23. Чтобы показать, как пользоваться положениями и формулами, которые мы только что дали, применим их к жидкостям, движущимся в сосудах или каналах данной формы.

Предположим, что рассматриваемая жидкость однородная и весомая и что она выводится из состояния шокоя, т. е. что она шриводится в движение ударом поршня, приложенным к ее поверхности; тогда скорости $p, q, r$ каждой частицы должны оказаться такими, что величина $p d x+q d y+r d z$ будет интегрируемой (п. 18); следовательно, в данном случае можно будет применить формулы пункта 20.

Пусть $\left.\varphi^{*}\right)$ – фунғцция $x, y, z$ и $t$, определяемая уравнением
\[
\frac{\partial^{3} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} p}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}=0 ;
\]

тогда мы прежде всего имеем следующие выражения для скоростей каждой частицы по направлениям координат $x, y, z$ :
\[
p=\frac{\partial p}{\partial x}, \quad q=\frac{\partial p}{\partial y}, \quad r=\frac{\partial p}{\partial z} .
\]

Затем мы имеем величину
\[
\lambda=V+\frac{\partial p}{\partial t}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial p}{\partial z}\right)^{2},
\]

которая должна равняться нулю на внешней свободной поверхности жидкости (п. 2).

Что касается величины $V$, зависящей от ускоряющих сил жидкости (п. 15), то если обозначить через $g$ ускоряющую силу тяжести и назвать $\xi, \eta$, $\zeta$ углы, образуемые осями координат $x, y, z$ с верти-
*) Не следует думать, что всякий интеграл этого уравнения дает решение рассматриваемой задачи: конец настоящего параграфа, наоборот, показывает, что функция ч подчинена некоторым другим условиям. (Прим. Бертрана.)

кальной линией, проведенной через точку пересечения этих осей и направленной сверху вниз, то мы будем иметь
\[
X=-g \cos \xi, \quad Y=-g \cos \eta, \quad Z=-g \cos \zeta ;
\]

я беру для значений сил $X, Y, Z$ знак-, так как, согласно допущению, эти силы стремятся уменьшить координаты $x, y, z$. Следовательно, так как
\[
d V=X d x+Y d y+Z d z,
\]

то, интегрируя, мы получим
\[
V=-g x \cos \xi-g y \cos \eta-g z \cos \zeta .
\]
24. Пусть теперь $z=\alpha$, или $z-\alpha=0$, – уравнение одной из стенок трубы, где $\alpha$ является заданной функцией $x, y$, но не зависит от $z$ и $t$. Для того чтобы с этой стенкой всегда соприкасались одни и те же частицы жидкости, следует выполнить требование уравнения (I) пункта 12, положив в нем $A=z-a$. Тогда мы получим уравнение
\[
\frac{\partial p}{\partial z}-\frac{\partial p}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y} \frac{\partial x}{\partial y}=0,
\]

которому должно удовлетворять значение $z=\alpha$. Каждая стенка даст подобное уравнение.

Равным образом, так как $\lambda=0$ является уравнением наружной поверхности жидкости, то для того, чтобы на этой поверхности всегда оставались одни и те же частицы, должно иметь место следующее уравнение:
\[
\frac{\partial \lambda}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial x} \frac{\partial \lambda}{\partial x}+\frac{\partial p}{\partial y} \frac{\partial \lambda}{\partial y}+\frac{\partial p}{\partial z} \frac{\partial \lambda}{\partial z}=0,
\]

которое, следовательно, дает то же самое значение для $z$, что и уравнение $\lambda=0$. Но это уравнение становится ненужным в том случае, когда жидкость не имеет свободной поверхности.
25. Установив это, следует начать с определения функции $९$. Но так как уравнение, от которого она зависит, вообще говоря, не поддается интегрированию с помощью какого бы то ни было известного метода, допустим, что одно из измерений жидкой массы очень мало по сравнению с двумя другими измерениями, например, что координаты $z$ очень малы по сравнению с $x$ и $y$. Исходя из этого дошущения, мы можем выразить значение $\varphi$ с помощью ряда следующего вида:
\[
\varphi=\varphi^{\prime}+z \varphi^{\prime \prime}+z^{2} \varphi^{\prime \prime \prime}+z^{3} \varphi^{\mathrm{IV}}+\ldots,
\]

где $\varphi^{\prime}, \varphi^{\prime \prime}, \varphi^{\prime \prime \prime}, \ldots$ являются функциями $x, y, t$, но не зависят от $z$.

Если произвести эту подстановку в упомянутое уравнение, то оно примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial y^{2}}+2 \varphi^{\prime \prime \prime} & +z\left(\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime}}{\partial y^{2}}+2 \cdot 3 \varphi^{\mathrm{IV}}\right)+. \\
& +z^{2}\left(\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime \prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime \prime}}{\partial y^{2}}+3 \cdot 4 \varphi^{\mathrm{V}}\right)+\ldots=0 .
\end{aligned}
\]

Стало быть, приравнивая нулю в отдельности каждый из членов, содержащих различные стегени $z$, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\varphi^{\prime \prime \prime}=-\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} \cdot \rho^{\prime}}{\partial x^{2}}-\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial y^{2}}, \\
\varphi^{\mathrm{IV}}=-\frac{1}{2 \cdot 3} \frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime}}{\partial x^{2}}-\frac{1}{2 \cdot 3} \frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime}}{\partial y^{2}}, \\
\varphi^{\mathrm{V}}=-\frac{1}{3 \cdot 4} \frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime \prime}}{\partial x^{2}}-\frac{1}{3 \cdot 4} \frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime \prime}}{\partial y^{2}}= \\
=\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} \frac{\partial^{4} \varphi^{\prime}}{\partial x^{4}}+\frac{1}{3 \cdot 4} \frac{\partial^{4} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2} \partial y^{2}}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} \frac{\partial^{4} \varphi^{\prime}}{\partial y^{4}}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

