87. Предположим, что требуется определить относительные движения тел $m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$ по отношению к телу $m$; обозначим через ‘ $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$ прямоугольные координаты тела $m^{\prime}$ по отношению к телу $m$, приняв

это последнее за начало координат; пусть точно так же 巨\» $^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime}$ — прямоугольные координаты тела $m^{\prime \prime}$ по отношению к тому же телу $m$ и так далее; вопрос сводится к тому, чтобы найти общую формулу, содержащую лишь эти координаты.
Прежде всего ясно, что мы имеем
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=x+\xi^{\prime}, \quad y^{\prime}=y+\eta^{\prime}, \quad z^{\prime}=z+\zeta^{\prime}, \\
x^{\prime \prime}=x+\xi^{\prime \prime}, \quad y^{\prime \prime}=y+\eta^{\prime \prime}, \quad z^{\prime \prime}=z+\xi^{\prime \prime}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , } \\
\rho^{\prime}=\sqrt{\xi^{\prime 2}+\eta^{\prime 2}+\zeta^{\prime 2}}, \\
\beta^{\prime \prime}=\sqrt{\xi^{\prime \prime 2}+\eta^{\prime \prime 2}+\zeta^{\prime \prime 2}}, \\
p^{\prime}=\sqrt{\left(\xi^{\prime \prime}-\xi^{\prime}\right)^{2}+\left(\eta^{\prime \prime}-\eta^{\prime}\right)^{2}+\left(\zeta^{\prime \prime}-\zeta^{\prime}\right)^{2}}, \\
\varphi_{\prime}^{\prime \prime \prime}=\sqrt{\left(\xi^{\prime \prime \prime}-\xi^{\prime}\right)^{2}+\left(\eta^{\prime \prime \prime}-\eta^{\prime}\right)^{2}} \overline{+\left(\zeta^{\prime \prime \prime}-\zeta^{\prime}\right)^{2}}, \\
\rho_{\prime \prime}^{\prime \prime \prime}=1^{\prime}\left(\xi^{\prime \prime \prime}-\xi^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(\eta^{\prime \prime \prime}-\eta^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(\zeta^{\prime \prime \prime}-\zeta^{\prime \prime}\right)^{2}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

и величина $T$ принимает следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
T=\left(m+m^{\prime}+m^{\prime \prime}+\ldots\right) \frac{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}{2 d t^{2}}+ \\
+\frac{d x\left(m^{\prime} d \xi^{\prime}+m^{\prime \prime} d \xi^{\prime \prime}+\ldots\right)+d y\left(m^{\prime} d \eta_{i}^{\prime}+m^{\prime \prime} d_{\eta}^{\prime \prime}+\ldots\right)}{d t^{2}}+ \\
+\frac{d z\left(m^{\prime} d \zeta^{\prime}+m^{\prime \prime} d{ }^{\prime \prime \prime}+\ldots\right)}{d t^{2}}+ \\
+m^{\prime} \frac{d \zeta^{\prime 2}+d \eta^{\prime 2}+d_{\zeta}^{\prime \prime 2}}{2 d t^{2}}+m^{\prime \prime} \frac{d \zeta^{\prime \prime 2}+d \eta^{\prime \prime 2}+d \zeta^{\prime \prime 2}}{2 d t^{2}}+\ldots \\
\end{array}
\]

Так как после указанных подстановок шеременные $x, y, z$ уже не входят в выражение величины $V$ и так как эти переменные вовсе не входят в конечном виде в выражение $T$, то по отношению к этим переменным мы имеем следующие уравнения:

откуда получается
\[
\frac{\delta T}{\partial d x}=\alpha, \quad \frac{\delta T}{\partial d y}=\beta, \quad \frac{\delta T}{\partial d z}=\gamma,
\]

