквивалентен виду, данному в пункте 8:
\[
\begin{array}{l}
2 d L=\eta^{\prime} d \zeta^{\prime}+\eta^{\prime \prime} d \zeta^{\prime \prime}+\eta^{\prime \prime \prime} d \zeta^{\prime \prime \prime}-\zeta^{\prime} d \eta^{\prime}-\zeta^{\prime \prime} d \eta^{\prime \prime}-\zeta^{\prime \prime \prime} d \eta^{\prime \prime \prime}, \\
2 d M=\zeta^{\prime} d \xi^{\prime}+\zeta^{\prime \prime} d \xi^{\prime \prime}+\zeta^{\prime \prime} d \xi^{\prime \prime \prime}-\xi^{\prime} d \zeta^{\prime}-\xi^{\prime \prime} d \zeta^{\prime \prime}-\xi^{\prime \prime \prime} d \zeta^{\prime \prime \prime \prime} \\
2 d N=\xi^{\prime} d \eta^{\prime}+\xi^{\prime \prime} d \eta^{\prime \prime}+\xi^{\prime \prime \prime} d \eta^{\prime \prime \prime}-\eta^{\prime} d \xi^{\prime}-\eta^{\prime \prime} d \xi^{\prime \prime}-\eta^{\prime \prime \prime} d \xi^{\prime \prime \prime}:
\end{array}
\]

Таким образом, произведя подстановку и группируя члены, мы получим
\[
\begin{aligned}
2 d P & =\left(\xi^{\prime} \eta^{\prime \prime}-\eta^{\prime} \xi^{\prime \prime}\right) d \zeta^{\prime \prime}+\left(\xi^{\prime} \eta^{\prime \prime \prime}-\eta^{\prime} \xi^{\prime \prime \prime}\right) d \zeta^{\prime \prime \prime}+ \\
& +\left(\zeta^{\prime} \xi^{\prime \prime}-\xi^{\prime} \zeta^{\prime \prime}\right) d \eta^{\prime \prime}+\left(\zeta^{\prime \prime \prime \prime}-\xi^{\prime} \zeta^{\prime \prime \prime}\right) d \eta^{\prime \prime \prime}+ \\
& +\left(\eta^{\prime} \zeta^{\prime \prime}-\zeta^{\prime} \eta^{\prime \prime}\right) d \xi^{\prime \prime}+\left(\eta^{\prime} \zeta^{\prime \prime \prime}-\zeta^{\prime} \eta^{\prime \prime \prime}\right) d \xi^{\prime \prime \prime} ;
\end{aligned}
\]

последнее с помощью формул пункта 6 приводится к $2 d P=\zeta^{\prime \prime \prime} d \zeta^{\prime \prime}-\zeta^{\prime \prime} d \xi^{\prime \prime \prime}+\eta^{\prime \prime \prime} d \eta^{\prime \prime}-\eta^{\prime \prime} d \eta^{\prime \prime \prime}+\xi^{\prime \prime \prime} d \xi^{\prime \prime}-\xi^{\prime \prime} d \xi^{\prime \prime}$
и, наконец, с помощью трех продифференцированных условных уравнений пункта 5 -к следующему простому выражению:
\[
d P=\xi^{\prime \prime \prime} d \xi^{\prime \prime}+\eta^{\prime \prime \prime} d \eta^{\prime \prime}+\zeta^{\prime \prime \prime} d \zeta^{\prime \prime} ;
\]

таким же точно образом мы получим
\[
\begin{array}{l}
d Q=\xi^{\prime} d \xi^{\prime \prime \prime}+\eta^{\prime} d \eta^{\prime \prime \prime}+\zeta^{\prime} d \zeta^{\prime \prime \prime}, \\
d R=\xi^{\prime \prime} d \xi^{\prime}+\eta^{\prime \prime} d \eta^{\prime}+\zeta^{\prime \prime} d \zeta^{\prime} .
\end{array}
\]