Поэтому выражение для $\varphi$ примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\varphi=\varphi^{\prime}+z \varphi^{\prime \prime}-\frac{z^{2}}{2}( & \left.\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial y^{2}}\right)-\frac{z^{3}}{2 \cdot 3}\left(\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime}}{\partial y^{2}}\right)+ \\
& +\frac{z^{4}}{2 \cdot 3 \cdot 4}\left(\frac{\partial^{4} \varphi^{\prime}}{\partial x^{4}}+2 \frac{\partial^{4} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2} \partial y^{2}}+\frac{\partial^{4} \varphi^{\prime}}{\partial y^{4}}\right)+\ldots
\end{aligned}
\]

функции $\varphi^{\prime}$ и $\varphi^{\prime \prime}$ являются здесь неопределенными, откуда следует, что приведенное выражение есть полный интеграл рассматриваемого уравнения. После того как найдено выражение для $\varphi$, гутем дифференцирования получим выражения для $p, q, \boldsymbol{r}$, как это показано ниже:
\[
\begin{aligned}
p=\frac{\partial \varphi}{\partial x}= & \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}+z \frac{\partial^{\prime \prime}}{\partial x}- \\
& \quad-\frac{z^{2}}{2}\left(\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial x^{3}}+\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial x \partial y^{2}}\right)-\frac{z^{3}}{2 \cdot 3}\left(\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime \prime}}{\partial x^{3}}+\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime \prime}}{\partial x \partial y^{2}}\right)+\ldots, \\
q=\frac{\partial p}{\partial y}= & \frac{\partial p^{\prime}}{\partial y}+z \frac{\partial^{\prime \prime}}{\partial y}- \\
& \quad-\frac{z^{2}}{2}\left(\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2} \partial y}+\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial y^{3}}\right)-\frac{z^{3}}{2 \cdot 3}\left(\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime \prime}}{\partial x^{2} \partial y}+\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime \prime}}{\partial y^{3}}\right)+\ldots, \\
r=\frac{\partial \varphi}{\partial z}= & \varphi^{\prime \prime}-z\left(\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial y^{2}}\right)-\frac{z^{2}}{2}\left(\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime}}{\partial y^{2}}\right)+ \\
& +\frac{z^{3}}{2 \cdot 3}\left(\frac{\partial^{4} \varphi^{\prime}}{\partial x^{4}}+2 \frac{\partial^{4} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2} \partial y^{2}}+\frac{\partial^{4} \varphi^{\prime}}{\partial y^{4}}\right)+\ldots
\end{aligned}
\]

Если эти выражения подставить в выражение для $\lambda$ пункта 23, то оно примет следующий вид:
\[
\lambda=\lambda^{\prime}+z \lambda^{\prime \prime}+z^{2} \lambda^{\prime \prime \prime}+z^{3} \lambda^{I V}+\ldots,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\lambda^{\prime}=-g(x \cos \zeta+y \cos \eta)+ \\
+\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial t}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial y}\right)^{2}+\frac{1}{2} \varphi^{\prime \prime 2}, \\
\lambda^{\prime \prime}=-g \cos \zeta+\frac{\partial \varphi^{\prime \prime}}{\partial t}+\frac{\partial^{\prime}}{\partial x} \frac{\partial^{\prime \prime}}{\partial x}+\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial y} \frac{\partial \varphi^{\prime \prime}}{\partial y}-\varphi^{\prime \prime}\left(\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial y^{2}}\right), \\
\lambda^{\prime \prime \prime}=-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial t \partial x^{2}}+\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial t \partial y^{2}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi^{\prime \prime}}{\partial x}\right)^{2}- \\
-\frac{1}{2} \frac{\partial^{\prime} \varphi^{\prime}}{\partial x}\left(\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial x^{3}}+\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial x \partial y^{2}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^{\prime \prime}}{\partial y}\right)^{2}- \\
-\frac{1}{2} \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial y}\left(\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2} \partial y}+\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial y^{3}}\right)+ \\
+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial y^{2}}\right)^{2}-\frac{1}{2} \varphi^{\prime \prime}\left(\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime}}{\partial y^{2}}\right)
\end{array}
\]

и так далее.

26. Теперь, если
\[
z=\alpha
\]

представляет собой уравнение стенок, где $\alpha$-очень малая функция $x$ и $y$, но не зависит от $z$, то благодаря указанным выше подстановкам уравнение, выражающее условие, чтобы с этими стенками были в соприкосновении всегда одни и те же частицы (п. 24), примет следующий вид:
\[
\begin{array}{r}
0=\varphi^{\prime \prime}-\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial^{\prime}}{\partial y} \frac{\partial x}{\partial y}-z\left(\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial \varphi^{\prime \prime}}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial^{\prime \prime}}{\partial y} \frac{\partial \alpha}{\partial y}\right)- \\
-\frac{1}{2} z^{2}\left[\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime}}{\partial y^{2}}-\right. \\
\left.-\left(\frac{\partial^{3} \varphi}{\partial x^{3}}+\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial x \partial y^{2}}\right) \frac{\partial \alpha^{-3}}{\partial x}-\left(\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2} \partial y}+\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial y^{3}}\right) \frac{\partial x}{\partial y}\right]+ \\
+\ldots \ldots \ldots \ldots
\end{array}
\]

Так как это уравнение должно оставаться в силе, если положить $z=a$, то оно сводится к следующему более простому виду:
\[
\begin{array}{l}
\varphi^{\prime \prime}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\alpha \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\alpha \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial y}\right)-\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x}\left(\alpha^{2} \frac{\partial \varphi^{\prime \prime}}{\partial x}\right)- \\
-\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial y}\left(\alpha^{2} \frac{\partial^{\prime \prime}}{\partial y}\right)+\frac{1}{2 \cdot 3} \frac{\partial}{\partial x}\left[\alpha^{3}\left(\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial x^{3}}+\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial x \partial y^{2}}\right)\right]+ \\
+\frac{1}{2 \cdot 3} \frac{\partial}{\partial y}\left[\alpha^{3}\left(\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2} \partial y}+\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial y^{3}}\right)\right]+\ldots=0
\end{array}
\]