где $\alpha, \beta, \gamma$ являются произвольными постоянными. Таким образом, мы имеем три уравнения
\[
\begin{array}{l}
\left(m+m^{\prime}+m^{\prime \prime}+\ldots\right) \frac{d x}{d t}+m^{\prime} \frac{d \xi^{\prime}}{d t}+m^{\prime \prime} \frac{d \xi^{\prime \prime}}{d t}+\ldots=\alpha, \\
\left(m+m^{\prime}+m^{\prime \prime}+\ldots\right) \frac{d y}{d t}+m^{\prime} \frac{d_{\eta^{\prime}}^{d t}}{d t}+m^{\prime \prime} \frac{d \eta^{\prime \prime}}{d t}+\ldots=\beta, \\
\left(m+m^{\prime}+m^{\prime \prime}+\ldots\right) \frac{d z}{d t}+m^{\prime} \frac{d_{\zeta}^{\prime \prime}}{d t}+\dot{m}^{\prime \prime} \frac{d_{\zeta}^{\prime \prime}}{d t}+\ldots=\gamma_{\gamma}^{\prime}
\end{array}
\]

Если теперь в приведенном выше выражении $T$ подставить вместо $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$ их выражения, полученные из этих уравнений, и для сокращения письма положить
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{X}=m^{\prime} \varsigma^{\prime}+m^{\prime \prime} \xi^{\prime \prime}+m^{\prime \prime \prime} \xi^{\prime \prime \prime}+\ldots, \\
\mathrm{Y}=m^{\prime} \eta^{\prime}+m^{\prime \prime} \eta^{\prime \prime}+m^{\prime \prime \prime} \eta^{\prime \prime \prime}+\ldots, \\
\mathrm{Z}=m^{\prime \varphi^{\prime}}+m^{\prime \prime \prime \prime}+m^{\prime \prime \prime \zeta^{\prime \prime \prime}}+\ldots, \\
M=m+m^{\prime}+m^{\prime \prime}+m^{\prime \prime \prime}+\ldots \text {, } \\
\end{array}
\]

то мы получим
\[
\begin{aligned}
T= & \frac{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}{2 . M}-\frac{d \mathrm{X}^{2}+d \mathrm{Y}^{2}+d \mathrm{Z}^{2}}{2 . M d t^{2}}+ \\
& +m^{\prime} \frac{d \zeta^{\prime 2}+d \eta^{\prime 2}+d \zeta^{\prime 2}}{2 d t^{2}}+m^{\prime \prime} \frac{d \zeta^{\prime \prime 2}+d \eta^{\prime \prime 2}+d \zeta^{\prime \prime 2}}{2 d t^{2}}+\ldots
\end{aligned}
\]
88. Так как переменные $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \ldots$ друг от друга не зависят, а величина $T$ не содержит этих переменных в конечном виде, то по отношению к каждой из них мы тотчас же получаем следјющие уравнения:
\[
\begin{array}{ll}
m^{\prime}\left(\frac{d^{2} \xi^{\prime}}{d t^{2}}-\frac{d^{2} \mathrm{X}}{M d t^{2}}\right)+\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime}}=0, & m^{\prime \prime}\left(\frac{d^{2} \xi^{\prime \prime}}{d t^{2}}-\frac{d^{2} \mathrm{X}}{M d t^{2}}\right)+\frac{\partial V}{\partial \tilde{\xi}^{\prime \prime}}=0, \ldots, \\
m^{\prime}\left(\frac{d^{2} \eta^{\prime}}{d t^{2}}-\frac{d^{2} \mathrm{Y}}{M d t^{2}}\right)+\frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime}}=0, & m^{\prime \prime}\left(\frac{d^{2} \eta^{\prime \prime}}{d t^{2}}-\frac{d^{2} \mathrm{Y}}{M d t^{2}}\right)+\frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime \prime}}=0, \ldots, \\
m^{\prime}\left(\frac{d^{2} \xi^{\prime}}{d t^{2}}-\frac{d^{2} \mathrm{Z}}{M d t^{2}}\right)+\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime}}=0, & m^{\prime \prime}\left(\frac{d^{2} \xi^{\prime \prime}}{d t^{2}}-\frac{d^{2} \mathrm{Z}}{M d t^{2}}\right)+\frac{\partial V^{\prime}}{\partial \xi^{\prime \prime}}=0, \ldots,
\end{array}
\]

Если сложить первые уравнения, относящиеся к переменным \» $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \ldots$, то мы получим
\[
\frac{m}{M} \frac{d^{2} X}{d t^{2}}+\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime}}+\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}+\ldots=0,
\]

что дает
\[
\frac{d^{2} X}{d t^{2}}=-\frac{M}{m}\left(\frac{\partial V}{\partial \bar{\xi}^{\prime}}+\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}+\ldots\right) ;
\]

точно так же путем сложения вторых уравнений и путем сложения третьих уравнений получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} \mathrm{Y}}{d t^{2}}=-\frac{M}{m}\left(\frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime}}+\frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime \prime}}+\ldots\right), \\
\frac{d^{2} \mathrm{Z}}{d t}=-\frac{M}{m}\left(\frac{\partial V}{\partial{ }_{2}^{\prime \prime}}+\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}+\ldots\right) ;
\end{array}
\]

эти выражения следует подставить в предшествующие уравнения.

