Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Затруднение, на которое указывает Серрә, можно разрешить, если стать на иную точку зрения, что мы сеичас же и покажем. Рассмотрим в общем виде движения; происходящие на какой-либо новерхности, которую будем считать отнесенной к изотермической системе координат. Пусть представляет собою выражение линейного элемента и пусть $U$-силовая функция, выраженная в функции а и $\beta$. Уравнение живых сил будет иметь следующий вид: где $\alpha^{\prime}$ и p $^{\prime}$ обозначают производные от $\alpha$ и $\beta$ по времени. Если сумму $\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}$ заменить ее значением, найденным из уравнения живых сил, то уравнения примут следующий вид: Допустим, как это имеет место во всех тех случаях, в которых мы умеем выполнить интегрирование, что произведение имеет следующий вид: Тогда уравнения (4) могут быть написаны следующим образом: Если первое из этих уравнений умножить на $\alpha^{\prime}$, а второе на $\beta^{\prime}$, то в обоих уравнениях обе части станут волными дифференциалами, и мы получим после интегрирования где $C$ – постоянная, которая, согласно уравнению живых сил, должна быть в обоих случаях одинаковой. Отсюда получаются следующие соотношения: которые дают возможность одновременно установить траекторию и харакгер движения по ней. В рассматриваемом общем случае встречается еще то затруднение, которое было исследовано Серрэ. Приведенные выше уравнения, несомненно, допускают решение, определенное с помощью двух уравнений: и тогда возникает вопрос, подходит ли это решение к рассматриваемой задаче механики. Наиболее правильным ответом представляется нам следующий. Для того чтобы выяснить, подходит ли какое-либо решение к механической задаче, повидимому, достаточно исследовать, удовлетворнет ли әто решение дифференциальным уравнениям движения, в данном случае – уравнениям (6). Решение, определяемое системой (9), без всякого сомнения, удовлетворяет уравнениям (7). Следовательно, если бы системы (6) и (7) были вполне әквивалентными, можно было бы утверждать, что формулы (9) дают решение поставленной задачи. Но система дифференциальных уравнений движения и система первых интегралов (7) не вполне әквивалентны. Для того чтобы получить интегралы (7), надо было уравнения (6) умножить соответственно на $\alpha^{\prime}$ и $\beta^{\prime}$. Таким путем можно было внести посторонние рещения, удовлетворяющие одному из уравнений Всякое решение первого уравнения (7), для которого $\alpha$ не является постоянной величиной, конечно, удовлетворяет и первому уравнению (6), которое получается из него путем дифференцирования и отбрасывания множителя $d x$; но то решение первого уравнения (7), для которого а является постоянной величиной, определяемой условием является единственным, по поводу которого ничего нельзя утверждать. В самом деле, если допустить, что в первом уравнении (6) a представляет собою постоянную величину, то мы получим условное уравнение которое, вообще говоря, несовместимо со вторым из уравнений (9). Таким образом, рещение рассматриваемой механической задачи, соответствующее постоянному значению $\alpha$, можно получить только в том случае, если это значение удовлетворяет уравнению Соответствуюее значение постоянной $C$ будет тогда равно $F(\alpha)$. Тогда мы можем принять Следовательно, всегда существует какое-нибудь такое вначение $h$, что уравнение допускает в качестве корня любое значение $\alpha$ (за исключением, конечно, корней $f^{\prime}(\alpha)$ ). Таким образом, существует одно решение рассматриваемой задачи, при котором трасктория является одной из координатных кривых (за исключением тех, параметр которых обращает в нуль величину $f^{\prime}(\alpha)$ или $f_{1}^{\prime}(\beta)$ ). Еели эти общие положения применить к задаче Лагранжа, то мы установим, что все наши допущения подтверждаются. Достаточно отнести плоскость к изотермической системе, образованной эллипсами и гиперболами, фокусами которых являются обе точки, притягивающие обратно пропорционально квадрату расстояния. Если $r$ и $r^{\prime}$ обозначают расстояния какойлибо точки от этих двух ‘фокусов, то мы положим Живая сила выравится следующим обравом: Силовая функция в данном случае равна Для применения общих формул следует принять Следовательно, гомофокальные эллипсы и гиперболы могут быть траекториями движущегося тела, за исключением тех из них, которые удовлетворяют одному из уравнений получающихся путем диффегенцирования $f(\alpha)$ и $f_{1}(\beta)$.
|
1 |
Оглавление
|