2. Несжимаемую жидкость можно рассматривать как состоящую из бесчисленного множества частиц, которые свободно перемещаются одна относительно другой, не изменяя общего объема; таким образом, вопрос сводится к случаю пункта 17 указанного выше отдела.

Пусть Dm-масса любой частицы или элемента жидкости; $X, Y, Z$ – ускоряющие силы, действующие на этот элемент, сведенные для большей простоты к направлениям прямоугольных координат $x, y, z$ и стремящиеся уменьшить эти координаты; пусть
\[
L=0
\]
– условное уравнение, получающееся из условия несжимаемости или неизменяемости объема Dm, $\lambda$ некоторая неопределенная величина и $\mathbf{S}$-знак интеграла, соответствующий знаку дифференциала $D$ и отнесенный ко всей массе жидкости $\left[{ }^{34}\right]$; тогда мы получим для движения жидкости следующее общее уравнение (отд. IV):
\[
\begin{array}{l}
+\mathbf{S} \lambda \delta L=0 . \\
\end{array}
\]

Теперь в это уравнение следует подставить значения $D m$ и $\delta L$ и, добившись исчезновения дифференциалов вариаций, если последние имеются, приравнять нулю, каждый в отдельности, коэффициенты неопределенных вариаций $\delta x, \delta y, \delta z$.

Сохраним знак $D$ для выражения дифференциалов, относящихся к мгновенному положению смежных частиц, в то время как знак $d$ будет относиться только к изменению положения той же частицы в пространстве; тогда ясно, что объем частицы Dm можно представить как объем параллелепипеда $D x D y D z$;

таким образом, если через $\Delta$ обозначить плотность этой частицы, то мы будем иметь
\[
D m=\triangle D x D y D z \text {. }
\]

Далее ясно, что условие несжимаемости будет содержаться в уравнении
\[
D x D y D z=\text { const., }
\]

так что мы будем иметь
\[
L:=D x D y D z-\text { const. },
\]

и следовательно,
\[
\delta L=\delta(D x D y D z) .
\]

Для определения этого дифференциала следует применить те же соображения, что и в пункте 11 отдела VII «Статики»; таким образом, если в формулах, находящихся в указанном месте, букву $d$ заменить буквой $D$, то мы получим
\[
\hat{\delta}(D x D y D z)=D x D y D z\left(\frac{D \hat{\delta} x}{D x}+\frac{D \hat{\partial} y}{L y}+\frac{D \hat{\delta} z}{D z}\right) \text {. }
\]

Если эту величину умножить на $\lambda$ и проинтегрировать по всей массе жидкости, то мы получим значение $\mathbf{S} \hbar . \delta L$; в этом выражении следует добиться исчезновения двойного знака $D \hat{\delta}$, пользуясь теми же приемами, которые уже были применены в пункте 17 упомянутого выше отдела. Этим путем мы получим
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} \lambda \delta L=-\mathbf{S}\left(\frac{I \lambda}{D x} \delta x+\frac{D \lambda}{D y} \delta y+\frac{D \lambda}{D z} \delta z\right) D x D y D z+ \\
+\mathbf{S}\left(\lambda^{\prime \prime} \delta x^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta x^{\prime}\right) D y D z+\mathbf{S}\left(\lambda_{. \prime}^{\prime \prime} \delta y^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta y^{\prime}\right) D x D z+ \\
+\mathbf{S}\left(\lambda^{\prime \prime} \delta z^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta z^{\prime}\right) D x D y .
\end{array}
\]

Если произвести эти подстановки в левой части общего уравнения, то последнее сначала будет содержать следующее полное интегральное выражение:
\[
\begin{aligned}
\mathbf{S}\left[\left(\Delta \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\Delta X\right.\right. & \left.-\frac{D \lambda}{D x}\right) \delta x+\left(\Delta \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\Delta Y-\frac{L \lambda}{\partial y}\right) \delta y+ \\
& \left.+\left(\Delta \frac{d^{2} z}{d t^{2}}+\Delta Z-\frac{I \lambda}{D z}\right) \delta z\right] D x D y D z ; \text { (a) }
\end{aligned}
\]

в последнем следует приравнять нулю коәффициенты вариаций $\delta x, \delta y, \delta z$, что даст нам три следующих уравнения для всех точек жидкой массы:
\[
\left.\begin{array}{l}
L\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+X\right)-\frac{I \lambda}{D x}=0, \\
\Delta\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+Y\right)-\frac{L \lambda}{L y}=0, \\
\Delta\left(\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+Z\right)-\frac{L \lambda}{D z}=0,
\end{array}\right\}
\]

Затем остается потребовать исчезновения частных интегралов
\[
\begin{aligned}
\mathbf{S}\left({ }^{\prime \prime} \delta x^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta x^{\prime}\right) D y D z & +\mathbf{S}\left(\lambda^{\prime \prime} \delta y^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta y^{\prime}\right) D x D z+ \\
& +\mathbf{S}\left(\iota^{\prime \prime} \delta z^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta z^{\prime}\right) D x D y,
\end{aligned}
\]

которые относятся лишь ғ внешней поверхности жидкости, и мы заключаем, как и в пункте 18 упомянутого выше отдела VII, что величина $\lambda$ должна равняться нулю для всех точек поверхности, где жидкость свободна; сверх того, как в пункте 31 того же отдела, мы докажем, что по отношению к тем местам, где жидкость заключена в твердые стенки, члены приведенного выше интеграла взаимно друг друга уничтожают, так что здесь не получается никакого уравнения; и вообще, пользуясь рассуждением, аналогичным изложенному в пунктах $32,38,39$, мы докажем, что величина $\lambda$, отнесенная к поверхности жидкости, выражает давление, которое здесь производит жидкостьи которое, если оно не равно нулю, должно уравновешиваться сопротивлением или действием стенок.

3. Найденные только что уравнения содержат, таким образом, общие законы движения несжимаемых жидкостей; но к ним следует присоединить еще уравнение, вытекающее из условия несжимаемости объема $D x D y D z$ во время движения жидкости; это уравнение напишется следующим образом:
\[
d(D x D y D z)=0,
\]

так что, заменив в найденном выше выражении $\delta(D x D y D z)$ знак $\delta$ знаком $d$ и приравняв его нулю, мы получим
\[
\frac{D d x}{L x}+\frac{D d y}{L y}+\frac{D d z}{D z}=0 .
\]

Это уравнение, взятое совместно с тремя уравнениями (A) предыдущего пункта, и послужит для определения четырех неизвестных $x, y, z$ и $\lambda$.
4. Для того чтобы получить ясное представление о природе этих уравнений, следует принять во внимание, что переменные $x, y, z$, определяющие положение частицы в какое-либо мгновение, должны одновременно относиться ко всем частицам, образующим массу жидкости; следовательно, они должны быть функциями времени $t$ и тех значений, которые эти переменные имели в начале движения или в какойлибо другой заданный момент времени. Стало быть, если через $a, b, c$ обозначить значения $x, y, z$ при $t$, равном нулю, то $x, y, z$ должны быть функциями $a, b, c, t$. Поэтому дифференциалы, отмеченные знаком $D$, будут относиться только к изменению $a, b, c$, а дифференциалы, отмеченные знаком $d$, будут относиться просто к изменению $t$. Но так как в найденных уравнениях имеются дифференциалы, относящиеся к самим переменным $x, y, z$, то их следует свести к дифференциалам по $a, b, c$, что всегда возможно; в самом деле, для этого следует лишь представить себе, что до дифферендирования мы подставили в функциях выражения $x, y, z$ через $a, b, c$.

5. Итак, рассматривая переменные $x, y, z$ как функции от $a, b, c, t$ и представляя дифференциалы согласно обычному обозначению частных производных, мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
D x=\frac{\partial x}{\partial a} d a+\frac{\partial x}{\partial b} d b+\frac{\partial x}{\partial c} d c, \\
D y=\frac{\partial y}{\partial a} d a+\frac{\partial y}{\partial b} d b+\frac{\partial y}{\partial c} d c, \\
D z=\frac{\partial z}{\partial a} d a+\frac{\partial z}{\partial b} d b+\frac{\partial z}{\partial c} d c ;
\end{array}
\]

рассматривая в одно и то же время функцию $\lambda$ как функцию от $x, y, z$ и как функцию от $a, b, c$, мы будем иметь
\[
D \lambda=\frac{D \lambda}{D x} D x+\frac{D \lambda}{D y} D_{3}+\frac{D \lambda}{\overline{D z}} D z=\frac{D \lambda}{\partial a} d a+\frac{D \lambda}{\partial b} d b+\frac{D \lambda}{\partial c} d c ;
\]

так как эти два выражения $D \lambda$ должны быть тождественны, то если в первое из них подставить значения $D x, D y, D z$, выраженные через $d a, d b, d c$, коэффициенты при $d a, d b, d c$ слева и справа должны быть равны, что дает три уравнения, которые послужат для выражения величин
\[
\frac{D \lambda}{\overline{D x}}, \frac{D \lambda}{\bar{D} y}, \frac{D \lambda}{\bar{
u} z} \text { через } \frac{\partial \lambda}{\bar{\partial} a}, \frac{\partial \lambda}{\partial b}, \frac{\partial \lambda}{\partial c} ;
\]

то же самое получится, если во втором выражении для $D \lambda$ подставить выражения $d a, d b, d c$ через $D x, D y, D z$, полученные из выражений для этих последних величин; тогда сравнение членов, в состав которых входят $D x, D y, D z$; тотчас же даст значения $\frac{D \lambda}{D x}, \ldots$

Но, согласно обычным правилам исключения, мы имеем
\[
\begin{array}{l}
d a=\frac{\alpha D x+\alpha^{\prime} D y+\alpha^{\prime \prime} D z}{\theta}, \\
d b=\frac{\beta D x+\rho^{\prime} D y+\beta^{\prime \prime} D z}{\theta}, \\
d c=\frac{\gamma D x+\gamma^{\prime} D y+\gamma^{\prime \prime} D z}{\theta},
\end{array}
\]

