53. В § II предыдущей главы мы видели, каким ббразом можно выразить все элементы эллиптического движения планеты в функции координат $x, y, z$ и их производных $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$, представляющих скорости по направлениям этих координат. Следовательно, если предположить, что планета во время движения получает в каком-либо месте своей орбиты импульс, который сообщает ей скорости $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ по направлению тех же координат, в сторону их увеличения, то нам надо только в тех же функциях поставить
\[
\frac{d x}{d t}+\dot{x}, \quad \frac{d y}{d t}+\dot{y}, \quad \frac{d z}{d t}+\dot{z}
\]

вместо $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$, и тогда мы получим элементы новой орбиты, которую планета будет описывать после импульса.

Если вместо прямоугольных координат $x, y, z$ мы возьмем, как в пункте 5, радиус-вектор $r$ и углы и $\varphi$, из которых первый, $\psi$, представляет собой угол наклона $r$ к неподвижной плоскости $x y$, а другой, $\varphi$, является углом проекции $r$ на указанную плоскость с неподвижной осью $x$, то выражения для әлементов орбиты станут более простыми.

Действительно, подставив $r \cos \psi \cos \varphi, \quad r \cos \psi \sin \varphi$ и $r \sin \psi$ вместо $x, y, z$, мы получим для элементов $a, b, h, i$
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{a}=\frac{2}{r}-\frac{r^{2}\left(\cos ^{2} \psi d \varphi^{2}+d \psi^{2}\right)+d r^{2}}{g d t^{2}}, \quad b=\frac{r^{4}\left(\cos ^{2} \psi d \rho^{2}+d \psi^{2}\right)}{g d t^{2}}, \\
\operatorname{tg} h=\frac{\sin \varphi d \psi-\sin \psi \cos \psi \cos \varphi d \rho}{\cos \varphi d \psi+\sin \psi \cos \psi \sin \varphi d \varphi}, \\
\operatorname{tg} i=\frac{\sqrt{d \psi^{2}+\sin ^{2} \psi \cos ^{2} \psi d \varphi^{2}}}{\cos ^{2} \psi d \varphi} .
\end{array}
\]

В этих формулах дифференциальные выражения $\frac{d r}{d t}, \frac{r \cos \psi d \rho}{d t}$ и $\frac{r d \psi}{d t}$ представляют скорости по направлению радиуса $r$, по направлению, перпендикулярному к этому радиусу и параллельному плоскости проекций, и по направлению, перпендикулярному к плоскости, в которой лежат две другие составляющие.
54. Для большей простоты возьмем за плоскость проекций плоскость орбиты и допустим, что скорость, полученная под действием имшульса, разложена на три скорости, из которых одна направлена по радиусу $r$,

вторая – перпендикулярно к этому радиусу в плоскости орбиты и третья-перпендикулярно к этой плоскости. Если мы обозначим первую через $\dot{r}$, вторуючерез $r \dot{\varphi}$ и третью-через $r \dot{\psi}$, то получим элементы новой орбиты после импульса, подставив в приведенных выше выражениях $d r+\dot{r} d t, d \varphi+\dot{\varphi} d t, d \psi+\dot{\psi} d t$ вместо $d r, d \rho, d \psi$ и положив $\psi=0, d \psi=0$; тогда положение новой орбиты окажется отпесенным к плоскости первоначальной орбиты.

Пусть $A, B, H, I$ – значения, которые $a, b, h, i$ принимают для новой орбиты: тогда мы имеем
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{A} & =\frac{2}{r}-\frac{r^{2}\left[(d \rho+\dot{\varphi} d t)^{2}+\dot{\psi}^{2} d t^{2}\right]+(d r+\dot{r} d t)^{2}}{g d t^{2}}, \\
B & =\frac{r^{4}\left[(d \varphi+\dot{\varphi} d t)^{2}+\dot{\psi}^{2} d t^{2}\right]}{g d t^{2}}, \\
\operatorname{tg} I & =\frac{\dot{\psi} d t}{d \varphi+\dot{\varphi} d t}, \quad \operatorname{tg} H=\frac{\sin \varphi}{\cos \varphi}=\operatorname{tg} \varphi,
\end{aligned}
\]

следовательно,
\[
H=\varphi \text {; }
\]

в самом деле, ясно, что точка пересечения новой орбиты с первоначальной должна находиться в том месте, где происходит импульс.

