92. Для того чтобы црименить указанные формулы к движению планет вокруг Солнца, следует массу $m$ приравнять массе Солнца, массу $m^{\prime}$ – массе планеты; возмущения которой мы определяем, и массы $\mathrm{m}^{\prime \prime}$, $m^{\prime \prime \prime}, \ldots$ – массам возмущающих планет и положить
\[
R^{\prime}=\frac{1}{\rho^{\prime 9}}, \quad R^{\prime \prime}=\frac{1}{\rho^{\prime \prime 2}}, \ldots, \quad R^{\prime \prime}=\frac{1}{\rho^{\prime \prime}}, \ldots
\]

Затем в выражение функции $Q^{\prime}$ следует вместо координат $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime}, \ldots$ различных тел, движущихся вокруг $m$, подставить их выражения в функции $t$ соответственно тем формулам, которые были нами даны в главе I для координат $x, y, z$, положив в них
\[
g=m+m^{\prime}
\]

или просто $g^{\prime}$ для того, чтобы отнести эту букву к телу $m^{\prime}$, и тогда на основании пункта 69 и следующих мы получим вариации шести элементов планетной орбиты вокруг Солнца.

Мы ограничимся здесь лишь отысканием вековых возмущений этих элементов, которые являются наиболее важными и которые зависят лишь от первого, постоянного члена разложения $Q$.
Выражение $Q^{\prime}$ примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
Q^{\prime}=m^{\prime \prime} & \left(\frac{1}{\rho^{\prime \prime}}-\frac{\rho^{\prime 2}+\rho^{\prime \prime 2}-\rho^{\prime \prime 2}}{2 \rho^{\prime \prime} 3}\right)+ \\
& \quad+m^{\prime \prime \prime}\left(\frac{1}{\rho^{\prime \prime \prime}}-\frac{\rho^{\prime 2}+\rho^{\prime \prime \prime 2}-\rho^{\prime \prime \prime 2}}{2 \rho^{\prime \prime \prime 3}}\right)+\ldots
\end{aligned}
\]

93. Начнем с разложения величины
\[
f^{\prime \prime}=\sqrt{\left(\xi^{\prime \prime}-\xi^{\prime}\right)^{2}+\left(\eta^{\prime \prime}-\eta^{\prime}\right)^{2}+\left(\zeta^{\prime \prime}-\zeta^{\prime}\right)^{2}} ;
\]

сначала подставим в ней вместо $\xi, \eta, \zeta$ выражения для $x, y, z$ пункта 13 , обозначая одним или двумя штрихами величины, относящиеся к массам $m^{\prime}, m^{\prime \prime}$. Мы получим
\[
\begin{aligned}
p^{\prime \prime 2}= & \rho^{\prime 2}+\rho^{\prime \prime 2}- \\
& -2 \rho_{p^{\prime \prime}}^{\prime \prime}\left(x^{\prime} \cos \Phi^{\prime}+\beta^{\prime} \sin \Phi^{\prime}\right)\left(\alpha^{\prime \prime} \cos \Phi^{\prime \prime}+\beta^{\prime \prime} \sin \Phi^{\prime \prime}\right)- \\
& -2 \prime^{\prime} \gamma^{\prime \prime}\left(\alpha_{1}^{\prime} \cos \Phi^{\prime}+\beta_{1}^{\prime} \sin \Phi^{\prime}\right)\left(x_{1}^{\prime \prime} \cos \Phi^{\prime \prime}+\beta_{1}^{\prime \prime} \sin \Phi^{\prime \prime}\right)- \\
& -2 \rho^{\prime} j^{\prime \prime}\left(x_{2}^{\prime} \cos \Phi^{\prime}+\beta_{2}^{\prime} \sin \Phi^{\prime}\right)\left(\alpha_{2}^{\prime \prime} \cos \Phi^{\prime \prime}+\beta_{2}^{\prime \prime} \sin \Phi^{\prime \prime}\right) .
\end{aligned}
\]

Если выполнить указанные умножения, разложить произведения синусов и косинусов и положить для краткости
\[
\begin{aligned}
A & =\alpha^{\prime} \alpha^{\prime \prime}+\alpha_{1}^{\prime} \alpha_{1}^{\prime \prime}+\alpha_{2}^{\prime} \alpha_{2}^{\prime \prime}, \\
B & =\alpha^{\prime} \beta^{\prime \prime}+\alpha_{1}^{\prime} \beta_{1}^{\prime \prime}+\alpha_{2}^{\prime} \beta_{2}^{\prime \prime}, \\
A_{1} & =\alpha^{\prime \prime} \beta^{\prime}+\alpha_{1}^{\prime \prime} \beta_{1}^{\prime}+\alpha_{2}^{\prime \prime} \beta_{2}^{\prime}, \\
B_{1} & =\beta^{\prime} \beta^{\prime \prime}+\beta_{1}^{\prime} \beta_{1}^{\prime \prime}+\beta_{2}^{\prime} \beta_{2}^{\prime \prime},
\end{aligned}
\]

то мы получим
\[
\begin{array}{l}
\rho^{\prime 2}=\rho^{\prime 2}+\rho^{\prime \prime 2}- \\
-\left(A+B_{1}\right) \rho^{\prime} \rho^{\prime \prime} \cos \left(\Phi^{\prime}-\Phi^{\prime \prime}\right)-\left(A-B_{1}\right) \rho^{\prime} \rho^{\prime \prime} \cos \left(\Phi^{\prime}+\Phi^{\prime \prime}\right)- \\
-\left(A_{1}-B\right) \rho^{\prime} \rho^{\prime \prime} \sin \left(\Phi^{\prime}-\Phi^{\prime \prime}\right)-\left(A_{1}+B\right) \rho^{\prime} \rho^{\prime \prime} \sin \left(\Phi^{\prime}+\Phi^{\prime \prime}\right) .
\end{array}
\]

Величины $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \alpha_{1}^{\prime}, \ldots$ являются функциями элементов $h^{\prime}, i^{\prime}, k^{\prime}$ орбиты планеты $m^{\prime}$, заданной формулами пункта 13 , в которых все буквы помечены одним штрихом, а величины $\alpha^{\prime \prime}, \beta^{\prime \prime}, \alpha_{1}^{\prime \prime}, \ldots$ являются подобными же функциями элементов $h^{\prime \prime}, i^{\prime \prime}, k^{\prime \prime}$ орбиты планеты $m^{\prime \prime}$, если буквы пометить двумя штрихами; таким образом, величины $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{A}_{1}, \mathrm{~B}_{1}$ являются функциями этих же элементов; а что́ выражают эти величины, можно установить путем следующего рассуждения.
94. Для того чтобы первоначальные координаты $x, y, z$, отнесенные к заданной плоскости, преобразовать в координаты $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, отнесенные к плоскости орбиты $m^{\prime}$, мы, согласно общим формулам пункта 14, имеем
\[
\begin{array}{l}
x=\alpha^{\prime} x^{\prime}+\beta^{\prime} y^{\prime}+\gamma^{\prime} z^{\prime}, \\
y=\alpha_{1}^{\prime} x^{\prime}+\beta_{1}^{\prime} y^{\prime}+\gamma_{1}^{\prime} z^{\prime}, \\
z=\alpha_{2}^{\prime} x^{\prime}+\beta_{2}^{\prime} y^{\prime}+\gamma_{2}^{\prime} z^{\prime},
\end{array}
\]

где коэффициенты $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \ldots$ зависят от постоянных $h^{\prime}, i^{\prime}, k^{\prime}$, определяющих положение новых осей по отношению $\mathrm{F}$ первоначальным, причем $i^{\prime}$ есть угол наклона двух плоскостей.

Точно так же, если бы мы захотели эти же координаты преобразовать в координаты $x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}$, отнесенные к шлоскости орбиты $m^{\prime \prime}$, то мы имели бы
\[
\begin{array}{l}
x=\alpha^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+\beta^{\prime \prime} y^{\prime \prime}+\gamma^{\prime \prime} z^{\prime \prime}, \\
y=\alpha_{1}^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+\beta_{1}^{\prime \prime} y^{\prime \prime}+\gamma_{1}^{\prime \prime} z^{\prime \prime}, \\
z=\alpha_{2}^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+\beta_{2}^{\prime \prime} y^{\prime \prime}+\gamma_{2}^{\prime \prime} z^{\prime \prime},
\end{array}
\]

где коэффидиенты $\alpha^{\prime \prime}, \beta^{\prime \prime}, \ldots$ были бы аналогичными функциями постоянных $h^{\prime \prime}, i^{\prime \prime}, k^{\prime \prime}$, определяющих положение этой новой плоскости по отношению к той же первоначальной плоскости, а $i^{\prime \prime}$ был бы углом наклона этих плоскостей.

Сопоставив теперь приведенные выше выражения, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\alpha^{\prime} x^{\prime}+\beta^{\prime} y^{\prime}+\gamma^{\prime} z^{\prime}=\alpha^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+\beta^{\prime \prime} y^{\prime \prime}+\gamma^{\prime \prime} z^{\prime \prime}, \\
\alpha_{1}^{\prime} x^{\prime}+\beta_{1}^{\prime} y^{\prime}+\gamma_{1}^{\prime} z^{\prime}=\alpha_{1}^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+\beta_{1}^{\prime \prime} y^{\prime \prime}+\gamma_{1}^{\prime \prime} z^{\prime \prime}, \\
\alpha_{2}^{\prime} x^{\prime}+\beta_{2}^{\prime} y^{\prime}+\gamma_{2}^{\prime} z^{\prime}=\alpha_{2}^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+\beta_{2}^{\prime \prime} y^{\prime \prime}+\gamma_{2}^{\prime \prime} z^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Так как коэффициенты $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime} ; \alpha_{1}^{\prime}, \ldots$ подчинены тем же условным уравнениям, что и коаффициенты $\alpha, \beta, \gamma ; \alpha_{1}, \ldots$ пункта 14 , то если приведенные выпе три уравнения сложить, умножив их предварительно соответственно на $\alpha^{\prime}, \sigma_{1}^{\prime}, \alpha_{2}^{\prime}$, и на $\beta^{\prime}, \beta_{1}^{\prime}, \beta_{2}^{\prime}$, и на $\gamma^{\prime}, \gamma_{1}^{\prime}, \gamma_{2}^{\prime}$, то, в силу указанных уравнений, мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=A x^{\prime \prime}+B y^{\prime \prime}+C z^{\prime \prime}, \\
y^{\prime}=A_{1} x^{\prime \prime}+B_{1} y^{\prime \prime}+C_{1} z^{\prime \prime}, \\
z^{\prime}=A_{2} x^{\prime \prime}+B_{2} y^{\prime \prime}+C_{2} z^{\prime \prime},
\end{array}
\]
положив для краткости
\[
\begin{array}{c}
A=\alpha^{\prime} \alpha^{\prime \prime}+\alpha_{1}^{\prime} \alpha_{1}^{\prime \prime}+\alpha_{2}^{\prime} \alpha_{2}^{\prime \prime}, \\
B=\alpha^{\prime} \beta^{\prime \prime}+\alpha_{1}^{\prime} \beta_{1}^{\prime \prime}+\alpha_{2}^{\prime} \beta_{2}^{\prime \prime}, \\
C=\alpha^{\prime} \gamma^{\prime \prime}+\alpha_{1}^{\prime} \gamma_{1}^{\prime \prime}+\alpha_{2}^{\prime} \gamma_{2}^{\prime \prime}, \\
A_{1}=\beta^{\prime} \alpha^{\prime \prime}+\beta_{1}^{\prime} \alpha_{1}^{\prime \prime}+\beta_{2}^{\prime} \alpha_{2}^{\prime \prime}, \\
B_{1}=\beta^{\prime} \beta^{\prime \prime}+\beta_{1}^{\prime} \beta_{1}^{\prime \prime}+\beta_{2}^{\prime} \beta_{2}^{\prime \prime}, \\
C_{1}=\beta^{\prime} \gamma^{\prime \prime}+\beta_{1}^{\prime} \gamma_{1}^{\prime \prime}+\beta_{2}^{\prime} \gamma_{2}^{\prime \prime}, \\
A_{2}=\gamma^{\prime} \alpha^{\prime \prime}+\gamma_{1}^{\prime} \alpha_{1}^{\prime \prime}+\gamma_{2}^{\prime} \alpha_{2}^{\prime \prime}, \\
B_{2}=\gamma^{\prime} \beta^{\prime \prime}+\gamma_{1}^{\prime} \beta_{1}^{\prime \prime}+\gamma_{2}^{\prime} \beta_{2}^{\prime \prime}, \\
C_{2}=\gamma^{\prime} \gamma^{\prime \prime}+\gamma_{1}^{\prime} \gamma_{1}^{\prime \prime}+\gamma_{2}^{\prime} \gamma_{2}^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Ясно, что с помощью этих формул координаты $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ преобразовались в координаты $x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}$; поэтому коэффициенты $A, B, C ; A_{1}, B_{1}, \ldots$ могут быть выражены аналогично тому, как выражены подобные им коэффициенты $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime} ; \alpha_{1}^{\prime}, \beta_{1}^{\prime}, \ldots$; следовательно, если вместо $h^{\prime}, i^{\prime}, k^{\prime}$ взять постоянные величины $H, I, K$, то на основании общих формул пункта 13 . мы получим
\[
\begin{array}{l}
A=+\cos K \cos H-\sin H \sin K \cos I, \\
B=-\sin K \cos H-\sin H \cos K \cos I, \\
C=\sin H \sin I \\
A_{1}=+\cos K \sin H+\sin K \cos H \cos I, \\
B_{1}=-\sin K \sin H+\cos K \cos H \cos I, \\
C_{1}=-\cos H \sin I \\
A_{2}=\sin K \sin I, \\
B_{2}=\cos K \sin I, \\
C_{2}=\cos I .
\end{array}
\]

