87. Предположим, что требуется определить относительные движения тел $m^{\prime },m^{\prime \prime },\dots$ по отношению к телу $m$; обозначим через ‘ ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{\zeta }^{\prime }$ прямоугольные координаты тела $m^{\prime }$ по отношению к телу $m$, приняв

это последнее за начало координат; пусть точно так же 巨\» ${}^{\prime \prime },{\eta }^{\prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime }$ — прямоугольные координаты тела $m^{\prime \prime }$ по отношению к тому же телу $m$ и так далее; вопрос сводится к тому, чтобы найти общую формулу, содержащую лишь эти координаты.
Прежде всего ясно, что мы имеем
$$\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+{\xi }^{\prime },y^{\prime }=y+{\eta }^{\prime },z^{\prime }=z+{\zeta }^{\prime },\\ x^{\prime \prime }=x+{\xi }^{\prime \prime },y^{\prime \prime }=y+{\eta }^{\prime \prime },z^{\prime \prime }=z+{\xi }^{\prime \prime },\\ \text{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , }\\ {\rho }^{\prime }=\sqrt{{\xi }^{\prime 2}+{\eta }^{\prime 2}+{\zeta }^{\prime 2}},\\ {\beta }^{\prime \prime }=\sqrt{{\xi }^{\prime \prime 2}+{\eta }^{\prime \prime 2}+{\zeta }^{\prime \prime 2}},\\ p^{\prime }=\sqrt{{({\xi }^{\prime \prime }-{\xi }^{\prime })}^2+{({\eta }^{\prime \prime }-{\eta }^{\prime })}^2+{({\zeta }^{\prime \prime }-{\zeta }^{\prime })}^2},\\ {\phi }_{\prime }^{\prime \prime \prime }=\sqrt{{({\xi }^{\prime \prime \prime }-{\xi }^{\prime })}^2+{({\eta }^{\prime \prime \prime }-{\eta }^{\prime })}^2}\overline{+{({\zeta }^{\prime \prime \prime }-{\zeta }^{\prime })}^2},\\ {\rho }_{\prime \prime }^{\prime \prime \prime }=1^{\prime }{({\xi }^{\prime \prime \prime }-{\xi }^{\prime \prime })}^2+{({\eta }^{\prime \prime \prime }-{\eta }^{\prime \prime })}^2+{({\zeta }^{\prime \prime \prime }-{\zeta }^{\prime \prime })}^2,\\ \text{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }\end{array}$$

и величина $T$ принимает следующий вид:
$$\begin{array}{l}T=(m+m^{\prime }+m^{\prime \prime }+\dots )\frac{d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2}{2d{t}^2}+\\ +\frac{dx(m^{\prime }d{\xi }^{\prime }+m^{\prime \prime }d{\xi }^{\prime \prime }+\dots )+dy(m^{\prime }d{\eta }_i^{\prime }+m^{\prime \prime }{d}_{\eta }^{\prime \prime }+\dots )}{d{t}^2}+\\ +\frac{dz(m^{\prime }d{\zeta }^{\prime }+m^{\prime \prime }d{}^{\prime \prime \prime }+\dots )}{d{t}^2}+\\ +m^{\prime }\frac{d{\zeta }^{\prime 2}+d{\eta }^{\prime 2}+d_{\zeta }^{\prime \prime 2}}{2d{t}^2}+m^{\prime \prime }\frac{d{\zeta }^{\prime \prime 2}+d{\eta }^{\prime \prime 2}+d{\zeta }^{\prime \prime 2}}{2d{t}^2}+\dots \end{array}$$

Так как после указанных подстановок шеременные $x,y,z$ уже не входят в выражение величины $V$ и так как эти переменные вовсе не входят в конечном виде в выражение $T$, то по отношению к этим переменным мы имеем следующие уравнения:

откуда получается
$$\frac{\delta T}{\partial dx}=\alpha ,\frac{\delta T}{\partial dy}=\beta ,\frac{\delta T}{\partial dz}=\gamma ,$$