Еєли в выражениях для первоначальных элементов $a$ и $b$ мы еще положим $\psi=0$ и $\frac{d \psi}{d t}=0$, то мы получим
\[
\frac{1}{a}=\frac{2}{r}-\frac{r^{2} d \rho^{2}+d r^{2}}{g d t^{2}}, \quad b=\frac{r^{4} d \rho^{2}}{g d t^{2}},
\]

а отсюда найдем

Подставив эти выражения, мы получим элементы новой орбиты, выраженные через элементы первоначальной орбиты и через скорости $\dot{r}, r \dot{\varphi}, r \dot{\psi}$, вызванные импульсом.
55. Предположим теперь, что требуется определить импульс, необходимый для того, чтобы первоначальные элементы $a, b$ превратить в $A, B$ и чтобы новой орбите сообщить наклон на угол $I$ к первоначальной; тогда вопрос сведется лишь $к$ тому, чтобы получить выражения $\dot{\varphi}, \dot{\psi}, \dot{r}$ в функции $A, B, I$ и $a, b, r$. Найденные нами выше формулы дают
\[
\begin{array}{c}
\dot{\psi}=\frac{\sqrt{g B} \sin I}{r^{2}}, \dot{\varphi}=\frac{\sqrt{g B} \cos I-\sqrt{g} b}{r^{2}}, \\
\dot{r}=\sqrt{g} \sqrt{\frac{2}{r}-\frac{1}{A}-\frac{B}{r^{2}}}-\sqrt{\bar{g}} \sqrt{\frac{2}{r}-\frac{1}{a}-\frac{b}{r^{2}}} .
\end{array}
\]

Пусть $u$-скорость, сообщенная импульсом, и пусть $\alpha, \beta, \gamma$-углы, образуемые направлением имшульса с тремя осями, из которых одна представляет собою продолжение радиуса $r$, вторая перпендикулярна к этому радиусу в плоскости первоначальной орбиты и направлена в сторону движения планеты и третья перпендикулярна к этой же плоскости; тогда, согласно цриндипу разложения, $u \cos \alpha, u \cos \beta, u \cos \gamma$ представят собою три скорости вдоль указанных осей, которые мы раньше обозначили также через $\dot{r}, r \dot{\varphi}, r \dot{\psi}$. Поэтому мы будем иметь
\[
u \cos \alpha=\dot{r}, \quad u \cos \beta=\dot{r} \dot{\varphi}, \quad u \cos \gamma=r \dot{\psi},
\]

откуда, принимая во внимание, что $\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+$ $+\cos ^{2} \gamma=1$, мы получим
\[
u=\sqrt{\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}+r^{2} \dot{\psi}^{2}} .
\]

Следовательно, если для сокращения положить
\[
F=\sqrt{\frac{2}{r}-\frac{1}{A}-\frac{B}{r^{2}}}, \quad f=\sqrt{\frac{2}{r}-\frac{1}{a}-\frac{b}{r^{2}}},
\]

то мы получим
\[
\begin{array}{c}
u=\sqrt{g\left(\frac{4}{r}-\frac{1}{A}-\frac{1}{a}-2 \frac{\sqrt{B \bar{b}}}{r^{2}} \cos I-2 F f\right)}, \\
\cos \alpha=\frac{F-f}{u} \sqrt{g}, \quad \cos \beta=\frac{\sqrt{B} \cos I-\sqrt{b}}{u r} \sqrt{g}, \\
\cos \gamma=\frac{\sqrt{B} \sin I}{u r} \sqrt{g} .
\end{array}
\]

Но если бы мы захотели направление импульса отнести к двум другим осям, расположенным в плоскости первоначальной орбиты, из которых одна направлена перпендикулярно к этой орбите, а другая по касательной к ней, тогда, обозначив через в угол, образуемый перпендикуляром к орбите с радиусомвектором $r$ и тангенс которого равен $\frac{d r}{r d \cdot}$, мы получили бы следующие выражения для скоростей, ссобщенных по направлению указанных осей:
\[
\dot{r} \cos \varepsilon-\dot{r} \dot{\varphi} \sin \varepsilon \text { и } \dot{r} \sin \varepsilon+r \dot{\varphi} \cos \varepsilon ;
\]

скорость по направлению третьей оси, перпендикулярной к плсскости орбиты, остается без изменения. Следовательно, если через $\alpha^{\prime}$ и $\beta^{\prime}$ обозначить углы, образуемые направлением импульса с этими новыми осями, то мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
u \cos \alpha^{\prime}=\dot{r} \cos \varepsilon-r \dot{\varphi} \sin \varepsilon \\
u \cos \beta^{\prime}=\dot{r} \sin \varepsilon+r \dot{\varphi} \cos \varepsilon
\end{array}
\]

Но мы имеем
\[
\operatorname{tg} \varepsilon=\frac{d r}{r d p}=\frac{f r}{\sqrt{b}},
\]

откуда, подставив значение $f$, мы получим
\[
\sin \varepsilon=\frac{f}{\sqrt{\frac{2}{r}-\frac{1}{a}}}, \quad \cos \varepsilon=\frac{\sqrt{b}}{r \sqrt{\frac{2}{r}-\frac{1}{a}}} ;
\]