Таким образом, мы получим для движения тела $m^{\prime}$ вокруг $m$ три уравнения:
\[
\begin{array}{l}
m^{\prime} \frac{d^{2} \bar{\xi}^{\prime}}{d t^{2}}+\frac{\partial V}{\partial \bar{\xi}^{\prime}}+\frac{m^{\prime}}{m}\left(\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime}}+\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}+\ldots\right)=0, \\
m^{\prime} \frac{d^{2} \eta^{\prime}}{d t^{2}}+\frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime}}+\frac{m^{\prime}}{m}\left(\frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime}}+\frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime \prime}}+\ldots\right)=0, \\
m^{\prime} \frac{d^{2} \xi^{\prime}}{d t^{2}}+\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}+\frac{m^{\prime}}{m}\left(\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime}}+\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}+\ldots\right)=0 ;
\end{array}
\]

подобные же уравнения мы получим для движения тел $m^{\prime \prime}, m^{\prime \prime \prime}, \ldots$ вокруг тела $m$, заменяя лишь величины, снабженные двумя штрихами, тремя ит. д.

Теперь, следовательно остается лишь подставить величину $V$ и взять частные производные по различным переменным; но эта подстановка может быть упрощена с помощью нижеследующего рассуждения.
89. Обозначим через $U$ сумму всех членов величины $V$, содержащих расстояния $\gamma^{\prime \prime}, p^{\prime \prime \prime}, \ldots, \rho_{\prime \prime \prime}^{\prime \prime \prime}, \ldots$, п примем во внимание, что выражения этих расстояний имеют такой вид, что они остаются без изменения, если входящие в них координаты $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \xi^{\prime \prime \prime}$
увеличить на одну и ту же величину; отсюда следует, что если эти же координаты изменить на одну и ту же бесконечно малую величину, то изменение $U$ будет равно нулю, что дает нам уравнение
\[
\frac{\partial U}{\partial \xi^{\prime}}+\frac{\partial U}{\partial \xi^{\prime \prime}}+\frac{\partial U}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}+\ldots=0 .
\]

Тем же путем, — ибо указанное свойство присуще и координатам $\eta^{\prime}, \eta^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime \prime}, \ldots$, а также координатам $\zeta^{\prime}, \zeta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime \prime}, \ldots$, — мы найдем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial U}{\partial \eta^{\prime}}+\frac{\partial U}{\partial \eta^{\prime \prime}}+\frac{\partial U}{\partial \eta^{\prime \prime \prime}}+\ldots=0, \\
\frac{\partial U}{\partial \zeta^{\prime \prime}}+\frac{\partial U}{\partial \xi^{\prime \prime}}+\frac{\partial U}{\partial \zeta_{\zeta}^{\prime \prime \prime}}+\ldots=0 .
\end{array}
\]

Так как
\[
V=m\left(m^{\prime} \int R^{\prime} d \varphi^{\prime}+m^{\prime \prime} \int R^{\prime \prime} d \varphi^{\prime \prime}+\ldots\right)+U,
\]

шричем $\rho^{\prime}$ содержит лишь $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}, p^{\prime \prime}$ содержит лишь $\xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime}$ и так далее, то первое уравнение в результате этих подстановок после разделения его на $\mathrm{m}^{\prime}$ примет следующий вид:
\[
\frac{d^{2} \xi^{\prime}}{d t^{2}}+\left(m+m^{\prime}\right) R^{\prime} \frac{\partial \rho^{\prime}}{\partial \xi^{\prime}}+m^{\prime \prime} R^{\prime \prime} \frac{\partial \rho^{\prime \prime}}{\partial \xi^{\prime \prime}}+\ldots+\frac{\partial U}{m^{\prime} \partial \xi^{\prime}}=0 .
\]

