86. Когда несколько тел взаимно притягиваются силами, которые пропорциональны массам и являются функциями расстояний, то для их движений мы имеем общие уравнения пунктов 1 и 2 , причем самые тела мы принимаем за центры притяжения.

Пусть $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$ – массы тел, а $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, $x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}, \ldots$ – их прямоугольные координаты, отнесенные к неподвижным в пространстве осям; тогда, как в пункте 1 , величина $T$ определится формулой
\[
\begin{aligned}
T=m \frac{d x^{2}+d y^{2}+d z^{3}}{2 d t^{2}}+ & m^{\prime} \frac{d x^{\prime 2}+d y^{\prime 2}+d z^{\prime 2}}{2 d t^{2}}+ \\
& +m^{\prime \prime} \frac{d x^{\prime 2}+d y^{\prime \prime 2}+d z^{\prime \prime 2}}{2 d t^{2}}+\ldots
\end{aligned}
\]

Пусть $p^{\prime}, p^{\prime \prime}, \rho^{\prime \prime \prime}, \ldots$ – расстояния тел $m^{\prime}, m^{\prime \prime}, m^{\prime \prime \prime}, \ldots$ от тела $m$ и $R^{\prime}, R^{\prime \prime}, R^{\prime \prime \prime}, \ldots$ – те функции этих расстояний, которым пропорциональны притяжения между этими телами.

Пусть, далее, $\rho^{\prime \prime}, p_{\prime \prime \prime}^{\prime \prime}, \ldots$ – расстояния тел $m^{\prime \prime}, m^{\prime \prime \prime}, \ldots$ от тела $m^{\prime}$ и $R^{\prime \prime}, R_{,}^{\prime \prime \prime}, \ldots$ – функции этих расстояний, пропорпиональные притяжениям.

Пусть точно так же $p_{u \”}^{\prime \prime}, p_{\text {IV }}^{\text {IV }}, \ldots$ – расстояния тел $m^{\prime \prime \prime}, m^{\mathrm{IV}}, \ldots$ от тела $m^{\prime \prime}$ и \” $R^{\prime \prime \prime}, R^{\mathrm{IV}}, \ldots$ – функции этих расстояний, пропорциональные притяжениям, и так далее.
Тогда мы имеем
\[
\begin{array}{l}
p^{\prime}=\sqrt{\left(x^{\prime}-x\right)^{2}+\left(y^{\prime}-y\right)^{2}+\left(z^{\prime}-z\right)^{2}}, \\
p^{\prime \prime}=1 \overline{\left(x^{\prime \prime}-x\right)^{2}+\left(y^{\prime \prime}-y\right)^{2}+\left(z^{\prime \prime}-z\right)^{2}} \text {, } \\
\rho^{\prime \prime}=\sqrt{\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime \prime}-y^{\prime}\right)^{2}+\left(z^{\prime \prime}-z^{\prime}\right)^{2}}, \\
\rho_{\prime}^{\prime \prime \prime}=\sqrt{\left(x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}\right)^{2}+\left(z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime}\right)^{2}}, \\
\end{array}
\]

и величина $V$ (п. 2) равна
\[
\begin{array}{l}
V=+m\left(m^{\prime} \int R^{\prime} d_{\varphi^{\prime}}+m^{\prime \prime} \int R^{\prime \prime} d_{p^{\prime \prime}}+m^{\prime \prime} \int R^{\prime \prime \prime} d_{\varphi^{\prime}}{ }^{\prime \prime \prime}+\ldots\right)+ \\
+m^{\prime}\left(m^{\prime \prime} \int R^{\prime \prime}, d_{r^{\prime \prime}}^{\prime \prime}+m^{\prime \prime} \int R_{, \prime}^{\prime \prime \prime} d_{\beta^{\prime}, \prime \prime}^{\prime \prime}+\ldots\right)+ \\
+m^{\prime \prime}\left(m^{\prime \prime \prime} \int R_{\prime \prime}^{\prime \prime \prime} d_{p_{\prime \prime}^{\prime \prime \prime}}^{\prime \prime}+\ldots\right)+ \\
\text { + . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Каковы бы, однако, ни были независимые координаты, которые нам заблагорассудилось избрать, мы всегда имеем по отношению к каждой из них, например $\xi$, уравнение канонического вида
\[
d \frac{\delta T}{\partial d \bar{\xi}}-\frac{\partial T}{\partial \hat{\xi}}+\frac{\partial V}{\partial \xi}=0 .
\]

Так как в рассматриваемой нами системе не имеется какой бы то ни было неподвижной точки, мы можем избрать начало координат где угодно, и, как мы видели в отделе III, в данном случае всегда имеется три конечных интеграла движения центра тяжести, равно как три первых интеграла площадей и, наконец, интеграл живых сил $T+V=H$.

Указанным путем определяется абсолютное движение тел в простраістве; но так как решение данной задачи важно лишь по отношению $к$ шланетам и так как в данном случае астрономию интересуют лишь движения планет по отношению к Солнцу, рассматриваемому как неподвижное тело, цам остается только посмотреть, каким образом общее уравнение абсолютных движений тел системы может быть применено к относительным движениям.