116. В пункте 6 третьего отдела мы доказали, что в каждой свободной системе уравнения движения тел системы остаются одними и теми же, относят ли их к центру тяжести системы или же к какой-либо неподвижной точке вне системы. Так, в формулах пункта 86 можно начало координат $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, \ldots$ поместить в центре тяжести всех тел $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$, и тогда на основании свойств центра тяжести мы будем иметь три уравнения:
\[
\begin{array}{l}
m x+m^{\prime} x^{\prime}+m^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+m^{\prime \prime \prime} x^{\prime \prime \prime}+\ldots=0, \\
m y+m^{\prime} y^{\prime}+m^{\prime \prime} y^{\prime \prime}+m^{\prime \prime \prime} y^{\prime \prime \prime}+\ldots=0, \\
m z+m^{\prime} z^{\prime}+m^{\prime \prime} z^{\prime \prime}+m^{\prime \prime \prime} z^{\prime \prime \prime}+\ldots=0,
\end{array}
\]
*) Являющиеся периодическими членами. (Прим. Беріпрана.)

которые тотчас же дают выражения координат тела $m$ через координаты других тел $m^{\prime}, m^{\prime \prime}$, :..

Рассмотрим, в частности, движение тела $m^{\prime}$ вокруг общего центра тяжести. Так как его координаты $x^{\prime}$, $y^{\prime}, z^{\prime}$ независимы, то в формулах упомянутого выше пункта величины $T$ и $V$ можно свести к членам, имеющим множитель $m^{\prime}$, которые являются единственными, содержащими переменные $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, и затем эти величины разделить на $\mathrm{m}^{\prime}$. Таким образом, в общее уравнение можно подставить $T^{\prime}$ и $V^{\prime}$ вместо $T$ и $V$, положив
\[
T^{\prime}=\frac{d x^{\prime 2}+d y^{\prime 2}+d z^{\prime 2}}{2 d t^{2}}
\]

и
\[
V^{\prime}=m \int R^{\prime} d \rho^{\prime}+m^{\prime \prime} \int R_{\prime}^{\prime \prime}, d_{\rho^{\prime}}^{\prime \prime}+m^{\prime \prime \prime} \int R_{,}^{\prime \prime \prime} d \rho_{,}^{\prime \prime \prime}+\ldots,
\]

тогда для каждой из трех координат орбиты планеты $m^{\prime}$ вокруг общего центра тяжести мы получим уравнение следующего вида:
\[
d \frac{\delta T^{\prime}}{\delta d_{\xi}^{z}}-\frac{\delta T^{\prime}}{\delta \xi}+\frac{\delta V^{\prime}}{\delta \xi}=0,
\]

где $\xi$-какая-либо из этих координат.
117. Если имеется лишь два тела $m$ и $m^{\prime}$, то $V^{\prime}$ сводится к единственному члену $m \int R^{\prime} d_{\mathrm{v}^{\prime}}$, и тогда мы имеем $\delta V^{\prime}=m R^{\prime} \delta_{l^{\prime}}$, где $R^{\prime}$, согласно предположению, есть функция $p^{\prime}$.

Для того чтобы получить значение дифференциала $\delta V^{\prime}$ по $\xi$, следует продифференцировать переменную
\[
\beta^{\prime}=\sqrt{\left(x^{\prime}-x\right)^{2}+\left(y^{\prime}-y\right)^{2}+\left(z^{\prime}-z\right)^{2}},
\]

считая переменными лишь $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, и затем подставить вместо $x, y, z$ их значения
\[
x=-\frac{m^{\prime} x^{\prime}}{m}, \quad y=-\frac{m^{\prime} y^{\prime}}{m}, \quad z=-\frac{m^{\prime} z^{\prime}}{m} .
\]

Этим путем мы получим
\[
\delta \rho^{\prime}=\frac{m+m^{\prime}}{m} \frac{x^{\prime} \delta x^{\prime}+y^{\prime} \delta y^{\prime}+z^{\prime} \hat{\delta} z^{\prime}}{\varphi^{\prime}} .
\]

Но с помощью тех же подстановок получается
\[
\rho^{\prime}=\frac{m+m^{\prime}}{m} \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}} .
\]

Следовательно, положив
\[
\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}=r^{\prime},
\]

