Обозначим через $\zeta$ среднюю аномалию планеты, через $u$ әксцентрическую аномалию, через $е$-әксцентриситет орбиты, так что мы будем иметь уравнение
\[
u-e \sin u=\zeta ;
\]

можно поставить вопрос, в каком случае переменная $u$ и конечные и непрерывные функции әтой переменной могут быть разложены в сходящиеся ряды, расположенные по возрастающим степеням $e$.

Для того чтобы ответить на этот вопрөс, прежде всего заметим, что если $\zeta$ рассматривать как вещественную постоянную, а $e$ как вещественную или миимую переменную, то трансцендентное уравнение
\[
u-e \sin u=\zeta
\]

определяет для каждсго значения $e$ бссчисленное множество значений $u$, из которых одно сводится к нулю при $e=0\left[{ }^{37}\right]$, между тем как все остальные становятся бесконечно большими. Вообще говоря, значения $u$, соответствующие какому-либо значению $e$, между собою не равны, но для некоторых значений $e$ два значения $u$ становятся равными между собою и, следовательно, одновременно удовлетворяют двум уравнениям:
\[
u-e \sin u=\zeta, \quad 1-e \cos u=0,
\]

из которых второе получено дифференцированием первого по $u$. Среди әтих значенин е имеется одио, модуль которого является наименьшим; обозначим через $a$ әтот минимальный модуль, зависящий, между прочим, от постоянной $\zeta$.

Если введем условие, чтобы модуль $e$ оставался меньше $a$, а переменная $u$ исчезала при $e=0$ [38], то $u$ будет совершенно определенной функцией, которая для вещественных значений $e$ совпадет с әксцентрической аномалией движения планет; кроме того, әта функция, а также конечные и непрерывные функции ее смогут быть разложены в сходящиеся ряды, расположенные по возрастающим степеням $e$.

Если принять указанные выше предложения, вытекающие из хоропо известных теорем*), то вопрос сведется к определению модуля $a$, или же, так как этот модуль зависит от $\zeta$,к нахождению минимума значений $a$, соответствующи различным значениям $\zeta$; это мы сейчас и сделаем, следуя по пути, намеченному Коши.

Обозначим через з основание неперовых логарифмов, и пусть
\[
e=a \varepsilon^{\alpha} \sqrt{-1}
\]

есть значение $e$, модуль которого равен $a$; это значение $e$, будучи соединено с подходящим вначением $u$, удовлетворяет одновременно уравнениям
\[
u-e \sin u=\zeta, \quad 1-e \cos u=0 .
\]

Продифференцировав первое из этих уравнений по $\zeta$, мы получим
\[
(1-e \cos u) \frac{d u}{d \zeta}-\sin u \frac{d e}{d \zeta}=1,
\]

или же, приняв во внимание второе уравнение, проето
\[
-\sin u \frac{d e}{d \zeta}=1, \cdot \frac{d e}{d \zeta}=-\frac{1}{\sin u}=-\frac{e}{u-\zeta} .
\]

Но уравнение
\[
e=a s^{\alpha} \sqrt{-1}
\]

дает нам
\[
\frac{d e}{d \zeta}=\kappa^{a} \sqrt{-1} \frac{d a}{d \xi}+a_{3}^{\alpha} \sqrt{-1} \frac{d x}{d \xi} \sqrt{-1},
\]

и следовательно,
\[
\frac{1}{e} \frac{d e}{d \zeta}=\frac{1}{a} \frac{d a}{d \zeta}+\frac{d x}{d \zeta} \sqrt{-1}=\frac{d \log a}{d \zeta}+\frac{d \hbar}{d \zeta} \gamma-1 .
\]
*) См. различные мемуары Кощи, Comptes rendus de l’Académie des Sciences, т. X, и Exercices de phisique mathématique, т. I.