где положено
\[
\begin{array}{c}
\alpha=\frac{\partial y}{\partial b} \frac{\partial z}{\partial c}-\frac{\partial y}{\partial c} \frac{\partial z}{\partial b}, \quad \beta=\frac{\partial y}{\partial c} \frac{\partial z}{\partial a}-\frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial z}{\partial c}, \quad \gamma=\frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial z}{\partial b}-\frac{\partial y}{\partial b} \frac{\partial z}{\partial a}, \\
\alpha^{\prime}=\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial z}{\partial b}-\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial z}{\partial c}, \quad \beta^{\prime}=\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial z}{\partial c}-\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial z}{\partial a}, \quad \gamma^{\prime}=\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial z}{\partial a}-\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial z}{\partial b} \\
\alpha^{\prime \prime}=\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial y}{\partial c}-\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial b}, \quad \beta^{\prime \prime}=\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial a}-\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial c}, \quad \gamma^{\prime \prime}=\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial b}-\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial y}{\partial a} \\
\theta=\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial b} \frac{\partial z}{\partial c}-\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial z}{\partial c}+ \\
+\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial y}{\partial c} \frac{\partial z}{\partial a}-\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial b} \frac{\partial z}{\partial a}+ \\
+\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial z}{\partial b}-\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial c} \frac{\partial z}{\partial b} .
\end{array}
\]

Произведя эти подстановки в выражение
\[
\frac{\partial \lambda}{\partial a} d a+\frac{\partial \lambda}{\partial b} d b+\frac{\partial \lambda}{\partial c} d c
\]

и затем сравнив его с тождественным выражением
\[
\frac{D \lambda}{D x} D x+\frac{D \lambda}{D y} D y+\frac{D \lambda}{D z} D z,
\]

мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{D \lambda}{\bar{D} x}=\frac{\alpha}{\theta} \frac{\partial \lambda}{\partial a}+\frac{\beta^{\prime}}{\theta} \frac{\partial \lambda}{\partial b}+\frac{\gamma}{\theta} \frac{\partial \lambda}{\partial c}, \\
\frac{D \lambda}{\bar{D} y}=\frac{\alpha^{\prime}}{\theta} \frac{\partial \lambda}{\partial a}+\frac{\beta^{\prime}}{\theta} \frac{\partial \lambda}{\partial b}+\frac{\gamma^{\prime}}{\theta} \frac{\partial \lambda}{\partial c}, \\
\frac{D \lambda}{D z}=\frac{\alpha^{\prime \prime}}{\theta} \frac{\partial \lambda}{\partial a}+\frac{\beta^{\prime \prime}}{\theta} \frac{\partial \lambda}{\partial b}+\frac{\gamma^{\prime \prime}}{\theta} \frac{\partial \lambda}{\partial c} .
\end{array}
\]

Если эти выражения подставить в три уравнения (A) пункта 2 , то после умножения на последние примут следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\theta \Delta\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+X\right)-\alpha \frac{\partial \lambda}{\partial a}-\beta \frac{\partial \lambda}{\partial b}-\gamma \frac{\partial \lambda}{\partial c}=0, \\
\theta \Delta\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+Y\right)-\alpha^{\prime} \frac{\partial \lambda}{\partial a}-\beta^{\prime} \frac{\partial \lambda}{\partial b}-\gamma^{\prime} \frac{\partial \lambda}{\partial c}=0, \\
\theta \Delta\left(\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+Z\right)-\alpha^{\prime \prime} \frac{\partial \lambda}{\partial a}-\beta^{\prime \prime} \frac{\partial \lambda}{\partial b}-\gamma^{\prime \prime} \frac{\partial \lambda}{\partial c}=0 ;
\end{array}\right\}
\]

как мы видим, здесь имеются лишь частные производные по $a, b, c, t$.

В этих уравнениях величина $\Delta$, выражающая плотность, является заданной функцией от $a, b, c$, не зависящей от $t$, так как она должна оставаться неизменной для каждой частицы; если же жидкость однородна, то $\Delta$ будет постоянной величиной, не зависящей от $a, b, c, t$. Что касается величин $X, Y, Z$, выражающих ускоряющие силы, то они будут большей частью заданы как функции $x, y, z, t$.
6. Предыдущие уравнения можно, однако, привести к более простому виду, если их сложить, умножив соответственно и последовательно на $\frac{\partial x}{\partial a}, \frac{\partial y}{\partial a}, \frac{\partial z}{\partial a}$, на $\frac{\partial x}{\partial b}, \frac{\partial y}{\partial b}, \frac{\partial z}{\partial b}$ и на $\frac{\partial x}{\partial c}, \frac{\partial y}{\partial c}, \frac{\partial z}{\partial c} ;$ в самом деле, согласно приведенным выше выражениям $\theta, \alpha, \beta, \gamma, \alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \ldots$, легко видеть, что мы будем иметь
\[
\begin{aligned}
\theta & =\alpha \frac{\partial x}{\partial a}+\alpha^{\prime} \frac{\partial y}{\partial a}+\alpha^{\prime \prime} \frac{\partial z}{\partial a}= \\
& =\beta \frac{\partial x}{\partial b}+\beta^{\prime} \frac{\partial y}{\partial b}+\beta^{\prime \prime} \frac{\partial z}{\partial b}=\gamma \frac{\partial x}{\partial c}+\gamma^{\prime} \frac{\partial y}{\partial c}+\gamma^{\prime \prime} \frac{\partial z}{\partial c}
\end{aligned}
\]

и затем
\[
\begin{array}{l}
\beta \frac{\partial x}{\partial a}+\beta^{\prime} \frac{\partial y}{\partial a}+\beta^{\prime \prime} \frac{\partial z}{\partial a}=0, \\
\gamma \frac{\partial x}{\partial a}+\gamma^{\prime} \frac{\partial y}{\partial a}+\gamma^{\prime \prime} \frac{\hat{o} z}{\partial a}=0, \\
\alpha \frac{\partial x}{\partial b}+\alpha^{\prime} \frac{\partial y}{\partial b}+\alpha^{\prime \prime} \frac{\partial z}{\partial b}=0 \\
\end{array}
\]

и так далее; таким образом, при помощи этих преобразований мы получим следующие видоизмененные уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\Delta\left[\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+X\right) \frac{\partial x}{\partial a}+\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+Y\right) \frac{\partial y}{\partial a}+\right. \\
\left.+\left(\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+Z\right) \frac{\partial z}{\partial a}\right]-\frac{\partial \lambda}{\partial a}=0, \\
\Delta\left[\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+X\right) \frac{\partial x}{\partial b}+\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+Y\right) \frac{\partial y}{\partial b}+\right. \\
\left.+\left(\frac{d^{2} z}{d \iota^{2}}+Z\right) \frac{\partial z}{\partial b}\right]-\frac{\partial \lambda}{\partial b}=0, \\
\Delta\left[\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+X\right) \frac{\partial x}{\partial c}+\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+Y\right) \frac{\partial y}{\partial c}+\right. \\
\left.+\left(\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+Z\right) \frac{\partial z}{\partial c}\right]-\frac{\partial \lambda}{\partial c}=0 . \\
\end{array}
\]
*) If последним уравнениям можно было бы придти и прямо, если бы в формулах пункта 2 вместо вариаций $\hat{\delta} x, \delta y, \delta z$ ввести вариации координат начального состояния $\delta a, \delta b, \delta c$; действительно, если $x, y, z$ рассматривать как функдии $a, b, c$, то мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\delta x=\frac{\partial x}{\partial a} \delta a+\frac{\partial x}{\partial b} \delta b+\frac{\partial x}{\partial c} \delta c \\
\delta y=\frac{\partial y}{\partial a} \delta a+\frac{\partial y}{\partial b} \delta b+\frac{\partial y}{\partial c} \delta c \\
\delta z=\frac{\partial z}{\partial a} \delta a+\frac{\partial z}{\partial b} \delta b+\frac{\partial z}{\partial c} \delta c .
\end{array}
\]

Произведем эти подстановки в формулу (a) пункта 2 и приравняем нулю величины, умножающиеся на $\delta a, i b, \delta c$.

Если принять во внимание, что $\lambda$ является функцией $x, y, z$ и что поэтому мы имеем по
*) Приведенного ниже конца статьи в первом издании не было. (Прим. Бертрана.)