Если вместо $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \xi^{\prime \prime \prime}, \ldots$ поставить их выражения в функции $\psi$, $\omega, \varphi$ пункта 7 , то после некоторых преобразований мы получим
\[
\begin{array}{l}
d P=\sin \varphi \sin \omega d \dot{+} \cos \dot{\phi} d \omega, \\
d Q=\cos \varphi \sin \omega d \psi-\sin \varphi d \omega, \\
d R=d \varphi+\cos \omega d \psi .
\end{array}
\]
12. Легко убедиться, что приведенные выше значения $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ тоже обращают в нуль дифференциалы координат $\xi, \eta, \zeta$; в самом деле, если в формулах пункта 1 произвести дифференцирование и положить $d \xi=0, d \eta=0, d \zeta=0$ и затем подставить $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ вместо $a, b, c$, дабы отнести их к мгновенной оси вращения, то мы получим следующие три уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\bar{a} d \xi^{\prime}+\bar{b} d \xi^{\prime \prime}+\bar{c} d \xi^{\prime \prime \prime}=0, \\
\bar{a} d \eta^{\prime}+\bar{b} d \eta^{\prime \prime}+\bar{c} d \eta^{\prime \prime \prime}=0, \\
\bar{a} d \zeta^{\prime}+\bar{b} d \zeta^{\prime \prime}+\bar{c} d \zeta^{\prime \prime \prime}=0 .
\end{array}
\]

Если эти уравнения сложить, умножив их последовательно на $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$, на $\xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime}$ и на $\xi^{\prime \prime \prime}, \eta^{\prime \prime \prime}, \zeta^{\prime \prime \prime}$, и при этом принять во внимание условные уравнения пункта 2 , то мы будем иметь
\[
\begin{array}{c}
\bar{b}\left(\xi^{\prime} d \xi^{\prime \prime}+\eta^{\prime} d \eta^{\prime \prime}+\zeta^{\prime} d \zeta^{\prime \prime}\right)+\bar{c}\left(\xi^{\prime} d \xi^{\prime \prime \prime}+\eta^{\prime} d \eta^{\prime \prime \prime}+\zeta^{\prime} d \zeta^{\prime \prime \prime}\right)=0, \\
\bar{a}\left(\xi^{\prime \prime} d \xi^{\prime}+\eta^{\prime \prime} d \eta^{\prime}+\zeta^{\prime \prime} d \zeta^{\prime}\right)+\bar{c}\left(\xi^{\prime \prime} d \xi^{\prime \prime \prime}+\eta^{\prime \prime} d \eta^{\prime \prime \prime}+\zeta^{\prime \prime} d \zeta^{\prime \prime \prime}\right)=0, \\
\bar{a}\left(\xi^{\prime \prime \prime} d \xi^{\prime}+\eta^{\prime \prime \prime} d \eta^{\prime}+\zeta^{\prime \prime \prime} d \zeta^{\prime \prime}\right)+ \\
+\bar{b}\left(\xi^{\prime \prime \prime} d \xi^{\prime \prime}+\eta^{\prime \prime \prime} d \eta^{\prime \prime}+\zeta^{\prime \prime \prime} d \zeta^{\prime \prime}\right)=0 .
\end{array}
\]

Если затем принять во внимание три других условных уравнения пункта 5 и взять. данные выше выражения $d P, d Q, d R$, то указанные три уравнения примут следующий вид:
\[
\bar{c} d Q-\bar{b} d R=0, \quad \bar{a} d R-\bar{c} d P=0, \quad \bar{b} d P-\bar{a} d Q=0,
\]

приведенные выше значения $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$, очевидно, удовлетворяют этим уравнениям.
13. Как мы видели в пункте 8 , величины $d L, d M$, $d N$ служат для того, чтобы одинаковым образом выразить дифференциалы величин $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \xi^{\prime \prime \prime}, \ldots$; эти дифференциалы можно также выразить с помощью величин $d P, d Q, d R$.
В самом деле, если взять три уравнения:
\[
\begin{aligned}
\xi^{\prime} d \xi^{\prime}+\eta^{\prime} d \eta^{\prime}+\zeta^{\prime} d \zeta^{\prime} & =0, \\
\xi^{\prime \prime} d \xi^{\prime \prime}+\eta^{\prime \prime} d \eta^{\prime \prime}+\zeta^{\prime \prime} d \zeta^{\prime \prime} & =d R, \\
\xi^{\prime \prime \prime} d \xi^{\prime \prime \prime \prime}+\eta^{\prime \prime \prime} d \eta^{\prime \prime \prime}+\zeta^{\prime \prime \prime} d \zeta^{\prime \prime \prime} & =-d Q,
\end{aligned}
\]