где $\alpha ,\beta ,\gamma$ являются произвольными постоянными. Таким образом, мы имеем три уравнения
$$\begin{array}{l}(m+m^{\prime }+m^{\prime \prime }+\dots )\frac{dx}{dt}+m^{\prime }\frac{d{\xi }^{\prime }}{dt}+m^{\prime \prime }\frac{d{\xi }^{\prime \prime }}{dt}+\dots =\alpha ,\\ (m+m^{\prime }+m^{\prime \prime }+\dots )\frac{dy}{dt}+m^{\prime }\frac{d_{{\eta }^{\prime }}^{dt}}{dt}+m^{\prime \prime }\frac{d{\eta }^{\prime \prime }}{dt}+\dots =\beta ,\\ (m+m^{\prime }+m^{\prime \prime }+\dots )\frac{dz}{dt}+m^{\prime }\frac{d_{\zeta }^{\prime \prime }}{dt}+{\dot{m}}^{\prime \prime }\frac{d_{\zeta }^{\prime \prime }}{dt}+\dots ={\gamma }_{\gamma }^{\prime }\end{array}$$

Если теперь в приведенном выше выражении $T$ подставить вместо $\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}$ их выражения, полученные из этих уравнений, и для сокращения письма положить
$$\begin{array}{l}\mathrm{X}=m^{\prime }{\varsigma }^{\prime }+m^{\prime \prime }{\xi }^{\prime \prime }+m^{\prime \prime \prime }{\xi }^{\prime \prime \prime }+\dots ,\\ \mathrm{Y}=m^{\prime }{\eta }^{\prime }+m^{\prime \prime }{\eta }^{\prime \prime }+m^{\prime \prime \prime }{\eta }^{\prime \prime \prime }+\dots ,\\ \mathrm{Z}=m^{\prime {\phi }^{\prime }}+m^{\prime \prime \prime \prime }+m^{\prime \prime \prime {\zeta }^{\prime \prime \prime }}+\dots ,\\ M=m+m^{\prime }+m^{\prime \prime }+m^{\prime \prime \prime }+\dots \text{, }\end{array}$$

то мы получим
$$\begin{array}{rl}T=& \frac{{\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2}{2.M}-\frac{d{\mathrm{X}}^2+d{\mathrm{Y}}^2+d{\mathrm{Z}}^2}{2.Md{t}^2}+\\ & +m^{\prime }\frac{d{\zeta }^{\prime 2}+d{\eta }^{\prime 2}+d{\zeta }^{\prime 2}}{2d{t}^2}+m^{\prime \prime }\frac{d{\zeta }^{\prime \prime 2}+d{\eta }^{\prime \prime 2}+d{\zeta }^{\prime \prime 2}}{2d{t}^2}+\dots \end{array}$$
88. Так как переменные ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{\zeta }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime },\dots$ друг от друга не зависят, а величина $T$ не содержит этих переменных в конечном виде, то по отношению к каждой из них мы тотчас же получаем следјющие уравнения:
$$\begin{array}{ll}{m}^{\prime }(\frac{d^2{\xi }^{\prime }}{d{t}^2}-\frac{d^2\mathrm{X}}{Md{t}^2})+\frac{\partial V}{\partial {\xi }^{\prime }}=0,& m^{\prime \prime }(\frac{d^2{\xi }^{\prime \prime }}{d{t}^2}-\frac{d^2\mathrm{X}}{Md{t}^2})+\frac{\partial V}{\partial {\tilde{\xi }}^{\prime \prime }}=0,\dots ,\\ m^{\prime }(\frac{d^2{\eta }^{\prime }}{d{t}^2}-\frac{d^2\mathrm{Y}}{Md{t}^2})+\frac{\partial V}{\partial {\eta }^{\prime }}=0,& m^{\prime \prime }(\frac{d^2{\eta }^{\prime \prime }}{d{t}^2}-\frac{d^2\mathrm{Y}}{Md{t}^2})+\frac{\partial V}{\partial {\eta }^{\prime \prime }}=0,\dots ,\\ m^{\prime }(\frac{d^2{\xi }^{\prime }}{d{t}^2}-\frac{d^2\mathrm{Z}}{Md{t}^2})+\frac{\partial V}{\partial {\xi }^{\prime }}=0,& m^{\prime \prime }(\frac{d^2{\xi }^{\prime \prime }}{d{t}^2}-\frac{d^2\mathrm{Z}}{Md{t}^2})+\frac{\partial V^{\prime }}{\partial {\xi }^{\prime \prime }}=0,\dots ,\end{array}$$