отношению к $a, b, c$
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \lambda}{\partial a}=\frac{D \lambda}{D x} \frac{\partial x}{\partial a}+\frac{I \lambda}{D y} \frac{\partial y}{\partial a}+\frac{L \lambda}{D z} \frac{\partial z}{\partial a}, \\
\frac{\partial \lambda}{\partial b}=\frac{I \lambda}{\overline{D x}} \frac{\partial x}{\partial b}+\frac{\Gamma \lambda}{D y} \frac{\partial y}{\partial b}+\frac{D \lambda}{L z} \frac{\partial z}{c b} \\
\frac{\partial \lambda}{\partial c}=\frac{D \lambda}{D x} \frac{\partial x}{\partial c}+\frac{D \lambda}{\bar{D} y} \frac{\partial y}{\partial c}+\frac{D \lambda}{D z} \frac{\partial z}{\partial c},
\end{array}
\]

то мы тотчас же получим рассматриваемые уравнения; в случае, когда $X d x+Y d y+Z d z$ представляет собою полный дифференциал, обозначенный через $d V$, эти уравнения могут быть приведены к следующему более простому виду:
\[
\begin{array}{l}
\Delta\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{\partial x}{\partial a}+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \frac{\partial y}{\partial a}+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \frac{\partial z}{\partial a}+\frac{\partial V}{\partial a}\right)-\frac{\partial \lambda}{\partial a}=0, \\
\Delta\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{\partial x}{\partial b}+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \frac{\partial y}{\partial b}+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \frac{\partial z}{\partial b}+\frac{\partial V}{\partial b}\right)-\frac{c}{\partial b}=0, \\
\Delta\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{\partial x}{\partial c}+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \frac{\partial y}{\partial c}+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \frac{\partial z}{\partial c}+\frac{\partial V}{\partial c}\right)-\frac{\partial \lambda}{\partial c}=0 .
\end{array}
\]
7. Аналогичным путем преобразуем уравкение (B) пункта 3; так как, согласно замечанию, сделанному в пункте 4, дифференциалы $d x, d y, d z$ относятся лишь к переменной $t$, можно их сначала свести к частным дифференциалам $\frac{\partial x}{\partial t} d t, \frac{\partial y}{\partial t} d t, \frac{\partial z}{\partial t} d t$; тогда рассматриваемое уравғение по разделении на $d t$ примет следующий вид:
\[
\frac{D \frac{\partial x}{\partial t}}{D x}+\frac{D \frac{\partial y}{\partial t}}{D y}+\frac{D \frac{\partial z}{\partial t}}{D z}=0 .
\]

Но, согласно найденным выше формулам для $\frac{D \lambda}{\bar{D} x}, \frac{D \lambda}{\bar{D}}, \ldots$, мы получим также, подставив $\frac{\partial x}{\partial t}, \frac{\partial y}{\partial t}, \ldots$ вместо $\lambda$,
\[
\frac{D \frac{\partial x}{\partial t}}{D x}=\frac{\alpha}{\theta} \frac{\partial}{\partial a} \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\beta}{\theta} \frac{\partial}{\partial b} \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\gamma}{\theta} \frac{\partial}{\partial c} \frac{\partial x}{\partial t} ;
\]

а так как в правой части этого уравнения величина $x$ рассматривается как функция от $a, b, c, t$, то мы будем иметь
\[
\frac{\partial}{\partial a} \frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\partial^{2} x}{\partial a \partial t}
\]

и так далее для других частных производных величины $x$; таким образом, мы будем иметь просто
\[
\frac{D \frac{\partial x}{\partial t}}{D x}=\frac{\alpha}{\theta} \frac{\partial^{2} x}{\partial a \partial t}+\frac{\beta}{\theta} \frac{\partial^{2} x}{\partial b \partial t}+\frac{\gamma}{\theta} \frac{\partial^{2} x}{\partial c \partial t} .
\]

Подобные выражения мы найдем для величин формуле заменить букву $x$ буквами $y$ и $z$.

Если произвести эти подстановки в указанном выше уравнении и отбросить общий знаменатель $\theta$, то это уравнение примет следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
\alpha \frac{\partial^{2} x}{\partial a \partial t}+\beta \frac{\partial^{2} x}{\partial b \partial t}+\gamma \frac{\partial^{2} x}{\partial c \partial t}+ \\
+\alpha^{\prime} \frac{\partial^{2} y}{\partial a \partial t}+\beta^{\prime} \frac{\partial^{2} y}{\partial b \partial t}+\gamma^{\prime} \frac{\partial^{2} y}{\partial c \partial t}+ \\
+\alpha^{\prime \prime} \frac{\partial^{2} z}{\partial a \partial t}+\beta^{\prime \prime} \frac{\partial^{2} z}{\partial b \partial t}+\gamma^{\prime \prime} \frac{\partial^{2} z}{\partial c \partial t}=0 .
\end{array}
\]

Јевая часть этого уравнения представляет собою не что иное, как $\frac{\partial \theta}{\partial t}$, в чем легко убедиться, если фактически произвести дифференцирование выражения $\theta$ (п. 5 ).
Таким образом, уравнение примет вид
\[
\frac{\partial \theta}{\partial t}=0
\]

интегралом его является
\[
\theta=\text { функция }(a, b, c) .
\]

Положим в этом уравнении $t=0$, и пусть $K$-значение, которое тогда принимает величина $\theta$; мы имеем, таким образом, $K=$ функция ( $a, b, c)$; стало быть, рассматриваемое нами уравнение будет иметь следующий вид:
\[
\theta=K \text {. }
\]

Но мы допустили, что когда $t=0$, то мы имеем
\[
x=a, \quad y=b, \quad z=c ;
\]

следовательно, тогда мы также имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial x}{\partial a}=1, \quad \frac{\partial x}{\partial b}=0, \quad \frac{\partial x}{\partial c}=0, \\
\frac{\partial y}{\partial a}=0, \quad \frac{\partial y}{\partial b}=1, \quad \frac{\partial y}{\partial c}=0, \\
\frac{\partial z}{\partial a}=0, \quad \frac{\partial z}{\partial b}=0, \quad \frac{\partial z}{\partial c}=1 . \\
\end{array}
\]

Если эти значения подставить в выражение $\theta$ (п. 5), то мы будем иметь $\theta=1$; следовательно, $K=1$.

Итак, если в рассматриваемом уравнении вместо величины $\theta$ подставить ее значение, то это уравнение примет следующий вид;
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial b} \frac{\partial z}{\partial c}-\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial z}{\partial c} & +\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial y}{\partial c} \frac{\partial z}{\partial a}-\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial b} \frac{\partial z}{\partial a}+ \\
& +\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial z}{\partial b}-\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial c} \frac{\partial z}{\partial b}=1 .
\end{aligned}
\]

Если последнее уравнение соединить с тремя уравнениями (C) или (D) пунктов 5 и 6 , то оно послужит для определения величин $\lambda, x, y, z$ в функции $a, b, c, t$.

Это уравнение можно получить и более простым путем, без посредства дифференциального уравнения (B) пункта 3. В самом деле, уравнение (B) выражает лишь, что вариация объёма $D x D y D z$ частицы $D m$ равна нулю, когда время $t$ изменяется; таким образом, величина $D x D y D z$ должна быть постоянной и равной первоначальному значению $d a d b d c$. В пункте 5 мы дали выражения $D x, D y, D z$ в функции $d a, d b$, $d c$; следует, однако, заметить, что в формуле $D x D y D z$ следует брать дифференциал $D z$, рассматривая $x$ и $y$ как постоянные величины, что точно так же диффѐренциал $D y$ следует брать, рассматривая $x$ и $z$ как постоянные величины, и, наконец, дифференциал $D x$ предполагает, что $y$ и $z$ являются постоянными величинами; сказанное становится ясным, если рассмотреть прямоугольный параллелепилед, представляемый выражением $D x D y D z$.

Допустим сначала, что $x$ и $y$-постоннные и что, следовательно, $D x$ и $D y$ равны нулю; тогда мы получим два следующих уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial x}{\partial a} d a+\frac{\partial x}{\partial b} d b+\frac{\partial x}{\partial c} d c=0, \\
\frac{\partial y}{\partial a} d a+\frac{\partial y}{\partial b} d b+\frac{\partial y}{\partial c} d c=0,
\end{array}
\]

откуда следует
\[
d a=\frac{\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial y}{\partial c}-\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial b}}{\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial b}-\frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial x}{\partial b}} d c, \quad d b=\frac{\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial a}-\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial x}}{\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial b}-\frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial x}{\partial b}} d c ;
\]

если эти выражения подставить в выражение для $D z$, то мы получим
\[
\begin{aligned}
D z=\frac{\frac{\partial z}{\partial a}\left(\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial y}{\partial c}-\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial b}\right)+\frac{\partial z}{\partial b}\left(\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial a}-\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial c}\right)}{\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial b}-\frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial x}{\partial b}} d c+ \\
+\frac{\frac{\partial z}{\partial c}\left(\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial b}-\frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial x}{\partial b}\right)}{\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial b}-\frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial x}{\partial b}} d c .
\end{aligned}
\]

Для того чтобы получить и выражение для $D y$, положим $D x=0$ и $D z=0$, что дает
\[
d c=0, \quad \frac{\partial x}{\partial a} d a+\frac{\partial x}{\partial b} d b=0,
\]
а отсюда следует
\[
d a=-\frac{\frac{\partial x}{\partial b}}{\frac{\partial x}{\partial a}} d b
\]

если это внражение, а также и значение $d c$, равное нулю, подставить в выражение для $D y$, то мы получим
\[
D y=\frac{\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial b}-\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial y}{\partial a}}{\frac{\partial x}{\partial a}} d b .
\]

Наконец, для того чтобы получить выражение для $D x$, положим $D y=0, D z=0$, что даст
\[
d b=0, \quad d c=0,
\]

и следовательно,
\[
D x=\frac{\partial x}{\partial a} d a \text {. }
\]

Если перемножить теперь полученные выражения для $D x, D y, D z$, то мы получим
$D x D y D z=\left[\frac{\partial z}{\partial a}\left(\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial y}{\partial c}-\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial b}\right)+\frac{\partial z}{\partial b}\left(\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial a}-\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial c}\right)+\right.$
\[
\left.+\frac{\partial z}{\partial c}\left(\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial b}-\frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial x}{\partial b}\right)\right] d a d b d c .
\]

Таким образом, положив $D x D y D z=d a d b d c$, мы тотчас же получим уравнение (E).

Следует отметить, что найдепное выражение для $D x D y D z$ является тем самым выражением, которое следует применять при тройном интегрировании по $x, y, z$, когда вместо переменных $x, y, z$ желают подставить заданиые функции других переменных $a, b, c$.
8. Так как рассматриваемые уравнения суть уравнения с частными производными, то интегрирование необходимо вводит различные произвольные функции; определение этих функций должно быть основано частью на начальном состоянии жидкости, которое следует предполагать заданным, и частью на рассмотрении внешней поверхности жидкости, которая тоже задана, когда жидкость заключена в сосуд, и которая должна быть выражена уравнением $\lambda=0$, когда жидкость свободна (п. 2).

