Предмет гидродинамики составляет определение движения жидкостей; предметом же обычной гидравлики является искусство проведения воды и использования ее для приведения в движение машин. Это искусство ввиду постоянной потребности в нем должно было культивироваться во все времена, и древние, судя по тому, что они оставили нам по этому вопросу, были, пожалуй, не меньше искушены в нем, чем мы.

Гидродинамика же представляет собою науку, возникшую в последнем столетии. Ньютон впервые попытался вычислятть движение жидкостей на основе принципов механики, а Даламбер впервые свел истинные законы их движений к аналитическим уравнениям. Архимед и Галилей (ибо промежуток времени, отделяющий этих двух гениальных людей, исчезает в истории механики) занимались только вопросом о равновесии жидкостей.

Торричелли начал с исследования движения воды, вытекающей из сосуда через очень маленькое отверстие, и нашел закон этого движения. Он установил, что если струе дать вертикальное направление, то она всегда почти достигает уровня воды в сосуде. А так как можно было наперед допустить, что при отсутствии сопротивления воздуха и трений струя в точности достигла бы уровня воды, то Торричелли отсюда сделал вывод, что скорость вытекающей воды равна той скорости, какую она приобрела бы, если бы свободно падала с высоты уровня, и что, следовательно, эта скорость пропордиональна квадратному корню из этой высоты.

Не имея, однако, возможности дать строгое доказательство этого предложения, Торричелли ограничился тем, что привел его в качестве опытного закона в конце своего трактата «De motu naturaliter accelerato» (О естественно ускоренном движении), напечатанного в 1643 г. Ньютон попытался доказать этот закон во второй книге своих «Principia mathematica», появившихся в 1687 г.; следует, однако, признать, что данное место является наименее удовлетворительным во всем великом творении Ньютона.

Если рассмотреть водяной столб, свободно падающий в пустоте, то легко убедиться, что он должен принять форму коноида; образованного вращением гиперболы четвертого порядка вокруг вертикальной оси; в самом деле, скорость каждого горизонтального слоя, с одной стороны, пропорциональна корню квадратному из высоты, с которой она падает, а с другой стороны, в силу непрерывности воды, она должна быть обратно пропорциональной величине этого слоя и, следовательно, обратно пропорциональной квадрату его радиуса; отсюда следует, что часть оси, или абсцисса, представляющая высоту, обратно пропорциональна четвертой степени ординаты производящей гищерболы. Таким образом, если представить себе сосуд, имеющий форму указанного коноида и постоянно наполненный водой, и допустить, чт̀о движение воды достигло стационарного состояния, то ясно, что каждая частица воды будет падать таким образом, как если бы она была свободна и что, следовательно, при выходе из отверстия она будет обладать скоростью, соразмерной высоте сосуда, из которого она падает.

Ньютон же представляет себе, что вода, наполняющая цилиндрический вертикальный сосуд, имеющий в своем основании отверстие, из которого вода вытекает, естественно разделяется на две части, из которых только одна находится в движении и имеет форму упомянутого нами выше коноида; эту часть воды он называет катарактом; другая часть воды остается в покое, как если бы она замерзла. При этих условиях ясно, что вода должна падать со скоростью, равной той, какую она приобрела бы, если бы она упала с высоты сосуда, как это на опыте установил Торричелли. Однако, измерив количество воды, вытекшей в течение заданного времени, и сравнив его с величиной отверстия, Ньютон в первом издании своих «Principia» пришел к выводу, что скорость истечения из сосуда соответствует только половине высоты воды в сосуде. Эта ошибка произошла вследствие того, что он сначала не обратил внимания на сжатие водяной струи; во втором издании, вышедшем в свет в 1714 г., он учел это обстоятельство и установил, что наименьшее сечение струи относится к отверстию сосуда почти, как 1 к $\sqrt{2}$; таким образом, если это сечение принять в качестве действительного сечения сосуда, то скорость должна увеличиться в том же самом отношении 1 к $\sqrt{2}$ и, следовательно, должна соответствовать всей высоте воды. В результате этого теория Ньютона приблизилась к данным ошыта, но она не стала от этого более правильной; действительно, образование катаракта или фиктивного сосуда, в котором, согласно допущению, вода должна двигаться, в то время как окружающая вода остается в покое, очевидно, противоречит известным законам равновесия жидкостей, так как вода, которая падала бы в этот катаракт со всей силой своей тяжести, не вызывая никакого бокового давления, не была бы в состоянии противостоять давлению окружающей жидкости, остающейся в состоянии покоя.