Постоянная $I$ представит угол между двумя плоскостями, в которых лежат орбиты планет $m^{\prime}$ и $\mathrm{m}^{\prime \prime}$; мы обозначим ее через $I^{\prime \prime}$, дабы указать, что онә относится к орбитам планет $m^{\prime}$ и $m^{\prime \prime}$, а если в выражении для $C_{2}$ в функлии $\gamma^{\prime}, \gamma^{\prime \prime}, \gamma_{1}^{\prime}, \ldots$ подставить значения этих коэффициентов, выраженные через $h^{\prime}, k^{\prime}, i^{\prime}, h^{\prime \prime}, k^{\prime \prime}, i^{\prime \prime}$ (п. 13), то мы получим
\[
\cos I^{\prime \prime}=\cos i^{\prime} \cos i^{\prime \prime}+\cos \left(h^{\prime}-h^{\prime \prime}\right) \sin i^{\prime} \sin i^{\prime \prime} .
\]

Как видим, величины, обозначенные нами через $A, B, A_{1}, B_{1}$, являются теми же функциями $\alpha^{\prime}, \alpha^{\prime \prime}$, $\beta^{\prime}, \ldots$, что и те функции, которые мы обозначили теми же буквами в пункте 93 ; таким образом, при подстановке в формулах этого пункта вместо указанных величин найденных нами значений мы получим
\[
\begin{array}{l}
A+B_{1}=2 \cos (H+K) \cos ^{2} \frac{1}{2} I^{\prime \prime}, \\
A-B_{1}=2 \cos (H-K) \sin ^{2} \frac{1}{2} I^{\prime \prime}, \\
A_{1}-B=2 \sin (H+K) \cos ^{2} \frac{1}{2} I^{\prime \prime}, \\
A_{1}+B=2 \sin (H-K) \sin ^{2} \frac{1}{2} I^{\prime \prime}
\end{array}
\]
95. Следовательно, если произвести указанные подстановки в выражение для $p$ \”, пункта 93 , то мы будем иметь
\[
\begin{aligned}
\rho^{\prime \prime 2}=\rho^{\prime 2}-2 \mu^{\prime} \rho^{\prime \prime} \cos \left(\Phi^{\prime}-\Phi^{\prime \prime}-H-K\right) \cos ^{2} \frac{1}{2} I^{\prime \prime}- \\
-2 \rho^{\prime} \rho^{\prime \prime} \cos \left(\Phi^{\prime}+\Phi^{\prime \prime}-H+K\right) \sin ^{2} \frac{1}{2} I^{\prime \prime} .
\end{aligned}
\]

Положив на время
\[
\Delta=\cos \left(\Phi^{\prime}+\Phi^{\prime \prime}-H+K\right)-\cos \left(\Phi^{\prime}-\Phi^{\prime \prime}-H-K\right),
\]

мы получим
\[
\frac{1}{\rho^{\prime \prime}}=\frac{1}{\sqrt{\rho^{\prime 2}+\rho^{\prime 2}-2 \rho^{\prime} \rho^{\prime \prime} \cos \left(\Phi^{\prime}-\Phi^{\prime \prime}-H-K\right)-2 \rho^{\prime} \rho^{\prime \prime} \Delta \sin ^{2} \frac{1}{2} I^{\prime \prime}}} ;
\]

это выражение следует подставить в выражение для $Q$ пункта 92 ; этим путем мы получим
\[
\frac{\rho^{\prime 2}+\rho^{\prime \prime 2}-\rho^{\prime \prime 2}}{2 \rho^{\prime \prime 2}}=\frac{\rho^{\prime} \cos \left(\Phi^{\prime}-\Phi^{\prime \prime}-H-K\right)}{\rho^{\prime \prime 2}}+\frac{\rho^{\prime} \Delta \sin ^{2} \frac{1}{2} I^{\prime \prime}}{\rho^{\prime \prime 2}} .
\]

Снабдив тремя штрихами те буквы, которые отмечены лишь двумя штрихами, мы получим те члены в выражении для $\mathcal{Q}$, которые умножаются на $\mathrm{m}^{\prime \prime}$, и так далее.

Затем вместо $\mu^{\prime}, \varrho^{\prime \prime}, \ldots$ и вместо $\Phi^{\prime}, \Phi^{\prime \prime}, \ldots$ следует подставить их выражения в функции средних аномалий $u^{\prime}, u^{\prime \prime}, \ldots$, согласно формулам пунктов 21 и 22 ; при разложении мы ограничимся тем, что примем во внимание вторые измерения эксцентриситетов $e^{\prime}, e^{\prime \prime}, \ldots$ и углов взаимного наклона $I^{\prime \prime}, I_{,}^{\prime \prime \prime}$ между орбитами $m^{\prime \prime}, m^{\prime \prime \prime}, \ldots$ и орбитами $m^{\prime}$, рассматривая эти величины как очень малые одного и того же порядка и отбрасывая те члены, в которых они образуют произведения выше второго измерения.
Таким образом, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{\rho^{\prime \prime}}=\frac{1}{\sqrt{\rho^{\prime 2}+\rho^{\prime 2}-2 \rho^{\prime} \rho^{\prime \prime} \cos \left(\Phi^{\prime}-\Phi^{\prime \prime}-H-K\right)}}- \\
-\frac{\rho \rho^{\prime}\left[\cos \left(\Phi^{\prime}+\Phi^{\prime \prime}-H+K\right)-\cos \left(\Phi^{\prime}-\Phi^{\prime \prime}-H-K\right)\right]}{\left[\rho^{\prime 2}+\rho^{\prime \prime 2}-2 \rho^{\prime} \rho^{\prime \prime} \cos \left(\Phi^{\prime}-\Phi^{\prime \prime}-H-K\right)\right]^{3 / 2}} \sin ^{2} \frac{1}{2} l^{\prime \prime},
\end{array}
\]
96. Как известно, степени функции вида
\[
\rho^{\prime 2}+p^{\prime \prime 2}-2 \rho^{\prime} \mu^{\prime \prime} \cos \varphi
\]

могут быть разложены в ряды косинусов углов, кратных $;$; следовательно, можно положить
\[
\begin{array}{l}
\left(p^{\prime 2}+p^{\prime \prime 2}-2 \rho^{\prime} \rho^{\prime \prime} \cos \varphi\right)^{-1 / 2}=\left(p^{\prime}, \rho^{\prime \prime}\right)+\left(\rho^{\prime}, \rho^{\prime \prime}\right)_{1} \cos \varphi+ \\
+\left(p^{\prime}, \rho^{\prime \prime}\right)_{2} \cos 2 \varphi+\left(p^{\prime}, \rho^{\prime \prime}\right)_{3} \cos 3 \varphi+\ldots \text {, } \\
\left(p^{\prime 2}+p^{\prime \prime 2}-2 p^{\prime} p^{\prime \prime} \cos \varphi\right)^{-3 / 2}=\left[p^{\prime}, p^{\prime \prime}\right]+\left[p^{\prime}, p^{\prime \prime}\right]_{1} \cos \varphi+ \\
+\left[\rho^{\prime}, \rho^{\prime \prime}\right]_{2} \cos 2 \varphi+\left[\rho^{\prime}, p^{\prime \prime}\right]_{3} \cos 3 \varphi+\ldots, \\
\end{array}
\]

где $\left(p^{\prime}, p^{\prime \prime}\right),\left(\rho^{\prime}, p^{\prime \prime}\right)_{1}, \ldots,\left[i^{\prime}, p^{\prime \prime}\right],\left[\rho^{\prime}, p^{\prime \prime}\right]_{1}, \ldots$ являются функциями $\rho^{\prime}, \rho^{\prime \prime}$, выраженными с помощью рядов или определенных интегралов, в которые величины $p^{\prime}$ и $p^{\prime \prime}$ входят одинаковым образом и образуют однородные функции измерения -1 или – 3 .
Таким образом, положив
\[
\varphi=\Phi^{\prime}-\Phi^{\prime \prime}-H-K,
\]

мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{p_{1}^{\prime \prime}}=\left(r^{\prime}, p^{\prime \prime}\right)+\left(p^{\prime}, p^{\prime \prime}\right)_{1} \cos \varphi+\left(p^{\prime}, p^{\prime \prime}\right)_{2} \cos 2 p+\ldots \\
\ldots+\rho^{\prime} p^{\prime \prime}\left(\left[p^{\prime}, p^{\prime \prime}\right]+\left[p^{\prime}, p^{\prime \prime}\right]_{1} \cos \varphi+\left[p^{\prime}, \rho^{\prime \prime}\right]_{2} \cos 2 p+\ldots\right) \times \\
\times\left[\cos \left(\varphi+2 \Phi^{\prime \prime}+2 K\right)-\cos \varphi\right] \sin ^{2} \frac{1}{2} l_{\prime \prime}^{\prime \prime}, \\
\end{array}
\]

где следует положить (п. 21 и 22)
\[
\begin{array}{l}
\rho^{\prime}=a^{\prime}\left(1-e^{\prime} \cos u^{\prime}+\frac{e^{2}}{2}-\frac{e^{\prime 2}}{2} \cos 2 u^{\prime}\right), \\
\rho^{\prime \prime}=a^{\prime \prime}\left(1-e^{\prime \prime} \cos u^{\prime \prime}+\frac{e^{\prime \prime 2}}{2}-\frac{e^{\prime \prime 2}}{2} \cos 2 u^{\prime \prime}\right), \\
\mathrm{P}^{\prime}=u^{\prime}+2 e^{\prime} \sin u^{\prime}+\frac{53^{\prime 2}}{4} \sin 2 u^{\prime}, \\
\Phi^{\prime \prime}=u^{\prime \prime}+2 e^{\prime \prime} \sin u^{\prime \prime}+\frac{5 e^{\prime \prime 2}}{4} \sin 2 u^{\prime \prime},
\end{array}
\]

следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\varphi=u^{\prime}-u^{\prime \prime}-L+2\left(e^{\prime} \sin u^{\prime}-e^{\prime \prime} \sin u^{\prime \prime}\right)+ \\
+\frac{5}{4}\left(e^{2} \sin u^{\prime}-e^{\prime \prime 2} \sin 2 u^{\prime \prime}\right),
\end{array}
\]

где $L$ равно $H+K$.
Так как в членах, умножающихся на $\sin ^{2} \frac{I}{2}$, мы отбрасываем члены порядка выше второго, можно тотчас же поставить $a^{\prime}$ и $a^{\prime \prime}$ вместо $p^{\prime}$ и $p^{\prime \prime}, u^{\prime}$ и $u^{\prime \prime}-$ вместо $\Phi^{\prime}$ и $\Phi^{\prime \prime}$ п $u^{\prime}-u^{\prime \prime}-L-$ вместо $\varphi$; разложив произведения косинусов, мы легко увидим, что имеется лишь один член, не зависящий от углов $u^{\prime}$ и $u^{\prime \prime}$, а именно,
\[
-\frac{1}{2} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1} \sin ^{2} \frac{1}{2} I^{*},
\]

Рассмотрим теперь функции $\left(\rho^{\prime}, \rho^{\prime \prime}\right),\left(\rho^{\prime} ; \rho^{\prime \prime}\right)_{1}, \ldots$; произведя здесь указанные выше подстановки вместо $\rho^{\prime}$ и $p^{\prime \prime}$ и сохранив вторые измерения $e^{\prime}$ и $e^{\prime \prime}$, мы
получим
\[
\begin{aligned}
\left(p^{\prime}, \rho^{\prime \prime}\right)= & \\
=\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right) & +\frac{\partial\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{\partial a^{\prime}}\left(-a^{\prime} e^{\prime} \cos u^{\prime}+\frac{a^{\prime} e^{\prime 2}}{2}-\frac{a^{\prime} e^{\prime 2}}{2} \cos 2 u^{\prime}\right) \\
& +\frac{\partial^{2}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{2 \partial a^{\prime 2}} \frac{a^{\prime 2} e^{\prime 2}}{2}\left(1+\cos 2 u^{\prime}\right)+ \\
& +\frac{\partial\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{\partial a^{\prime \prime}}\left(-a^{\prime \prime} e^{\prime \prime} \cos u^{\prime \prime}+\frac{a^{\prime \prime} e^{\prime \prime 2}}{2}-\frac{a^{\prime \prime} e^{\prime 2}}{2} \cos 2 u^{\prime \prime}\right)+ \\
& +\frac{\partial^{2}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{\left.2 \partial a^{\prime \prime}\right)} \frac{a^{\prime \prime} e^{\prime \prime} 3}{2}\left(1+\cos 2 u^{\prime \prime}\right)+ \\
& +\frac{\partial^{2}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{\partial a^{\prime} \partial a^{\prime \prime}} \frac{a^{\prime} a^{\prime \prime} e^{\prime} e^{\prime \prime}}{2}\left[\cos \left(u^{\prime}-u^{\prime \prime}\right)-\cos \left(u^{\prime}+u^{\prime \prime}\right)\right]
\end{aligned}
\]

аналогичные выражения мы получим для других подобных функций. Равным образом мы получим
\[
\begin{aligned}
\cos \varphi & =-\cos \left(u^{\prime}-u^{\prime \prime}-L\right)- \\
& -\sin \left(u^{\prime}-u^{\prime \prime}-L\right)\left\{\begin{array}{c}
2 e^{\prime} \sin u^{\prime}+\frac{5 e^{\prime 2}}{4} \sin 2 u^{\prime}- \\
-2 e^{\prime \prime} \sin u^{\prime \prime}-\frac{5 e^{\prime \prime 2}}{4} \sin 2 u^{\prime \prime}
\end{array}\right\}- \\
& -\cos \left(u^{\prime}-u^{\prime \prime}-L\right) \times \\
& \times\left\{\begin{array}{l}
e^{\prime 2}-e^{\prime 2} \cos 2 u^{\prime}+e^{\prime \prime 2}-e^{\prime 2} \cos 2 u^{\prime \prime}- \\
-2 e^{\prime} e^{\prime \prime}\left[\cos \left(u^{\prime}-u^{\prime \prime}\right)-\cos \left(u^{\prime}+u^{\prime \prime}\right)\right]
\end{array}\right\}
\end{aligned}
\]

таким же образом разложим косинусы углов, кратных $\varphi$, и умножим выражения этих косинусов на выражения коэффициентов $\left(p^{\prime}, p^{\prime \prime}\right),\left(p^{\prime}, p^{\prime \prime}\right)_{1}, \ldots$

Так как мы ищем лишь члепы, не зависящие от какого бы то ни было периода, то следует отбросить все те члены, которые умножаются на косинусы углов, кратных $u^{\prime}$ и $u^{\prime \prime}$, представляющих собою углы средних движений $m^{\prime}$ и $m^{\prime \prime}$.