В самом деле, если в первом случае представить в виде $A=0$ уравнение стенок сосуда, где $A$-заданная функция координат $x, y, z$ этих стенок и, сверх того, времени $t$, если стенки движутся или имеют изменяющуюся форму, и если вместо этих неременных подставить их выражения в функции $a, b, c, t$, то мы получим уравнение между начальными координатами $a, b, c$ и временем $t$, которое, следовательно, представит поверхность, образованную в начальный момент теми частицами, которые по истечении времени $t$ образовали поверхность, выраженную заданным уравнением $A=0$. Следовательно, если бы мы пожелали, чтобы частицы, однажды находившиеся на поверхности, всегда оставались на ней и перемещались только вдоль этой поверхности, – а это условие представляется необходимым для того, чтобы жидкость не разделялась, и потому является общепринятым в теории жидкостей, – то рассматриваемое уравнение не должно содержать времени $t$; следовательно, функция $A$ величин $x, y, z$ должна быть такова, чтобы после подстановки выражений $x$, $y, z$ в функции $a, b, c, t$ величина $t$ исчезала.

По тем же соображениям уравнение свободной поверхности $\lambda=0$ не должно содержать $t$; таким образом, величина $\lambda$ должна быть функцией $a, b, c$, но не должна зависеть от $t$.

Впрочем, при движении жидкости, вытекающей из сосуда, бывают случаи, когда указанное выше условие не должно выполняться; тогда отпадает необходимость в определениях, являющихся следствиями этого условия.

9. Таковы уравнения, с помощью которых можно прямо определить движение любой несжимаемой жидкости. Но эти уравнения имеют слишком сложный вид, и их можно привести к более простому виду, если в качестве неизвестных вместо координат $x, y, z$ принять скорости $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$ по направлениям координат и если эти скорости рассматривать как функции от $x, y, z, t$.

Действительно, с одной стороны, ясно, что так как $x, y, z$ являются функциями $a, b, c, t$, то и величины $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$ тоже являются функциями тех же переменных $a, b, c, t$; следовательно, если в этих функциях подставить выражения $a, b, c$ в функции $x, y, z$, найденные из уравнений, дающих $x, y, z$ в функции $a, b, c$, то $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$ будут выражены в функции $x, y, z, t$.

С другой стороны, ясно, что для определения действительного движения жидкости достаточно знать в каждое мгновение движение любой частицы, занимающей заданное место в пространстве, причем нет необходимости в том, чтобы знать предыдущее состояние этой частицы; таким образом, достаточно иметь значения скоростей $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{\partial t}, \frac{d z}{d t}$ в функции $x, y, z, t$.

Между прочим, если эти величины известны, то, обозначив их через $p, q, r$, мы нолучим следующие уравнения:
\[
d x=p d t, \quad d y=q d t, \quad d z=r d t
\]

между $x, y, z, t$, которые, будучи затем проинтегрированы таким образом, чтобы $x, y, z$ становились равными $a, b, c$ при $t=0$, дадут величины $x, y, z$ в функции $a, b, c, t$.

Если из этих дифференциальных уравнений исключить $d t$, то мы получим два следующих уравнения:
\[
p d y=q d x, \quad p d z=r d x,
\]

выражающих природу различных кривых, по которым вся жидкость движется в каждое мгновение, кривых, изменяющих свое положение и форму от одного мгновения к другому.
10. Вернемся теперь к основным уравнениям

и (В) пунктов 2 и 3 и введем в них переменные
\[
p=\frac{d x}{d t}, \quad q=\frac{d y}{d t}, \quad r=\frac{d z}{d t},
\]

которые будем рассматривать как функции $x, y, z, t$.
Ясно, что величины $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}, \frac{d^{2} y}{d t^{2}}, \frac{d^{2} z}{d t^{2}}$ могут быть представлены в следующем виде: $\frac{d \frac{d x}{d t}}{d t}, \frac{d \frac{d y}{d t}}{d t}, \frac{d \frac{d z}{d t}}{d t}$, где величины $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$ считаются функциями $a, b, c, t$.

Следовательно, если их рассматривать именно так, то для производной величины $\frac{d x}{d t}$ мы получим
\[
\frac{\partial \frac{d x}{d t}}{\partial t} d t+\frac{\partial \frac{d x}{d t}}{\partial a} d a+\frac{\partial \frac{d x}{d t}}{\partial b} d b+\frac{\partial \frac{d x}{d t}}{\partial c} d c
\]

и совершенно так же для других производных; но если их рассматривать как функции $x, y, z, t$ и обозначить через $p, q, r$, то их полные дифференциалы будут иметь следующий вид:
\[
\frac{\partial p}{\partial t} d t+\frac{\partial p}{\partial x} d x+\frac{\partial p}{\partial y} d y+\frac{\partial p}{\partial z} d z ;
\]

то же самое относится и к другим дифференциалам; следовательно, если в последних выражениях вместо $d x, d y, d z$ подставить их выражения в функции $a, b$, $c, t$, то они должны быть тождественны с первыми; но так как $x$ рассматривается как функция $a, b, c, t$, то мы имеем
\[
d x=\frac{\partial x}{\partial t} d t+\frac{\partial x}{\partial a} d a+\frac{\partial x}{\partial b} d b+\frac{\partial x}{\partial c} d c,
\]

где $\frac{\partial x}{\partial t}$, очевидно, равно $p$ в предположении что в $p$ цодставлены выражения $x, y, z$ в функции $a, b, c, t$.
Таким образом, мы будем иметь
\[
d x=p d t+\frac{\partial x}{\partial a} d a+\ldots
\]

и точно так же
\[
d y=q d t+\frac{\partial y}{\partial a} d a+\ldots, \quad d z=r d t+\frac{\partial z}{\partial a} d a+\ldots
\]

Если эти выражения подставить в выражение полного дифференциала величины $\frac{\partial x}{\partial t}$, то содержать $d t$ будут следующие члены:
\[
\left(\frac{\partial p}{\partial t}+p \frac{\partial p}{\partial x}+q \frac{\partial p}{\partial y}+r \frac{\partial p}{\partial z}\right) d t,
\]

которые должны быть тождественны с соответствующим членом $\frac{d}{d t} \frac{d x}{d t} d t$ или же $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} d t$; поэтому мы имеем
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{\partial p}{\partial t}+p \frac{\partial p}{\partial x}+q \frac{\partial p}{\partial y}+r \frac{\partial p}{\partial z} ;
\]

точно так же мы найдем
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\frac{\partial q}{\partial t}+p \frac{\partial q}{\partial x}+q \frac{\partial q}{\partial y}+r \frac{\partial q}{\partial z}, \\
\frac{d^{2} z}{\partial t^{2}}=\frac{\partial r}{\partial t}+p \frac{\partial r}{\partial x}+r \frac{\partial r}{\partial y}+r \frac{\partial r}{\partial z} .
\end{array}
\]

Подставим эти выражения в уравнения (A); так как в этих уравнениях члены $\frac{D \lambda}{D x}, \frac{D \lambda}{D y}, \frac{D \lambda}{D z}$ выражают частные производные $\lambda$ по $x, y, z$, в предположении, что $t$ постоянно, можно знак $D$ заменить знаком $\partial$.

Этим путем мы получим следующие преобразованные уравнения:
\[
\left.\begin{array}{c}
\Delta\left(\frac{\partial p}{\partial t}+p \frac{\partial p}{\partial x}+q \frac{\partial p}{\partial y}+r \frac{\partial p}{\partial z}+X\right)-\frac{\partial \lambda}{\partial x}=0, \\
\Delta\left(\frac{\partial q}{\partial t}+p \frac{\partial q}{\partial x}+q \frac{\partial q}{\partial y}+r \frac{\partial q}{\partial z}+Y\right)-\frac{\partial \lambda}{\partial y}=0, \\
\Delta\left(\frac{\partial r}{\partial t}+p \frac{\partial r}{\partial x}+q \frac{\partial r}{\partial y}+r \frac{\partial r}{\partial z}+Z\right)-\frac{\partial \lambda}{\partial z}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Что касается уравнения (B) пункта 3, в котором дифференциалы, обозначенные знаком $d$, относятся к $t$, а дифференциалы, обозначенные знаком $D$, относятся к $x, y, z$, то в нем вместо $d x, d y, d z$ следует подставить их значения $p d t, q d t, r d t$; а если знак $D$ заменить знаком $\partial$, то ввиду того, что безразлично, какой знак применять для обозначения частных дифференциалов, мы, в силу постоянства $d t$, тотчас же получим
\[
\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial q}{\partial y}+\frac{\partial r}{\partial z}=0 .
\]

Как видим, эти уравнения гораздо проще уравнений (C) или (D) и (E), которым они соответствуют; поэтому им можно отдать предпочтение в теории жидкостей.