Если сложить первые уравнения, относящиеся к переменным \» ${\xi }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime },\dots$, то мы получим
$$\frac{m}{M}\frac{d^{2}X}{d{t}^2}+\frac{\partial V}{\partial {\xi }^{\prime }}+\frac{\partial V}{\partial {\xi }^{\prime \prime }}+\dots =0,$$

что дает
$$\frac{d^{2}X}{d{t}^2}=-\frac{M}{m}(\frac{\partial V}{\partial {\overline{\xi }}^{\prime }}+\frac{\partial V}{\partial {\xi }^{\prime \prime }}+\dots );$$

точно так же путем сложения вторых уравнений и путем сложения третьих уравнений получим
$$\begin{array}{l}\frac{d^2\mathrm{Y}}{d{t}^2}=-\frac{M}{m}(\frac{\partial V}{\partial {\eta }^{\prime }}+\frac{\partial V}{\partial {\eta }^{\prime \prime }}+\dots ),\\ \frac{d^2\mathrm{Z}}{dt}=-\frac{M}{m}(\frac{\partial V}{\partial {}_2^{\prime \prime }}+\frac{\partial V}{\partial {\xi }^{\prime \prime \prime }}+\dots );\end{array}$$

эти выражения следует подставить в предшествующие уравнения.

Таким образом, мы получим для движения тела $m^{\prime }$ вокруг $m$ три уравнения:
$$\begin{array}{l}{m}^{\prime }\frac{d^2{\overline{\xi }}^{\prime }}{d{t}^2}+\frac{\partial V}{\partial {\overline{\xi }}^{\prime }}+\frac{m^{\prime }}{m}(\frac{\partial V}{\partial {\xi }^{\prime }}+\frac{\partial V}{\partial {\xi }^{\prime \prime }}+\dots )=0,\\ m^{\prime }\frac{d^2{\eta }^{\prime }}{d{t}^2}+\frac{\partial V}{\partial {\eta }^{\prime }}+\frac{m^{\prime }}{m}(\frac{\partial V}{\partial {\eta }^{\prime }}+\frac{\partial V}{\partial {\eta }^{\prime \prime }}+\dots )=0,\\ m^{\prime }\frac{d^2{\xi }^{\prime }}{d{t}^2}+\frac{\partial V}{\partial {\xi }^{\prime \prime }}+\frac{m^{\prime }}{m}(\frac{\partial V}{\partial {\xi }^{\prime }}+\frac{\partial V}{\partial {\xi }^{\prime \prime \prime }}+\dots )=0;\end{array}$$

подобные же уравнения мы получим для движения тел $m^{\prime \prime },m^{\prime \prime \prime },\dots$ вокруг тела $m$, заменяя лишь величины, снабженные двумя штрихами, тремя ит. д.

Теперь, следовательно остается лишь подставить величину $V$ и взять частные производные по различным переменным; но эта подстановка может быть упрощена с помощью нижеследующего рассуждения.
89. Обозначим через $U$ сумму всех членов величины $V$, содержащих расстояния ${\gamma }^{\prime \prime },p^{\prime \prime \prime },\dots ,{\rho }_{\prime \prime \prime }^{\prime \prime \prime },\dots$, п примем во внимание, что выражения этих расстояний имеют такой вид, что они остаются без изменения, если входящие в них координаты ${\xi }^{\prime },{\xi }^{\prime \prime },{\xi }^{\prime \prime \prime }$
увеличить на одну и ту же величину; отсюда следует, что если эти же координаты изменить на одну и ту же бесконечно малую величину, то изменение $U$ будет равно нулю, что дает нам уравнение
$$\frac{\partial U}{\partial {\xi }^{\prime }}+\frac{\partial U}{\partial {\xi }^{\prime \prime }}+\frac{\partial U}{\partial {\xi }^{\prime \prime \prime }}+\dots =0.$$

Тем же путем, — ибо указанное свойство присуще и координатам ${\eta }^{\prime },{\eta }^{\prime \prime },{\eta }^{\prime \prime \prime },\dots$, а также координатам ${\zeta }^{\prime },{\zeta }^{\prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime \prime },\dots$, — мы найдем
$$\begin{array}{l}\frac{\partial U}{\partial {\eta }^{\prime }}+\frac{\partial U}{\partial {\eta }^{\prime \prime }}+\frac{\partial U}{\partial {\eta }^{\prime \prime \prime }}+\dots =0,\\ \frac{\partial U}{\partial {\zeta }^{\prime \prime }}+\frac{\partial U}{\partial {\xi }^{\prime \prime }}+\frac{\partial U}{\partial {\zeta }_{\zeta }^{\prime \prime \prime }}+\dots =0.\end{array}$$

