Затруднение, на которое указывает Серрә, можно разрешить, если стать на иную точку зрения, что мы сеичас же и покажем.

Рассмотрим в общем виде движения; происходящие на какой-либо новерхности, которую будем считать отнесенной к изотермической системе координат. Пусть
\[
d s^{2}=\lambda\left(d x^{2}+d \beta^{2}\right)
\]

представляет собою выражение линейного элемента и пусть $U$-силовая функция, выраженная в функции а и $\beta$. Уравнение живых сил будет иметь следующий вид:
\[
\lambda\left(\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 3}\right)=2 U+2 h,
\]

где $\alpha^{\prime}$ и p $^{\prime}$ обозначают производные от $\alpha$ и $\beta$ по времени.
Дифференциальные уравнения движения, полученные по методу Лагранжа, будут таковы:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}\left(\lambda x^{\prime}\right)=\frac{\partial \lambda}{\partial \alpha} \frac{\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}}{2}+\frac{\partial U}{\partial \lambda}, \\
\frac{d}{d t}\left(\lambda \beta^{\prime}\right)=\frac{\partial \lambda}{\partial \beta} \frac{\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}}{2}+\frac{\partial U}{\partial \beta} .
\end{array}\right\}
\]

Если сумму $\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}$ заменить ее значением, найденным из уравнения живых сил, то уравнения примут следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\lambda \frac{d}{d t}\left(\lambda \alpha^{\prime}\right)=\frac{\partial}{\partial x}[\lambda(U+h)], \\
\lambda \frac{d}{d t}\left(\lambda \beta^{\prime}\right)=\frac{\partial}{\partial \beta}[\lambda(U+h)] .
\end{array}\right\}
\]

Допустим, как это имеет место во всех тех случаях, в которых мы умеем выполнить интегрирование, что произведение
\[
\lambda(U+h)
\]

имеет следующий вид:
\[
\lambda(U+h)=F(\alpha)-F_{1}(\beta) .
\]

Тогда уравнения (4) могут быть написаны следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{l}
\lambda \frac{d}{d t}\left(\lambda \alpha^{\prime}\right)=+F^{\prime}(\alpha), \\
\lambda \frac{d}{d t}\left(\lambda \beta^{\prime}\right)=-F_{1}^{\prime}(\beta) .
\end{array}\right\}
\]

Если первое из этих уравнений умножить на $\alpha^{\prime}$, а второе на $\beta^{\prime}$, то в обоих уравнениях обе части станут волными дифференциалами, и мы получим после интегрирования
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\lambda^{2} \alpha^{\prime 2}}{2}=F(\alpha)-C, \\
\frac{\lambda^{2} \beta^{\prime 2}}{2}=C-F_{1}(\beta),
\end{array}\right\}
\]

где $C$ – постоянная, которая, согласно уравнению живых сил, должна быть в обоих случаях одинаковой. Отсюда получаются следующие соотношения:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d x}{\sqrt{F(\alpha)-C}}=\frac{\alpha \beta}{\sqrt{C-F_{1}(\beta)}}, \\
\sqrt{2} d t & =\frac{\lambda d x}{\sqrt{F(\alpha)-C}}=\frac{\lambda d \beta}{\sqrt{C-F_{1}(\beta)}},
\end{array}\right\}
\]

которые дают возможность одновременно установить траекторию и харакгер движения по ней.

В рассматриваемом общем случае встречается еще то затруднение, которое было исследовано Серрэ. Приведенные выше уравнения, несомненно, допускают решение, определенное с помощью двух уравнений:
\[
d x=0, \quad F(\alpha)=C, \quad \sqrt{2} d t=\frac{\lambda d \beta}{\sqrt{C-F_{1}(\beta)}},
\]

и тогда возникает вопрос, подходит ли это решение к рассматриваемой задаче механики. Наиболее правильным ответом представляется нам следующий.

Для того чтобы выяснить, подходит ли какое-либо решение к механической задаче, повидимому, достаточно исследовать, удовлетворнет ли әто решение дифференциальным уравнениям движения, в данном случае – уравнениям (6). Решение, определяемое системой (9), без всякого сомнения, удовлетворяет уравнениям (7). Следовательно, если бы системы (6) и (7) были вполне әквивалентными, можно было бы утверждать, что формулы (9) дают решение поставленной задачи.