Эти четыре уравнения (F) и (G) дают $p, q, r$ и $\lambda$ в функции $x, y, z$ и времени $t$, которсе рассматривается при интегрировании этих уравнений как постоянная. Если бы затем мы ножелали получить значения $x, y, z$ в функции $t$ и начальных координат $a$, $b, c$, как при первом решении, то следовало бы лишь проинтегрировать уравнения
\[
\dot{d} x=p d t, \quad d y=q d t, \quad d z=r d t
\]

и ввести в них в качестве произвольных постоянных начальные значения $a, b, c$ величин $x, y, z$.
11. У однородных жидкостей постоянной плотности величина $\Delta$, выражающая плотность, совершенно постоянна; это наиболее распространенный случай, который в дальнейшем мы только и рассмотрим. Но у неоднородных жидкостей эта величина должна быть функцией, постоянной относительно времени $t$ для одной и той же частицы, но изменяющейся от одной частицы к другой согласно заданному закону. Следовательно, если жидкость рассматривать в начальном состоянии, когда координаты ее $x, y, z$ равны $a, b, c$, то величина $\Delta$ будет заданной и известной функцией $a, b, c$; стало быть, если $\Delta$ рассматривать как функцию $x, y, z$ и $t$, то необходимо, чтобы после подстановки в последнюю $x, y, z$ в функции $a, b, c$, и $t$ переменная $t$ исчезла и, значит, чтобы производная величины $\Delta$ по $t$ была равна нулю. Таким образом, ввиду того, что $x, y, z$ являются функциями $t$, мы получим уравнение
\[
\frac{\partial \Delta}{\partial t}+\frac{\partial \Delta}{\partial x} \frac{d x}{d t}+\frac{\partial \Delta}{\partial y} \frac{d y}{d t}+\frac{\partial \Delta}{\partial z} \frac{d z}{d t}=0,
\]

в котором вместо $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$ следует подставить их значения $p, q, r$.
Так мы получим уравнение
\[
\frac{\partial \Delta}{\partial t}+p \frac{\partial \Delta}{\partial x}+q \frac{\partial \Delta}{\partial y}+r \frac{\partial \Delta}{\partial z}=0,
\]

служащее для определения неизвестного $\Delta$ в уравнениях (F), так как в этих уравнениях $\Delta$ следует трактовать как функцию $x, y, z$.
$B$ этом отношении уравнения (F) имеют меньше преимуществ, чем уравнения (C) или (D), в которых $\Delta$ можно рассматривать как известную функцию $a, b, c$.
12. То, что нами выше было сказано относительно функции $\Delta$, следует применить и к функции $A$, поскольку $A=0$ является уравнением стенок сосуда и поскольку мы допускаем, что прилегающая к стенкам жидкость может двигаться лишь перемещаясь вдоль этих стенок, так что на поверхности всегда остаются одни и те же частицы: действительно, как мы видели в пункте 8, это условие требует, чтобы $A$ было функцией $a, b, c$, но не зависело от $t$. Таким образом, если эту величину рассматривать как функцию $x, y, z, t$, то мы будем также иметь уравнение
\[
\frac{\partial A}{\partial t}+p \frac{\partial A}{\partial x}+q \frac{\partial A}{\partial y}+r \frac{\partial A}{\partial z}=0 .
\]

Для частей поверхности где жидкость свободна, мы имеем уравнение $\lambda=0$ (п. 2); следовательно, для того чтобы выполнить то же условие по отношению к свободной поверхности, должно также существовать уравнение,
\[
\frac{\partial \lambda}{\partial t}+p \frac{\partial \lambda}{\partial x}+q \frac{\partial \lambda}{\partial y}+r \frac{\partial \lambda}{\partial z}=0 .
\]
13. Вот наиболее общие и наиболее простые формулы для точного определения движения жидкостей. Трудность вопроса заключается только в интегрировании этих уравнений; но эта трудность столь велика, что до сих пор даже в наиболее простых задачах приходилось ограничиваться особыми методами, основанными на более или менее ограничительных допущениях. Для того чтобы насколько возможно уменьшить это затруднение, ‘рассмотрим, каким образом и в каких случаях приведенные выше формулы могут быть еще более упрощены, и затем дадим применение их $к$ некоторым вопросам, касающимся движения жидкостей в сосудах или каналах.
14. Прежде всего нет ничего легче, чем удовлетворить уравнению (G) пункта 10 ; в самом деле, если положить
\[
p=\frac{\partial \alpha}{\partial z}, \quad q=\frac{\partial \beta}{\partial z},
\]

то уравнение примет вид
\[
\frac{\partial^{2} \iota}{\partial x \partial z}+\frac{\partial^{2} \beta}{\partial y \partial z}+\frac{\partial r}{\partial z}=0,
\]

интегрируемый по $z$, и даст $r=-\frac{\partial a}{\partial x}-\frac{\partial \beta}{\partial y}$; ввиду неопределенности величин $\alpha$ и $\beta$ в данном случае нет необходимости прибавлять произвольной функции.

Итак, рассматриваемое уравнение удовлетворяется следующими значениями:
\[
p=\frac{\partial z}{\partial z}, \quad q=\frac{\partial \beta}{\partial z}, \quad r=-\frac{\partial \alpha}{\partial x}-\frac{\partial \beta}{\partial y} ;
\]

если затем эти значения подставить в три уравнения (F) того же пункта, то мы будем иметь только три неизвестных: $\alpha, \beta$ и $\lambda$, причем $\lambda$ будет легко исключить с помощью частного дифференцирования. Таким образом, если плотность $\Delta$ постоянна, то указанным путем задача будет сведена только к двум уравнениям между неизвестными $\alpha$ и $\beta$; если же плотность $\Delta$ величина переменная, к ним необходимо присоединить еще уравнение ( $\mathrm{H}$ ) пункта 11. Однако интегрирование этих уравнений выходит за пределы возможностей анализа в его настоящем состоянии.
15. Теперь посмотрим, не поддаются ли уравнения (F), взятые сами по себе, некоторому упрощению.

Если в функции $\lambda$ рассматривать как переменные только $x, y, z$, то мы получим
\[
d \lambda=\frac{\partial \lambda}{\partial x} d x+\frac{\partial \lambda}{\partial y} d y+\frac{\partial \lambda}{\partial z} d z .
\]

Если вместо $\frac{\partial \lambda}{\partial x}, \frac{\partial \lambda}{\partial y}, \frac{\partial \lambda}{\partial z}$ подставить здесь их значения, найденные из указанных выше уравнений, то мы получим
\[
\begin{aligned}
d \lambda & =\left(\frac{\partial p}{\partial t}+p \frac{\partial p}{\partial x}+q \frac{\partial p}{\partial y}+r \frac{\partial p}{\partial z}+X\right) \Delta d x+ \\
& +\left(\frac{\partial q}{\partial t}+p \frac{\partial q}{\partial x}+q \frac{\partial q}{\partial y}+r \frac{\partial q}{\partial z}+Y\right) \Delta d y+ \\
& +\left(\frac{\partial r}{\partial t}+p \frac{\partial r}{\partial x}+q \frac{\partial r}{\partial y}+r \frac{\partial r}{\partial z}+Z\right) \Delta d z .
\end{aligned}
\]

Так как левая часть этого уравнения является полным дифференциалом, то и правая часть его должна быть полным дифферендиалом относительно $x, y, z$; величина $\lambda$, которая будет отсюда получена, одновременно удовлетворит уравнениям ( $\mathrm{F}$ ).

– Теперь допустим, что жидкость однородна, так что плотность ее $\Delta$ постоянна; для большей простоты положим, что она равна единице.

Далеө предположим ускоряющие силы $X, Y, Z$ такими, что величина $X d x+Y d y+Z d z$ является полным дифференциалом. Как мы видели в пункте 19 отдела VII «Статики», это условие необходимо для того, чтобы жидкость под действием этих сил могла оставаться в равновесии. Впрочем, это условие всегда выполняется, когда указанные силы происходят от одного или нескольких притяжений, пропорциональных каким-либо функциям расстояний от центров, что имеет место в природе; ибо если назвать эти притяжения $P, Q, R, \ldots$, а расстояния $-p, q, r, \ldots$, то вообще мы будем иметь (Статика, отдел V, II. 7)
\[
X d x+Y d y+Z d z=P d p+Q d q+R d r+\ldots
\]

Следовательно, если положить
\[
\Delta=1
\]

и
\[
X d x+Y d y+Z d z=P d p+Q d p+R d r+\ldots=d V,
\]

то приведенное выше уравнение примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
d \lambda-d V & =\left(\frac{\partial p}{\partial t}+p \frac{\partial p}{\partial x}+q \frac{\partial p}{\partial y}+r \frac{\partial p}{\partial z}\right) d x+ \\
& +\left(\frac{\partial q}{\partial t}+p \frac{\partial q}{\partial x}+q \frac{\partial q}{\partial y}+r \frac{\partial q}{\partial z}\right) d y+ \\
& +\left(\frac{\partial r}{\partial t}+p \frac{\partial r}{\partial x}+q \frac{\partial r}{\partial y}+r \frac{\partial r}{\partial z}\right) d z
\end{aligned}
\]

цравая часть этого уравнения должна быть полным дифференциалом, так как левая часть является таковым. Это уравнение также эквивалентно уравнениям (F) пункта 10.

Но если рассмотреть дифференциал $\frac{p^{2}+q^{2}+r^{2}}{2}$, взятый по $x, y, z$, то нетрудно видеть, что правую часть рассматриваемого уравнения можно привести к следующему виду:
\[
\begin{aligned}
\frac{d\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)}{2} & +\frac{\partial p}{\partial t} d x+\frac{\partial q}{\partial t} d y+\frac{\partial r}{\partial t} d z+ \\
& +\left(\frac{\partial p}{\partial y}-\frac{\partial q}{\partial x}\right)(q d x-p d y)+ \\
& +\left(\frac{\partial p}{\partial z}-\frac{\partial r}{\partial x}\right)(r d x-p d z)+ \\
& +\left(\frac{\partial q}{\partial z}-\frac{\partial r}{\partial y}\right)(r d y-q d z)
\end{aligned}
\]

отсюда видно, что эта величина будет полным дифференциалом всякий раз, когда $p d x+q d y+r d z$ является таковым; действительно, тогда производнал последней величины по $t$, т. е. $\frac{\partial p}{\partial t} d x+\frac{\partial q}{\partial t} d y+\frac{\partial r}{\partial t} d z$, тоже является полным дифферендиалом, и, сверх того, известные условия интегрируемости дают-
\[
\frac{\partial p}{\partial y}-\frac{\partial q}{\partial x} \doteq 0, \quad \frac{\partial p}{\partial z}-\frac{\partial r}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial q}{\partial z}-\frac{\partial r}{\partial y}=0 .
\]