это уравнение должно сохранить свою силу на всем протяжении заданных стенок.
27. Наконец, уравнение для внешней свободной поверхности жидкости
\[
\lambda=0
\]

примет вид
\[
\lambda^{\prime}+z \lambda^{\prime \prime}+z^{2} \lambda^{\prime \prime \prime}+z^{3} \lambda^{\mathrm{IV}}+\ldots=0,
\]

а условным уравнением для того, чтобы на поверхности оставались одни и те же частицы (п. 24), будет
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial t}+\frac{\partial \rho^{\prime}}{\partial x} \frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial x}+\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial y} \frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial y}+\varphi^{\prime \prime} \lambda^{\prime \prime}+ \\
+z\left[\frac{\partial \lambda^{\prime \prime}}{\partial t}-\frac{\partial \varphi^{\prime \prime}}{\partial x} \frac{\partial \boldsymbol{\lambda}^{\prime}}{\partial x}+\frac{\partial \rho^{\prime}}{\partial x} \frac{\partial \lambda^{\prime \prime}}{\partial x}+\frac{\partial \rho^{\prime \prime}}{\partial y} \frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial y}+\frac{\partial \rho^{\prime}}{\partial y} \frac{\partial \boldsymbol{\lambda}^{\prime \prime}}{\partial y}+\right. \\
\left.+2 \varphi^{\prime \prime} \lambda^{\prime \prime \prime}-\left(\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial y^{2}}\right) \lambda^{\prime \prime}\right]+ \\
+z^{2}\left[\frac{\partial \lambda^{\prime \prime \prime}}{\partial t}+\frac{\partial \rho^{\prime \prime}}{\partial x} \frac{\partial \lambda^{\prime \prime}}{\partial x}+\frac{\partial \rho^{\prime}}{\partial x} \frac{\partial \lambda^{\prime \prime \prime}}{\partial x}+\frac{\partial \rho^{\prime \prime}}{\partial y} \frac{\partial \lambda^{\prime \prime}}{\partial y}+\frac{\partial \rho^{\prime}}{\partial y} \frac{\partial \lambda^{\prime \prime \prime}}{\partial y}-\right. \\
-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial x^{3}}+\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial x \partial y^{2}}\right) \frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial x}-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^{3} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2} \partial y}+\frac{\partial^{3} \rho^{\prime}}{\partial y^{3}}\right) \frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial y}- \\
-2\left(\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial y^{2}}\right) \lambda^{\prime \prime \prime} \\
\left.-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime \prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \cdot \varphi^{\prime \prime}}{\partial y^{2}}\right) \lambda^{\prime \prime}+3 \varphi^{\prime \prime} \lambda \mathrm{IV}\right]+\ldots=0 \text {. } \\
\end{array}
\]

Если из приведенных двух уравнений исключить $z$, то мы получим одно уравнение, которое должно иметь место для всех точек внешней поверхности.
Применение предыдущих формул
к движениюжидкости, протекающей
в узком и почти вертикальном сосуде.
28. Теперь представим себе, что жидкость течет в узком и почти вертикальном сосуде, и для большей простоты допустим, что абсциссы $x$ направлены вертикально сверху вниз; тогда мы будем иметь (п. 23)
\[
\xi=0, \quad \eta=90^{\circ}, \quad \zeta=90^{\circ} ;
\]

следовательно,
\[
\cos \xi=1, \quad \cos \eta=0, \quad \cos \zeta=0 .
\]

Далее, для того чтобы насколько возможно упростить вопрос, предположим, что сосуд является плоским, так что из двух координат $y$ и $z$ первые $y$ равны нулю, а вторые $z$ очень малы.

Наконед, пусть $z=\alpha$ и $z=\beta$-уравнения двух стенок сосуда, где $\alpha$ и $\beta$-известные и очень малые функции $x$. Тогда по отношению к этим стенкам мы будем иметь уравнения (п. 26)
\[
\begin{array}{l}
\varphi^{\prime \prime}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\alpha \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}\right)-\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x}\left(\alpha^{2} \frac{\partial \varphi^{\prime \prime}}{\partial x}\right)+\ldots=0, \\
\varphi^{\prime \prime}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\beta \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}\right)-\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x}\left(\beta^{2} \frac{\partial \varphi^{\prime \prime}}{\partial x}\right)+\ldots=0,
\end{array}
\]

которые послужат для определения функций $\varphi^{\prime}$ и $\varphi^{\prime \prime}$.
Будем рассматривать величины $z, \alpha, \beta$ как очень малые величины первого порядка и будем отбрасывать, во всяком случае-в первом приближении, величины второго и следующих порядков. Тогда оба приведенных выше уравнения сведутся к следующим:
\[
\varphi^{\prime \prime}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\alpha \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}\right)=0, \quad \varphi^{\prime \prime}-\frac{\partial}{\partial x}\left(\beta \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}\right)=0,
\]

которые, будучи вычтены одно из другого, дают
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left[(\alpha-\beta) \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}\right]=0 ;
\]

интегралом этого уравнения является
\[
(x-\beta) \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}=\theta,
\]

где $\theta$-произвольная функция $t$, которая должна быть очень малой величиной первого порядка.