а отсюда следует
\[
\begin{array}{l}
\cos \alpha^{\prime}=\frac{F \sqrt{\bar{b}-f \sqrt{B} \cos I}}{u r \sqrt{\frac{2}{r}-\frac{1}{a}}} \sqrt{g}, \\
\cos \beta^{\prime}=\left(\frac{r^{2} F f+\sqrt{\overline{B b} \cos I}}{u r^{2} \sqrt{\frac{2}{r}-\frac{1}{a}}}-\frac{\sqrt{\frac{2}{r}-\frac{1}{a}}}{u}\right) / \vec{g},
\end{array}
\]

где, как можно заметить, $\sqrt{g} \sqrt{\frac{2}{r}-\frac{1}{a}}$ представляет собою скорость по первоначальной орбите.

Что касается двойных знаков корней, входящих в состав этих формул, то следует отметить:
1) Так как $f$, являясь значением $\frac{d r}{\sqrt{g} d t}$, выражает скорость вдоль радиуса $r$ для первоначальной орбиты, а символ $F$ должен выразить скорость вдоль этого радиуса на новой орбите, то эти величины следует брать положительными или отрицательными в зависимости от того, стремятся ли выраженные ими скорости увеличивать или уменьшать радиус $r$, т. е. уданять или приближать тело к фожусу.
2) Так как $\frac{\sqrt{b}}{r}$, будучи равно $\frac{r d \varphi}{\sqrt{g} d t}$, выражает вращательную скорость вокруг фокуса по первоначальной орбите, то $\frac{\sqrt{B}}{r}$ точно так же выражает вращательную скорость на новой орбите, а $\frac{\sqrt{B}}{r} \cos I$ будет этой вращательной скоростью, отнесенной к плоскости первоначальной орбиты. Поэтому, если $\sqrt{b}$ взять положительным, то другой радикал $\sqrt{B}$ следует взять положительным или отрицательным в зависимости от того, будет ли новая орбита по отношению к плоскости первоначальной орбиты иметь то же направление, что и на данной орбите, или же противоположное направление, т.е. в зависимости от того, является ли движение по новой орбите прямым или обратным по сравнению с движением по первоначальной орбите. 56. Если мы желаем применить эти формулы к планетам и кометам, следует положить $g=1$, приняв, таким образом, среднее расстояние от Земли до Солнца за единицу расстояний и средню скорость Земли по ее орбите за единицу скоростей. Эта скорость составляет примерно 7 лье в секунду, считая по 25 лье в одном градусе. Скорость 24 -фунтового ядра при вылете его из орудия равна приблизительно 1400 футов, или 233 туазам в секунду, что составляет примерно и скорость точки экватора при суточном движении Земли, так как последняя равна 238 туазам в секунду. Следовательно, если для придания нашим оценкам большей наглядности мы примем в качестве единицы скоростей скорость 24-фунтового ядра, составляющую примерно одну десятую часть лье, то скорость Земли при движении ее по своей орбите выразится числом 70 ; следовательно, значение $u$ скорости импульса следует в этом случае множить на $70\left[{ }^{11}\right]$.

Посмотрим же, каково может быть наибольшее значение $u$. Обозначив через $e$ эксдентриситет первоначальной орбиты и через $\varphi$ истинную аномалию, соответствующую радиусу $r$, мы будем иметь (п.15)
\[
r=\frac{b}{1+e \cos \varphi}=\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{1+e \cos \varphi} ;
\]

следовательно,
\[
\frac{1}{a}=\frac{1-e^{2}}{r(1+e \cos \varphi)} .
\]

Стало быть, наименьшее значение $\frac{1}{a}$ составит $\frac{1-e}{r}$, и точно так же наименьшее значение $\frac{1}{A}$ будет $\frac{1-E}{r}$, где $E$ означает эксцентриситет новой орбиты. Следовательно, наибольшее значение величины $\frac{4}{r}-\frac{1}{A}-\frac{1}{a}$ будет равно $\frac{2+E+e}{r}$, причем это выражение имеет место также и для гиперболических орбит, у которых $E$ и $e$ превосходят единицу.

Из тех же формул мы имеем $\frac{b}{r}=1+e \cos \varphi ;$ стало быть, наибольшее значение $\frac{b}{r}$ равно $1+e$; точно так же наибольшее значение $\frac{B}{r}$ равно $1+E$; следовательно̣, наибольшее значение $\frac{\sqrt{B b}}{r^{2}}$ составляет $\frac{\sqrt{(1+E)(1+e)}}{r}$; но легко доказать, что
\[
\sqrt{(1+E)(1+e)}<1+\frac{E+e}{2},
\]

так как разность квадратов этих величин равна $\frac{1}{4}(E-e)^{2} ;$ таким образом, мы всегда имеем
\[
\frac{2 \sqrt{B} \bar{b}}{r^{2}}<\frac{2+E+e}{r} .
\]

Следует еще определить наибольшие значения $f$ и $F$. Так как наименьшие значения $\frac{1}{a}$ и $\frac{b}{r^{2}}$ равны $\frac{1-e}{r}$, то наибольшее значение $f$ составит $\sqrt{\frac{2 e}{r}}$ и точно так же наибольшее значение $F$ составит $\sqrt{\frac{2 \bar{E}}{r}}$.