Отсюда следует, что уравнению (L) можно удовлетворить простым допущением, что $p d x+q d y+r d z$ является полным дифференциалом, благодаря чему расчет движения жидкости сильно упрощается. Но так как это является лишь частным предположением, то прежде всего следует установить, в каких случаях оно может и должно иметь место.
16. Пусть для краткости
\[
\alpha=\frac{\partial p}{\partial y}-\frac{\partial q}{\partial x}, \quad \beta=\frac{\partial p}{\partial z}-\frac{\partial r}{\partial x}, \quad \gamma=\frac{\partial q}{\partial z}-\frac{\partial r}{\partial y} ;
\]

тогда вопрос сводится к тому, чтобы сделать полным дифференциалом величину *)
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial p}{\partial t} d x+\frac{\partial q}{\partial t} d y+\frac{\partial r}{\partial t} d z & +\alpha(q d x-p d y)+ \\
& +\beta(r d x-p d z)+\gamma(r d y-q d z) .
\end{aligned}
\]

Если рассматривать $p, q, r$ как функции $t$, можно положить
\[
\begin{array}{l}
p=p^{\prime}+p^{\prime \prime} t+p^{\prime \prime \prime} t^{2}+p^{\mathrm{IV}} t^{3}+\ldots, \\
q=q^{\prime}+q^{\prime \prime} t+q^{\prime \prime \prime} t^{2}+q^{\mathrm{IV}} t^{3}+\ldots, \\
r=r^{\prime}+r^{\prime \prime} t+r^{\prime \prime \prime} t^{2}+r^{\mathrm{IV}} t^{3}+\ldots,
\end{array}
\]

где величины $p^{\prime}, p^{\prime \prime}, p^{\prime \prime \prime}, \ldots, q^{\prime}, q^{\prime \prime}, q^{\prime \prime \prime}, \ldots, r^{\prime}$, $r^{\prime \prime}, r^{\prime \prime \prime}, \ldots$ являются функциями $x, y, z$, но не зависят от $t$.

Если эти выражения подставить в три величины $\alpha, \beta, \gamma$, то последние примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\alpha=\alpha^{\prime}+\alpha^{\prime \prime} t+\alpha^{\prime \prime \prime} t^{2}+\alpha^{\mathrm{IV}} t^{3}+\ldots, \\
\beta=\beta^{\prime}+\beta^{\prime \prime} t+\beta^{\prime \prime \prime} t^{2}+\beta^{\mathrm{IV}} t^{3}+\ldots, \\
\gamma=\gamma^{\prime}+\gamma^{\prime \prime} t+\gamma^{\prime \prime \prime} t^{2}+\gamma^{\mathrm{IV}} t^{3}+\ldots,
\end{array}
\]

если положить
\[
\begin{array}{l}
\alpha^{\prime}=\frac{\partial p^{\prime}}{\partial y}-\frac{\partial q^{\prime}}{\partial x}, \quad \alpha^{\prime \prime}=\frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial y}-\frac{\partial q^{\prime \prime}}{\partial x}, \ldots, \\
\beta^{\prime}=\frac{\partial p^{\prime}}{\partial z}-\frac{\partial r^{\prime}}{\partial x}, \quad \beta^{\prime \prime}=\frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial z}-\frac{\partial r^{\prime \prime}}{\partial x}, \ldots \\
\gamma^{\prime}=\frac{\partial q^{\prime}}{\partial z}-\frac{\partial r^{\prime}}{\partial y}, \quad \gamma^{\prime \prime}=\frac{\partial q^{\prime \prime}}{\partial z}-\frac{\partial r^{\prime \prime}}{\partial y}, \ldots
\end{array}
\]

Таким образом, после указанных различных подстановок и после расположения членов по степеням $t$ величина
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial p}{\partial t} d x+\frac{\partial q}{\partial t} d y+\frac{\partial r}{\partial y} d z & +\alpha(q d x-p d y)+ \\
& +\beta(r d x-p d z)+\gamma(r d y-q d z)
\end{aligned}
\]
*) Повидимому, было бы правильнее сказать: в силу уравнения (L) следующая величина должна быть полным дифференциалом. (Iрим. Бертрана.)

примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
p^{\prime \prime} d x & +q^{\prime \prime} d y+r^{\prime \prime} d z+\alpha^{\prime}\left(q^{\prime} d x-p^{\prime} d y\right)+\beta^{\prime}\left(r^{\prime} d x-p^{\prime} d z\right)+ \\
& +\gamma^{\prime}\left(r^{\prime} d y-q^{\prime} d z\right)+t\left[2\left(p^{\prime \prime \prime} d x+q^{\prime \prime \prime} d y+r^{\prime \prime \prime} d z\right)+\right. \\
& +\alpha^{\prime}\left(q^{\prime \prime} d x-p^{\prime \prime} d y\right)+\beta^{\prime}\left(r^{\prime \prime} d x-p^{\prime \prime} d z\right)+ \\
& +\gamma^{\prime}\left(r^{\prime \prime} d y-q^{\prime \prime} d z\right)+\alpha^{\prime \prime}\left(q^{\prime} d x-p^{\prime} d y\right)+ \\
& \left.+\beta^{\prime \prime}\left(r^{\prime} d x-p^{\prime} d z\right)+\gamma^{\prime \prime}\left(r^{\prime} d y-q^{\prime} d z\right)\right]+ \\
& +t^{2}\left[3\left(p^{\mathrm{IV}} d x+q^{\mathrm{IV}} d y+r^{\mathrm{IV}} d z\right)+\right. \\
& +\alpha^{\prime}\left(q^{\prime \prime \prime} d x-p^{\prime \prime \prime} d y\right)+\beta^{7}\left(r^{\prime \prime \prime} d x-p^{\prime \prime \prime} d z\right)+ \\
& +\gamma^{\prime}\left(r^{\prime \prime \prime} d y-q^{\prime \prime \prime} d z\right)+\alpha^{\prime \prime}\left(q^{\prime \prime} d x-p^{\prime \prime} d y\right)+ \\
& +\beta^{\prime \prime}\left(r^{\prime \prime} d x-p^{\prime \prime} d z\right)+\gamma^{\prime \prime}\left(r^{\prime \prime} d y-q^{\prime \prime} d z\right)+ \\
& +\alpha^{\prime \prime \prime}\left(q^{\prime} d x-p^{\prime} d y\right)+\beta^{\prime \prime \prime}\left(r^{\prime} d x-p^{\prime} d z\right)+ \\
& \left.+\gamma^{\prime \prime \prime}\left(r^{\prime} d y-q^{\prime} d z\right)\right]+ \\
& +\ldots
\end{aligned}
\]

а так как эта величина должна быть полным дифференциалом независимо от значения $t$, то величины, на которые умножается каждая степень $t$, должны быть полными дифференциалами.

Исходя из вышеизложенного, предположим, что $p^{\prime} d x+q^{\prime} d y+r^{\prime} d z$ является полным дифференциалом; согласно известным теоремам, мы имеем
\[
\frac{\partial p^{\prime}}{\partial y}=\frac{\partial q^{\prime}}{\partial x}, \quad \frac{\partial p^{\prime}}{\partial z}=\frac{\partial r^{\prime}}{\partial x}, \quad \frac{\partial q^{\prime}}{\partial z}=\frac{\partial r^{\prime}}{\partial y} ;
\]

следовательно,
\[
\alpha^{\prime}=0, \quad \beta^{\prime}=0, \quad \gamma^{\prime}=0 ;
\]

таким образом, первая величина, которая должна быть полным дифференциалом, сводится к $p^{\prime \prime} d x+q^{\prime \prime} d y+r^{\prime \prime} d z$, и, стало быть, мы имеем следующие условные уравнения:
\[
\alpha^{\prime \prime}=0, \quad \beta^{\prime \prime}=0, \quad \gamma^{\prime \prime}=0 .
\]

Затем вторая величина, которая должна быть полным дифференциалом, превращается в $2\left(p^{\prime \prime \prime} d x+\right.$ $\left.+q^{\prime \prime \prime} d y+r^{\prime \prime \prime} d z\right)$; из нее вытекают новые уравнения
\[
\alpha^{\prime \prime \prime}=0, \quad \beta^{\prime \prime \prime}=0, \quad \gamma^{\prime \prime \prime}=0 .
\]

Таким образом, третья величина, которая должна быть полным дифференциалом, имеет следующий вид: $3\left(p^{\mathrm{IV}} d x+q^{\mathrm{IV}} d y+r^{\mathrm{IV}} d z\right)$; отсюда точно так же вытекают следующие уравнения:
\[
\alpha^{\mathrm{IV}}=0, \quad \gamma^{\mathrm{IV}}=0, \quad \gamma_{i}^{\mathrm{IV}}=0,
\]

и так далее. Итак, если $p^{\prime} d x+q^{\prime} d y+r^{\prime} d z$ есть полный дифференциал, то и величины
\[
\begin{array}{c}
p^{\prime \prime} d x+q^{\prime \prime} d y+r^{\prime \prime} d z, \quad p^{\prime \prime \prime} d x+q^{\prime \prime \prime} d y+r^{\prime \prime \prime} d z \\
p^{\mathrm{IV}} d x+q^{\operatorname{Iv}} d y+r^{\operatorname{IV}} d z
\end{array}
\]

каждая в отдельности должны быть полными дифференциалами.

Следовательно, вся величина $p d x+q d y+r d z$ будет в этом случае полным дифференциалом, если допустить, что время $t$ является очень малой величиной.
17. Отсюда следует, что если величина $p d x+$ $+q d y+r d z$ есть полный дифференциал при $t=0$, то она должна быть им и при любом значении $t$; так как начало счета $t$ является произвольным и $t$ можно одинаково взять положительным или отрицательным, то отсюда следует вообще, что если величина $p d x+$ $+q d y+r d z$ является в какое-либо мгновение полным дифференциалом, то она должна быть им и во все другие мгновения. Таким образом, если имеется хотя бы одно мгновение, для которого эта величина не является полным дифференциалом, она уже не может быть им в течение всего движения; действительно, если бы она стала полным дифференциалом в какое-либо другое мгновение, то она должна была бы быть им и в первое мгновение.
18. Если движение начинается из состояния покоя, то мы имеем $p=0, q=0, r=0$ при $t=0$; следовательно, $p d x+q d y+r d z$ будет для этого мгновения интегрируемо и, стало быть, оно будет всегда интегрируемо в течение всего времени движения.