Но в $U$ входят лишь члены, содержащие $p^{\prime \prime}, p^{\prime \prime \prime}, \ldots$, зависящие от переменных $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$ (п. 86); поэтому выражение для $U$ можно привести к следующему виду:
\[
U=m^{\prime}\left(m^{\prime \prime} \int R^{\prime \prime} d \rho^{\prime \prime}+m^{\prime \prime \prime} \int R_{, \prime \prime}^{\prime \prime} d_{\rho^{\prime \prime}}{ }^{\prime \prime}+\ldots\right) ;
\]

если $\frac{\partial U}{\partial \vec{\xi}^{\prime}}$ подставить в предыдущее уравнение, то последнее примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2 \xi^{\prime}}}{d t^{2}}+\left(m+m^{\prime}\right) R^{\prime} & \frac{\partial \rho^{\prime}}{\partial \xi^{\prime}}+m^{\prime \prime} R^{\prime \prime}, \frac{\partial \rho^{\prime \prime}}{\partial \xi^{\prime}}+m^{\prime \prime \prime} R_{,}^{\prime \prime \prime} \frac{\partial \rho^{\prime \prime \prime}}{\partial \xi^{\prime}}+\ldots \\
& \ldots+m^{\prime \prime} R^{\prime \prime} \frac{\partial \rho^{\prime \prime}}{\partial \vec{\xi}^{\prime \prime}}+m^{\prime \prime \prime} R^{\prime \prime \prime} \frac{\partial \rho^{\prime \prime \prime}}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}+\ldots=0 ;
\end{aligned}
\]

аналогичным путем мы получим
\[
\begin{array}{l}
\ldots+m^{\prime \prime} R^{\prime \prime} \frac{\partial \rho^{\prime \prime}}{\partial_{\rho}^{-\prime \prime}}+m^{\prime \prime \prime} R^{\prime \prime \prime} \frac{\partial_{\rho^{\prime \prime \prime}}}{\partial_{\sigma}^{-1 \prime \prime}}+\ldots=0 . \\
\end{array}
\]
90. Эти уравнения можно преобразовать к ойщему виду, имеющему то преимущество, что он может быть применен в равной мере к любым координатам.

Ёли умножить первое уравнение на $\delta^{\prime} \xi^{\prime}$, второе на $\delta \eta^{\prime}$, третье на $\hat{\delta}^{\prime}$ и затем их сложить, то мы сначала получим дифференциальную часть
\[
\frac{d^{2} \vec{\xi}^{\prime}}{d t^{2}} i \xi^{\prime}+\frac{d^{2} \eta^{\prime}}{d t^{2}} \delta \eta^{\prime}+\frac{d^{2} \xi^{\prime}}{d t^{2}} \delta \xi^{\prime},
\]

которая после преобразования координат $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}$, ‘ $’$ в другие независимые координаты $\xi$, $\psi$, $\varphi$ даст для членов, умножающихся на $\delta \xi$, следующую формулу. (отд. IV, II. 7):
\[
\left(d \frac{\delta T^{\prime}}{\partial d \xi}-\frac{\partial T^{\prime}}{\partial \vec{\xi}}\right) \partial,
\]

если положить
\[
T^{\prime}=\frac{d \xi^{\prime 2}+d \eta^{\prime 2}+d \zeta^{\prime 2}}{2 d t^{2}} .
\]

Что касается членов, содержащих силы $R^{\prime}, R^{\prime \prime}, \ldots,-$ то легко видеть, что если символ $\delta$ заменить символом $d$, то все члены станут интегрируемыми по отношению к переменным $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$. Интеграл содержит прежде всего члены
\[
\left(m+m^{\prime}\right) \int R^{\prime} d_{p^{\prime}}^{\prime}+m^{\prime \prime} \int R^{\prime \prime} d_{p^{\prime}}^{\prime \prime}+m^{\prime \prime \prime} \int R^{\prime \prime \prime} d_{i^{\prime}}^{\prime \prime \prime}+\ldots
\]