Но ясно, что $\alpha-\beta$ представляет собой горизонтальный размер сосуда, который мы обозначим через $\gamma$. Тогда мы имеем
\[
\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}=\frac{\theta}{\gamma},
\]

а если снова проинтегрировать по $x$,
\[
\varphi^{\prime}=\theta \int \frac{d x}{\gamma}+\vartheta,
\]

где $\vartheta$ обозначает новую произвольную функцию $t$.
Если эти же два уравнения сложить и положить
\[
\frac{\alpha+\beta}{2}=\mu,
\]

то мы отсюда получим
\[
\varphi^{\prime \prime}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\mu \frac{\partial p^{\prime}}{\partial x}\right)
\]

или, подставив значение $\frac{\partial p^{\prime}}{\partial x}$,
\[
\varphi^{\prime \prime}=\theta \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\mu}{\gamma}\right) .
\]

Отсюда мы видим, что так как $\gamma, \mu, \theta$ являются очень малыми величинами первого порядка, то и $\varphi^{\prime \prime}$ будет очень малой величиной того же порядка.

Следовательно, если все время пренебрегать величинами второго порядка, то с помощью формул пункта 25 мы получим скорость в вертикальном направлении
\[
p=\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}=\frac{\theta}{\gamma}
\]

и в горизонтальном
\[
\begin{aligned}
r=\varphi^{\prime \prime}-z \frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2}} & =\theta \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\mu}{\gamma}\right)-z \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{\gamma}\right)= \\
& =\frac{\theta}{\gamma}\left(\frac{\partial \mu}{\partial x}+\frac{z-\mu}{\gamma} \frac{\partial \gamma}{\partial x}\right) .
\end{aligned}
\]

Далее, так как $\cos \zeta=0$, то величина $\lambda^{\prime \prime}$ тоже будет очень малой первого порядка. Поэтому величина $\lambda$ сведется (п. 25) к
\[
\lambda^{\prime}=-g x+\frac{d \theta}{d t} \int \frac{d x}{\gamma}+\frac{d \vartheta}{d t}+\frac{\theta^{2}}{2 \gamma^{2}} .
\]

Если эту величину приравнять нулю, то получим уравнение поверхности жидкости, а так как оно не содержит ординаты $z$, а лишь абсциссу $x$ и время $t$, то отсюда следует, что поверхность жидкости должна в любое мгновение быть плоской и горизонтальной.

Наконец, уравнение, выражающее условие того, чтобы на поверхности жидкости всегда находились одни и те же частицы, по тем же основаниям сведется к следующему (п. 27):
\[
\frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial t}+\frac{\partial p^{\prime}}{\partial x} \frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial x}=0
\]

или
\[
\frac{\partial \lambda}{\partial t}+\frac{\theta}{\gamma} \frac{\partial \lambda}{\partial x}=0
\]

в котором уже не содержится $z$, а лишь $x$ и $t$.
29. Для того чтобы отличать величины, относящиеся к верхней поверхности жидкости, от величин, относящихся к нижней, будем первые отмечать одним штрихом, а вторые двумя. Таким образом, $x^{\prime}, \gamma^{\prime}, \ldots$ будут абсциссами, размерами сосуда,… для верхней поверхности; $x^{\prime \prime}, \gamma^{\prime \prime}, \ldots$ будут точно так же абсциссами, размерами сосуда,… для нижней поверхности.

Следовательно, и $\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}$ в дальнейшем будут обозначать значения $\lambda$ для обеих поверхностей. Таким образом, для верхней поверхности мы будем иметь уравнение
\[
\lambda^{\prime}=-g x^{\prime}+\frac{d \theta}{d t} \int \frac{d x^{\prime}}{\gamma^{\prime}}+\frac{d \vartheta}{d t}+\frac{\theta^{2}}{2 \gamma^{\prime 2}}=0
\]

и для нижней поверхности аналогичное уравнение
\[
\lambda^{\prime \prime}=-g x^{\prime \prime}+\frac{d \theta}{d t} \int \frac{d x^{\prime \prime}}{\gamma^{\prime \prime}}+\frac{d \theta}{d t}+\frac{\theta^{2}}{2 \gamma^{\prime 2}}=0 .
\]

Наконец, уравнение
\[
\frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial t}+\frac{\theta}{\gamma^{\prime}} \frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial x^{\prime}}=0
\]

будет выражать условие того, что частицы, однажды находившиеся на верхней поверхности, всегда на ней остаются, и
\[
\frac{\partial \lambda^{\prime \prime}}{\partial t}+\frac{\theta}{\gamma^{\prime \prime}} \frac{\partial \lambda^{\prime \prime}}{\partial x^{\prime \prime}}=0
\]

будет уравнением, выражающим условие, чтобы нижняя поверхность всегда содержала в себе одни и те же частицы жидкости.

На основе вышеизложенного следует различать четыре случая, соответствующие различным условиям протекания жидкости в сосуде. Каждый из этих случаев требует особого разрешения.
30. Первый случай – это тот, когда заданное количество жидкости протекает в бесконечно длинном сосуде. Ясно, что в этом случае обе поверхности всегда должны содержать одни и те же частицы и что, таким образом, для обеих этих поверхностей мы будем иметь уравнения
\[
\lambda^{\prime}=0, \quad \lambda^{\prime \prime}=0
\]

и далее
\[
\frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial t}+\frac{\theta}{\gamma^{\prime}} \frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial x^{\prime}}=0, \quad \frac{\partial \lambda^{\prime \prime}}{\partial t}+\frac{0}{\gamma^{\prime \prime}} \frac{\partial \lambda^{\prime \prime}}{\partial x^{\prime \prime}}=0 ;
\]

эти четыре уравнения послужат для определения переменных $x^{\prime}, x^{\prime \prime}, \theta, \vartheta$ как функций $t$.
Уравнение $\lambda^{\prime}=0$ после дифференцирования дает
\[
\frac{\partial \hat{\lambda}^{\prime}}{\partial x^{\prime}} d x^{\prime}+\frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial t} d t=0
\]

следовательно,
\[
\frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial t}=-\frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial x^{\prime}} \frac{d x^{\prime}}{d t} .
\]