Так как
$$V=m(m^{\prime }\int R^{\prime }d{\phi }^{\prime }+m^{\prime \prime }\int R^{\prime \prime }d{\phi }^{\prime \prime }+\dots )+U,$$

шричем ${\rho }^{\prime }$ содержит лишь ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{\zeta }^{\prime },p^{\prime \prime }$ содержит лишь ${\xi }^{\prime \prime },{\eta }^{\prime \prime },{\zeta }^{\prime \prime }$ и так далее, то первое уравнение в результате этих подстановок после разделения его на ${\mathrm{m}}^{\prime }$ примет следующий вид:
$$\frac{d^2{\xi }^{\prime }}{d{t}^2}+(m+m^{\prime })R^{\prime }\frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial {\xi }^{\prime }}+m^{\prime \prime }{R}^{\prime \prime }\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime }}{\partial {\xi }^{\prime \prime }}+\dots +\frac{\partial U}{m^{\prime }\partial {\xi }^{\prime }}=0.$$

Но в $U$ входят лишь члены, содержащие $p^{\prime \prime },p^{\prime \prime \prime },\dots$, зависящие от переменных ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{\zeta }^{\prime }$ (п. 86); поэтому выражение для $U$ можно привести к следующему виду:
$$U=m^{\prime }(m^{\prime \prime }\int R^{\prime \prime }d{\rho }^{\prime \prime }+m^{\prime \prime \prime }\int R_{,\prime \prime }^{\prime \prime }{d}_{{\rho }^{\prime \prime }}{}^{\prime \prime }+\dots );$$

если $\frac{\partial U}{\partial {\overrightarrow{\xi }}^{\prime }}$ подставить в предыдущее уравнение, то последнее примет следующий вид:
$$\begin{array}{rl}\frac{d^{2{\xi }^{\prime }}}{d{t}^2}+(m+m^{\prime })R^{\prime }& \frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial {\xi }^{\prime }}+m^{\prime \prime }{R}^{\prime \prime },\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime }}{\partial {\xi }^{\prime }}+m^{\prime \prime \prime }{R}_{,}^{\prime \prime \prime }\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime \prime }}{\partial {\xi }^{\prime }}+\dots \\ & \dots +m^{\prime \prime }{R}^{\prime \prime }\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime }}{\partial {\overrightarrow{\xi }}^{\prime \prime }}+m^{\prime \prime \prime }{R}^{\prime \prime \prime }\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime \prime }}{\partial {\xi }^{\prime \prime \prime }}+\dots =0;\end{array}$$

аналогичным путем мы получим
$$\begin{array}{l}\dots +m^{\prime \prime }{R}^{\prime \prime }\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime }}{{\partial }_{\rho }^{-\prime \prime }}+m^{\prime \prime \prime }{R}^{\prime \prime \prime }\frac{{\partial }_{{\rho }^{\prime \prime \prime }}}{{\partial }_{\sigma }^{-1\prime \prime }}+\dots =0.\end{array}$$
90. Эти уравнения можно преобразовать к ойщему виду, имеющему то преимущество, что он может быть применен в равной мере к любым координатам.

Ёли умножить первое уравнение на ${\delta }^{\prime }{\xi }^{\prime }$, второе на $\delta {\eta }^{\prime }$, третье на ${\hat{\delta }}^{\prime }$ и затем их сложить, то мы сначала получим дифференциальную часть
$$\frac{d^2{\overrightarrow{\xi }}^{\prime }}{d{t}^2}i{\xi }^{\prime }+\frac{d^2{\eta }^{\prime }}{d{t}^2}\delta {\eta }^{\prime }+\frac{d^2{\xi }^{\prime }}{d{t}^2}\delta {\xi }^{\prime },$$

которая после преобразования координат ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime }$, ‘ ${}^{\prime }$ в другие независимые координаты $\xi$, $\psi$, $\phi$ даст для членов, умножающихся на $\delta \xi$, следующую формулу. (отд. IV, II. 7):
$$(d\frac{\delta T^{\prime }}{\partial d\xi }-\frac{\partial T^{\prime }}{\partial \overrightarrow{\xi }})\partial ,$$