где $r^{\prime}$ – радиус-вектор орбиты тела $m^{\prime}$, мы получим
\[
\rho^{\prime}=\frac{m+m^{\prime}}{m} r^{\prime},
\]

и, стало быть,
\[
\delta_{\gamma^{\prime}}^{\prime}=\frac{x^{\prime} \delta x^{\prime}+y^{\prime} \delta y^{\prime}+z^{\prime} \delta z^{\prime}}{r^{\prime}}=\delta r^{\prime},
\]

а следовательно, также $d \mu^{\prime}=d r^{\prime}$; таким образом, величина $V^{\prime}$ примет вид $m \int R^{\prime} d r^{\prime}$, где $R^{\prime}$ теперь является функцией, зависящей от $\frac{m+m^{\prime}}{m} r^{\prime}$ совершенно так, как, по предположению, $R^{\prime}$ зависит от $p^{\prime}$.

В природе мы имеем $R^{\prime}=\frac{1}{p^{\prime 2}}$, следовательно, сила $R^{\prime}$, направленная к общему центру тяжести, получит знакомое нам выражение $\frac{m^{2}}{\left(m+m^{\prime}\right)^{2}} \frac{1}{r^{\prime 2}}$.
118. Рассмотрим теперь случай, когда система состоит из некоторого числа тел, превышающего два, и для упрощения задачи предшоложим, что масса $m$ намного превышает каждую из остальных масс $m^{\prime}$, $m^{\prime \prime}, \ldots$, что соответствует случаю планет и Солнца. В силу уравнений, данных в предшествующем пункте, величины $x, y, z$ станут очень малыми по сравнению с величинами $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, x^{\prime \prime}, \ldots$ в отношении масс $m^{\prime}$, $m^{\prime \prime}, \ldots$ к массе $m$; поэтому при разложении можно будет ограничиться первыми степенями $x, y, z$, по крайней мере, если мы не захотим принять во внимание квадратов масс.

Так как $R^{\prime}$, согласно допущению, является функцией $p^{\prime}$, то и $\int R^{\prime} d_{p^{\prime}}$ будет некоторой функцией $p^{\prime}$, которую мы обозначим через $F\left(\rho^{\prime}\right)$; поэтому величина $R$ согласно обозначению производных функций, выразится через $F^{\prime}\left(p^{\prime}\right)$. Но мы имеем
\[
\rho^{\prime}=\sqrt{\left(x^{\prime}-x\right)^{2}+\left(y^{\prime}-y\right)^{2}+\left(z^{\prime}-z\right)^{2}}
\]

и
\[
r^{\prime}=\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}} ;
\]

следовательно,
\[
F\left(r^{\prime}\right)=F\left(r^{\prime}\right)-x \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial x^{\prime}}-y \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}-z \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial z^{\prime}} .
\]

Продифференцировав в смысле символа $\delta$ и рассматривая при этом $x, y, z$ как постоянные величины, мы получим
\[
\delta F\left(\rho^{\prime}\right)=\delta F\left(r^{\prime}\right)-x \delta \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial x^{\prime}}-y \delta \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}-z \delta \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial z^{\prime}} ;
\]

здесь следует вместо $x, y, z$ подставить их выражения
\[
\begin{array}{l}
x=-\frac{m^{\prime} x^{\prime}+m^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+m^{\prime \prime \prime} x^{\prime \prime \prime}+\ldots}{m}, \\
y=-\frac{m^{\prime} y^{\prime}+m^{\prime \prime} y^{\prime \prime}+m^{\prime \prime \prime} y^{\prime \prime \prime}+\ldots}{m}, \\
z=-\frac{m^{\prime} z^{\prime}+m^{\prime \prime} z^{\prime \prime}+m^{\prime \prime \prime} z^{\prime \prime \prime}+\ldots}{m} .
\end{array}
\]
119. Предположим, что сила притяжения $R^{\prime}$ изменяется пропорционально степени $\rho^{\prime \mu}$ расстояния $p^{\prime}$; тогда мы имеем
\[
F\left(\rho^{\prime}\right)=\frac{\rho^{\prime \mu+1}}{\mu+1},
\]

и функция $F\left(p^{\prime}\right)$ представляет собою однородную функцию стешени $\mu+1$ переменных $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$; тогда, в силу свойства этих функций, мы будем иметь
\[
x^{\prime} \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial x^{\prime}}+y^{\prime} \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}+z^{\prime} \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial z^{\prime}}=(\mu+1) F\left(r^{\prime}\right) ;
\]