Если это выражение подставить в уравнение
\[
\frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial t}+\frac{\theta}{\gamma^{\prime}} \frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial x^{\prime}}=0
\]

и разделить его на $\frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial x^{\prime}}$, то мы получим
\[
\frac{d x^{\prime}}{d t}=\frac{\theta}{\gamma^{\prime}} .
\]

Точно так же, сочетая уравнение $\lambda^{\prime \prime}=0$ с уравнением
\[
\frac{\partial \lambda^{\prime \prime}}{\partial t}=-\frac{\partial \lambda^{\prime \prime}}{\partial x^{\prime \prime}} \frac{d x^{\prime \prime}}{d t},
\]

мы найдөм
\[
\frac{d x^{\prime \prime}}{d t}=\frac{\theta}{\gamma^{\prime \prime}} .
\]
Таким образом, мы имеем уравнения с разделевными переменными
\[
\theta d t=\gamma^{\prime} d x^{\prime}=\gamma^{\prime \prime} d x^{\prime \prime}
\]

интегрируя, мы получим
\[
\int \gamma^{\prime \prime} d x^{\prime \prime}-\int \gamma^{\prime} d x^{\prime}=m,
\]

где $m$-постоянная величина, выражающая, очевидно, количество жидкости, протекающей в сосуде. Это уравнение дает также значение $x^{\prime \prime}$ в функции $x^{\prime}$.

Теперь, если в уравнении $\lambda^{\prime}=0$ мы вместо $d t$ шодставим его значение $\frac{\gamma^{\prime} d x^{\prime}}{\theta}$, то это уравнение примет следующий вид:
\[
-g \iota^{\prime}+\frac{\theta d \theta}{\gamma^{\prime} d x^{\prime}} \int \frac{d x^{\prime}}{\gamma^{\prime}}+\frac{\theta d \vartheta}{\gamma^{\prime} d x^{\prime}}+\frac{\theta^{2}}{2 \gamma^{\prime 2}}=0 ;
\]

последнее, будучи умножено на $-\gamma^{\prime} d x^{\prime}$, дает следующее уравнение:
\[
g \gamma^{\prime} x^{\prime} d x^{\prime}-\theta d \theta \int \frac{d x^{\prime}}{\gamma^{\prime}}-\theta d \vartheta-\frac{\theta^{2} d x^{\prime}}{2 \gamma^{\prime}}=0,
\]

которое, как мы видим, интегрируемо и имеет своим интегралом
\[
g \int \gamma^{\prime} x^{\prime} d x^{\prime}-\frac{\theta^{3}}{2} \int \frac{d x^{\prime}}{\gamma^{\prime}}-\int \theta d \theta=\text { const. }\left[{ }^{85}\right] .
\]

Таким же точно образом, подставив в уравнении $\lambda^{\prime \prime}=0$ выражение $\frac{\gamma^{\prime \prime} d x^{\prime \prime}}{\theta}$ вместо $d t$ и помножив на $-\gamma^{\prime \prime} d x^{\prime \prime}$, мы найдем новое интегрируемое уравнение, интегралом которого является
\[
g \int \gamma^{\prime \prime} d x^{\prime \prime}-\frac{\theta^{2}}{2} \int \frac{d x^{\prime \prime}}{\gamma^{\prime \prime}}-\int \theta d \vartheta=\text { const. }\left[{ }^{85}\right] .
\]

Если последние два уравнения вычесть одно из другого для того, чтобы исключить член $\int \theta d \vartheta$, то мы получим следующее уравнение:
\[
g\left(\int \gamma^{\prime \prime} x^{\prime \prime} d x^{\prime \prime}-\int \gamma^{\prime} x^{\prime} d x^{\prime}\right)-\frac{\theta^{2}}{2}\left(\int \frac{d x^{\prime \prime}}{\gamma^{\prime \prime}}-\int \frac{d x^{\prime}}{\gamma^{\prime}}\right)=L,
\]

котором величины $\int \gamma^{\prime \prime} x^{\prime \prime} d x^{\prime \prime}-\int \gamma^{\prime} x^{\prime} d x^{\prime}$ и $\int \frac{d x^{\prime \prime}}{\gamma^{\prime \prime}}-$ – $\int \frac{d x^{\prime}}{\gamma^{\prime}}$ выражают интегралы $\gamma x d x$ и $\frac{d x}{\gamma}$, взятые от $x=x^{\prime}$ до $x=x^{\prime \prime}$, и где $L$ – постоянная величина.

Это уравнение дает, таким образом, $\theta$ в функции $x^{\prime}$, так как $x^{\prime \prime}$ уже известно в функции $x^{\prime}$ благодаря найденному выше уравнению. Имея, таким образом, $\theta$ в функции $x^{\prime}$, мы найдем и $t$ в функции $x^{\prime}$, пользуясь уравнением $d t=\frac{\gamma^{\prime} d x^{\prime}}{\theta}$, интеграл которого есть
\[
t=\int \frac{\gamma^{\prime} d x^{\prime}}{\theta}+H,
\]

где $H$-произвольная постоянная.
Что касается двух постоянных $L$ и $H$, то их можно определить из начального состояния жидкости. В самом деле, когда $t=0$, значение $x^{\prime}$ задается начальным положением жидкости в сосуде, а если допустить, что начальные скорости жидкости равны нулю, то мы должны иметь $\theta=0$ при $t=0$ для того чтобы выражения для $p, q, r$ (п. 28) стали равны нулю: Но если бы жидкость сначала была приведена в движение с помощью каких-либо импульсов, то должны были бы быть даны значения $\lambda^{\prime}$ и $\lambda^{\prime \prime}$ при $t=0$, так как величина $\lambda$ по отношению к поверхности жидкости выражает давление, которое там производится жидкостью и которое должно уравновешиваться внешним давлением (п. 2). Но мы имеем (п. 29)
\[
\begin{aligned}
\lambda^{\prime \prime}-\lambda^{\prime}=-g\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)+\frac{d \theta}{d t}\left(\int \frac{d x^{\prime \prime}}{\gamma^{\prime \prime}}\right. & \left.-\int \frac{d x^{\prime}}{\gamma^{\prime}}\right)+ \\
& +\frac{\theta^{2}}{2}\left(\frac{1}{\gamma^{\prime 2}}-\frac{1}{\gamma^{\prime 2}}\right) ;
\end{aligned}
\]

следовательно, если положить $t=0$, то мы получим уравнение, которое послужит для определения начального значения $\theta$.