если положить
$$T^{\prime }=\frac{d{\xi }^{\prime 2}+d{\eta }^{\prime 2}+d{\zeta }^{\prime 2}}{2d{t}^2}.$$

Что касается членов, содержащих силы $R^{\prime },R^{\prime \prime },\dots ,-$ то легко видеть, что если символ $\delta$ заменить символом $d$, то все члены станут интегрируемыми по отношению к переменным ${\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{\zeta }^{\prime }$. Интеграл содержит прежде всего члены
$$(m+m^{\prime })\int R^{\prime }{d}_{p^{\prime }}^{\prime }+m^{\prime \prime }\int R^{\prime \prime }{d}_{p^{\prime }}^{\prime \prime }+m^{\prime \prime \prime }\int R^{\prime \prime \prime }{d}_{i^{\prime }}^{\prime \prime \prime }+\dots$$

Затем он содержит члены
$$\begin{array}{rl}& (m^{\prime \prime }{R}^{\prime \prime }\frac{\partial p^{\prime \prime }}{\partial {\xi }^{\prime \prime \prime }}+m^{\prime \prime \prime }{R}^{\prime \prime \prime }\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime \prime }}{\partial {\xi }^{\prime \prime \prime }}+\dots ){\xi }^{\prime }+\\ +& (m^{\prime \prime }{R}^{\prime \prime }\frac{\partial p^{\prime \prime }}{\partial {\eta }^{\prime \prime }}+m^{\prime \prime \prime }{R}^{\prime \prime \prime }\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime \prime }}{\partial {\eta }^{\prime \prime \prime }}+\dots ){\eta }^{\prime }+\\ +& (m^{\prime \prime }{R}^{\prime \prime }\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime }}{\partial {\xi }^{\prime \prime \prime }}+m^{\prime \prime \prime }{R}^{\prime \prime \prime }\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime \prime }}{\partial {\xi }^{\prime \prime \prime }}+\dots ){\eta }^{\prime }\end{array}$$

Но мы имеем
$$\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime }}{\partial {\overline{\xi }}^{\prime \prime }}=\frac{{\xi }^{\prime \prime }}{{\rho }^{\prime \prime }},\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime }}{\partial {\eta }^{\prime \prime }}=\frac{r_1^{\prime \prime }}{{\rho }^{\prime \prime }},\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime }}{\partial {\xi }_{\xi }^{\prime \prime }}=\frac{{\xi }^{\prime \prime }}{{\rho }^{\prime \prime }},$$

а так как
$${\mu }^{\prime \prime },2={({\xi }^{\prime \prime }-{\xi }^{\prime })}^2+{({\eta }^{\prime \prime }-{\eta }^{\prime })}^2+{({\zeta }^{\prime \prime }-{\zeta }^{\prime })}^2,$$

то мы имеем
$$\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime }}{\partial {\overline{\xi }}^{\prime \prime }}{\xi }^{\prime }+\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime }}{\partial {\eta }^{\prime \prime }}{\eta }^{\prime }+\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime }}{\partial {\xi }^{\prime \prime \prime }}{\eta }^{\prime }=\frac{{\rho }^{\prime 2}+{\rho }^{\prime 2}-{\rho }^{\prime \prime }{\gamma }_2}{2{\rho }^{\prime \prime }};$$

равным образом
$$\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime \prime }}{\partial {\overline{\xi }}^{\prime \prime \prime }}{\xi }^{\prime }+\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime \prime }}{\partial {\eta }^{\prime \prime \prime }}{\eta }^{\prime }+\frac{\partial {\rho }^{\prime \prime \prime }}{\partial {\xi }^{\prime \prime \prime }}{\zeta }^{\prime }=\frac{{\rho }^{\prime 2}+{\rho }^{\prime \prime \prime 2}+{\rho }_1^{\prime \prime \prime 2}}{2{\rho }^{\prime \prime \prime }};$$