За двадцать лет до того Вариньон представил в Парижскую академию наук более естественное и более правдоподобное объяснение рассматриваемого явления. Заметив, что, когда вода вытекает из цилиндрического сосуда через маленькое отверстие, сделанное в дне, она совершает в сосуде движение, лишь очень малое и притом заметно однообразное для всех ее частиц, он отсюда сделал тот вывод, что в данном случае не существует никакого ускорения и что часть жидкости, вытекающая в каждое мгновение, получает все свое движение от давления, производимого весом столба жидкости, основанием которого она является. Этот вес, пропорциональный величине отверстия, умноженной на высоту воды в сосуде, должен быть пропордионален количеству движения частицы, выходящей в каждое мгновение из отверстия. А это количество движения, как известно, пропорционально скорости и массе, масса же в данном случае пропорциональна произведению величины отверстия на малое пространство, проходимое частицей в заданное время,-пространство, которое, очевидно, пропорционально скорости этой же частицы; следовательно, количество движения пропорционально величине отверстия, умноженной на квадрат скорости. Итак, высота воды в сосуде пропорциональна квадрату скорости, с какой она вытекает, в чем и заключается теорема Торричелли.

Однако изложенное выше рассуждение содержит некоторые слабые пункты, так как оно молча допускает, что маленькая масса, вытекающая в каждое мгновение из сосуда, внезапно получает всю свою скорость благодаря давлению столба, соответствующего отверстию. Но известно, что давление не в состоянии сразу вызвать конечной скорости. Если же допустить, а это представляется естественным, что вес столба действует на частицу в течение всего времени, когда она вытекает из сосуда, то ясно, что эта частица получает ускоренное движение, количество которого к концу любого времени пропорционально давлению умноженному на время. Следовательно, произведение веса столба на время истечения частицы равно произведению массы этой частицы на достигнутую ею скорость, а так как масса есть произведение величины отверстия на малое пространство, описываемое частицей при ее выходе из сосуда, причем это пространство, согласно природе равномерно ускоренных движений, пропорционально произведению скорости на время, то отсюда следует, что высота столба опять-таки пропорциональна квадрату достигнутой скорости. Таким образом, этот вывод правилен, если согласиться с тем, что каждая частица, вытекая из сосуда, испытывает на себе давление полного веса всего столба жидкости, имеющего своим основанием эту частицу; последнее действительно имело бы место, если бы содержащаяся в сосуде масса была неподвижна, так как тогда давление ее на ту часть дна, где находится отверстие, бино бы равно весу столба, для которого она является основанием, но это давление должно быть иным, когда жидкость находится в движении. Однако ясно, что чем больше жидкость приближается к состоянию покоя, тем больше и давление ее на дно приближается ко всему весу вертикального столба; сверх того, опыт показывает, что движение жидкости в сосуде становится тем меньшим, чем меныше отверстие. Таким образом, изложенная выше теория тем больше приближается к действительности, чем больше размеры сосуда по сравнению с отверстием, через которое жидкость вытекает, что подтверждается и опытом.
$\mathrm{Ho}$, с другой стороны, изложенная теория оказывается недостаточной для определения движения жидкостей, протекающих в трубах, ширина которых очень мала и слегка изменяется. В этом случае следует одновременно рассмотреть все движения частиц жидкости и исследовать, как они должны изменяться вследствие изменения формы трубы. Но опыт показывает, что когда труба имеет направление, немного отличающееся от вертикального, то различные горизонтальные слои жидкости почти сохраняют свою параллельность, так что один слой всегда занимает место предшествующего слоя; отсюда, в силу несжимаемости жидкости, следует, что скорость каждого горизонтального слоя, измеренная по вертикальному направлению, должна быть обратно пропорциональна величине этого слоя,величине, заданной формой сосуда.

Достаточно, стало быть, определить движение единственного слоя, и данная задача в некотором отношении оказывается аналогичной задаче о движении сложного маятника. Подобно тому как, согласно теории Якова Бернулли, движения, приобретенные и потерянные в любое мгновение различными грузами, из которых состоит маятник, взаимно уравновешивают друг друга на рычаге, так и в трубе должно существовать равновесие между различными слоями жидкости, из которых каждый находится под действием приобретенной или утраченной в каждое мгновение скорости; отсюда путем применения уже известных принципов равновесия жидкостей можно было бы тотчас же определить движение жидкости в трубе, подобно тому, как было определено движение сложного маятника. Однако человеческая мысль не всегда приходит к истинам наиболее простыми и наиболее прямыми путями; разительный пример этого дает рассматриваемый нами вопрос.

В отделе I настоящей работы мы изложили различные шаги, какие были предприняты для того, чтобы добиться разрешения задачи о центре колебания, и видели, что правильная теория этой задачи была открыта Яковом Бернулли лишь долгое время после того, как Гюйгенс ее разрешил на основе косвенного принципа сохранения живых сил. Совершенно так же обстояло дело с задачей о движении жидкостей в сосудах, и можно удивляться, что для решения этой задачи не воспользовались теми познаниями, какие были приобретены при разрешении первой.