Таким образом, задача разрешена и движение жидкости полностью определено.
31. Второй случай имеет место, когда сосуд обладает определенной длиной и жидкость вытекает через дно сосуда. В этом случае, как и в предыдущем, мы имеем для верхней поверхности жидкости два уравнения:
\[
\lambda^{\prime}=0, \quad \frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial t}+\frac{\theta}{\gamma^{\prime}} \frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial x^{\prime}}=0 ;
\]

для нижней же поверхности мы имеем просто уравнение $\lambda^{\prime \prime}=0$, так как вследствие вытекания жидкости на этой поверхности должны в каждое мгновение находиться новые частицы. Но, с другой стороны, для этой именно поверхности абсцисса $x^{\prime \prime}$ будет величиной заданной и постоянной; таким образом, в данном случае придется определить лишь три неизвестные величины $x^{\prime}, \theta$ и $\vartheta$.

Прежде всего первые два уравнения, как и в предыдущем случае, дадут следующие уравнения:
\[
d t=\frac{\gamma^{\prime} d x^{\prime}}{\theta} \quad \text { и } \quad g \gamma^{\prime} x^{\prime} d x^{\prime}-\theta d \theta \int \frac{d x^{\prime}}{\gamma^{\prime}}-\theta d \vartheta-\frac{\theta^{2} d x^{\prime}}{2 \gamma^{\prime}}=0 ;
\]

затем уравнение $\lambda^{\prime \prime}=0$ даст
\[
-g x^{\prime \prime}+\frac{d \theta}{d t} \int \frac{d x^{\prime \prime}}{\gamma^{\prime \prime}}+\frac{d \theta}{d t}+\frac{\dot{\theta}^{2}}{2 \gamma^{\prime \prime 2}}=0 ;
\]

здесь следует отметить, что $x^{\prime \prime}, \gamma^{\prime \prime}$ и $\int \frac{d x^{\prime \prime}}{\gamma^{\prime \prime}}$ суть постоянные, которые для большей простоты мы обозначим через $f, h, n$. Поэтому, если вместо $d t$ подставить его значение $\frac{\gamma^{\prime} d x^{\prime}}{\theta}$ и затем умножить на $-\gamma^{\prime} d x^{\prime}$, то мы получим уравнение
\[
g f \gamma^{\prime} d x^{\prime}-n \theta d \theta-9 d \theta-\frac{\theta^{2} \gamma^{\prime} d x^{\prime}}{2 h^{2}}=0 .
\]

Если из последнего уравнения вычесть предыдущее с тем, чтобы исключить члены $\theta d \theta$, то мы получим
\[
g\left(f-x^{\prime}\right) \gamma^{\prime} d x^{\prime}-\left(n-\int \frac{d x^{\prime}}{\gamma^{\prime}}\right) \theta d \theta-\left(\frac{\gamma^{\prime}}{2 h^{2}}-\frac{1}{2 \gamma^{\prime}}\right) b^{2} d x^{\prime}=0 ;
\]

это уравнение содержит лишь две переменные $x^{\prime}$ и $\theta$, и с его помощью можно будет, значит, определить одну из этих неизвестных в функции другой.

Затем мы получим $t$ в функции той же переменной, проинтегрировав уравнение
\[
d t=\frac{r^{\prime} d x^{\prime}}{\theta},
\]

и определим постоянные величины, исходя из начального состояния жидкости, как мы әто сделали в предшествующей задаче.
32. Третий случай имеет место, когда жидкость течет в сосуде неопределенной формы и размеров, который, однако, поддерживается наполненным до одной и той же высоты при помощи непрерывного притока новой жидкости. Этот случай противоположен предыдущему; действительно, здесь мы имеем для нижней поверхности два уравнения:
\[
\lambda^{\prime \prime}=0 \quad \text { и } \quad \frac{\partial \lambda^{\prime \prime}}{\partial t}+\frac{\theta}{\gamma^{\prime \prime}} \frac{\partial \lambda^{\prime \prime}}{\partial x^{\prime \prime}}=0 ;
\]

для верхней же поверхности ввиду постоянной смены состава частиц на ней мы имеем только уравнение $\lambda^{\prime}=0$. Таким образом, нам следует лишь в уравнениях предыдущего пункта величины $x^{\prime}, \gamma^{\prime}$ заменить $x^{\prime \prime}$, $\gamma^{\prime \prime}$ и для $f, h, n$ взять заданные значения $x^{\prime}, \gamma^{\prime}, \int \frac{d x^{\prime}}{\gamma^{\prime}}$.