следовательно, продифференцировав в смысле символа $\delta$ и приняв во внимание, что
\[
\frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial x^{\prime}} \delta x^{\prime}+\frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime}+\frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial z^{\prime}} \delta z^{\prime}=\delta F\left(r^{\prime}\right),
\]

мы получим
\[
x^{\prime} \delta \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial x^{\prime}}+y^{\prime} \delta \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}+z^{\prime} \delta \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial z^{\prime}}=\mu \hat{\delta} F\left(r^{\prime}\right) .
\]

Таким образом, если положить для сокращения
\[
\begin{array}{c}
\left(R^{\prime \prime}\right)=x^{\prime \prime} \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial x^{\prime}}+y^{\prime \prime} \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}+z^{\prime \prime} \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial z^{\prime}} . \\
\left(R^{\prime \prime \prime}\right)=x^{\prime \prime \prime} \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial x^{\prime}}+y^{\prime \prime \prime} \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}+z^{\prime \prime \prime} \frac{\partial F\left(r^{\prime}\right)}{\partial z^{\prime}}
\end{array}
\]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
то после подстановок мы получим
\[
\delta F\left(\rho^{\prime}\right)=\frac{m+\mu m^{\prime}}{m} \delta F\left(r^{\prime}\right)+\frac{m^{\prime \prime}}{m} \delta\left(R^{\prime \prime}\right) \frac{m^{\prime \prime \prime}}{m} \delta\left(R^{\prime \prime \prime}\right)+\ldots ;
\]

аналогичным будет значение $\delta \int R^{\prime} d_{\prime^{\prime}}^{\prime}$ в дифференциале $\delta V^{\prime}$ (п. 116); таким образом, для первого члена $m \int R^{\prime} d_{p^{\prime}}^{\prime}$ величины $V^{\prime}$ мы будем иметь
\[
m \int R^{\prime} d \rho^{\prime}=\left(m+\mu m^{\prime}\right) F\left(r^{\prime}\right)+m^{\prime \prime}\left(R^{\prime \prime}\right)+m^{\prime \prime \prime}\left(R^{\prime \prime \prime}\right)+\ldots \text {, }
\]
где
\[
F\left(r^{\prime}\right)=\frac{r^{\prime \mu+1}}{\mu+1} .
\]

В солнечной системе притяжение планет шроисходит обратно пропорционально квадрату расстояния; таким образом, мы имеем
\[
\mu=-2, F\left(r^{\prime}\right)=-\frac{1}{r^{\prime}}
\]

и находим
\[
\begin{array}{l}
\left(R^{\prime \prime}\right)=\frac{x^{\prime} x^{\prime \prime}+y^{\prime} y^{\prime \prime}+z^{\prime} z^{\prime \prime}}{r^{\prime 3}}=\frac{r^{\prime 2}+r^{\prime \prime 2}-p_{1}^{\prime \prime 3}}{2 r^{\prime 3}} \\
\left(R^{\prime \prime \prime}\right)=\frac{x^{\prime} x^{\prime \prime \prime}+y^{\prime} y^{\prime \prime \prime}+z^{\prime} z^{\prime \prime \prime}}{r^{\prime 3}}=\frac{r^{\prime 3}+r^{\prime \prime \prime}-p^{\prime \prime \prime 2}}{2 r^{\prime 3}} \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

где
\[
\begin{aligned}
r^{\prime \prime} & =\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}, \\
r^{\prime \prime \prime} & =\sqrt{x^{\prime \prime \prime 2}+y^{\prime \prime \prime 2}+z^{\prime \prime \prime 2}}, \ldots
\end{aligned}
\]

Следовательно, если произвести эти подстановки в выражении $V^{\prime}$ (п. 116) и принять там также $R_{\prime}^{\prime \prime}=\frac{1}{\rho_{\prime}^{\prime \prime 2}}$, $R_{\prime}^{\prime \prime \prime}=\frac{1}{\rho^{\prime \prime 2}}, \ldots$, то для случая, наблюдающегося в природе, мы получим для движения тела $m^{\prime}$ вокруг общего центра тяжести
\[
\begin{aligned}
V^{\prime}= & -\frac{m-2 m^{\prime}}{r^{\prime}}-m^{\prime \prime}\left(\frac{1}{\rho_{\prime \prime}}-\frac{r^{\prime 2}+r^{\prime 2}-\rho^{\prime \prime 2}}{2 r^{\prime 3}}\right)- \\
& -m^{\prime \prime \prime}\left(\frac{1}{\rho^{\prime \prime \prime}}-\frac{r^{\prime 2}-r^{\prime \prime \prime 2}-\rho^{\prime \prime \prime 2}}{2 r^{\prime 3}}\right)-\ldots
\end{aligned}
\]