Таким образом, член $\left(p^{\prime}, p^{\prime \prime}\right)$ выражения $\frac{1}{p^{\prime \prime}}$ даст лишь следующее:
\[
\begin{aligned}
\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)+\left[\frac{\partial\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{2 \partial a^{\prime}}\right. & \left.a^{\prime}+\frac{\partial^{2}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{4 \partial a^{\prime 2}} a^{\prime 2}\right] e^{\prime 2}+ \\
& +\left[\frac{\partial\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{2 \partial a^{\prime \prime}} a^{\prime \prime}+\frac{\partial^{2}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{4 \partial a^{\prime 2}}\right] e^{\prime \prime 2}
\end{aligned}
\]

Член ( $\left.\rho^{\prime}, \rho^{\prime \prime}\right)_{1} \cos \varphi$ даст следующее:
\[
\begin{aligned}
{\left[\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1}+\frac{\partial\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{2 \partial a^{\prime}} a^{\prime}\right.} & +\frac{\partial\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1}}{2 \partial a^{\prime \prime}} a^{\prime \prime}+ \\
& \left.+\frac{\partial^{2}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1}}{4 \partial a^{\prime} \partial a^{\prime \prime}} a^{\prime} a^{\prime \prime}\right] e^{\prime} e^{\prime \prime} \cos L .
\end{aligned}
\]

Член $\left(\rho^{\prime}, \rho^{\prime \prime}\right)_{2} \cos 2 \varphi$ и следующие дадут лишь такие члены, в которых $e^{\prime}, e^{\prime \prime}, i^{\prime}, i^{\prime \prime}$ образуют измерения выше второго, которые мы отбрасываем.
Остается еще разложить выражение (п. 93, 94)
\[
\frac{\rho^{\prime 2}+\rho^{\prime \prime 2}-\rho^{\prime \prime 2}}{2 \rho^{\prime / 3}}=\frac{\rho^{\prime} \cos \varphi}{\rho^{\prime \prime 2}}+\frac{\rho^{\prime} \Delta \sin ^{2} \frac{1}{2} I^{\prime \prime}}{\rho^{\prime 2}} .
\]

Здесь следует произвести для $p^{\prime}, p^{\prime \prime}$ тө же подстановки, какие были сделаны выше; мы получим сначала
\[
\begin{array}{l}
\frac{\rho^{\prime}}{i^{\prime \prime 2}}=\frac{a^{\prime}}{a^{\prime \prime 2}}\left\{1-e^{\prime} \cos u^{\prime}+2 e^{\prime \prime} \cos u^{\prime \prime}+\frac{e^{\prime 2}}{2}\left(1-\cos 2 u^{\prime}\right)+\right. \\
\left.\quad+\frac{e^{\prime 3}}{2}\left(1+5 \cos 2 u^{\prime \prime}\right)+e^{\prime} e^{\prime \prime}\left[\cos \left(u^{\prime}-u^{\prime \prime}\right)+\cos \left(u^{\prime}+u^{\prime \prime}\right)\right]\right\} ;
\end{array}
\]

ио в том члене, который содержит $\sin \frac{1}{2} I$ и который уже является величиной второго порядка, достаточно вместо $\frac{\rho^{\prime}}{\rho^{a_{2}}}$ подставить $\frac{a^{\prime}}{a^{a_{2}}}$, а так как
\[
\Delta=\cos \left(\Phi^{\prime}+\Phi^{\prime \prime}-H+K\right)-\cos \left(\Phi^{\prime}-\Phi^{\prime}-H-K\right),
\]

то ясно, что этот член не даст какой-либо постоянной величины.

Умножив приведеиное выше выражение $\frac{p^{\prime}}{p^{\prime 2}}$ на выражение $\cos \varphi$ предшествующего пункта и сохранив лишь те постоянные члены, в которых $e^{\prime}$ и $e^{\prime \prime}$ не превышают второго измерения, мы легко найдем
\[
\frac{a^{\prime}}{a^{\prime \prime}}\left(-\frac{e^{\prime} e^{\prime \prime}}{2}-e^{\prime} e^{\prime \prime}+\frac{e^{\prime} e^{\prime \prime}}{2}+e^{\prime} e^{\prime \prime}\right) \cos L=0 ;
\]

таким образом, в рассматриваемой нами величине постоянные члены взаимно уничтожаются,

97. Сумма всех найденных нами выше членов, будучи умножена на $\mathrm{m}^{n}$, представит собою постоянную часть функции $Q^{\prime}$, обязанную своим существованием действию планеты $m^{\prime \prime}$; аналогичное выражение можно получить и для той части, которая обязана действию иланеты $m^{\prime \prime \prime}$, отнеся к последней величины, связанные с планетой $m^{\prime \prime}$.

Мы обозначили эту непериодическую часть функции $Q$ через (Q); следовательно, если для сокращения положить
\[
\left(\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)\right)=\frac{\partial\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{2 \partial a^{\prime}} a^{\prime}+\frac{\partial^{2}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{4 \partial a^{\prime 2}} a^{\prime 2},
\]

и, стало быть, так как $a^{\prime}$ и $a^{\prime \prime}$ одинаковым образом входят в функцию ( $\left.a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)$,
\[
\left(\left(a^{\prime \prime}, a^{\prime}\right)\right)=\frac{\partial\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{2} \frac{\partial a^{\prime \prime}}{\partial a^{\prime \prime}}+\frac{\partial^{2}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{4 \partial a^{\prime \prime 2}} a^{\prime \prime 2},
\]

и далее
\[
\begin{aligned}
{\left[\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)\right]=\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1} } & +\frac{\partial\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1}}{2 \partial a^{\prime}} a^{\prime}+ \\
& +\frac{\partial\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1}}{2 \partial a^{\prime \prime}} a^{\prime \prime}+\frac{\partial^{2}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1}}{4 \partial a^{\prime} \partial a^{\prime \prime}} a^{\prime} a^{\prime \prime},
\end{aligned}
\]

то мы будем иметь
\[
-\left(Q^{\prime}\right)=m^{\prime \prime}\left\{\begin{array}{c}
\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)-\left(\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)\right) e^{\prime 2}+\left(\left(a^{\prime \prime}, a^{\prime}\right)\right) e^{\prime 2}+ \\
+\left[\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)\right] e^{\prime} e^{\prime \prime} \cos L- \\
-\frac{1}{2} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1} \sin ^{2} \frac{1}{2} I_{1}^{\prime \prime}
\end{array}\right\}+\ldots
\]

Это значение является верным до величин третьего порядка, если эксцентриситеты $e^{\prime}$ и $c^{\prime \prime}$ орбит $m^{\prime}$ и $m^{\prime \prime}$, равно как их взаимный наклон $I$, рассматривать как очень малые величины первого порядка, каковы бы ни были вообще углы наклона этих орбит к неподвижной плоскости проекций.
98. Выражения функций $\left(\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)\right)$ и $\left[\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)\right]$ можно значительно упростить, пользуясь известными свойствами коэффициентов рядов по $\cos \%, \cos 2 \rho, \ldots$ Действительно, если логарифмически продифференцировать по $\varphi$, а затем по $a^{\prime}$ нижеследующее тождество:
\[
\begin{array}{l}
\left(a^{\prime 2}-2 a^{\prime} a^{\prime \prime} \cos \varphi+a^{\prime \prime 2}\right)^{-\frac{1}{2}}= \\
\quad=\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)+\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1} \cos \varphi+\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{2} \cos 2 \varphi+\ldots,
\end{array}
\]

и затем, произведя умножение крест-на-крест, сравнить члены, умножающиеся на одни и те же косинусы, то мы сначала шолучим
\[
3 a^{\prime} a^{\prime \prime}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{2}=-2 a^{\prime} a^{\prime \prime}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)+2\left(a^{\prime 2}+a^{\prime 2}\right)\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1} ;
\]

затем дифференциалы по $a^{\prime}$ и $a^{\prime \prime}$ дадут
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{\partial a^{\prime}}=\frac{a^{\prime}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)-a^{\prime \prime}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1}}{\left(a^{\prime \prime}-a^{\prime 2}\right)}, \\
\frac{\partial\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right),}{\partial a^{\prime}}=\frac{a^{\prime} a^{\prime \prime}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)-a^{\prime \prime 2}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1}}{a^{\prime}\left(a^{\prime \prime 2}-a^{\prime 2}\right)}, \\
\frac{\partial^{2}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{\partial a^{\prime 2}}=\frac{4 a^{\prime 3}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)+a^{\prime \prime}\left(a^{\prime \prime 2}-3 a^{\prime 2}\right)\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1}}{a^{\prime}\left(a^{\prime \prime}-a^{\prime 2}\right)^{2}}, \\
\frac{\partial^{2}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{\partial a^{\prime} \partial a^{\prime \prime}}=\frac{-2\left(a^{\prime 2}+a^{\prime \prime 2}\right)+2 a^{\prime} a^{\prime \prime}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1}}{a^{\prime}\left(a^{\prime \prime 2}-a^{\prime 2}\right)^{2}} .
\end{array}
\]

Подставив эти выражения, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\left(\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)\right)=\frac{4 a^{\prime 2} a^{\prime \prime 2}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)-a^{\prime} a^{\prime \prime}\left(a^{\prime 2}+a^{\prime \prime 2}\right)\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1}}{8\left(a^{\prime 2}-a^{\prime 2}\right)^{2}}, \\
{\left[\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)\right]=\frac{-a^{\prime} a^{\prime \prime}\left(a^{\prime 2}+a^{\prime \prime 2}\right)\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)+\left(a^{\prime 2}+a^{\prime \prime 2}-a^{\prime} a^{\prime \prime}\right)\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1}}{2\left(a^{\prime \prime 2}-a^{\prime 2}\right)^{2}} .}
\end{array}
\]

Можно, однако, получить для этих функций более простые выражения, применив коэффициенты ряда
\[
\left(a^{\prime 2}-2 a^{\prime} a^{\prime \prime} \cos \varphi+a^{\prime \prime 2}\right)^{-\frac{3}{2}}=\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]+\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1} \cos \varphi \ldots ;
\]

в самом деле, произведя логарифмическое дифференцирование и затем умножение крест-на-крест, мы, как и выше, сначала получим
\[
a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{2}=2\left(a^{\prime 2}+a^{\prime 2}\right)\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}-6 a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right] ;
\]

подставив это выражение $\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{2}$ и сравнив ряд, умножающийся на $a^{\prime 2}-2 a^{\prime} a^{\prime \prime} \cos \varphi+a^{\prime \prime 2}$, с рядом $\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)+$ $+\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1} \cos \varphi+\ldots$, которому он должен быть тождественно равен, легко вывести следующие соотношения:
\[
\begin{aligned}
\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right) & =\left(a^{\prime 2}+a^{\prime 2}\right)\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]-a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right\}_{1}, \\
\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1} & =4 a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]-\left(a^{\prime 2}+a^{\prime 2}\right)\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1},
\end{aligned}
\]

а путем подстановки этих выражений мы получим следующие выражения:
\[
\begin{aligned}
\left(\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)\right) & =\frac{1}{8} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}=\left(\left(a^{\prime \prime}, a^{\prime}\right)\right) ; \\
{\left[\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)\right] } & =\frac{3}{2} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]-\frac{1}{2}\left(a^{\prime 2}+a^{\prime 2}\right)\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}= \\
& =-\frac{1}{4} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{2},
\end{aligned}
\]

которые следует подставить в выражение для ( $\left.\mathrm{Q}^{\prime}\right)$, приведенное в предыдущем пункте.