При этом мы предіолагаем, что приток новой жидкости происходит таким образом, что каждый слой сразу воспринимает скорость неносредственно следующего за ним слоя и что, стало быть, увеличение или уменьшение скорости этого слоя в течение первого мгновения совершенно те же, как если бы сосуд в течение әтого мгновения не поддерживался заполненным до одной и той же высоты.
33. Нағ онец, последний случай – это тот, когда жидкость вытекает из сосуда определенной длины, который все время остается заполненным до одной и той же высоты. В данном случае частицы верхней и нижней поверхностей полностью обновляются; следовательно, для этих двух поверхностей мы имеем уравнения
\[
\lambda^{\prime}=0, \quad \lambda^{\prime \prime}=0,
\]

но в то же время обе абсциссы $x^{\prime}$ и $x^{\prime \prime}$ являются заданными и постоянными, так что остается лишь определить две неизвестные величины $\theta$ и $\vartheta$ в функции $t$.
Итак, пусть
\[
\begin{array}{ll}
x^{\prime}=f, \quad \gamma^{\prime}=h, \quad \int \frac{d x^{\prime}}{\gamma^{\prime}}=n, \\
x^{\prime \prime}=F, \quad \gamma^{\prime \prime}=H, \quad \int \frac{d x^{\prime \prime}}{\gamma^{\prime \prime}}=N ;
\end{array}
\]

тогда оба уравнения $\lambda^{\prime}=0, \lambda^{\prime \prime}=0$ примут слөдующий вид:
\[
\begin{array}{c}
-g f+\frac{d \theta}{d t} n+\frac{d \theta}{d t}+\frac{\theta^{2}}{2 h^{2}}=0, \\
-g F+\frac{d \theta}{d t} N+\frac{d \theta}{d t}+\frac{\theta^{2}}{2 H^{2}}=0,
\end{array}
\]

откуда, исключив $\frac{d \vartheta}{d t}$, мы будем иметь
\[
g(F-f)-(N-n) \frac{d \theta}{d t}-\left(\frac{1}{2 H^{2}}-\frac{1}{2 h^{2}}\right) \theta^{2}=0,
\]

а из последнего мы получим
\[
d t=\frac{(N-n) d \theta}{g(F-f)-\left(\frac{1}{2 H^{2}}-\frac{1}{2 h^{2}}\right) \theta^{3}} ;
\]

это – уравнение с разделенными переменными, которое может быть проинтегрировано с помощью круговых дуг или логарифмов.
34. Приведеніные выше решения согласуются с решениями, найденными первыми авторами, которым мы обязаны теориями движения жидкостей; указанные авторы нашли их, исходя из допущения, что различные слои жидкости, опускаясь в сосуде, в точности сохраняют свою параллельность (см. «Гидродинамику» Даяиила Бернулли, «Гидравлику» Ивана Бернулли и «Трактат о жидкостях» Даламбера). Наш анализ показывает, что это допущение правильно только в том случае, когда сосуд имеет бесконечно малые размеры, но что его можно во всех случаях применить в качестве первого приближения и что получающиеся при этом решения верны с точностью до величин второго порядка, если размеры сосуда рассматривать как величины первого порядка.

Большое преимущество настоящего анализа заключается, однако, в том, что с его помощью можно все ближе и ближе подойти к действительному движению жидкостей в сосудах любой формы; в самом деле, определив, как мы это сделали выше, первые значения неизвестных, отбрасывая при этом вторые измерения поперечных размеров сосуда, легко затем увеличить приближение, принимая последовательно во внимание отброшенные члены; детали этих вычислений ве представляют никаких трудностей, кроме известной громоздкости выкладок, и мы, по крайней мере сейчас, не будем входить в них.

Применениетех жеформулкдвижению жидкости, содержащейся в неглубоком и почти горизонтальном канале, и, вчастности, к движению волн.
35. Так как мы допускаем, что высота жидкости очень мала, следует взять координаты $z$ вертикальными и направленными сверху вниз; абсциссы же $x$ и ординаты $y$ станут горизонтальными; тогда мы будем иметь (п. 23)
\[
\cos \breve{\varsigma}=0, \quad \cos \eta=0, \quad \cos \zeta=1 .
\]

Оси $x$ и $y$ возьмем в горизонтальной плоскости, образуемой верхней поверхностью жидкости, и пусть $z=\alpha$ будет уравнением дна канала, где $\alpha$ – функция $x$ п $y$

Будем рассматривать величины $z$ и $\alpha$ как очень малые величины первого порядка и будем отбрасывать величины второго и следующего порядков, т. е. величины, содержащие квадраты и произведения $z$ и $\alpha$.

Условное уравиение, относящееся ко дну канала, дает (п. 26)
\[
\varphi^{\prime \prime}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\alpha \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\alpha \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial y}\right),
\]

откуда видно, что $\varphi^{\prime \prime}$ является величиной первого порядка.

Далее, значение величины $\lambda$ сводится к $\lambda^{\prime}+\lambda^{\prime \prime} z$ (г. 25), и в выражении для $\lambda^{\prime}$ следует отбросить величины второго порядка, а в выражении для $\lambda^{\prime \prime}$ – величины первого порядка. Поэтому, в силу
\[
\cos \xi=0, \quad \cos \eta=0, \quad \cos \xi=1,
\]

мы с помощью формул того же пункта получим
\[
\lambda^{\prime}=\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial t}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial y}\right)^{2}, \quad \lambda^{\prime \prime}=-g .
\]

Таким образом, для верхней поверхности жидкости мы будем иметь уравнение (п. 27)
\[
\text { i. }-g z=0
\]

и затем условное уравнение
\[
\frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial t}+\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x} \frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial x}+\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial y} \frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial y}-g \varphi^{\prime \prime}+g z\left(\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial y^{2}}\right)=0 .
\]

Уравнение $\lambda^{\prime}-g z=0$ тотчас же даөт $z=\frac{\lambda^{\prime}}{g}$ для формы верхней поверхности жидкости в любое мгновение, а так как условное уравнение тоже должно иметь место по отношению к указанной поверхности, то оно должно быть верным и в том случае, если вместо $z$ в него подставить приведенное выше значение $\frac{\lambda^{\prime}}{g}$. После этого уравнение примет следующий вид:
\[
\frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\left(\lambda^{\prime} \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\lambda^{\prime} \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial y}\right)-g \varphi^{\prime \prime}=0,
\]

а если вместо $\varphi^{\prime \prime}$ подставить еще найденное выше выражение, то мы получим
\[
\frac{\partial \lambda^{\prime}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\left[\left(\lambda^{\prime}-g \alpha\right) \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}\right]+\frac{\partial}{\partial y}\left[\left(\lambda^{\prime}-g \alpha\right) \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial y}\right]=0 ;
\]

в этом уравнении следует лишь подставить вместо функции $\lambda^{\prime}$ еe выражение
\[
\frac{\partial p^{\prime}}{\partial t}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial p^{\prime}}{\partial x}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial p^{\prime}}{\partial y}\right)^{2},
\]

и тогда мы получим дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое послужит для определения $\varphi^{\prime}$ в функции $x, y, t$.