и сложить их, умножив последовательно на $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \xi^{\prime \prime \prime}$, на $\eta^{\prime}, \eta^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime \prime}$ и на \»‘, $\zeta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime \prime}$, то с помощью условных уравнений пункта 5 мы тотчас же получим
\[
\begin{array}{l}
d \xi^{\prime}=\xi^{\prime \prime} d R-\xi^{\prime \prime \prime} d Q, \\
d \eta^{\prime}=\eta^{\prime \prime} d R-\eta^{\prime \prime \prime} d Q, \\
d \zeta^{\prime \prime}=\zeta^{\prime \prime} d R-\zeta^{\prime \prime \prime} d Q .
\end{array}
\]

Точно так же три уравнения:
\[
\begin{aligned}
\xi^{\prime} d \xi^{\prime \prime}+\eta^{\prime} d \eta^{\prime \prime}+\zeta^{\prime} d \zeta^{\prime \prime} & =-d R, \\
\xi^{\prime \prime} d \xi^{\prime \prime}+\eta^{\prime \prime} d \eta^{\prime \prime}+\xi^{\prime \prime} d \zeta^{\prime \prime} & =0, \\
\xi^{\prime \prime \prime} d \xi^{\prime \prime}+\eta^{\prime \prime \prime} d \eta^{\prime \prime}+\zeta^{\prime \prime \prime} d \zeta_{\zeta}^{\prime \prime} & =d P,
\end{aligned}
\]

будучи умножены последовательно на $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \xi^{\prime \prime \prime}, \eta^{\prime}$, $\eta^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime \prime}$ и на $\zeta^{\prime}, \zeta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime \prime}$ и затем сложены, с помощью тех же условных уравнений дадут
\[
\begin{array}{l}
d \xi^{\prime \prime}=\xi^{\prime \prime \prime} d P-\xi^{\prime} d R, \\
d \eta^{\prime \prime}=\eta^{\prime \prime \prime} d P-\eta^{\prime} d R, \\
d \zeta^{\prime \prime}=\zeta^{\prime \prime \prime} d P-\zeta^{\prime} d R .
\end{array}
\]

Наконеп, уравнения
\[
\begin{aligned}
\xi^{\prime} d \xi^{\prime \prime \prime}+\eta^{\prime} d \eta^{\prime \prime \prime}+\zeta^{\prime} d \zeta^{\prime \prime \prime} & =d Q, \\
\xi^{\prime \prime} d \xi^{\prime \prime \prime}+\eta^{\prime \prime} d \eta^{\prime \prime \prime}+\zeta^{\prime \prime} d^{\prime \prime \prime} & =-d P, \\
\xi^{\prime \prime \prime} d \xi^{\prime \prime \prime}+\eta^{\prime \prime \prime} d \eta^{\prime \prime \prime}+\zeta^{\prime \prime \prime} d b^{\prime \prime \prime} & =0
\end{aligned}
\]

тем же путем дадут
\[
\begin{array}{l}
d \xi^{\prime \prime \prime}=\xi^{\prime} d Q-\xi^{\prime \prime} d P, \\
d \eta^{\prime \prime \prime}=\eta^{\prime} d Q-\eta^{\prime \prime} d P, \\
d \xi^{\prime \prime \prime}=\zeta^{\prime} d Q-\zeta^{\prime \prime} d P .
\end{array}
\]
14. С помощью приведенных выше формул можно представить в очень простом виде вариации координат $\xi, \eta, \zeta$, когда хотят одновременно рассматривать изменение положения системы вокруг ее центра и изменение взаимных расстояний точек системы. Ясно, что для этого следует продифференцировать выражения $\xi, \eta, \zeta$, рассматривая одновременно в качестве переменных все величины $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}$, $\zeta^{\prime}, \eta^{\prime \prime}, \ldots$, равно как $a, b, c$; этим путем мы получим
\[
\begin{array}{l}
d \vdots=a d \xi^{\prime}+b d \xi^{\prime \prime}+c d \xi^{\prime \prime \prime}+\xi^{\prime} d a+\xi^{\prime \prime} d b+\xi^{\prime \prime \prime} d c, \\
d \eta=a d \eta^{\prime}+b d \eta^{\prime \prime}+c d \eta^{\prime \prime \prime}+\eta^{\prime} d a+\eta^{\prime \prime} d b+\eta^{\prime \prime \prime} d c, \\
d \zeta=a d \zeta^{\prime}+b d \zeta^{\prime \prime}+c d \zeta_{\zeta^{\prime \prime}}+\zeta^{\prime} d a+\zeta^{\prime \prime} d b+\zeta^{\prime \prime \prime} d c ;
\end{array}
\]