Что касается значений коэффициентов $\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)$, $\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1}, \ldots,\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right],\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}, \ldots$, выраженных в функции $a^{\prime}, a^{\prime \prime}$, то их можно найти путем разложения радикалов по степеням $\cos \varphi$ и нутем разложения этих степеней по косинусам углов, кратных $џ$, как это впервые сделал Эйлер в своих исследованиях над Юпитером и Сатурном; однако я уже давно нашел, хто эти функции можно получить более простым путем, разложив трехчлен $a^{\prime 2}-2 a^{\prime} a^{\prime \prime} \cos \varphi+a^{\prime 2}$ на два его мнимых множителя
\[
\left(a^{\prime}-a^{\prime \prime} e^{\varphi \sqrt{-1}}\right)\left(a^{\prime}-a^{\prime \prime} e^{-\varphi \sqrt{-1}}\right)
\]

и разложив стегени – $\frac{1}{2}$ и — $\frac{3}{2}$ каждого из этих множителей по формуле бинома.
Положим для сокращения
\[
n^{\prime}=\frac{n(n+1)}{2}, \quad n^{\prime \prime}=\frac{n(n+1)(n+2)}{2 \cdot 3}, \ldots ;
\]

тогда мы вообще получим
\[
\begin{array}{l}
\left(a^{\prime}-a^{\prime \prime} e^{\varphi} \sqrt{-1}\right)^{-n}= \\
\quad=a^{\prime-n}-n a^{\prime-n-1} a^{\prime \prime} e^{\varphi \sqrt{-1}}+n^{\prime} a^{\prime-n-2} a^{\prime 2} e^{2 \varphi \sqrt{-1}}+\ldots ;
\end{array}
\]

если перемножить два ряда, соответствующие $\sqrt{-1}$ и $-\sqrt{1}$, и перейти от показательных функций мнимого аргумента к косинусам кратных углов, то мы получим
\[
\left(a^{\prime 2}-2 a^{\prime} a^{\prime \prime} \cos \varphi+a^{\prime 2}\right)^{-n}=\mathrm{A}+\mathrm{B} \cos \varphi+\mathrm{C} \cos 2 ?+\ldots,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{A}=\frac{1}{a^{\prime 2} n}\left[1+n^{2}\left(\frac{a^{\prime \prime}}{a^{\prime}}\right)^{2}+n^{\prime 2}\left(\frac{a^{\prime \prime}}{a^{\prime}}\right)^{4}+n^{\prime \prime 2}\left(\frac{a^{\prime \prime}}{a^{\prime}}\right)^{6}+\ldots\right], \\
\mathrm{B}=\frac{2}{a^{\prime 21}}\left[n\left(\frac{a^{\prime \prime}}{a^{\prime}}\right)+n n^{\prime}\left(\frac{a^{\prime \prime}}{a^{\prime}}\right)^{3}+n^{\prime} n^{\prime \prime}\left(\frac{a^{\prime \prime}}{a^{\prime}}\right)^{5}+\ldots\right], \\
\mathrm{C}=\frac{2}{a^{\prime 2 n}}\left[n^{\prime}\left(\frac{a^{\prime \prime}}{a^{\prime}}\right)^{2}+n n^{\prime \prime}\left(\frac{a^{\prime \prime}}{a^{\prime}}\right)^{4}+n^{\prime} n^{\prime \prime \prime}\left(\frac{a^{\prime \prime}}{a^{\prime}}\right)^{6}+\ldots\right] \text {, } \\
\end{array}
\]

Эти рлды всегда сходятся, когда $a^{\prime}>a^{\prime \prime}$; однако, если бы мы имели $a^{\prime \prime}>a^{\prime}$, то необходимо было бы лишь поставить $a^{\prime}$ на место $a^{\prime \prime}$ и $a^{\prime \prime}$ на место $a^{\prime}$, так как в неразложенной функции величины $a^{\prime}$ и $a^{\prime \prime}$ входят одинаковым образом.

Из вида этих рядов вытекает одно следствие, заключающееся в том, что если только $n$-положительное число, то и все коэффициенты А, В, С, … всегда имеют положительные значения.

Если положить $n=\frac{1}{2}$, то приведенные коэффициенты перейдут в $\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right),\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{1},\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)_{2}, \ldots$, а если положить $n=\frac{3}{2}$, то они перейдут в $\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right],\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}$, $\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{2}, \ldots$
99. Нам остается еще определить угол $L$. Так как мы отбрасываем величины третьего порядка и так как в выражении ( $\left.\Omega^{\prime}\right) \cos L$ уже умножен на $e^{\prime} e^{\prime \prime}$, то при определении угла $L$ можно отвлечься от очень малых величин первого порядка и, следовательно, положить там $I^{\prime \prime}=0$. Но (п. 96)
\[
L=H+K ;
\]

если в формулах пункта 94 положить $I^{\prime \prime}=0$, то мы будем иметь
\[
A=\cos (H+K), \quad A_{1}=-B=\sin (H+K), \quad A_{2}=0 ;
\]

но, согласно формулам того же пункта, мы имеем также
\[
A=\alpha^{\prime} \alpha^{\prime \prime}+\alpha_{1}^{\prime} \alpha_{1}^{\prime \prime}+\alpha_{2}^{\prime} \alpha_{2}^{\prime \prime}=\cos L .
\]

Продифференцируем это выражение $\cos L$, считая переменными величины $\alpha^{\prime}, \alpha^{\prime \prime}, \alpha_{1}^{\prime}, \ldots$, подставим вместо их дифференциалов выражения, данные в пункте 71 , снабдив соответствующие величины штрихами, и поставим снова величины $A_{1}, A_{2}$ вместо их выражений через $\alpha^{\prime}, \alpha^{\prime \prime}, \beta^{\prime}, \ldots$; этим путем мы легко найдем
\[
-\sin L d L=A_{1} d \gamma^{\prime}+A_{2} d \pi^{\prime}+B d \gamma^{\prime \prime}+C d \pi^{\prime \prime} .
\]

Ho
\[
A_{1}=\sin L, \quad A_{2}=0, \quad B=-\sin L, \quad C=0 ;
\]

следовательно, разделив на $\sin L$, мы получим
\[
d L=d \chi^{\prime \prime}-d \chi^{\prime},
\]

а после интегрирования
\[
L=\gamma^{\prime \prime}-\chi^{\prime},
\]

в данном случае не пбязательпо прибавлять постоянные, так как начало углов $\chi^{\prime}, \chi^{\prime \prime}$ является произвольным. Угол $\chi^{*}$ ) – это вообще угол, который орбита описывает, вращаясь в своей плоскости, и который мы ввели вместо долготы $k$ перигелия (п. 70).
100. Теперь фуккция ( $\left.Q^{\prime}\right)$ уже приведена к простейшему виду, наиболее удобному для вычисления вековых вариаций; остается лишь ее подставить в формулы пункта 76, отмечая одним штрихом буквы этих формул для того, чтобы их отнести к планете $m^{\prime}$,
*) По поводу угла $\chi$ см. примечание на стр. 111. Сверх того, можно отметить, что уравнение $d L=d_{\iota}{ }^{\prime \prime}-d_{L}$ основано на допущении, что можно пренебречь взаимным наклоном обеих орбит. Если бы мы не допу:тили, что $I^{\prime \prime}=0$, то получили бы совершенно другие формулы, и в них не вошел бы угол \%. (Прим. Бертрана.)

вариации которой мы определяем; затем, произведя просто взаимную замену букв, мы получим аналогичные формулы для вариаций планеты $m^{\prime \prime}$, и так далее для других.

Мы видим, что указанная функпия состоит из двух раздельных функций, из которых одна содержит лишь эксцентриситеты и места афелиев на орбитах, а другая содержит лишь наклоны орбит к неподвижной плоскости и места их узлов. Если первую из этих функций обозначить через $\left(Q^{\prime}\right)_{1}$, а вторую через $\left(Q^{\prime}\right)_{2}$, так что
\[
\left(Q^{\prime}\right)=\left(Q^{\prime}\right)_{1}+\left(Q^{\prime}\right)_{2},
\]

то мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\left(Q^{\prime}\right)_{1}=\frac{1}{8} m^{\prime \prime}\left\{\begin{array}{l}
8\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)+a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}\left(e^{2}+e^{\prime 2}\right)- \\
-2 a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{2} e^{\prime} e^{\prime \prime} \cos \left(\chi^{\prime}-\chi^{\prime \prime}\right)
\end{array}\right\}+ \\
+\frac{1}{8} m^{\prime \prime \prime}\left\{\begin{array}{l}
8\left(a^{\prime \prime \prime} a^{\prime}\right)+a^{\prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}\left(e^{2}+e^{\prime \prime \prime 2}\right)- \\
-2 a^{\prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{2} e^{\prime} e^{\prime \prime \prime} \cos \left(\chi^{\prime}-\chi^{\prime \prime \prime}\right)
\end{array}\right\}+ \\
\text { + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\left(Q^{\prime}\right)_{2}=-\frac{1}{4} m^{\prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}\left(1-\cos I_{1}^{\prime \prime}\right)- \\
-\frac{1}{4} m^{\prime \prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}\left(1-\cos I_{\prime \prime}^{\prime \prime}\right)- \\
\text { 一 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , } \\
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\cos I^{\prime \prime}=\cos i^{\prime} \cos i^{\prime \prime}+\cos \left(h^{\prime}-h^{\prime \prime}\right) \sin i^{\prime} \sin i^{\prime \prime} \\
\cos I_{\prime}^{\prime \prime}=\cos i^{\prime} \cos i^{\prime \prime \prime}+\cos \left(h^{\prime}-h^{\prime \prime \prime}\right) \sin i^{\prime} \sin i^{\prime \prime \prime}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . ; }
\end{array}
\]

углы $I_{\prime}^{\prime}, I_{, \prime \prime}^{\prime \prime}, \ldots$ являются здесь углами наклона орбиты планеты $m^{\prime}$ к орбитам планет $m^{\prime \prime}, m^{\prime \prime \prime}, \ldots$

Итак, подставим в уравнениях вековых возмущений (II. 76) $\left(Q^{\prime}\right)_{1}+\left(Q^{\prime}\right)_{2}$ вместо ( $\left.Q^{\prime}\right)$ и снабдим буквы штрихом для того, чтобы пх отнести к планете $m^{\prime}$, вариации которой мы определяем; отбросив величины $e^{\prime 2}$ и поставив просто $a^{\prime}$ вместо $b$ в коэффициентах функции $(Q)_{1}$ и $(Q)_{2}$, которые уже являются величинами второго порядка, мы получим
\[
\begin{array}{ll}
\frac{d e^{\prime}}{d t}=-\frac{1}{e^{\prime} \sqrt{\mathrm{g}^{\prime} a^{\prime}}} \frac{\partial\left(\Omega^{\prime}\right)_{1}}{\partial \gamma^{\prime}}, & \frac{d \gamma^{\prime}}{d t}=\frac{1}{e^{\prime} \sqrt{\mathrm{g}^{\prime} a^{\prime}}} \frac{\partial\left(\Omega^{\prime}\right)_{1}}{\partial e^{\prime}}, \\
\frac{d i^{\prime}}{d t}=-\frac{1}{\sqrt{\mathrm{g}^{\prime} a^{\prime}} \sin i^{\prime}} \frac{\partial\left(\Omega^{\prime}\right)_{2}}{\partial h^{\prime}}, & \frac{d h^{\prime}}{d t}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{g}^{\prime} a^{\prime}} \sin i^{\prime}} \frac{\partial\left(\Omega^{\prime}\right)_{2}}{\partial i^{\prime}} .
\end{array}
\]

Аналогичные уравнения мы получим для вариаций элементов планеты $m^{\prime \prime}$ на ее орбите вокруг $m$; для этого достаточно будет отметить двумя штрихами те буквы, которые были отмечены лишь одним штрихом, и, наоборот, отметить одним штрихом буквы, имеющие два штриха.

Итак, если принять во внимание, что обозначенные скобками функции величин $a^{\prime}$ и $a^{\prime \prime}$ не изменяются при обмене местами величин $a^{\prime}$ и $a^{\prime \prime}$, то мы получим
\[
\begin{array}{l}
\left(Q^{\prime \prime}\right)_{1}=\frac{1}{8} m^{\prime}\left\{\begin{array}{l}
8\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)+a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}\left(e^{2}+e^{\prime \prime 2}\right)- \\
-2\left[\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)\right]_{2} e^{\prime} e^{\prime \prime} \cos \left(\chi^{\prime}-\chi^{\prime \prime}\right)
\end{array}\right\}+ \\
+\frac{1}{8} m^{\prime \prime \prime}\left\{\begin{array}{l}
8\left(a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right)+a^{\prime \prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}\left(e^{\prime 2}+e^{\prime \prime \prime 2}\right)- \\
-2\left[\left(a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right)\right]_{2} e^{\prime \prime} e^{\prime \prime \prime} \cos \left(\chi^{\prime \prime}-\chi^{\prime \prime \prime}\right)
\end{array}\right\}+ \\
\text { + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\left(\mathrm{Q}^{\prime \prime}\right)_{2}=-\frac{1}{2} m^{\prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}\left(1-\cos I^{\prime}\right)- \\
-\frac{1}{4} m^{\prime \prime \prime} a^{\prime \prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{2}\left(1-\cos I_{\prime \prime \prime}^{\prime \prime \prime}\right)- \\
\text { – … . . . . . . . . . . . . . , } \\
\end{array}
\]

где
\[
\cos I_{1,}^{\prime}=\cos I^{\prime \prime}
\]
n
\[
\cos I^{\prime \prime \prime}=\cos i^{\prime \prime} \cos i^{\prime \prime \prime}+\sin \left(h^{\prime \prime}-h^{\prime \prime \prime}\right) \sin i^{\prime \prime} \sin i^{\prime \prime \prime} ;
\]