Но если вначале жидкости были сообщены некоторые скорости, то все зависит от природы этих скоростей, а именно, будут ли они таковы, что величина
\[
p d x+q d y+r d z
\]

окажется интегрируемой или нет; в первом случае величина
\[
p d x+q d y+r d z
\]

будет всегда интегрируема; во втором она никогда не будет интегрируемой.

Когда начальные скорости вызваны каким-либо ударом по поверхности жидкости, например, действием поршня, можно доказать, что величина $p d x+q d y+r d z$ должна быть в первое мгновение интегрируемой. Действительно, скорости $p, q, r$, получаемые каждой точкой жидкости под действием удара по поверхности, должны быть таковы, что если бы эти скорости уничтожить, сообщив одновременно каждой точке жидкости равные, но противоположно направленные скорости, то вся масса жидкости осталась бы в покое или в равновесии. Следовательно, эта масса должна находиться в равновесии под действием удара, приложенного к поверхности, и скоростей или сил – $p,-q,-r$, приложенных к каждой из ее внутренних точек; стало быть, согласно общим законам равновесия жидкостей (Статика, отдел VII, п. 19), величины $p, q, \quad r$ должны быть таковы, чтобы $p d x+q d y+r d z$ было полным дифференциалом. Таким образом, в рассматриваемом случае эта же величина должна быть полным дифференциалом в любой момент движения.
19. Можно было бы, пожалуй, усомниться, возможны ли в жидкости движения, для которых величина $p d x+q d y+r d z$ не была бы полным дифференциалом.

Для того чтобы устранить это сомнение с помощью очень простого шримера, рассмотрим лишь случай, когда мы имеем
\[
p=g y, \quad q=-g x, \quad r=0,
\]

где $g$-любая постоянная величина. Прежде всего мы видим, что в этом случае величина $p d x+q d y+r d z$ не будет полным дифференциалом, так как она обращается в неинтегрируемое выражение $g(y d x-x d y)$;

тем не менее само уравнение (L) пункта 15 может быть проинтегрировано, так как мы имеем
\[
\frac{\partial p}{\partial y}=g, \quad \frac{\partial q}{\partial x}=-g,
\]

а все остальные частные производные от $p$ и $q$ равны нулю; таким образом уравнение, о котором идет речь,
\[
d \lambda-d V=-g^{2}(x d x+y d y)
\]

имеет своим интегралом
\[
\lambda=V-\frac{g^{2}}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+\text { функция } t ;
\]

эта величина удовлетворяет трем уравнениям (F) пункта 10.

Что касается уравнения (G) того же пункта, то и оно будет в силе, так как принятые значения дают
\[
\frac{\partial p}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial q}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial r}{\partial z}=0 .
\]

Между прочим, легко видеть, что приведенные значения $p, q, r$ выражают движение жидкости, вращающейся вокруг неподвижной оси кординат $z$ с постоянной угловой скоростью, равной $g$; известно, что подобное движение всегда может иметь место в жидкости.

Изложенное выше позволяет придти к выводу, что при определении колебаний океана под влиянием притяжения Солнца и Луны величину $p d x+q d y+r d z$ нельзя считать интегрируемой, так как она является таковой лишь в случае, когда жидкость находится в покое по отношению к Земле, и вращательное движение является единственным общим движением для жидкости и Земли.
20. После того как мы установили те случаи, при которых существует уверенность, что величина $p d x+$ $+q d y+r d z$ должна быть полным дифференциалом, посмотрим, каким образом, исходя из этого условия, можно решить уравнения движения жидкостей.
Итак, .пусть
\[
p d x+q d y+r d z=d \varphi,
\]

где $\varphi$ является любой функцией $x, y, z$ и переменной $t$, которая в дифференциале $d \varphi$ рассматривается как величина постоянная; тогда мы имеем
\[
p=\frac{\partial p}{\partial x}, \quad q=\frac{\partial p}{\partial y}, \quad r=\frac{\partial p}{\partial z} ;
\]

а если эти величины подставить в уравнение (L) пункта 15 , то оно примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
d \lambda-d V & =\left(\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t \partial x}+\frac{\partial^{\varphi}}{\partial x} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2}}{\partial z} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x \partial z}\right) d x+ \\
& +\left(\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t \partial y}+\frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x \partial y}+\frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial \varphi}{\partial z} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y \partial z}\right) d y+ \\
& +\left(\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t \partial z}+\frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x \partial z}+\frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y \partial z}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}\right) d z,
\end{aligned}
\]
– уравнение, интегралом которого по $x, y, z$, очевидно, является
\[
\lambda-V=\frac{\partial p}{\partial t}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial p}{\partial y}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2} .
\]

Сюда можно было бы еще прибавить произвольную функцию $t$, так как при интегрировании последняя величина рассматривается как постоянная, но я замечу, что эту функцию можно рассматривать как заключающуюся в значении $\varphi$; в самом деле, если к $\varphi$ прибавить некоторую функцию $T$ переменной $t$, то значения $p, q, r$ останутся теми же, что и раньше, а правая часть приведенного выше уравнения окажется увеличенной на функцию $\frac{\partial T}{\partial t}$, которая произвольна. Следовательно, не нарушая общности этого уравнения, можно отказаться от прибавления к нему какой-либо произвольной функции $t$.

Таким образом,.с помощью указанного уравнения мы получаем
\[
\lambda=V+\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2},
\]

и эта величина удовлетворит одновременно трем уравнениям ( $\mathrm{F}$ ) пункта 10 ; определение $\varphi$ будет зависеть от уравнения (G) того же пункта, которое после подстановки вместо $p, q, r$ их значений $\frac{\partial p}{\partial x}, \frac{\partial p}{\partial y}, \frac{\partial p}{\partial z}$ примет вид
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}=0 .
\]

Итак, вся трудность вопроса сводится только к интегрированию этого последнего уравнения.
21. Есть еще один очень распространөнный случай, в котором величина
\[
p d x+q d y+r d z
\]

должна быть полным дифференциалом: это-случай, когда допускают, что скорости $p, q, r$ очень малы, и отбрасывают очень малые величины второго и следующих порядков. В самом деле, ясно, что при наличии подобного допущения уравнение (L) сводится к
\[
d \lambda-d V=\frac{\partial p}{\partial t} d x+\frac{\partial q}{\partial t} d y+\frac{\partial r}{\partial t} d z,
\]

из которого видно, что так как выражение $\frac{\partial p}{\partial t} d x+$ $+\frac{\partial q}{\partial t} d y+\frac{\partial r}{\partial t} d z$ должно быть интегрируемым по $x, y, z$, то таковым должно быть также и выражение $p d x+$ $+q d y+r d z$. Таким образом, мы приходим к тем же формулам, что и в предыдущем пункте, если допустить, что $\varphi$ является очень малой функцией, и отбросить вторые измерения $\varphi$ и ее производных.

Далее, в этом случае можно определить значения самих переменных $x, y, z$ для любого момента времени; в самом деле, для этого следует лишь проинтегрировать уравнения (п. 9)
\[
d x=p d t, \quad d y=q d t, \quad d z=r d t ;
\]

так как $p, q, r$ очень малы и, следовательно, $d x, d y, d z$ тоже являются очень малыми величинами того же порядка по сравнению с $d t$, то $x, y, z$ можно рассматривать как постоянные величины по отношению к $t$. Следовательно, если в функциях $p, q, r$ рассматривать $t$ в качестве единственной переменной и прибавить
постоянные величины $a, b, c$, то мы тотчас же получим
\[
x=a+\int p d t, \quad y=b+\int q d t, \quad z=c+\int r d t .
\]

Следовательно, если для краткости положить
\[
\Phi=\int \varphi d t
\]

и заменить в $\Phi$ переменные $x, y, z$ переменными $a$, $b, c$, то мы получим просто
\[
x=a+\frac{\partial \Phi}{\partial a}, \quad y=b+\frac{\partial \Phi}{\partial b}, \quad z=c+\frac{\partial \Phi}{\partial c},
\]

где функцию $\Phi$ следует взять таким образом, чтобы она была равна нулю, когда $t=0$, с тем, чтобы $a, b, c$ были начальными значениями $x, y, z$. Этот случай встречается в теории волн и при всех малых колебаниях.
22. Вообще говоря, когда масса жидкости такова, что одно из ее измерений значительно меньше каждого из двух остальных, так что, например, координаты $z$ можно рассматривать как очень малые величины по сравнению с $x$ и $y$, то это обстоятельство во многих случаях может облегчить решение общих уравнений.

В самом деле, ясно, что тогда неизвестным $p, q$, $r, \Delta$ можно придать следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
p=p^{\prime}+p^{\prime \prime} z+p^{\prime \prime \prime} z^{2}+\ldots, \\
q=q^{\prime}+q^{\prime \prime} z+q^{\prime \prime \prime} z^{2}+\ldots, \\
r=r^{\prime}+r^{\prime \prime} z+r^{\prime \prime \prime} z^{2}+\ldots, \\
\Delta=\Delta^{\prime}+\Delta^{\prime \prime} z+\Delta^{\prime \prime \prime} z^{2}+\ldots ;
\end{array}
\]
$p^{\prime}, \quad p^{\prime \prime}, \ldots, q^{\prime}, q^{\prime \prime}, \ldots, r^{\prime}, r^{\prime \prime}, \ldots, \Delta^{\prime}, \Delta^{\prime \prime}, \ldots$ являются здесь функциями $x, y, t$, но не зависят от $z$; следовательно, произведя указанные подстановки, мы получим уравнения в рядах, содержащие лишь частные дифференциалы по $x, y, t$.