Но система дифференциальных уравнений движения и система первых интегралов (7) не вполне әквивалентны. Для того чтобы получить интегралы (7), надо было уравнения (6) умножить соответственно на $\alpha^{\prime}$ и $\beta^{\prime}$. Таким путем можно было внести посторонние рещения, удовлетворяющие одному из уравнений
\[
\alpha^{\prime}=0, \quad \beta^{\prime}=0 .
\]

Всякое решение первого уравнения (7), для которого $\alpha$ не является постоянной величиной, конечно, удовлетворяет и первому уравнению (6), которое получается из него путем дифференцирования и отбрасывания множителя $d x$; но то решение первого уравнения (7), для которого а является постоянной величиной, определяемой условием
\[
F(\alpha)=C,
\]

является единственным, по поводу которого ничего нельзя утверждать.

В самом деле, если допустить, что в первом уравнении (6) a представляет собою постоянную величину, то мы получим условное уравнение
\[
F^{\prime}(x)=0,
\]

которое, вообще говоря, несовместимо со вторым из уравнений (9). Таким образом, рещение рассматриваемой механической задачи, соответствующее постоянному значению $\alpha$, можно получить только в том случае, если это значение удовлетворяет уравнению
\[
F^{\prime}(x)=0 .
\]

Соответствуюее значение постоянной $C$ будет тогда равно $F(\alpha)$.
Предположим, что мы имеем одновременно
\[
\begin{aligned}
\lambda & =f(\alpha)-f_{1}(\beta), \\
\lambda U & =\varphi(\alpha)-\varphi_{1}(\beta) .
\end{aligned}
\]

Тогда мы можем принять
\[
\begin{aligned}
F(\alpha) & =\varphi(\alpha)+h f(\alpha), \\
F_{1}(\beta) & =\varphi_{1}(\beta)+h f_{1}(\beta) .
\end{aligned}
\]

Следовательно, всегда существует какое-нибудь такое вначение $h$, что уравнение
\[
F^{\prime}(\alpha)=\psi^{\prime}(\alpha)+h f^{\prime}(\alpha)=0
\]

допускает в качестве корня любое значение $\alpha$ (за исключением, конечно, корней $f^{\prime}(\alpha)$ ). Таким образом, существует одно решение рассматриваемой задачи, при котором трасктория является одной из координатных кривых (за исключением тех, параметр которых обращает в нуль величину $f^{\prime}(\alpha)$ или $f_{1}^{\prime}(\beta)$ ).

Еели эти общие положения применить к задаче Лагранжа, то мы установим, что все наши допущения подтверждаются. Достаточно отнести плоскость к изотермической системе, образованной эллипсами и гиперболами, фокусами которых являются обе точки, притягивающие обратно пропорционально квадрату расстояния. Если $r$ и $r^{\prime}$ обозначают расстояния какойлибо точки от этих двух ‘фокусов, то мы положим
\[
r+r^{\prime}=2 \mu, \quad r-r^{\prime}=2 v .
\]

Живая сила выравится следующим обравом:
\[
\left(\mu^{2}-
u^{2}\right)\left(\frac{\mu^{\prime 2}}{\mu^{2}-c^{2}}+\frac{
u^{\prime 2}}{c^{2}-
u^{2}}\right) .
\]

Силовая функция в данном случае равна
\[
U=\frac{A}{\mu+
u}+\frac{C}{\mu-
u}+B\left(\mu^{2}+
u^{2}\right) .
\]

Для применения общих формул следует принять
\[
\begin{array}{rlrl}
d x & =\frac{d \mu}{\sqrt{\mu^{2}-c^{2}}}, & d \beta & =\frac{d
u}{\sqrt{c^{2}-
u^{2}}}, \\
f(\alpha) & =\mu^{2}, & f_{1}(\beta) & =
u^{2}, \\
\varphi(\alpha) & =(A+C) \mu+B \mu^{4}, \varphi_{1}(\xi) & =(A-C)
u+B
u^{4} .
\end{array}
\]

Следовательно, гомофокальные эллипсы и гиперболы могут быть траекториями движущегося тела, за исключением тех из них, которые удовлетворяют одному из уравнений
\[
\mu=0,
u=0,
\]

получающихся путем диффегенцирования $f(\alpha)$ и $f_{1}(\beta)$.
Первое вз этих уравнений не может иметь места, так как $\mu$ больше с. Второе уравнение дает нам такой вид гиперболы, который сводится к нефокальной оси. Действительно, ясно, что эта ось не может быть описана материальной точкой, когда притяжения, исходящие из обоих фокусов, не равны между собою.