и уравнения вариаций будут иметь следующий вид:
\[
\begin{array}{ll}
\frac{d e^{\prime \prime}}{d t}=-\frac{1}{e^{\prime \prime} \sqrt{\mathrm{g}^{\prime \prime} a^{\prime \prime}}} \frac{\partial\left(\mathrm{Q}^{\prime \prime}\right)_{1}}{\partial \chi^{\prime \prime}}, \quad \frac{d \chi^{\prime \prime}}{d t}=\frac{1}{e^{\prime \prime} \sqrt{\mathrm{g}^{\prime \prime} a^{\prime \prime}}} \frac{\partial\left(\mathrm{Q}^{\prime \prime}\right)_{1}}{\partial e^{\prime \prime}}, \\
\frac{d i^{\prime \prime}}{d i}=-\frac{1}{\sqrt{\mathrm{g}^{\prime \prime} a^{\prime \prime}} \sin i^{\prime \prime}} \frac{\partial\left(\Omega^{\prime \prime}\right)_{2}}{\partial h^{\prime \prime}}, \quad \frac{d h^{\prime \prime}}{d t}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{g}^{\prime \prime} a^{\prime \prime}} \sin i^{\prime \prime}} \frac{\partial\left(Q^{\prime \prime}\right)_{2}}{\partial i^{\prime \prime}}
\end{array}
\]

и так далее-для вариаций әлементов орбит $\mathrm{m}^{\prime \prime \prime}$, $m^{\mathrm{IV}}, \ldots$ вокруг $m$.
101. Отметим, что различные функции $\left(Q^{\prime}\right)_{1}$, $\left(Q^{\prime \prime}\right)_{1}, \ldots$, равно как функции $\left(Q^{\prime}\right)_{2},\left(Q^{\prime \prime}\right)_{2}, \ldots$, можно свестик одной функции, что придаст уравнениям вариаций больше простоты и единообразия; в самом деле, если положить
\[
\begin{array}{l}
\Phi=+\frac{m^{\prime} m^{\prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}}{8}\left\{8\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)+\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}\left(e^{\prime 2}+e^{\prime \prime 2}\right)-\right. \\
\left.-2\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{2} e^{\prime} e^{\prime \prime} \cos \left(\chi^{\prime}-\chi^{\prime \prime}\right)\right\}+\frac{m^{\prime} m^{\prime \prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime \prime}}{8}\left\{8\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right)+\right. \\
\left.+\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}\left(e^{\prime 2}+e^{\prime \prime \prime 2}\right)-2\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{2} e^{\prime} e^{\prime \prime \prime} \cos \left(\gamma^{\prime}-\chi^{\prime \prime \prime}\right)\right\}+ \\
+\frac{m^{\prime \prime} m^{\prime \prime \prime} a^{\prime \prime} a^{\prime \prime \prime}}{8}\left\{8\left(a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right)+\left[a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}\left(e^{\prime \prime 2}+e^{\prime \prime \prime 2}\right)-\right. \\
\left.-2\left[a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{2} e^{\prime \prime} e^{\prime \prime \prime} \cos \left(\%^{\prime \prime}-\chi^{\prime \prime \prime}\right)\right\}+ \\
\text { + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

и составить все парные комбинации из масс $m^{\prime}, m^{\prime \prime}$, $m^{\prime \prime \prime}, \ldots$ и из относящихся к ним функций, то легко видеть, что в частных производных $\left(Q^{\prime}\right)_{1},\left(Q^{\prime \prime}\right)_{1}, \ldots$ эти функции можно будет заменить величиной $\Phi$, если только частные производные по $e^{\prime}$ и $\chi^{\prime}$ разделить на $m^{\prime}$, частные производные по $e^{\prime \prime}, \dot{\chi}^{\prime \prime}$ разделить на $m^{\prime \prime}$ и так далее.

Таким образом, уравнения возмущений эксцентриситетов и афелиев примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d e^{\prime}}{d t}=-\frac{1}{m^{\prime} e^{\prime} \sqrt{\mathrm{g}^{\prime} a^{\prime}}} \frac{d \Phi}{d \ell^{\prime}}, \quad \frac{d \gamma^{\prime}}{d t}=\frac{1}{m^{\prime} e^{\prime} \sqrt{\mathrm{g}^{\prime} a^{\prime}}} \frac{\partial \Phi}{\partial e^{\prime}}, \\
\frac{d e^{\prime \prime}}{d t}=-\frac{1}{m^{\prime \prime} e^{\prime \prime} \sqrt{\mathrm{g}^{\prime \prime} a^{\prime \prime}}} \frac{\partial \Phi}{\partial \chi^{\prime \prime}}, \quad \frac{d \gamma^{\prime \prime}}{d t}=\frac{1}{m^{\prime \prime} e^{\prime \prime} \sqrt{\mathrm{g}^{\prime \prime} a^{\prime \prime}}} \frac{\partial \Phi}{\partial e^{\prime \prime}}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Эти уравнения дают
\[
\frac{\partial \Phi}{\partial \chi^{\prime}} d \chi^{\prime}+\frac{\partial \Phi}{\partial e^{\prime}} d e^{\prime}=0, \quad \frac{\partial \Phi}{g \chi^{\prime \prime}} d \chi^{\prime \prime}+\frac{\partial \Phi}{\partial e^{\prime \prime}} d e^{\prime \prime}=0, \ldots,
\]

а так как $\Phi$ является функцией переменных $e^{\prime}, \chi^{\prime}$, $e^{\prime \prime}, \chi^{\prime \prime}, \ldots$, но не содержит $t$, то мы будем иметь
\[
d \Phi=0,
\]

и, следовательно, Ф будет постоянной величиной. Таково общее соотношение между эксцентриситетами и местами афелиев планет, которое всегда должно иметь место, каким бы изменениям ни подвергались в течение времени эксцентриситеты и места афелиев, если только эти изменения очень малы.
102. Но из природы функции $\Phi$ вытекают еще другие общие соотношения между теми же элементами.

Действительно, легко видеть, что мы имеем уравнение
\[
\frac{\partial \Phi}{\partial \chi^{\prime}}+\frac{\partial \Phi}{\partial \chi^{\prime \prime}}+\frac{\partial \Phi}{\partial \chi^{\prime \prime \prime}}+\ldots=0,
\]

а если вместо әтих частных производных подставить их значения $m^{\prime} \sqrt{g^{\prime} a^{\prime}} \frac{e^{\prime} d e^{\prime}}{d t}, m^{\prime \prime} \sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}} \frac{e^{\prime \prime} d e^{\prime \prime}}{d t}, \ldots$ получающиеся из уравнений предыдущего пункта, то путем интегрирования по $t$ мы получим следующее конечное уравнение:
\[
\begin{array}{l}
m^{\prime} \bigvee^{g^{\prime} a^{\prime}} e^{\prime 2}+m^{\prime \prime} \bigvee^{\prime} \overline{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}} e^{\prime 2}+ \\
+m^{\prime \prime \prime} \sqrt{g^{\prime \prime \prime} a^{\prime \prime \prime}} e^{\prime \prime \prime 2}+\ldots=K^{2}, \\
\end{array}
\]

где $K^{2}$ – постоянная величина, равная значению левой части этого уравнения в некоторый момент времени.

Из этого уравнения видно, что эксцентриситеты $e^{\prime}$, $e^{\prime \prime}, e^{\prime \prime \prime}, \ldots$ об̆язательно имеют пределы, которые они не могут превзойти; в самом деле, так как они необходимо вещественны, поскольку орбиты представляют собою конические сечения, то каждый член, например $m^{\prime} \sqrt{g^{\prime} a^{\prime}} e^{\prime 2}$, всегда положителен и его максимумом будет постоянная $K^{2}$.

Отсюда следует, что если эксцентриситеты орбит, принадлежащих очень большим массам, в какой-либо момент очень малы, то они останутся всегда такими же, что имеет место в случае Юпитера и Сатурна; однако эксцентриситеты орбит, принадлежащих очень малым массам, могут возрасти до единицы и выше, и их действительные пределы, как мы это увидим ниже *), могут быть установлены лишь путем интегрирования дифференциальных уравнений.

Далее, так как величина $\Phi$, рассматриваемая как функция $e^{\prime}, e^{\prime \prime}, e^{\prime \prime \prime}, \ldots$, является однородной функцией второго измерения, то, в силу известного свойства этих функций, мы имеем
\[
\frac{\partial \Phi}{\partial e^{\prime}} e^{\prime}+\frac{\partial \Phi}{\partial e^{\prime \prime}} e^{\prime \prime}+\frac{\partial \Phi}{\partial e^{\prime \prime \prime}} e^{\prime \prime \prime}+\ldots=2 \Phi .
\]

Подставив в это уравнение значения частных производных $\Phi$ по $e^{\prime}, e^{\prime \prime}, e^{\prime \prime \prime}, \ldots$, получающиеся из тех же уравнений предшествующего пункта, мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
m^{\prime} \sqrt{g^{\prime} a^{\prime}} \frac{e^{\prime 2} d \chi^{\prime}}{d t}+m^{\prime \prime} \sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}} \frac{e^{\prime \prime 2} d y^{\prime \prime}}{d t}+ \\
+m^{\prime \prime \prime} \sqrt{g^{\prime \prime \prime} m^{\prime \prime \prime}} \frac{e^{\prime \prime \prime 2} d \chi^{\prime \prime \prime}}{d t}+\ldots=2 F \text {, } \\
\end{array}
\]

где $F$-значение $\Phi$ в некоторый момент времени.
В этом уравнении величины $\frac{d \chi^{\prime}}{d t}, \frac{d \chi^{\prime \prime}}{d t}, \ldots$ выражают угловые скорости движений афелиев, следовательно, это уравнение дает неизменное соотношение между этими скоростями, из которого явствует, что и они обязательно имеют известные пределы, поскольку все они имеют одинаковый знак.
*) См. по этому поводу мемуар Лапласа в Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris за 1784, № 57 второй книги Mécanique céleste и гл. II кн. XV (5-й том), где Лаплас упрекает Лагранжа в том, что он опубликовал в сомнительном виде теорему, задолго до того доказанную Лапласом. (Iрим. Бертрана.)
11 ж. Лагранж, т. II

103. Если здесь применить преобразования пункта 78 , положив
\[
\begin{array}{ll}
\mathrm{m}^{\prime}=e^{\prime} \sin \%^{\prime}, & \mathrm{n}^{\prime}=e^{\prime} \cos \chi^{\prime}, \\
\mathrm{m}^{\prime \prime}=e^{\prime \prime} \sin \%^{\prime \prime}, & \mathrm{n}^{\prime \prime}=e^{\prime \prime} \cos \chi^{\prime \prime}, \ldots,
\end{array}
\]

то мы получим
\[
\begin{array}{l}
\Phi=\frac{m^{\prime} m^{\prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}}{8}\left\{\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}\left(\mathrm{~m}^{\prime 2}+\mathrm{n}^{\prime 2}+\mathrm{m}^{\prime \prime 2}+\mathrm{n}^{\prime \prime 2}\right)-\right. \\
\left.-2\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{2}\left(\mathrm{~m}^{\prime} \mathrm{m}^{\prime \prime}+\mathrm{n}^{\prime} \mathrm{n}^{\prime \prime}\right)\right\}+ \\
+\frac{m^{\prime} m^{\prime \prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime \prime}}{8}\left\{\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}\left(\mathrm{~m}^{\prime 2}+\mathrm{n}^{\prime 2}+\mathrm{m}^{\prime \prime \prime 2}+\mathrm{n}^{\prime \prime \prime 2}\right)-\right. \\
\left.-2\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{2}\left(\mathrm{~m}^{\prime} \mathrm{m}^{\prime \prime \prime}+\mathrm{n}^{\prime} \mathrm{n}^{\prime \prime \prime}\right)\right\}+ \\
+\frac{m^{\prime \prime} m^{\prime \prime \prime} n^{\prime \prime} n^{\prime \prime \prime}}{8}\left\{\left[a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}\left(m^{\prime \prime 2}+n^{\prime \prime 2}+m^{\prime \prime \prime 2}+n^{\prime \prime \prime 2}\right)-\right. \\
\left.-2\left[a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{2}\left(\mathrm{~m}^{\prime \prime} \mathrm{m}^{\prime \prime \prime}+\mathrm{n}^{\prime \prime} \mathrm{n}^{\prime \prime \prime}\right)\right\}+ \\
\text { + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

и уравнения возмущений примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
m^{\prime} \frac{d \mathrm{~m}^{\prime}}{d t}=\frac{1}{\sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}} \frac{\partial \Phi}{\partial \mathrm{n}^{\prime}}, \quad m^{\prime} \frac{d \mathrm{n}^{\prime}}{d t}=-\frac{1}{\sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}} \frac{\partial \Phi}{\partial \mathrm{m}^{\prime}} \\
m^{\prime \prime} \frac{d \mathrm{~m}^{\prime \prime}}{d t}=\frac{1}{\sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}}} \frac{\partial \Phi}{\partial \mathrm{n}^{\prime \prime}}, \quad m^{\prime \prime} \frac{d \mathrm{n}^{\prime \prime}}{d t}=-\frac{1}{\sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}}} \frac{\partial \Phi}{\partial \mathrm{m}^{\prime \prime}}
\end{array}
\]

Если в этих уравнениях подставить значение $\Phi$ и выполнить частные дифференцирования, то мы получим линейные уравнения относительно $\mathrm{m}^{\prime}, \mathrm{n}^{\prime}, \mathrm{m}^{\prime \prime}$, $\mathrm{n}^{\prime \prime}, \ldots$, которые легко интегрируются; эти уравнения совершенно тождественны с теми, которые иным путем я нашел в Mémoires de Berlin за 1781 г., стр. 262*), в чем легко убедиться, сопоставив между собою различные обозначения одних и тех же величин.
*) Oeuvres de Lagrange, т. V, стр. 125. (Прим. Дарбу.)