Для того чтобы дать пример подобного вычисления, снова допустим, что речь идет лишь об однородной жидкости, для которой $\Delta=1$, и начнем с того, что подставим приведенные выше выражения в уравнение (G) пункта 10 ; расположив члены этого уравнения по степеням $z$, мы будем иметь
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial p^{\prime}}{\partial x}+\frac{\partial q^{\prime}}{\partial y}+r^{\prime \prime} & +z\left(\frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial x}+\frac{\partial q^{\prime \prime}}{\partial y}+2 r^{\prime \prime \prime}\right)+ \\
& +z^{2}\left(\frac{\partial p^{\prime \prime \prime}}{\partial x}+\frac{\partial q^{\prime \prime \prime}}{\partial y}+3 r^{\mathrm{IV}}\right)+\ldots=0 .
\end{aligned}
\]

Но так как $p^{\prime}, p^{\prime \prime}, \ldots, q^{\prime}, q^{\prime \prime}, \ldots$ не должны содержать $z$, мы получим следующие частные уравнения:
\[
\begin{array}{r}
\frac{\partial p^{\prime}}{\partial x}+\frac{\partial q^{\prime}}{\partial y}+r^{\prime \prime}=0, \\
\frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial x}+\frac{\partial q^{\prime \prime}}{\partial y}+2 r^{\prime \prime \prime}=0, \\
\frac{\partial p^{\prime \prime \prime}}{\partial x}+\frac{\partial q^{\prime \prime \prime}}{\partial y}+3 r^{\mathrm{IV}}=0, \\
. . . . . . . . .
\end{array}
\]

с помощью которых определим сначала величины $r^{\prime \prime}, r^{\prime \prime \prime}, r^{\mathrm{IV}}, \ldots$; другие же величины $r^{\prime}, p^{\prime}, p^{\prime \prime}, \ldots$, $q^{\prime}, q^{\prime \prime}, \ldots$ останутся еще неопределенными.

Произведем те же подстановки в уравнении (L) пункта 15, которое эквивалентно трем уравнениям (F) пункта 10 ; легко видеть, что оно примет вид:
\[
\begin{array}{l}
d \lambda-d V=\alpha d x+\beta d y+\gamma d z+ \\
\quad+z\left(\alpha^{\prime} d x+\beta^{\prime} d y+\gamma^{\prime} d z\right)+z^{2}\left(\alpha^{\prime \prime} d x+\beta^{\prime \prime} d y+\gamma^{\prime \prime} d z\right)+\ldots,
\end{array}
\]

если для краткости положить
\[
\begin{array}{l}
\alpha=\frac{\partial p^{\prime}}{\partial t}+p^{\prime} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial x}+q^{\prime} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial y}+r^{\prime} p^{\prime \prime}, \\
\beta=\frac{\partial q^{\prime}}{\partial t}+p^{\prime} \frac{\partial q^{\prime}}{\partial x}+q^{\prime} \frac{\partial q^{\prime}}{\partial y}+r^{\prime} q^{\prime \prime}, \\
\gamma=\frac{\partial r^{\prime}}{\partial t}+p^{\prime} \frac{\partial r^{\prime}}{\partial x}+q^{\prime} \frac{\partial r^{\prime}}{\partial y}+r^{\prime} r^{\prime \prime}, \\
\alpha^{\prime}=\frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial t}+p^{\prime} \frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial x}+p^{\prime \prime} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial x}+q^{\prime} \frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial y}+q^{\prime \prime} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial y}+2 r^{\prime} p^{\prime \prime \prime}+r^{\prime \prime} p^{\prime \prime}, \\
\beta^{\prime}=\frac{\partial q^{\prime \prime}}{\partial t}+p^{\prime} \frac{\partial q^{\prime \prime}}{\partial x}+p^{\prime \prime} \frac{\partial q^{\prime}}{\partial x}+q^{\prime} \frac{\partial q^{\prime \prime}}{\partial y}+q^{\prime \prime} \frac{\partial q^{\prime}}{\partial y}+2 r^{\prime} q^{\prime \prime \prime}+r^{\prime \prime} q^{\prime \prime}, \\
\gamma^{\prime}=\frac{\partial r^{\prime \prime}}{\partial t}+p^{\prime} \frac{\partial r^{\prime \prime}}{\partial x}+p^{\prime \prime} \frac{\partial r^{\prime}}{\partial x}+q^{\prime} \frac{\partial r^{\prime \prime}}{\partial y}+q^{\prime \prime} \frac{\partial r^{\prime}}{\partial y}+2 r^{\prime} r^{\prime \prime \prime}+r^{\prime \prime} r^{\prime \prime}
\end{array}
\]
и. так далее.

Следовательно, для того, чтобы правая часть этого уравнения была интегрируемой, необходимо, чтобы была интегрируемой каждая из следующих величин в отдельности:
\[
\begin{array}{c}
a d x+\beta d y, \quad \gamma d z+z\left(\alpha^{\prime} d x+\beta^{\prime} d y\right), \\
\gamma^{\prime} z d z+z^{2}\left(\alpha^{\prime \prime} d x+\beta^{\prime \prime} d y\right), \ldots
\end{array}
\]

Таким образом, если обозначить через ю некоторую функцию $x, y, t$, но без $z$, то мы получим следующие условия:
\[
\begin{array}{l}
\alpha=\frac{\partial \omega}{\partial x}, \quad \beta=\frac{\partial \omega}{\partial y}, \\
\alpha^{\prime}=\frac{\partial \gamma}{\partial x}, \quad \beta^{\prime}=\frac{\partial \gamma}{\partial y}, \\
\alpha^{\prime \prime}=\frac{1}{2} \frac{\partial \gamma^{\prime}}{\partial x}, \quad \beta^{\prime \prime}=\frac{1}{2} \frac{\partial \gamma^{\prime}}{\partial y}, \\
\ldots . \cdots . \cdots
\end{array}
\]

Проинтегрированное уравнение даст тогда
\[
\lambda=V+\left(\omega+\gamma z+\frac{1}{2} \gamma^{\prime} z^{2}+\ldots ;\right.
\]

останется лишь удовлетворить указанным выше условиям с помощью неопределенных функций $\omega, r^{\prime}$, $p^{\prime}, p^{\prime \prime}, \ldots, q^{\prime}, q^{\prime \prime}, \ldots$

Вычисление еще больше упрощается, когда две переменные $y$ и $z$ одновременно очень малы по сравнению с $x$, так как в этом случае можно положить
\[
\begin{array}{l}
p=p^{\prime}+p^{\prime \prime} y+p^{\prime \prime \prime} z+p^{\mathrm{IV}} y^{2}+p^{\mathrm{v}} y z+\ldots, \\
q=q^{\prime}+q^{\prime \prime} y+q^{\prime \prime \prime} z+q^{\mathrm{IV}} y^{2}+q^{\mathrm{v}} y z+\ldots, \\
r=r^{\prime}+r^{\prime \prime} y+r^{\prime \prime \prime} z+r^{\mathrm{IV}} y^{2}+r^{\mathrm{v}} y z+\ldots,
\end{array}
\]

где величины $p^{\prime}, p^{\prime \prime}, \ldots, q^{\prime}, q^{\prime \prime}, \ldots, r^{\prime}, r^{\prime \prime}, \ldots$ являются только функциями $x$.

Если произвести эти подстановки в уравнении (G) и приравнять отдельно нулю члены, в состав которых входят $y, z$ и их произведения, то мы получим
\[
\frac{\partial p^{\prime}}{\partial x}+q^{\prime \prime}+r^{\prime \prime \prime}=0 ; \frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial x}+2 q^{\mathrm{IV}}+r^{\mathrm{V}}=0, \ldots
\]

Затем уравнение (L) примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
d \lambda-d V=\alpha d x+\beta d y+\gamma d z & +y\left(\alpha^{\prime} d x+\beta^{\prime} d y+\gamma^{\prime} d z\right)+ \\
& +z\left(\alpha^{\prime \prime} d x+\beta^{\prime \prime} d y+\gamma^{\prime \prime} d z\right)+\ldots,
\end{aligned}
\]

если положить
\[
\begin{array}{l}
\alpha=\frac{\partial p^{\prime}}{\partial t}+p^{\prime} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial x}+q^{\prime} p^{\prime \prime}+r^{\prime} p^{\prime \prime \prime}, \\
\beta=\frac{\partial q^{\prime}}{\partial t}+p^{\prime} \frac{\partial q^{\prime}}{\partial x}+q^{\prime} q^{\prime \prime}+r^{\prime} q^{\prime \prime \prime} \\
\gamma=\frac{\partial r^{\prime}}{\partial t}+p^{\prime} \frac{\partial r^{\prime}}{\partial x}+q^{\prime} r^{\prime \prime}+r^{\prime} r^{\prime \prime \prime}, \\
\alpha^{\prime}=\frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial t}+p^{\prime} \frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial x}+p^{\prime \prime} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial x}+2 q^{\prime} p^{\mathrm{IV}}+q^{\prime \prime} p^{\prime \prime}+r^{\prime} p^{\mathrm{V}}+r^{\prime \prime} p^{\prime \prime \prime}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; }
\end{array}
\]

для интегрируемости этого уравнения мы будем иметь следующие условия:
\[
\alpha^{\prime}=\frac{\partial \beta}{\partial x}, \quad \alpha^{\prime \prime}=\frac{\partial \gamma}{\partial x}, \ldots,
\]

с помощью которых мы получим
\[
\lambda=V+\int \alpha d x+\beta y+\gamma z \ldots
\]

Наконец, иногда можно упростить расчет и с помощью подстановок, введя вместо координат $x, y, z$ другие переменные $\xi, \eta$, $\zeta$, являющиеся заданными функциями первых; если, согласно природе вопроса, скажем, переменная или две переменные $\eta$ и гочень малы по сравнению с $\xi$, то мы можем применить преобразования, аналогичные тем, какие нами были изложены выше.