Все системы действующих друг на друга тел, движения которых могут быть определены с помощью законов механики, могут быть распределены на три группы; в самом деле, их взаимодействие может проявиться лишь тремя известными нам различными способами: либо с помощью сил притяжения, когда тела изолированы друг от друга, либо с помощью соединяющих их связей, либо, наконец, непосредственным столкновением. Наша планетная система принадлежит к первой групе, поэтому относящиеся к ней проблемы должны занять первое место среди проблем динамики. Их мы и сделаем объектом исследования настоящего отдела.

Хотя в случае систем этой группы, где все тела јассматриваются нами как движущиеся свободно, очень легко найти уравнения их движения, так как необходимо лишь привести все силы к трем взаимно перпендикулярным направлениям и на основе принципа ускоряющих сил приравнять силу шо каждому из этих направлений элементу скорости по тому же направлению, разделенному на элемент времени, —тем не менее следует всегда предпочесть применение формул, приведенных в отделе IV, так как они прямо и без всякого предварительного разложения сил дают наипростейшие дифференциальные уравнения, каковы бы ии были координаты, примененные для определения положения тел, и даже в том случае, когда тела вместо того, чтобы быть совершенно свободными, вынуждены двигаться по заданным поверхностям или линиям.

Начнем с напоминания формул, которыми мы воспользуемся.
1. Пусть $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$-массы различных тел, рассматриваемых как точки; $x, y, z$-прямоугольные координаты тела $m ; x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ — тела $m^{\prime}$ и т. д., причем все эти координаты отнесены к одним и тем же неподвижным осям в пространстве. Получим
\[
T=m \frac{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}{2 d t^{2}}+m^{\prime} \frac{d x^{\prime 2}+d y^{\prime 2}+d z^{\prime \prime}}{2 d t^{2}}+\ldots
\]

А если вместо прямоугольных координат $x, y, z$ желательно применить какие-либо другие: $\xi$, $\eta$, $\zeta$, нужно только заменить величины $x, y, z$ функциями величин $\xi, \eta, \zeta$ в выражении $d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}$; точно так же в выражении $d x^{\prime 2}+d y^{\prime 2}+d z^{\prime 2}$ величины $x^{\prime}$, $y^{\prime}, z^{\prime}$ должно заменить функциями величин $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \xi^{\prime}$, если желательно преобразовать прямоугольные координаты $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ в $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$ и т. д. Таким образом, величина $T$ станет функцией переменных $\xi, \eta, \zeta, \xi^{\prime}, \eta^{\prime}$, $\zeta^{\prime}, \ldots$ и их первых производных.

Пусть теперь $R, Q, P, \ldots$ — силы, которыми каждая точка массы $m$ притягивается к центрам, неподвижным или движущимся, расстояния которых $r, q, p$, будучи заданы в координатах $x, y, z$, станут также функциями $\xi, \eta, \zeta$.
Получим
\[
\delta \mathrm{II}=R \hat{r}+Q \delta \hat{q} q+P \delta p+\ldots
\]

независимо от того, будет ли циалом или нет; обозначая теми же самыми буквами со штрихом, с двумя штрихами, …, аналогичные величины, относящиеся к телам $m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$, получим
\[
\hat{\delta} V=m \hat{\delta} \Pi+m^{\prime} \hat{\delta} \Pi^{\prime}+m^{\prime \prime} \delta \Pi^{\prime \prime}+\ldots
\]

Если, помимо этих сил, нашравленных к заданным центрам, имелись бы еще силы взаимного притяжения между всеми частицами тел $m$ и $m^{\prime}$, то, обозначив через $r$ расстояние между этими телами, рассматриваемыми как точки, и через $R$-силу притжжения, зависящую или не зависящую от расстояния, следует к. $\delta V$ прибавить член $m m^{\prime} R \grave{r}$ и совершенно так же поступить для всех других тел, между которыми имеется взаимное гритяжение.

Но так как мы предположили, что тела свободны, то координаты, определяющие их положение в пространстве, независимы, и каждая из них, например $\xi$, дает уравнение следующего вида:
\[
d \frac{\delta \mathbf{T}}{\partial d \xi}-\frac{\partial \mathbf{T}}{\partial \xi}+\frac{\delta \mathbf{V}}{\partial \xi}=0 .
\]
2. Если величины $\delta П, ~ \delta I^{\prime}, \ldots$ являются полными дифференциалами, что всегда имеет место, когда силы пропорциональны каким-либо функциям расстояний от цеэтров притяжения, а этот случай и встречается в природе, то проще всего сначала взять интегралы $\Pi, \Pi^{\prime}, \ldots$, которые представляются в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
\Pi=\int R d r+\int Q d q+\int P d p+\ldots, \\
\Pi^{\prime}=\int R^{\prime} d r^{\prime}+\int Q^{\prime} d q^{\prime}+\int P^{\prime} d p^{\prime}+\ldots, \\
\text {… . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

и тогда величина $V$ принимает следующий вид:
\[
V=m \Pi+m^{\prime} \Pi^{\prime}+m^{\prime \prime} \Pi^{\prime \prime}+\ldots ;
\]

если последнюю представить в виде функции переменных $\xi, \eta, \zeta, \xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}, \ldots$, то из нее легко путем дифференцирования получить частные производные $\frac{\delta \mathbf{V}}{\delta \xi}, \frac{\delta \mathbf{V}}{\partial \eta}, \ldots$ Если в этом случае функции $T$ и не содержат конечного времени $t$, то мы всегда имеем интеграл
\[
T+V=H,
\]

где $H$-произвольная постоянная; этот интеграл заключает в себе принцип живых сил.