если сюда подставить найденные нами выше выражения $d \xi^{\prime}, d \eta^{\prime}, d \zeta^{\prime}, d \xi^{\prime \prime}, \ldots$ и положить для краткости
\[
\begin{array}{l}
d a^{\prime}=d a+c d Q-b d R, \\
d b^{\prime}=d b+a d R-c d P, \\
d c^{\prime}=d c+b d P-a d Q,
\end{array}
\]

то мы получим следующие очень простые дифференциальные формулы:
\[
\begin{array}{l}
d \xi=\xi^{\prime} d a^{\prime}+\xi^{\prime \prime} d b^{\prime}+\xi^{\prime \prime \prime} d c^{\prime}, \\
d \eta=\eta^{\prime} d a^{\prime}+\eta^{\prime \prime} d b^{\prime}+\eta^{\prime \prime \prime} d c^{\prime}, \\
d \zeta=\zeta^{\prime} d a^{\prime}+\zeta^{\prime \prime} d b^{\prime}+\zeta^{\prime \prime \prime} d c^{\prime} .
\end{array}
\]

Если эти выражения продифференцировать и вместо $d \xi^{\prime}, d \eta^{\prime}, d \zeta^{\prime}, d \xi^{\prime \prime}, \ldots$ снова подставить найденные выше значения м, наконец, положить для краткости
\[
\begin{array}{l}
d^{2} a^{\prime \prime}=d^{2} a^{\prime}+d c^{\prime} d Q-d b^{\prime} d R, \\
d^{2} b^{\prime \prime}=d^{2} b^{\prime}+d a^{\prime} d R-d c^{\prime} d P, \\
d^{2} c^{\prime \prime}=d^{2} c^{\prime}+d b^{\prime} d P-d a^{\prime} d Q,
\end{array}
\]

то мы получим вторые дифференциалы
\[
\begin{array}{l}
d^{2} \xi=\xi^{\prime} d^{2} a^{\prime \prime}+\xi^{\prime \prime} d^{2} b^{\prime \prime}+\xi^{\prime \prime \prime} d^{2} c^{\prime \prime}, \\
d^{2} \eta=\eta^{\prime} d^{2} a^{\prime \prime}+\eta^{\prime \prime} d^{2} b^{\prime \prime}+\eta^{\prime \prime \prime} d^{2} c^{\prime \prime}, \\
d^{2} \zeta=\zeta^{\prime} d^{2} a^{\prime \prime}+\zeta^{\prime \prime} d^{2} b^{\prime \prime}+\zeta^{\prime \prime \prime} d^{2} c^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Как видим, эти выражения для первых и вторых дифференциалов подобны конечным выражениям для $\xi, \eta, \zeta$ (II. 1) и величины $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \ldots$ входят в них совершенно аналогичным образом; то же самое получилось бы и для дифференциалов всех других порядков, благодаря чему применение величин $d P$, $d Q, d R$ оказывается очень удобным при расчетах, касающихся вращения.
15. Следует, однако, сделать еще одно важное замечание по поводу применения этих величин; замечание это сводится к следующему: хотя эти величины выражены в дифференциальной форме, тем не менее мы впали бы в ошибку, если бы мы их рассматривали в качестве дифференциалов при дифференцированиях в смысле символа $\delta$. Таким образом, в значении $\delta T$ нельзя просто заменять выражение $\delta d P$ выражением $d \delta P, \ldots$