B Mémoires за 1782 г. *) я применил эти уравнения к шести главным планетам, приняв для их масс наиболее вероятные значения, и отсюда путем интегрирования вывел общие формулы для возмущений их эксцентриситетов и мест их афелиев, которые дают значения этих элементов как для Земли, так и для других планет, по истечении любого неопределенного времени как до, так и после эпохи 1700 г. Так как, согласно этим формулам, эксцентриситеты остаются очень малыми, как мы это допустили, то при вычислении создается уверенность в их точности во все истекшие и будущие времена. Затем в томе за $1786-1787$ гг. тех же Mémoires, напечатанном в 1792 г., можно найти дополнение **) (supplement) к настоящей теории, касающееся иовой планеты Гершеля $\left[{ }^{20}\right]$, в котором тем же методом и тоже с помощью общих формул определяются вековые возмущения әксцентриситета и места афелия этой планеты, вызываемые влияниями Юпитера и Сатурна; при этом только оставлено без внимания влияние гершелевской планеты на упомянутые две планеты, равно как и на другие нижние планеты, ввиду незначительности ее массы и ее отдаленности.
104. Таким же образом можно привести к более простому виду и уравнения вариаций узлов и углов наклона. Пусть
\[
\begin{aligned}
\Psi= & -\frac{1}{4} m^{\prime} m^{\prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}\left(1-\cos I^{\prime \prime}\right)- \\
& -\frac{1}{4} m^{\prime} m^{\prime \prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}\left(1-\cos I_{\prime \prime}^{\prime \prime}\right)- \\
& -\frac{1}{4} m^{\prime \prime} m^{\prime \prime \prime} a^{\prime \prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}\left(1-\cos I_{\prime \prime}^{\prime \prime \prime}\right)- \\
& -\ldots \ldots \ldots \ldots
\end{aligned}
\]

причем и здесь взяты все парные комбинации масс $m^{\prime}, m^{\prime \prime}, m^{\prime \prime \prime}, \ldots$, которые, согласно допущению,
*) Там же, стр. 211. (П рим. Дарбу.)
**) Это дополнение не принадлежит Лагранжу. См. по этому поводу примечание в т. V Oeuvres de Lagrange, стр. 489. (Прим. Дарбу.)

действуют друг на друга, а также соответствующих им функций $a^{\prime}, a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}, \ldots$ и углов наклона $I_{,}^{\prime \prime}, I_{,}^{\prime \prime}, I_{, \prime}^{\prime \prime}, \ldots$, определяющихся вообще по формуле
\[
\begin{array}{l}
\cos I_{m}^{n}=\cos i^{(m)} \cos i^{(n)}+\cos \left(h\left(^{m)}-h^{(n)}\right) \sin i^{(m)} \sin i^{(n)} ;\right. \\
\text { путем подстановки } \frac{1}{m^{\prime}} \frac{\partial \Psi}{\partial i^{\prime}}, \frac{1}{m^{\prime}} \frac{\partial \Psi}{\partial h^{\prime}}, \ldots \text { вместо } \\
\frac{\partial(\Omega)_{\mathbf{2}}}{\partial i^{\prime}}, \frac{\partial(\Omega)_{2}}{\partial h^{\prime}}, \ldots \text { мы получаем } \\
\frac{d i^{\prime}}{d t}=-\frac{1}{m^{\prime} \sqrt{g^{\prime} a^{\prime}} \sin i^{\prime}} \frac{\partial \Psi}{\partial h^{\prime}}, \frac{\partial h^{\prime}}{\partial t}=\frac{1}{m^{\prime} \sqrt{g^{\prime} a^{\prime}} \sin i^{\prime}} \frac{\partial \Psi}{\partial i^{\prime}}, \\
\frac{d i^{\prime \prime}}{d t}=-\frac{1}{m^{\prime \prime} \sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}} \sin i^{\prime \prime}} \frac{\partial \Psi}{\partial h^{\prime \prime}}, \frac{d h^{\prime \prime}}{d t}=\frac{1}{m^{\prime \prime} \sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}} \sin i^{\prime \prime}} \frac{\partial \Psi}{\partial i^{\prime \prime}}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

Эти уравнения дают также
\[
\frac{\partial \Psi}{\partial h^{\prime}} d h^{\prime}+\frac{\partial \Psi}{\partial i^{\prime}} d i^{\prime}=0, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial h^{\prime \prime}} d h^{\prime \prime}+\frac{\partial \Psi}{\partial i^{\prime \prime}} d i^{\prime \prime}=0,
\]

а так как $\Psi$ является функцией $h^{\prime}, i^{\prime}, h^{\prime \prime}, i^{\prime \prime}, \ldots$ и не содержит в себе никаких иных переменных, то
\[
d \Psi=0,
\]

и, следовательно, $\Psi$ равно некоторой постоянной.
Далее, из вида функции $\Psi$ ясно, что мы имеем нижеследующее уравнение:
\[
\frac{\partial \Psi}{\partial h^{\prime}}+\frac{\partial \Psi}{\partial h^{\prime \prime}}+\frac{\partial \Psi}{\partial h^{\prime \prime \prime}}+\ldots=0 .
\]

Подставив вместо производных $\Psi$ по $h^{\prime}, h^{\prime \prime}, h^{\prime \prime \prime}, \ldots$ их значения, вытекающие из приведенных выше уравнений, мы получим дифференциальное уравнение относительно $i^{\prime}, i^{\prime \prime}, i^{\prime \prime \prime}, \ldots$, интегралом которого будет
\[
\begin{array}{l}
m^{\prime} \sqrt{g^{\prime} \bar{a}^{\prime}} \cos i^{\prime}+m^{\prime \prime} \sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}} \cos i^{\prime \prime}+ \\
+m^{\prime \prime \prime} \sqrt{g^{\prime \prime \prime} a^{\prime \prime \prime}} \cos i^{\prime \prime \prime}+\ldots=\text { const.; } \\
\end{array}
\]

это уравнение можно также представить в следующем виде:
\[
m^{\prime} \sqrt{g^{\prime} a^{\prime}} \sin ^{2} \frac{i^{\prime}}{2}+m^{\prime \prime} \sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}} \sin ^{2} \frac{i^{\prime \prime}}{2}+\ldots=H^{2},
\]

где $H^{2}$ является значением левой части уравнения в некоторый момент времени. Из этого уравнения по отношению к пределам величин $\sin \frac{i^{\prime}}{2}, \sin \frac{i^{\prime \prime}}{2}, \ldots$ можно сделать выводы, аналогичные тем, какие мы получили в пункте 101 из подобного же уравнения относительно $e^{\prime}, e^{\prime \prime}, \ldots$
105. В том случае, когда рассматривается действие лишь двух планет $m^{\prime}$ и $m^{\prime \prime}$, выражение $\Psi$ сводится к единственному члену, умноженному на $m^{\prime} m^{\prime \prime}$, угол наклона обеих орбит $I^{\prime \prime}$ становится тогда постоянным; к этому очень близок случай Юпитера и Сатурна.

По поводу этого случая можно еще отметить, что если допустить, что в некоторое мгновение плоскость возмущающей планеты совпадает с неподвижной плоскостью, то мы будем иметь $i^{\prime \prime}=0$ и, следовательно, $I^{\prime \prime}=\cos i^{\prime}$, откуда следует
\[
\Psi=-\frac{m^{\prime} m^{\prime \prime}}{4} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}\left(1-\cos i^{\prime}\right),
\]

а отсюда
\[
\frac{d h^{\prime}}{d t}=-\frac{m^{\prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}}{4 \sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}}
\]

Это-выражение скорости обратного движения узла орбиты $m^{\prime}$ в плоскости орбиты $m^{\prime \prime}$, в то время как их взаимный наклон остается постоянным; отсюда видно, что действие планеты $m^{\prime \prime}$ на планету $m^{\prime}$ по изменению положения ее орбиты сводится к тому, что узлу ее орбиты сообщается в орбите возмущающей планеты $m^{\prime \prime}$ мгновенное обратное движение, выражающееся через
\[
-\frac{m^{\prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}}{4 \sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}} d t
\]

причем на взаимный наклон обеих орбит указанное действие не оказывает никакого влияния.

Совершенно так же действие планеты $m^{\prime}$ на планету $m^{\prime \prime}$ по изменению положения ее орбиты приводит к мгновенному попятному движению узла этой планеты в плоскости орбиты $m^{\prime}$, выражающемуся через
\[
-\frac{m^{\prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}}{4 \sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}}} d t
\]

и так далее для других планет.
Комбинируя таким образом попарно все планеты, можно определить возмущения их узлов и их взаимных наклонов, так как, согласно природе дифференциального исчисления, сумма частных значений дифференциала образует полное значение последнего. Таким именно образом были найдены годовые изменения узлов и наклонений планет, вызванные их взаимным притяжением, еще до того, как была создана прямая и общая теория вековых возмущений.
106. Для того чтобы дать пример применения этого метода, рассмотрим три планеты $m^{\prime}, m^{\prime \prime}, m^{\prime \prime \prime}$, орбиты которых взаимно пересекаются, и пусть $I^{\prime \prime}, I^{\prime \prime \prime}$ ‘ – наклонения второй и третьей орбит к первой, а $I_{n}^{\prime \prime \prime}$ – наклонение второй орбиты к третьей; легко видеть, что на сфере эти углы образуют сферический треугольник, три угла которого, если догустить, что наклонения $m^{\prime \prime}$ и $m^{\prime \prime \prime}$ расположены на одной и той же стороне, составят $I_{,}^{\prime \prime}, 180-I_{, \prime}^{\prime \prime \prime}$ и $I_{n}^{\prime \prime \prime}$; для большей простоты мы эти углы обозначим через $\alpha, \beta, \gamma$.

Планета $m^{\prime}$ заставляет отступать по своей орбите узел планеты $m^{\prime \prime}$ на элементарную величину
\[
\frac{m^{\prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}}{4 \sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}}} d t
\]

одновременно та же планета заставляет отступать по своей орбите узел планеты $m^{\prime \prime \prime}$ на элементарную величину
\[
\frac{m^{\prime} a^{\prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}}{4 \sqrt{g^{\prime \prime \prime} a^{\prime \prime \prime}}} d t
\]

между тем как углы наклона $I_{,}^{\prime \prime}$ и $I_{,}^{\prime \prime}$ остаются постоянными.

Таким образом, в треугольнике, образуемом пересечением трех орбит, часть орбиты $m^{\prime}$, заключающаяся между орбитами $m^{\prime \prime}$ и $m^{\prime \prime \prime}$, т. е. сторона, прилегающая к углам $\alpha$ и $\beta$, увеличивается на величину $A d t$; полагаем для краткости
\[
A=\frac{m^{\prime}}{4}\left(\frac{a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}}{\sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}}}-\frac{a^{\prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}}{\sqrt{g^{\prime \prime \prime} a^{\prime \prime \prime}}}\right) ;
\]

углы $\alpha$ и $\beta$ остаются постоянными.
Но в сферическом треугольнике, углы которого равны $\alpha, \beta, \gamma$, а сторона, прилежащая к $\alpha$ и $\beta$, т. е. противолежащая $\gamma$, равна $c$, мы имеем
\[
\cos \gamma=\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta .
\]

Следовательно, варьируя $c$ на $A d t$,мы получим
\[
d \cos \gamma=-\sin \alpha \sin \beta \sin c A d t .
\]

Но то же уравнение дает
\[
\cos c=\frac{\cos \gamma+\cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta},
\]

откуда следует
\[
\begin{aligned}
\sin c & =\frac{\sqrt{\sin ^{2} \alpha \sin ^{2} \beta-(\cos \gamma+\cos \alpha \cos \beta)^{2}}}{\sin \alpha \sin \beta}= \\
& =\frac{\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha-\cos ^{2} \beta-\cos ^{2} \gamma-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}}{\sin \alpha \sin \beta} .
\end{aligned}
\]

Положим для сокращения
\[
\begin{array}{r}
u=\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha-\cos ^{2} \beta-\cos ^{2} \gamma-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}= \\
=\sin \alpha \sin \beta \sin c ;
\end{array}
\]

тогда мы получим
\[
d \cos \gamma=-A u d t .
\]

Таким же путем, рассматривая обратное движение орбит $m^{\prime}$ и $m^{\prime \prime \prime}$ по орбите $m^{\prime \prime}$, которое увеличивает сторону, прилежащую к углам $\alpha, \gamma$ и, следовательно, противолежащую углу $\beta$, на элементарную величину $B d t$, где положено
\[
B=\frac{m^{\prime \prime}}{4}\left(\frac{a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}}{\sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}}-\frac{a^{\prime \prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}}{\sqrt{g^{\prime \prime \prime} a^{\prime \prime \prime}}}\right),
\]

между тем как углы $\alpha$ и $\gamma$ остаются постоянными, мы получим
\[
d \cos \beta=-B u d t,
\]

ибо величина $u$ является симметричной функцией трех косинусов.

Наконец, отступление орбит $m^{\prime}$ и $m^{\prime \prime}$ по орбите $m^{\prime \prime \prime}$ также дает
\[
d \cos \alpha=-C u d t,
\]

если положить
\[
C=\frac{m^{\prime \prime \prime}}{4}\left(\frac{a^{\prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}}{\sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}}-\frac{a^{\prime \prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}}{\sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}}}\right) .
\]

В этих уравнениях три коэффициента $A, B, C$ постоянны; следовательно, имеется лишь одна переменная величина $u$, которая является функцией трех косинусов $x, \beta, \gamma$, т. е. соответствующих углов наклона орбит $I_{,}^{\prime \prime}, I_{,}^{\prime \prime}, I_{n}^{\prime \prime}$; стало быть, можно определить их значения в функции $t$.