Подставляя вместо $\frac{d e}{d \zeta}$ его значение $-\frac{e}{u-\zeta}$, мы получим
\[
-\frac{1}{u-\zeta}=\frac{d \log a}{d \zeta}+\frac{d \alpha}{d \zeta} \sqrt{-1} \text {. }
\]

Теперь предположим, что постоянная $\zeta$ пмеет такое значение, при котором а принимает свое минимальное значение; тогда мы имеем
\[
\frac{d \log a}{d \zeta}=0,
\]

и предыдущее уравнение показывает, что в этом случае вещественная часть $-\frac{1}{u-\zeta}$ будет равна нулю; то же самое, следовательно, будет и с вещественной частью $u$ — ; поәтому можно положить
\[
u-\zeta=p \sqrt{-1},
\]

где $p$-вещественная величина, или же
\[
u=\zeta+\rho \sqrt{-1} .
\]

Внесем это выражение $u$ в соотношение
\[
(u-\zeta) \cos u=\sin u,
\]

получающееся при исключении е из двух уравнений
\[
u-e \sin u=\zeta, \quad 1-e \cos u=0 ;
\]

тогда оно превратится в следующее:
\[
\begin{aligned}
\rho \sqrt{-1}[\cos \zeta(\rho \sqrt{-1})-\sin \zeta \sin (\rho \sqrt{-1})]= \\
\quad=\sin \zeta \cos (\rho \sqrt{-1})+\cos \zeta \sin (\rho \sqrt{-1}),
\end{aligned}
\]

или
\[
\begin{array}{l}
\cos \zeta[\rho \sqrt{-1} \cos (\rho \boldsymbol{V}-1)-\sin (\rho \sqrt[V]{-1})]= \\
=\sin \zeta[\cos (\rho \sqrt[V]{-1})+\rho \sqrt{-1} \sin (\rho \sqrt[V]{-1})] \text {, } \\
\end{array}
\]

или же
\[
\begin{aligned}
V=1 \cos \zeta\left(\rho \frac{\hat{s}^{p}+\hat{\sigma}^{-p}}{2}\right. & \left.-\frac{\hat{\beta}^{p}-\varepsilon^{-\rho}}{2}\right)= \\
& =\sin \zeta\left(\frac{s^{p}+s^{-p}}{2}-\rho \frac{s^{p}-s^{-p}}{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Каждая часть этого последнего уравнения должна быть отдельно равна нулю; следовательно, можно цоложить либо
\[
p \frac{\delta^{p}+\delta^{-p}}{2}-\frac{\varepsilon^{p}-s^{-p}}{2}=0, \quad \frac{s^{p}+\delta^{-p}}{2}-p \frac{s^{p}-{ }^{-p}}{2}=0,
\]

либо же
\[
\cos \zeta=0, \frac{s^{p}+s^{-p}}{2}-p \frac{s^{p}-3^{-p}}{2}=0,
\]

либо, наконец,
\[
\sin \zeta=0, \quad \rho \frac{s^{p}+s^{-p}}{2}-\frac{s^{p}-i-p}{2}=0 .
\]

Первое решение должно быть отброшено, так как из него можно было бы вывести

или же
\[
(1-\rho)^{2} s^{2 \rho}+(1+\rho)^{2} s^{-2 \rho}=0,
\]

но последнее уравнение невозможно, так как $\rho$ является вещественной величиной. Второе решение даег нам $\zeta=\frac{\pi}{2}{ }^{*}$ ), и уравнение для $p$ может быть написано в следующем виде:
\[
1+\frac{\rho^{2}}{1 \cdot 2}+\frac{\rho^{4}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+\cdots-\left(\frac{\rho^{2}}{1}+\frac{p^{4}}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\ldots\right)=0,
\]

или
\[
\frac{\rho^{2}}{1 \cdot 2}+\frac{3 \rho^{4}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{5 \rho^{6}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}+\ldots=1 ;
\]

мы видим, что вещественная и положительная величина $p^{2}$ имеет только одно значение; определив его с помощью последовательных испытаний и извлекши квадратный корень, мы нолучим
\[
p= \pm 1,1996785 \ldots
\]

Затем мы имеем
\[
e \sin u=u-\zeta=\rho \sqrt{-1}, \quad e \cos u=1,
\]

откуда, сложив квадраты, получим
\[
e^{2}=1-p^{2},
\]

и следовательно,
\[
e= \pm \sqrt{1-\rho^{2}}= \pm \sqrt{\rho^{2}-1} \sqrt{-1}= \pm 0,6627432 \ldots \sqrt{-1} .
\]

Для того чтобы определить, является ли модуль $0,6627432 \ldots$ величины $e$ максимумом или минимумом, следует выяснить, $\qquad$
*) Если предположить, а әто допустимо, что значение $\zeta$ заключено между 0 и $\pi$.