Так как в выражениях для $u, \sqrt{b}, \sqrt{B}, f$ и $F$ можно иметь знаки + или -, то, взяв с положительными знаками члены, содержащие эти корни, и приняв для $\cos I$ его наибольшее значение 1 , мы получим
\[
u<\sqrt{\frac{4+2(E+e)+4 \sqrt{E e}}{r}} .
\]

Әтот предел сводится к $\sqrt{\frac{\overline{6}}{r}}$, когда первоначальная орбита является круговой или близка к последней, как это имеет место у планет, а новая орбита являетсн параболой, как это имеет место у комет.
57. Главнейшие явления движения планет вокруг Солнца дают нам основание полагать, что все они имеют одно общее происхождение; обратное наблюдается у комет; последние имеют между собою лишь то общее, что они движутся по параболе или вообще по коническому сечению; они кажутся как бы случайно брошенными в пространство.

Нельзя ли предположить, что та же причина, которая породила наши планеты, одновременно породила еще большее количество других планет, расположенных за Сатурном и описывающих такие же орбиты, как Уран, из которых, однако, многие превратились в кометы, разлетевшись на части под дейгтвием внутреннего взрыва? В самом деле, когда планета разлетается на два или большее количество кусков под действием силы взрыва, то каждый из этих кусков получает импульс, который заставляет его ошисывать орбиту, отличную от орбиты планеты, а для того, чтобы эта орбита была параболической, достаточно, чтобы скорость, сообщенная взрывом, не превосходила $70 \sqrt{\frac{6}{r}}$-кратной скорости пушечного ядра*). Для Сатурна $r=9$, а для Урана $r=19$; если мы допустим, что $r=24$, то достаточно скорости, меньшей 35-кратной скорости пушечного ядра, которая получается в результате действия лишь горсти пороха.

Гипотеза планеты, распавшейся вследствие внутреннего взрыва, была уже предложена Ольберсом для объяснения приблизительного равенства элементов четырех новых планет $\left[{ }^{12}\right]$; эту гипотезу могли бы подкрешить еще и наблюдаемые на этих планетах изменения яркости, которые, указывая на наличие вращательного движения, в то же время показывают, что әти планеты не обладают формой тел вращения, подобной формам других планет, и, следовательно, что они не могут быть жидкими, но отвердели еще раньше того времени, когда они стали такими планетами, какими они являются в нынешнем своем состоянии. $\qquad$
*) То-есть не обязательно, чтобы эта скорость была больше $70 \sqrt{\frac{6}{7}}$-кратной скорости пушечного ядра. (П рим.Бертрана.)

Если предположить, что первоначальная орбита была круговой, а орбита, измененная под действием взрыва, стала эллиптической, но мало отличающейся от круга и слабо наклоненной к плоскости первоначальной орбиты, и если принять в расчет лишь первые стешени эксцентриситета $E$ и синуса наклонения $I$, то мы будем иметь
\[
\begin{array}{c}
u=\frac{\sqrt{E^{2}\left(\sin ^{2} \Phi+\frac{1}{4} \cos ^{2} \Phi\right)+\sin ^{2} I}}{\sqrt{r}}, \\
\cos \alpha=\frac{E \sin \Phi}{u \sqrt{r}}, \quad \cos \beta=\frac{E \cos \Phi}{2 u \sqrt{r}}, \quad \cos \gamma=\frac{\sin I}{u \sqrt{r}},
\end{array}
\]

где угол $\Phi$-это угол, образуемый радиусом $r$ с радиусом перигелия.

Так как эксцентриситеты и наклонения планет не связаны взаимно каким-либо законом и имеют между собою лишь то общее, что они у всех планет малы, можно было бы предположить, что орбиты планет при их возникновении были круговыми и что затем они стали эллиптическими и получили некоторый наклон под действием небольших внутренних взрывов. Действительно, если бы небольшой кусок $m$ массы $M$ планеты оторвался от нее и был бы отброшен со скоростью $V$, способной превратить его в комету, то планета получила бы лишь небольшую скорость $\frac{m V}{M-m}$ в обратном направлении, которая была бы в состоянии превратить ее круговую орбиту в эллиптическую и наклонную, подобную орбитам наших планет; как увидим ниже, тот же импульс мог бы вызвать и нежоторые изменения во вращении планет.