Если сложить приведенные три уравнения, умножив предварительно первое из них на $m^{\prime \prime} m^{\prime \prime \prime} a^{\prime \prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]$, второе на $-m^{\prime} m^{\prime \prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]$, третье на
\[
m^{\prime} m^{\prime \prime} a^{\prime} a^{n}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right],
\]

то мы получим
\[
\begin{array}{r}
m^{\prime \prime} m^{\prime \prime \prime} a^{\prime \prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1} d \cos \gamma-m^{\prime} m^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1} d \cos \beta+ \\
+m^{\prime} m^{\prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1} d \cos \alpha= \\
=-m^{\prime \prime} m^{\prime \prime \prime} a^{\prime \prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1} A u d t+ \\
\quad+m^{\prime} m^{\prime \prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1} B u d t-m^{\prime} m^{\prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1} C u d t .
\end{array}
\]

Подставив сюда значения $A, B, C$, мы увидим, что правая часть превращается в нуль, так как все члены взаимно уничтожаются, а левая поддается интегрированию; подставив вместо $\alpha, \beta, \gamma$ их значения $I^{\prime,}$, $180-I_{\prime}^{\prime \prime \prime}, I_{\prime \prime}^{\prime \prime}$, мы получим уравнение
\[
\begin{array}{l}
m^{\prime \prime} m^{\prime \prime \prime} a^{\prime \prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1} \cos I_{\prime \prime}^{\prime \prime \prime}+m^{\prime} m^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1} \cos I_{,}^{\prime \prime}+ \\
+m^{\prime} m^{\prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1} \cos I_{\gamma}^{\prime \prime}=\text { const., }
\end{array}
\]

согласующееся в случае трех орбит с интегралом $\Psi=$ const., найденным нами выше (п. 104).
Если для большей простоты положить:
\[
\cos \alpha=x, \quad \cos \beta=y, \quad \cos \gamma=z,
\]

то мы получим следующие три уравнения:
\[
\begin{array}{c}
d x=-C u d t, \quad d y=-B u d t, \quad d z=-A u d t, \\
u=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}-2 x y z}
\end{array}
\]

первое из них, взятое в сочетании со вторым и третьим, дает по исключении $u$
\[
d y=\frac{B}{C} d x, \quad d z=\frac{A}{C} d x,
\]

а отсюда
\[
y=\frac{B x+a}{C}, \quad z=\frac{A x+b}{C} .
\]

Если эти выражения подставить в выражение $u$, то степень переменной $x$ под знаком корня повысится до третьей, а уравнение $d x=-C u d t$ даст
\[
d t=-\frac{d x}{C u} ;
\]

в этом уравнении переменные разделены, однако вторая часть его может быть проинтегрирована только путем спрямления конических сечений.

Но так как взаимные наклонения орбит мы должны предположить очень малыми, то если положить
\[
x=1-\xi, \quad y=-1+\eta, \quad z=1-\xi,
\]

что дает
\[
\xi=\frac{1}{2} I_{,}^{\prime_{2}}, \quad \eta=\frac{1}{2} I_{,}^{\prime \prime \prime 2}, \quad \zeta=\frac{1}{2} I^{\prime \prime \prime 2},
\]

то величины $\xi, \eta, \zeta$ должны быть очень малыми; поэтому в выражении для $u$ можно пренебречь их третьими степенями по сравнению со вторыми. Таким образом, мы получим
\[
u^{2}=2(\zeta \eta+\xi \zeta+\eta \xi)-\xi^{2}-\eta^{2}-\zeta^{2}
\]

и
\[
d \xi=C u d t, \quad d \eta=-B u d t, \quad d \zeta=A u d t .
\]

Если это значение $u^{2}$ продифференцировать и после подстановки значений $d \xi, d \eta, d \zeta$ разделить это уравнение на $u d t$, затем снова продифференцировать и опять произвести указанные выше подстановки, то мы будем иметь
\[
\frac{d^{2} u}{d t^{2}}=\left[2(A C-A B-B C)-A^{2}-B^{2}-C^{2}\right] u ;
\]

это уравнение может быть проинтегрировано с помощью показательных функций или с помощью синусов в зависимости от того, будет ли коэффициент при $u$ положительным или отрицательным; но так как
\[
u=\sin \alpha \sin \beta \sin c,
\]

то ясно, что выражение $u$ в функции $t$ не может содержать в себе показательных величин; поэтому, обозначив в предыдущем уравнении коэффициент при $u$ через $-\mu^{2}$, мы будем иметь
\[
u=K \cos (\mu t+k),
\]

где $K$ и $k$-две произвольные постоянные, которые следует определить по начальному состоянию; а так как, согласно допущению, $\sin \alpha$ и $\sin \beta$ – очень малые величины, то и значение $K$ будет очень мало.

Отсюда путем интегрирования мы получим $\xi, \eta, \zeta$, которые будут содержать $t$ липь в $\sin (\mu t+k)$ и которые, будучи в начале очень малыми величинами, по необходимости всегда будут оставаться такими; таким образом, решение будет всегда пригодно.

Итак, указанным путем мы определим взаимные наклоны орбит для определенного момента времени, но отсюда мы еще не определим их абсолютных положений в пространстве; зависящих от углов $h^{\prime}, h^{\prime \prime}, \ldots, i^{\prime}, i^{\prime \prime}, \ldots$; поэтому будет проще определить эти углы прямо путем интегрирования уравнений пункта 104.
107. Однако вместо того, чтобы воспользоваться этими уравнениями в том виде, в каком они там даны, представляется более выгодным их преобразовать с помощью подстановок пункта 78 , положив
\[
\begin{array}{l}
p^{\prime}=\sin i^{\prime} \sin h^{\prime}, \quad p^{\prime \prime}=\sin i^{\prime \prime} \sin h^{\prime \prime}, \ldots, \\
q^{\prime}=\sin i^{\prime} \cos h^{\prime}, \quad q^{\prime \prime}=\sin i^{\prime \prime} \cos h^{\prime \prime}, \ldots ;
\end{array}
\]

снабдив буквы $p, q$ штрихами для того, чтобы отнести их соответственно к планетам $m^{\prime} m^{\prime \prime}, \ldots$, и подставив функцию $\frac{\Psi}{m}$ вместо (Q) (п. 104), мы получим уравнения
\[
\begin{array}{l}
\frac{d p^{\prime}}{d t}=\frac{\sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}}{m^{\prime} \sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}} \frac{\partial \Psi}{\partial q^{\prime}}, \quad \frac{d q^{\prime}}{d t}=-\frac{\sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}}{m^{\prime} \sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}} \frac{\partial \Psi}{\partial p^{\prime}} \\
\frac{d p^{\prime \prime}}{d t}=\frac{\sqrt{1-p^{\prime \prime 2}-q^{\prime \prime}}}{m^{\prime \prime} \sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}}} \frac{\partial \Psi}{\partial q^{\prime \prime}}, \frac{d q^{\prime \prime}}{d t}=-\frac{\sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}}{m^{\prime \prime} \sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}}} \frac{\partial \Psi}{\partial p^{\prime \prime}} \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

Функция $\Psi$, как и в упомянутом выше пункте, будет иметь следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\Psi=-\frac{1}{4} m^{\prime} m^{\prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1},\left(1-\cos I^{\prime \prime},\right)- \\
\text { – } \frac{1}{4} m^{\prime} m^{\prime \prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}\left(1-\cos I_{, \” \prime}^{\prime \prime}\right) \text { – } \\
\text { – . . . . . . . . . . . . . . . . . . , } \\
\end{array}
\]

но $\cos I^{\prime \prime}, \cos I_{, \prime \prime}^{\prime \prime}, \cos I_{\prime \prime}^{\prime \prime}, \ldots$ с помощью тех же подстановок выразятся следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\cos I^{\prime \prime},=\sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}} \sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}+p^{\prime} p^{\prime \prime}+q^{\prime} q^{\prime \prime}, \\
\cos I_{\prime}^{\prime \prime}=\sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}} \sqrt{1-p^{\prime \prime \prime 2}-q^{\prime \prime 2}}+p^{\prime} p^{\prime \prime \prime}+q^{\prime} q^{\prime \prime}, \\
\cos I_{\prime \prime}^{\prime \prime \prime}=\sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}} \sqrt{1-p^{\prime \prime \prime 2}-q^{\prime \prime 2}}+p^{\prime \prime} p^{\prime \prime \prime}+q^{\prime \prime} q^{\prime \prime \prime}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Произведя эти подстановки и выполнив дифференцирования по $p^{\prime}, q^{\prime}, p^{\prime \prime}, q^{\prime \prime}, \ldots$, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d p^{\prime}}{d t}=-\frac{m^{\prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}}{4 \sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}} \times \\
\times\left(q^{\prime} l^{\prime} \overline{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}-q^{\prime \prime} \sqrt{1-q^{\prime 2}-q^{\prime 2}}\right)- \\
-\frac{m^{\prime \prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}}{4 \sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}} \times \\
\times\left(q^{\prime} \sqrt{1-p^{\prime \prime \prime 2}-q^{\prime \prime \prime 2}}-q^{\prime \prime \prime} \sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}\right)- \\
\text { – . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., } \\
\frac{d q^{\prime}}{d t}=\frac{m^{\prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}}{4 \sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}} \times \\
\times\left(p^{\prime} \sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}-p^{\prime \prime} \sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}\right)+ \\
+\frac{m^{\prime \prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}}{4 \sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}} \times \\
\times\left(p^{\prime} \sqrt{1-p^{\prime \prime \prime 2}-q^{\prime \prime \prime 2}}-p^{\prime \prime \prime} \sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}\right)+ \\
\text { + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , } \\
\frac{d p^{\prime \prime}}{d t}=-\frac{m^{\prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}}{4 \sqrt{g^{n} a^{\prime \prime}}} \times \\
\times\left(q^{\prime \prime} \sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}-q^{\prime} \sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}\right)- \\
-\frac{m^{\prime \prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}}{4 \sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}}} \times \\
\times\left(q^{\prime \prime} \sqrt{1-p^{\prime \prime \prime 2}-q^{\prime \prime \prime 2}}-q^{\prime \prime \prime} \sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}\right)- \\
\text { – . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . , } \\
\frac{d q^{\prime \prime}}{d t}=\frac{m^{\prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime}\right]_{1}}{4 \sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}}} \times \\
\times\left(p^{\prime \prime} \sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}-p^{\prime} \sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}\right)+ \\
+\frac{m^{\prime \prime \prime} a^{\prime \prime} a^{\prime \prime \prime}\left[a^{\prime \prime}, a^{\prime \prime \prime}\right]_{1}}{4 \sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}}} \times \\
\times\left(p^{\prime \prime} \sqrt{1-p^{\prime \prime \prime 2}-q^{\prime \prime \prime 2}}-p^{\prime \prime \prime} \sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}\right)+ \\
\text { + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , } \\
\end{array}
\]

108. Эти уравнения имеют место независимо от того, каковы значения переменных $p^{\prime}, q^{\prime}, p^{\prime \prime}, q^{\prime \prime}, \ldots$, ибо наши формулы не шредіолагают, что наклонения $i^{\prime}, i^{\prime \prime} \ldots$ орбит к неподвижной плоскости очень малы, как это было до сих пор во всех формулах, данных для движения узлов и для вариаций наклонений; они предполагают лишь, что малы взаимные наклонения орбит.

Что касается их интегрирования, то оно вообще представляется очень трудным; возможно, что оно выполнимо только в случае двух орбит.
В этом случае положим для сокращения
\[
\begin{array}{l}
\frac{m^{\prime \prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}}{4 \sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}}=M, \quad \frac{m^{\prime} a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}}{4 \sqrt{g^{\prime \prime} a^{\prime \prime}}}=N \\
\sqrt{1-p^{2}-q^{\prime 2}}=x, \quad \sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}=y
\end{array}
\]

тогда мы получим уравнения
\[
\begin{array}{ll}
\frac{d p^{\prime}}{d t}=-M\left(q^{\prime} y-q^{\prime \prime} x\right), & \frac{d q^{\prime}}{d t}=M\left(p^{\prime} y-p^{\prime \prime} x\right), \\
\frac{d p^{\prime \prime}}{d t}=-N\left(q^{\prime \prime} x-q^{\prime} y\right), & \frac{d q^{\prime \prime}}{d t}=N\left(p^{\prime \prime} x-p^{\prime} y\right),
\end{array}
\]

которые дают сначала
\[
N \frac{d p^{\prime}}{d t}+M \frac{d p^{\prime \prime}}{d t}=0, \quad N \frac{d q^{\prime}}{d t}+M \frac{d q^{\prime \prime}}{d t}=0,
\]

откуда следует
\[
N p^{\prime}+M p^{\prime \prime}=b, \quad N q^{\prime}+M q^{\prime \prime}=c,
\]

где $b$ и $c$ – постоянные.
Если тешерь продифференцировать уравнение $x^{2}=1-p^{\prime 2}-q^{2}$ и подставить выражения для $d p^{\prime}, d q^{\prime}$, то по разделении на $x d t$ мы получим
\[
\frac{d x}{d t}=-M\left(p^{\prime} q^{\prime \prime}-q^{\prime} p^{\prime \prime}\right) ;
\]

точно так же мы найдем
\[
\frac{d y}{d t}=-N\left(q^{\prime} p^{\prime \prime}-p^{\prime} q^{\prime \prime}\right),
\]

а отсюда
\[
N \frac{d x}{d t}+M \frac{d y}{d t}=0, \quad N x+M y=f,
\]

где $f$ – постоянная.
Найденные нами интегралы дают
\[
M p^{\prime \prime}=b-N p^{\prime}, \quad M q^{\prime \prime}=c-N q^{\prime}, \quad M y=f-N x ;
\]

если эти значения подставить в три уравнения
\[
\begin{array}{l}
\frac{d p^{\prime}}{d t}+M\left(q^{\prime} y-q^{\prime \prime} x\right)=0 \\
\frac{d q^{\prime}}{d t}-M\left(p^{\prime} y-p^{\prime \prime} x\right)=0 \\
\frac{d x}{d t}+M\left(p^{\prime} q^{\prime \prime}-q^{\prime} p^{\prime \prime}\right)=0
\end{array}
\]

то мы получим следующие уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d p^{\prime}}{d t}+f q^{\prime}-c x=0, \\
\frac{d_{1}^{\prime}}{d t}-f p^{\prime}+b x=0, \\
\frac{d x}{d t}+c p^{\prime}-b q^{\prime}=0,
\end{array}
\]

которые, будучи линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, всегда интегрируемы.