Отметим прежде всего, что ничто не пренятствует нам в дифференциальных формулах пункта 13 заменять символ $d$, символом $\delta$, благодаря чему в значения вариаций $\delta \xi^{\prime}$, $\delta \eta^{\prime}$, $\quad \delta \xi^{\prime}, \quad \delta \xi^{\prime \prime}, \ldots$ вводятся три неопределенные величины $\delta P, \delta Q, \delta R$, что может послужить для того, чтобы все эти вариации свести к трем произвольным.
Тәк как мы нашли (п. 13)
\[
d P=\xi^{\prime \prime \prime} d \xi^{\prime \prime}+\eta^{\prime \prime \prime} d \eta^{\prime \prime}+\zeta^{\prime \prime \prime} d \zeta^{\prime \prime},
\]

то, заменив символ $d$ символом $\delta$, мы будем также иметь
\[
\delta P=\xi^{\prime \prime \prime} \delta \xi^{\prime \prime}+\eta^{\prime \prime \prime} \delta \eta^{\prime \prime}+\zeta^{\prime \prime \prime} \delta \zeta^{\prime \prime} ;
\]

аналогичные выражения мы получим для величин $d Q$, $d R$, которые превратятся в $\delta Q$ и $\delta R$.

Продифференцировав $d P$ по символу $\delta$, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\delta d P=\xi^{\prime \prime \prime} \delta d \xi^{\prime \prime}+\eta^{\prime \prime \prime} \delta d \eta^{\prime \prime}+\zeta^{\prime \prime \prime} \delta d \zeta^{\prime \prime}+ \\
+\hat{\xi^{\prime \prime \prime}} d \xi^{\prime \prime}+\delta \eta^{\prime \prime \prime} d \eta^{\prime \prime}+\delta \zeta^{\prime \prime \prime} d \zeta^{\prime \prime},
\end{array}
\]

а продифференцировав $\delta P$ по символу $d$,

Но $\delta \xi^{\prime \prime}, \delta d \eta^{\prime \prime}, \delta d \zeta^{\prime \prime}$ представляют собою то же самое, что $d \hat{\zeta}^{\prime \prime}, d \hat{\delta} \eta^{\prime \prime}, d \hat{\delta}^{\prime \prime}$, так как величины $\xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime}$ являются

конечными переменными; следовательно, мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\delta d P-d \delta P=+\delta \xi^{\prime \prime \prime} d \xi^{\prime \prime}+\delta \eta^{\prime \prime \prime} d \eta^{\prime \prime}+\delta \zeta^{\prime \prime \prime} d \zeta^{\prime \prime}- \\
-d \xi^{\prime \prime \prime} \delta \xi^{\prime \prime}-d \eta^{\prime \prime \prime} \delta \eta^{\prime \prime}-d \zeta^{\prime \prime \prime} \delta \zeta^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Подставим вместо $d \xi^{\prime \prime}, d \eta^{\prime \prime}, d \zeta^{\prime \prime}$ и $d \xi^{\prime \prime \prime}, d \eta^{\prime \prime \prime}, d \zeta^{\prime \prime \prime}$ их выражения через $d P, d Q, d R$ (п. 13) и вместо $\delta \xi^{\prime \prime}$, $\delta \eta^{\prime \prime}, \delta \zeta^{\prime \prime}, \delta \xi^{\prime \prime \prime}, \delta \eta^{\prime \prime \prime}, \delta \zeta^{\prime \prime \prime}$ аналогичные их выражения, получающиеся при замене символа $d$ символом $\delta$; тогда с помощью условных уравнений пункта 2 мы получим
\[
\begin{array}{l}
\delta \xi^{\prime \prime \prime} d \xi^{\prime \prime}+\delta \eta^{\prime \prime \prime} d \eta^{\prime \prime}+\delta \varphi_{0}^{\prime \prime \prime} d \zeta^{\prime \prime}=-\delta Q d R, \\
d \xi^{\prime \prime \prime} \delta \xi^{\prime \prime}+d \eta^{\prime \prime \prime} \hat{\partial} \eta^{\prime \prime}+d \zeta^{\prime \prime \prime} \delta_{\bullet}^{\prime \prime \prime}=-d Q \delta R ; \\
\end{array}
\]

следовательно,
\[
\delta d P=d \delta P+d Q \delta R-d R \delta Q .
\]

Путем аналогичного вычисления мы также найдем
\[
\begin{array}{l}
\delta d Q=d \delta Q+d R \delta P-d P^{\delta} R, \\
\left.\delta d R=d \delta R+d P^{\delta} Q-d Q \delta P^{*}\right) .
\end{array}
\]