такой же вид принимают и другие аналогичные выражения. Следовательно, если через $V^{\prime }$ обозначить полный интеграл, то мы будем иметь
$$\begin{array}{l}{V}^{\prime }=(m+m^{\prime })\int R^{\prime }d{p}^{\prime }+m^{\prime \prime }\int R^{\prime \prime },d_{p^{\prime }}^{\prime \prime }+m^{\prime \prime \prime }\int R_{\prime }^{\prime \prime \prime }d{\rho }^{\prime \prime \prime }+\dots \\ \dots +m^{\prime \prime }{R}^{\prime \prime }\frac{{\rho }^{\prime 2}+{\rho }^{\prime \prime 2}-{\rho }^{\prime \prime 2}}{2{\rho }^{\prime \prime }}+m^{\prime \prime \prime }{R}^{\prime \prime \prime }\frac{{\rho }^{\prime 2}+p^{\prime \prime \prime \prime }-{\rho }^{\prime \prime \prime 2}}{2{\rho }^{\prime \prime \prime }}+\dots \end{array}$$

Таким образом, цосле преобразования координат члены, умножающиеся на $\delta \stackrel{2}{\stackrel{2}{\ast }}$, сведутся к $\frac{\partial V^{\prime }}{\partial \dot{\delta }}\delta \epsilon$, а так как, согласно допущению, новые координаты $\xi ,\psi$, независимы, то каждая из них, например $\xi$, даст уравнение вида
$$d\frac{\partial T^{\prime }}{\partial d\xi }-\frac{\partial T^{\prime }}{\delta \xi }+\frac{\partial V^{\prime }}{\partial \xi }=0$$

91. Если имеется лишь два тела $m$ и $m^{\prime }$, то выражение для $V^{\prime }$ цринимает следующий вид:
$$V^{\prime }=(m+m^{\prime })\int R^{\prime }d{\rho }^{\prime }.$$

Таким образом, в данном случае $T^{\prime }$ и $V^{\prime }$ тождественны со значениями этих величин для одного тела, тяготеющего к неподвижному центру с силой $(m+m^{\prime }){\mathit{R}}^{\prime }$, пропорциональной некоторой функции расстояния $p^{\prime }$ (п. 4). Стало быть, относительное движение тела $m^{\prime }$ вокруг тела $m$ тождественно с тем движением, какое получилось бы, если бы второе тело было неподвижно и притягивающая масса была равна сумме обеих масс; это известно уже со времени Ньютона.

В том случае, когда масса $m$ тела, вокруг которого, как мы считаем, движутся остальные тела, намного превышает сумму масс $m^{\prime },m^{\prime \prime },\dots$, что соответствует случаю Солнца по отношению к планетам, то мы имеем приближенно
$$V^{\prime }=(m+m^{\prime })\int R^{\prime }d{\rho }^{\prime }.$$

Следовательно, в этом случае движение тела $m^{\prime }$ вокруг тела $m$ почти совпадает с тем движением, какое получилось бы, если бы последнее тело было неподвижно и в нем была бы сосредоточена сумма масс $m+m^{\prime }$; если прочие силы $m^{\prime \prime }{R}^{\prime \prime },m^{\prime \prime }{R}^{\prime \prime },\dots$ рассматривать как возмущающие силы, можно для определения действия этих сил применить теорию вариации произвольных постоянных; таким образом, дело сводится к тому, чтобы в соответствии с пунктом 9 отдела $\mathrm{V}$ взять функцию- 8 равной сумме всех остальных членов приведенного выше выражения для $V^{\prime }$. Снабдив букву $Q$ знаком’, дабы показать, что она относится к планете $m^{\prime }$, положим
$$\begin{array}{l}{Q}^{\prime }=-m^{\prime \prime }\int R^{\prime \prime },d{p}^{\prime \prime },-m^{\prime \prime \prime }\int R_{\prime \prime }^{\prime \prime \prime }{d}_p^{\prime \prime \prime }-\dots -\\ -m^{\prime \prime }{R}^{\prime \prime }\frac{f^{\prime 2}+p^{\prime \prime 2}-{\rho }^{\prime \prime 2}}{2{\rho }^{\prime \prime }}-m^{\prime \prime \prime }{R}^{\prime \prime \prime }\frac{{\rho }^{\prime 2}+{\rho }^{\prime \prime \prime 2}-{\rho }_1^{\prime \prime 2}}{2{\rho }^{\prime \prime \prime }}+\dots ,\end{array}$$

и тогда с помощью обеих формул пункта 14 того же отдела мы получим вариации элементов движения тела $m^{\prime }$ вокруг тела $m$, рассматриваемого как неподвижное тело.