будет ли величина $\frac{d^{2} \log a}{d_{\zeta}^{2}}$ отрицательной или положительной, если для $a$ примем указанное выше значение. Уравнение
\[
\frac{d \operatorname{Jog} a}{d \zeta}=-\frac{1}{u-\zeta}-\frac{d \lambda}{d \zeta} \sqrt{-1}
\]

дает нам
\[
\frac{d^{2} \log a}{d \zeta^{2}}=\frac{1}{(u-\zeta)^{2}}\left(\frac{d u}{d \zeta}-1\right)-\frac{d^{2} \alpha}{d \zeta^{2}} V=1 .
\]

Но из уравнения
\[
1-e \cos u=0
\]

мы получаем
\[
\begin{aligned}
e \sin u \frac{d u}{d \zeta} & =\cos u \frac{d e}{d_{\zeta}}-\frac{\cos u}{\sin u}=-\frac{e \cos u}{e \sin u}=-\frac{1}{u-\zeta}, \\
\frac{d u}{d \zeta} & =-\frac{1}{(u-\zeta) e \sin u}=-\frac{1}{(u-\zeta)^{2}} .
\end{aligned}
\]

Отсюда следует
\[
\frac{d^{2} \log a}{d^{\zeta} \zeta^{2}}=\frac{(u-\zeta)^{2}+1}{(u-\zeta)^{4}}-\frac{d^{2} \alpha}{d \zeta^{2}} \sqrt{-1}
\]

или, если вместо $u-\zeta$ подставить $\rho \sqrt{-1}$ :
\[
\frac{d^{2} \log a}{d_{\zeta}^{\gamma}}-\rho^{2}-1-\frac{d^{2} \iota}{d_{\zeta}^{2}} \gamma-1 .
\]

Но если левая часть уравнения вещественна, то и правая должна быть таковой; поэтому мы имеем
\[
\frac{d^{2} \iota}{d \zeta^{2}}=0
\]

и, следовательно,
\[
\frac{d^{2} \log a}{d \zeta^{2}}=\frac{\rho^{2}-1}{\rho^{4}} .
\]

Так как число $\rho$ превышает единицу, то отсюда ясно, чาо $\frac{d^{2} \log a}{d^{2}}$ является положительной величиной и что таким образом значение $0,662 \ldots$ величины $a$, соответствующее значению $\zeta=\frac{\pi}{2}$, является минимумом.
Третье решение дало бы нам
\[
\sin \zeta=0, \quad \zeta=0 \text { или } \pi ;
\]

одновременно мы имели бы
\[
\rho \frac{e^{p}+e^{-p}}{2}-\frac{e^{p}-e^{-p}}{2}=0
\]

или
\[
\frac{2 \rho^{2}}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{4 \rho^{4}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}+\ldots=0 ;
\]

следовательно,
\[
p=0, \quad e= \pm 1 .
\]

Отсюда долучилось бы $a=1$, но это значение $a$ может быт только максимумом, так как для $\zeta=\frac{\pi}{2}$ — $a$ является минимумом, а между $\zeta=0$ и $\zeta=\frac{\pi}{2}$ не существует максимума, как его не существует между $\zeta=\frac{\pi}{2}$ и $\zeta=\pi$.

Найденное выше число $0,6627432 \ldots$ является, таким образом, единственным минимумом $a$, и этот минимум соответствует значению $\zeta=\frac{\pi}{2}$. Следовательно, ряды, которыми пользуются в теории әллиптического движения, являются всегда сходящимися, если эксцентриситет $е$ меньше $0,6627432 \ldots$; в тех случаях, когда әксцентриситет превышает указанный предел, ряды перестают быть сходящимиея, если средняя аномалия равна $90^{\circ}$. Но если средняя аномалия отлична от $90^{\circ}$, то эти рады остаются сходящимися до значений $e$, превышающих $0,6627432 \ldots$ и тем более приближающихся к единице, чем больше средняя аномалия приближается к нулю или к $180^{\circ}\left[{ }^{39}\right]$.