Тот же принцип сохранения живых сил дал и первое решение этой последней задачи и послужил основой «Гидродинамики» Даниила Бернулли, напечатанной в 1738 г.,- произведения, которое вообще блещет анапизом, столь же изящным по своему изложению, сколь простым по своим выводам. Но ненадежность этого принципа, который не был еще доказан в общем виде, должна была сообщить известную ненадежность и выведенным из него предложениям и вызвать потребность в более надежной теории, базирующейся только 20 ж. Лагранж, т. II

на основных законах механики. Маклорен и Иван Бернулли взяли на себя выполнение этой задачи, один в своем «Трактате о флюксиях», а другой – в своей «Новой гидравлике», напечатанной в собрании его трудов. Их методы, хотя и сильно отличающиеся друг от друга, приводят к тем же выводам, что и принцип сохранения живых сил; следует, однако, признать, что метод Маклорена недостаточно точен и кажется наперед построенным в соответствии с теми выводами, которые было желательно получить; что касается метода Ивана Бернулли, то, не присоединяясь полностью к возражениям, высказанным против него Даламбером, следует сказать, что он оставляет желать лучшего с точки зрения ясности и точности.

В отделе I мы видели, каким образом Даламбер, обобщая теорию Якова Бернулли о движении маятников, пришел к простому и общему принципу динамики, сводящему законы движения тел к законам их равновесия. Само собою напрашивается применение этого принципа к движению жидкостей, и автор сначала попытался сделать это в конце своей «Динамики», напечатанной в 1743 г.; затем он ее развил в достаточной мере подробно в своем «Трактате о жидкостях», появившемся в следующем году и содержащем решения, столь же прямые, сколь и изящные, важнейших вопросов, которые можно поставить о жидкостях, движущихся в сосудах.

Однако эти решения, как и решения Даниила Бернулли, основываются на двух допущениях, которые в общем случае неверны: 1) что различные слои жидкости в точности сохраняют свою параллельность, так что один слой занимает всегда место предыдущего; 2) что скорость каждого слоя совершенно не изменяет своего направления, т. е. допускается, что все точки одного и того же слоя обладают равными и параллельными скоростями. Когда жидкость протекает в очень узких сосудах или трубах, указанные допущения очень правдоподобны и как будто подтверждаются опытом, но во всех остальных случаях они отклоняются от истины, и тогда не остается иного средства для определения движения жидкости, как исследовать движение, которое должна иметь каждая отдельная частица.

Клеро (Clairaut) в своей «Теории фигуры Земли» (Théorie de la figure de la Terre), напечатанной в 1743 г., дал общие законы равновесия жидкостей, все точки которых находятся под действием каких-либо сил; оставалось только от этих законов перейти к законам движения жидкостей, пользуясь принципом, к которому в этот же период Даламбер свел всю динамику. Последний предпринял этот важный шаг несколько лет спустя в связи с премией, назначенной Берлинской академией в 1750 г. за теорию сопротивления жидкостей, и в 1752 г. дал впервые в своем «Опыте новой теории сопротивления жидкостей» (Essai d’une nouvelle théorie sur la résistance des fluides) точные уравнения движения жидкостей как несжимаемых, так и сжимаемых и упругих,-уравнения, принадлежащие к разряду тех, которые называют уравнениями в частных производных , так как они являются уравнениями между различными частями дифференциалов по нескольким переменным. Однако эти уравнения не обладали еще всей той общностью и простотой, которая им может быть придана*). Только Эйлеру мы обязаны первыми общими формулами для движения жидкостей, основанными на законах их равновесия и выраженными в простой и ясной символике частных производных (см. том Берлинской академии за 1755 г.). Благодаря этому открытию вся механика жидкостей была сведена к вопросу одного только анализа, и если бы уравнения, содержащие эту механику, были интегрируемы, можно было бы в каждом случае полностью определить условия движения и действие жидкости, приводимой в движение любыми силами; к сожалению, эти уравнения настолько плохо поддаются решению, что до сих пор удалось добиться цели лишь в очень ограниченных частных случаях.
*) Настоящего и следующего предложения в первом издании не было; мемуар Эйлера там не был упомянут. (Прим. Еерт рана.)

В этих уравнениях и в их интегрировании и заключается, таким образом, вся теория гидродинамики. Даламбер для их нахождения сначала воспользовался несколько усложненным методом, позднее он предложил более простой метод; однако этот метод, основанный на свойственных жидкостям законах равновесия, превращает гидродинамику в науку, обособленную от динамики твердых тел. Произведенное нами в первой части настоящего труда объединение в одной и той же формуле всех законов равновесия тел как твердых, так и жидких и сделанное нами применение этой формулы к законам движения, естественно, шриводят нас к тому, чтобы точно так же объединить динамику и гидродинамику, как ветви единого принципа и как выводы из единой общей формулы.

Такова задача, которую нам остается осуществить, чтобы закончить свою работу по механике и тем выполнить обязательство, взятое нами на себя в заголовке настоящего труда.