После этого можно определить форму верх ней поверхности жидкости, пользуясь уравнением
\[
z=\frac{1}{g} \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial t}+\frac{1}{2 g}\left(\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}\right)^{2}+\frac{1}{2 g}\left(\frac{\partial p^{\prime}}{\partial y}\right)^{2} ;
\]

а если бы мы пожелали определить и горизонтальные скорости $p, q$ каждой частицы жидкости, то могли бы их получить с помощью следующих формул (п. 25):
\[
p=\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}, \quad q=\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial y} .
\]
36. Интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных еще далеко не достигло того совершенства, какое необходимо для интегрирования столь сложных уравнений, какими являются приведенные выше; поэтому не остается иного пути, как упростить это уравнение, введя некоторые ограничения.

Для этой цели допустим, что жидкость при своем движении поднимается и опускается выше и ниже уровня лишь на бесконечно малую высоту, так что координаты $z$ верхней поверхности остаются всегда очень малыми и что, сверх того, горизонтальные скорости $p$ и $q$ тожө очень малы. Тогда, значит, и величины $\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial t}, \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}, \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial y}$ должны быть бесконечно малыми и, следовательно, величина $\subsetneq^{\prime}$ сама тоже должна быть бесконечно малой.

Если в рассматриваемом уравнении отбросить бесконечно малые величины второго и высших порядков, то оно примет следующий линейный вид:
\[
\frac{\partial^{2} p^{\prime}}{\partial t^{2}}-g \frac{\partial}{\partial x}\left(\alpha \frac{\partial p^{\prime}}{\partial x}\right)-g \frac{\partial}{\partial y}\left(\alpha \frac{\partial p^{\prime}}{\partial y}\right)=0,
\]

и мы получим
\[
z=\frac{1}{g} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial t}, \quad p=\frac{\partial p^{\prime}}{\partial x}, \quad q=\frac{\partial p^{\prime}}{\partial y} .
\]

Это уравнение содержит, таким образом, общую теорию малых колебаний жидкости небольшой глубины и, стало быть, правильную теорию волн, образуемых последовательными и бесконечно малыми подъемами и скижениями стоячей воды, содержащейся в канале или бассейне небольшой глубины. Теория волн, данная Ньютоном в предложении 46 книги второй \”Principia», основана на сомнительном и мало естественном допущении, что вертикальные колебания волн аналогичны колебаниям воды в изогнутой трубке, и поэтому должна быть признана совершенно недостаточной для разрешения настоящей задачи.
37. Если допустить, что канал или бассейн имеют горизонтальное дно, то величина $\alpha$ станет постолнной и будет равна глубине воды, в результате чего уравнение движения волн примет следующий вид:
\[
\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial t^{2}}=g \alpha\left(\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{\prime}}{\partial y^{2}}\right) .
\]

Это уравнение совершенно аналогично уравнению, определяющему малые колебания воздуха при образовании звука, если принять во внимание лишь движение частиц параллельно горизонту, как мы это увидим в пункте 9 следующего отдела. Подъемы $z$ над горизонтальной поверхностью воды соответствуют сгущениям воздуха, а глубина $\alpha$ воды в канале соответствует высоте атмосферы, если последнюю предположить однородной; это дает полную аналогию между волнами, образуемыми на поверхности спокойной воды последовательными подъемами и снижениями воды, и волнами, образуемыми в воздухе последовательными сгущениями и разрежениями последнего, – аналогию, которую многие авторы уже предполагали, но которой до сих пор никто еще точно не доказал.

Так как скорость распространения звука равна той скорости, какую приобрело бы тяжелое тело, если бы оно падало с половины высоты атмосферы, рассматриваемой как однородная, то и скорость распространения волн равна скорости, какую приобретает тяжелое тело, надая с высоты, равной половине глубины воды в канале. Следовательно, если эта глубина составляет один фут, то скорость волн равна 5,495 фута в секунду; если же глубина воды больше или меньше указанной величины, то скорость волн изменяется в отношении корня квадратного из глубин, если только эти глубины не слишком велики.

Впрочем, каковы бы ни были глубина воды*) и форма дна, изложенную выше теорию всегда можно применить, если допустить, что при образовании волн вода сотрясается и приводится в движение лишь на очень малую глубину; это допущение само по себе очень правдоподобно в силу внзкости и сцепления между частицами жидкости; сверх того, я установил, что оно подтверждается наблюдением даже над большими волнами в океане; таким образом, скорость волн сама по себе определяет глубину $\alpha$, до которой вода приводится в движение при их образовании; действительно, если эта скорость составляет $n$ футов в секунду, то мы имеем
\[
\alpha=\frac{n^{2}}{30,196} \text { футов. }
\]
*) Сделанное Лагранжем допущение нешриемлемо даже в качестве первого приближения. См. добавление в конце настоящего тома. (Прим. Бертрана.)

В томе $X$ старых Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris можно найти наблюдения над скоростью волн, произведенные де ла Гиром (de la Hire), которые дали для этой скорости полтора фута в секунду или, точнее, 1,412 фута в секунду. Следовательно, если положить $n=1,412$, то мы получим глубину $\frac{66}{1000}$ фута, т. е. $\frac{8}{10}$ дюйма или почти 10 ликий.