Первый член величины $V^{\prime}$, если бы он был единственным, дал бы, как мы это видели в главе I, эллиптическую орбиту, в которой $g=m-2 m^{\prime}$; а так как остальные члены по сравнению с первым очень малы, ибо они имеют множителями массы $m^{\prime \prime}, m^{\prime \prime \prime}, \ldots$, которые мы считаем очень малыми по сравнению с $m$, то их можно рассматривать как бы происходящими от возмущающих сил, действие которых сводится к изменению элементов эллиптической орбиты. Таким образом, голожив, как в пункте 90 ,
\[
\begin{aligned}
Q^{\prime}=m^{\prime \prime}\left(\frac{1}{\rho^{\prime \prime}}-\right. & \left.\frac{r^{\prime 2}+r^{\prime \prime 2}-\rho^{\prime \prime} 2}{2 r^{\prime 3}}\right)+ \\
& +m^{\prime \prime \prime}\left(\frac{1}{\rho^{\prime \prime \prime}}-\frac{r^{\prime 2}+r^{\prime \prime \prime 2}-\rho^{\prime \prime \prime 2}}{2 r^{\prime 3}}\right)+\ldots,
\end{aligned}
\]

можно будет, пользуясь формулами, данными в пункте 74, определить вариации этих элементов.
120. Если сравнить величину $Q^{\prime}$, которую мы только что нашли для движения тела $m^{\prime}$ вокруг центра тяжести системы, с величиной $Q^{\prime}$ для движения того же тела вокруг тела $m$, то мы увидим, что эти величины схожи между собою; радиусами-векторами орбит являются в последнем случае $p^{\prime}, p^{\prime \prime}, \ldots$, а в первом случаях являются одними и теми же, так как они представляют расстояния тела $m^{\prime \prime}$ от остальных тел $m^{\prime \prime}, m^{\prime \prime \prime}, \ldots$; различие заключается лишь в том, что при замене величин $\rho^{\prime}, p^{\prime \prime}, \ldots$ величинами $r^{\prime}, r^{\prime \prime}, \ldots$ следует взаимно заменять величины $r^{\prime}, r^{\prime \prime}$, равно как величины $r^{\prime}, r^{\prime \prime}$, п так далее. Но когда мы определяем лишь вековые возмущения элементов, как мы это сделали для орбиты $m^{\prime}$ вокруг $m$, то легко видеть, что для обеих орбит мы получим одно и то же значение ( $Q^{\prime}$ ) и, следовательно, одни и те же формулы для этих вариаций, что представляется весьма замечательным.

Впрочем, в найденной выше величине $Q^{\prime}$ можно было бы опустить члены $-m^{\prime \prime} \frac{r^{\prime 2}}{2 r^{\prime 3}}-m^{\prime \prime \prime} \frac{r^{\prime 2}}{2 r^{\prime 3}}-\ldots$, так как они имеют тот же вид, что и первый член $-\frac{m-2 m^{\prime}}{r^{\prime}}$ величины $V^{\prime}$, и их можно было бы соединить с этим членом, который принял бы тогда следующий вид:
\[
-\frac{1}{r^{\prime}}\left(m-2 m^{\prime}-\frac{m^{\prime \prime}}{2}-\frac{m^{\prime \prime \prime}}{2}-\ldots\right) \text {; }
\]

таким образом, тело $m^{\prime}$ описывало бы вокруг центра тяжести такую орбиту, как если бы в этом центре находилась масса, равная
\[
m-2 m^{\prime}-\frac{m^{\prime \prime}}{2}-\frac{m^{\prime \prime \prime}}{2}-\ldots,
\]

следовательно, возмущающие силы этой орбиты при прочих равных условиях были бы меньше возмущающих сил орбиты того же тела $m^{\prime}$ вокруг наибольшего тела $m$.