Аналогичные уравнения мы получим, заменив величины $p^{\prime}, q^{\prime}, x$ величинами $p^{\prime \prime}, q^{\prime \prime}, y$; но если первые три из этих величин нам известны, то с помощью трех приведенных выше интегралов мы получим и три последних величины.

Выражения $p^{\prime}, q^{\prime}, x$ в функции $t$ будут содержать три произвольных постоянных, а так как постоянные величины $b, c, f$ тоже являются произвольными, то мы получим всего шесть произвольных шостоянных, которые, однако, сведутся к четырем, так как должны быть удовлетворены уравнения
\[
p^{\prime 2}+q^{\prime 2}+x^{2}=1, \quad p^{\prime 2}+q^{\prime 2}+y^{2}=1 ;
\]

таким образом, мы получим полностью значения четырех переменных $p^{\prime}, q^{\prime}, p^{\prime \prime}, q^{\prime \prime}$, которые дают положение обеих орбит в пространстве.

Но наш анализ основан на допущении, что взаимный наклон обеих орбит очень мал; косинус этого угла равен величине (п. 107)
\[
x y+p^{\prime} p^{\prime \prime}+q^{\prime} q^{\prime \prime},
\]

дифференциал которой на основании приведенных выше дифференциальных уравнений равен нулю; следовательно, эта величина равна постоянной, как мы это уже нашли выше (п. 105), и для оправдания приведенного выше решения необходимо допустить, что эта постоянная очень мало отличается от единицы.

Было бы трудно, быть может, даже невозможно, таким же образсм разрешить случай трех или большего числа орбит; отметим, однако, что, так как положение плоскости проекций является произвольным, эту плоскость можно всегда взять таким образом, чтобы наклоны орбит к ней были очень малы, ибо их взаимные наклоны должны быть очень малыми; и если наклоны, будучи очень малыми в некоторый момент, всегда останутся очень малыми, то решение, основанное на этом допущении, будет законным.
109. Если допустить, что наклонения $i^{\prime}, i^{\prime \prime}, \ldots$ орбит к неподвижной плоскости очень малы, то и переменные $p^{\prime}, q^{\prime}, p^{\prime \prime}, q^{\prime \prime}, \ldots$ будут очень малыми величинами; тогда в уравнениях пункта 107 между этими переменными можно вместо радикалов
\[
\sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}, \quad \sqrt{1-p^{\prime 2}-q^{\prime 2}}, \ldots
\]

поставить просто 1 , в результате чего уравнения сделаются линейными и их будет легко интегрировать.

Указанным путем получаются уравнения, совершенно сходные с теми, которые были найдены мною иным методом в Mémoires de l’Académie de Berlin за 1782 г. и которые я тоже применил к шести главным планетам, дав конечные выражения переменных для неопределенного времени; а записки той же академи и за 1787 г. содержат, сверх того, то, что относится к орбите планеты Гершеля. Следует лишь отметить, что в формулах этих записок тангенсы наклонений занимают место синусов, входящих в состав значений переменных
\[
\begin{array}{l}
p^{\prime}=\sin i^{\prime} \sin h^{\prime}, \quad p^{\prime \prime}=\sin i^{\prime \prime} \sin h^{\prime \prime}, \ldots, \\
q^{\prime}=\sin i^{\prime} \cos h^{\prime}, \quad q^{\prime \prime}=\sin i^{\prime \prime} \cos h^{\prime \prime}, \ldots ;
\end{array}
\]

одлако вследствие малости наклонений это различие может не приниматься в расчет.

Когда известны значения переменных, можно тотчас же определить взаимные наклонения орбит, пользуясь формулами пункта 107 ; но в случае, когда величины $p^{\prime}, q^{\prime}, p^{\prime \prime}, q^{\prime \prime}, \ldots$ очень малы, эти формулы упрощаются. Пренебрегая третьими измерениями упомянутых величин, мы в этом случае имеем
\[
\cos I^{\prime \prime}=1-\frac{1}{2}\left(p^{\prime 2}+q^{\prime 2}+p^{\prime 2}+q^{\prime 2}\right)+p p^{\prime}+q q^{\prime} ;
\]

а отсюда, в силу тождества $1-\cos I^{\prime \prime},=2 \sin ^{2} \frac{1}{2} I^{\prime \prime}$,
\[
\sin \frac{1}{2} I^{\prime \prime}=\frac{1}{2} \sqrt{\left(p^{\prime}-p^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(q^{\prime}-q^{\prime \prime}\right)^{2}} ;
\]

точно так же получим
\[
\sin \frac{1}{2} l_{\prime^{\prime \prime \prime}}=\frac{1}{2} \sqrt{\left(p^{\prime}-p^{\prime \prime \prime}\right)^{2}+\left(q^{\prime}-q^{\prime \prime \prime}\right)^{2}}
\]

и так далее для других углов.
110. Для завершения теории вековых вариаций остается еще рассмотреть вариацию среднего движения, которую в пункте 77 мы обозначили через $d$. и которая, если пренебречь квадратом эксцентриситета $e$, представляющего собою, согласно допущению, очень малую по сравнению с единицей величину, и если снабдить буквы штрихами, дабы отнести их соответственно к планетам $m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$, примет вид
\[
d \lambda^{\prime}=-2 \sqrt{\frac{a^{\prime}}{g^{\prime}} \frac{\partial\left(\Omega^{\prime}\right)}{\partial a^{\prime}}} d t+\frac{e^{\prime}}{\sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}} \frac{\partial\left(\Omega^{\prime}\right)}{\partial e^{\prime}} d t
\]

для планеты $m^{\prime}$; точно так же мы получим вариацию $d \lambda^{\prime \prime}$ для планеты $m^{\prime \prime}$, прибавив еще один штрих к тем буквам, которые имеют только один штрих, и так далее.

Подставим в этой формуле в соответствии с пунктом 100 вместо функции (Q’) сумму $\left(Q^{\prime}\right)_{1}+\left(Q^{\prime}\right)_{2} ;$ так как функция $\left(Q^{\prime}\right)_{2}$ не содержит әксцентриситетов $e^{\prime}, e^{\prime \prime}, \ldots$, то мы будем иметь просто
\[
d \lambda^{\prime}=-2 \sqrt{\frac{a^{\prime}}{g^{\prime}}}\left[\frac{\partial\left(\Omega^{\prime}\right)_{1}}{\partial a^{\prime}}+\frac{\partial\left(\Omega^{\prime}\right)_{4}}{\partial a^{\prime}}\right] d t+\frac{e^{\prime}}{\sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}} \frac{\partial\left(\Omega^{\prime}\right)_{1}}{\partial e^{\prime}} d t ;
\]

для того чтобы получить однообразную формулу для всех планет $m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$, следует лишь, согласно указаниям пунктов 101 и 104, подставить $\frac{1}{m^{\prime}} \frac{\partial \Phi}{\partial a^{\prime}}, \frac{1}{m^{\prime}} \frac{\partial \Phi}{\partial e^{\prime}}$ вместо $\frac{\partial\left(Q^{\prime}\right)_{1}}{\partial a^{\prime}}, \frac{\partial\left(Q^{\prime}\right)_{1}}{\partial e^{\prime}}$ и $\frac{1}{m^{\prime}} \frac{\partial \Psi}{\partial a^{\prime}}$ вместо $\frac{\partial\left(\underline{g}^{\prime}\right)_{2}}{\partial a^{\prime}}$, в результате чего получится
\[
d \lambda^{\prime}=2 \sqrt{\frac{a^{\prime}}{g^{\prime}}}\left(\frac{1}{m^{\prime}} \frac{\partial \Phi}{\partial a^{\prime}}+\frac{1}{m^{\prime}} \frac{\partial \Psi}{\partial a^{\prime}}\right) d t+\frac{e^{\prime}}{\sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}} \frac{1}{m^{\prime}} \partial \Phi d t ;
\]

функции $\Phi$ и $\Psi$ были даны в тех же пунктах; они являются одинаковыми для всех планет.

Но если вместо функций, выраженных через $e^{\prime}$, $\rho^{\prime}, i^{\prime}, h^{\prime}, e^{\prime \prime}, \ldots$, воспользоваться выражениями пунктов 103,107 , представленными в виде функций $\mathrm{m}^{\prime}$, $\mathrm{n}^{\prime}, p^{\prime}, q^{\prime}, \mathrm{m}^{\prime \prime}, \ldots$, следует, согласно формулам пункта 73 , вместо $e^{\prime} \frac{\partial \Phi}{\partial e^{\prime}}$ подставить $\mathrm{m}^{\prime} \frac{\partial \Phi}{\partial \mathrm{m}^{\prime}}+\mathrm{n}^{\prime} \frac{\partial \Phi}{\partial \mathrm{n}^{\prime}}$. Этим путем мы получим
\[
\begin{aligned}
d \lambda^{\prime}=-2 \sqrt{\frac{a^{\prime}}{g^{\prime}}}\left(\frac{1}{m^{\prime}} \frac{\partial \Phi}{\partial a^{\prime}}\right. & \left.+\frac{1}{m^{\prime}} \frac{\partial \Psi}{\partial a^{\prime}}\right) d t+ \\
& +\frac{1}{\sqrt{g^{\prime} a^{\prime}}}\left(\frac{\mathrm{m}^{\prime}}{m^{\prime}} \frac{\partial \Phi}{\partial \mathrm{m}^{\prime}}+\frac{\mathrm{n}^{\prime}}{m^{\prime}} \frac{\partial \Phi}{\partial \mathrm{n}^{\prime}}\right) d t
\end{aligned}
\]

для получения $d \lambda^{\prime \prime}, d \lambda^{\prime \prime \prime}, \ldots$ следует лишь вместо $g^{\prime}, a^{\prime}, m^{\prime}, \mathrm{m}^{\prime}, \mathrm{n}^{\prime}$ взять $g^{\prime \prime}, a^{\prime \prime}, m^{\prime \prime}, \mathrm{m}^{\prime \prime}, \mathrm{n}^{\prime \prime}, \ldots$
В этих формулах частные производные по $a^{\prime}$ влияют лишь на коэффициенты $a^{\prime} a^{\prime \prime}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right), \quad a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}$, $a^{\prime} a^{\prime \prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{2}, a^{\prime} a^{\prime \prime \prime}\left(a, a^{\prime \prime \prime}\right), \ldots$ функций $\Phi$ и $\Psi ;$ но достаточно вместо них подставить
\[
a^{\prime}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)+a^{\prime} a^{\prime \prime} \frac{\partial\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{\partial a^{\prime}} a^{\prime}\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}+a^{\prime} a^{\prime \prime} \frac{\partial\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}}{\partial a^{\prime}},
\]

и тогда мы получим $\frac{\partial \Phi}{\partial a^{\prime}}, \frac{\partial \Psi}{\partial a^{\prime}}$; с помощью же формул пункта 88 мы найдем значения частных производных
\[
\frac{\partial\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)}{\partial a^{\prime}}, \frac{\partial\left[a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right]_{1}}{\partial a^{\prime}}, \ldots
\]

Затем сюда следует подставить те выражения для $\mathrm{m}^{\prime}, \mathrm{n}^{\prime}, p^{\prime}, q^{\prime}, \mathrm{m}^{\prime \prime}, \ldots$ в функции $t$, которые были найдены путем интегрирования дифференциальных уравнений пунктов 103 и 109 и которые в упомянутых выше мемуарах Берлинской академии были даны нами для всех планет; так как эти величины выражены с помощью рядов синусов и косинусов, то вариации $d \lambda^{\prime}, d \iota^{\prime \prime}, \ldots$ поддаются интегрированию; при этом постоянные члены дадут в $\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}, \ldots$ члены, пропорциональные $t$, которые совпадают со средними движениями; а члены с синусами и косинусами дадут аналогичные члены, которые выразят вековые вариации этих движений.

В упомянутых выше мемуарах Берлинской академии, воспользовавшись иным методом, я нашел формулы для определения вековых вариаций средних движений планет, и они дали мне для Юпитера и Сатурна почти незаметные величины; но приведенные выше формулы являются, пожалуй, более точными, и их будет полезно применять к планетам; однако этим вопросом я займусь в другом месте; здесь же я имел в виду лишь показать применение новой теории вариаций произвольных постоянных при определении вековых изменений әлементов планетных орбит.