Затем он содержит члены
\[
\begin{aligned}
& \left(m^{\prime \prime} R^{\prime \prime} \frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}+m^{\prime \prime \prime} R^{\prime \prime \prime} \frac{\partial \rho^{\prime \prime \prime}}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}+\ldots\right) \xi^{\prime}+ \\
+ & \left(m^{\prime \prime} R^{\prime \prime} \frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial \eta^{\prime \prime}}+m^{\prime \prime \prime} R^{\prime \prime \prime} \frac{\partial \rho^{\prime \prime \prime}}{\partial \eta^{\prime \prime \prime}}+\ldots\right) \eta^{\prime}+ \\
+ & \left(m^{\prime \prime} R^{\prime \prime} \frac{\partial \rho^{\prime \prime}}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}+m^{\prime \prime \prime} R^{\prime \prime \prime} \frac{\partial \rho^{\prime \prime \prime}}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}+\ldots\right) \eta^{\prime}
\end{aligned}
\]

Но мы имеем
\[
\frac{\partial \rho^{\prime \prime}}{\partial \bar{\xi}^{\prime \prime}}=\frac{\xi^{\prime \prime}}{\rho^{\prime \prime}}, \quad \frac{\partial \rho^{\prime \prime}}{\partial \eta^{\prime \prime}}=\frac{r_{1}^{\prime \prime}}{\rho^{\prime \prime}}, \quad \frac{\partial \rho^{\prime \prime}}{\partial \xi_{\xi}^{\prime \prime}}=\frac{\xi^{\prime \prime}}{\rho^{\prime \prime}},
\]

а так как
\[
\mu^{\prime \prime}, 2=\left(\xi^{\prime \prime}-\xi^{\prime}\right)^{2}+\left(\eta^{\prime \prime}-\eta^{\prime}\right)^{2}+\left(\zeta^{\prime \prime}-\zeta^{\prime}\right)^{2},
\]

то мы имеем
\[
\frac{\partial \rho^{\prime \prime}}{\partial \bar{\xi}^{\prime \prime}} \xi^{\prime}+\frac{\partial \rho^{\prime \prime}}{\partial \eta^{\prime \prime}} \eta^{\prime}+\frac{\partial \rho^{\prime \prime}}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}} \eta^{\prime}=\frac{\rho^{\prime 2}+\rho^{\prime 2}-\rho^{\prime \prime} \gamma_{2}}{2 \rho^{\prime \prime}} ;
\]

равным образом
\[
\frac{\partial \rho^{\prime \prime \prime}}{\partial \bar{\xi}^{\prime \prime \prime}} \xi^{\prime}+\frac{\partial \rho^{\prime \prime \prime}}{\partial \eta^{\prime \prime \prime}} \eta^{\prime}+\frac{\partial \rho^{\prime \prime \prime}}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}} \zeta^{\prime}=\frac{\rho^{\prime 2}+\rho^{\prime \prime \prime 2}+\rho_{1}^{\prime \prime \prime 2}}{2 \rho^{\prime \prime \prime}} ;
\]

такой же вид принимают и другие аналогичные выражения. Следовательно, если через $V^{\prime}$ обозначить полный интеграл, то мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
V^{\prime}=\left(m+m^{\prime}\right) \int R^{\prime} d p^{\prime}+m^{\prime \prime} \int R^{\prime \prime}, d_{p^{\prime}}^{\prime \prime}+m^{\prime \prime \prime} \int R_{\prime}^{\prime \prime \prime} d \rho^{\prime \prime \prime}+\ldots \\
\ldots+m^{\prime \prime} R^{\prime \prime} \frac{\rho^{\prime 2}+\rho^{\prime \prime 2}-\rho^{\prime \prime 2}}{2 \rho^{\prime \prime}}+m^{\prime \prime \prime} R^{\prime \prime \prime} \frac{\rho^{\prime 2}+p^{\prime \prime \prime \prime}-\rho^{\prime \prime \prime 2}}{2 \rho^{\prime \prime \prime}}+\ldots \\
\end{array}
\]

Таким образом, цосле преобразования координат члены, умножающиеся на $\delta \stackrel{2}{\stackrel{2}{*}}$, сведутся к $\frac{\partial V^{\prime}}{\partial \dot{\delta}} \delta \varepsilon$, а так как, согласно допущению, новые координаты $\xi, \psi$, независимы, то каждая из них, например $\xi$, даст уравнение вида
\[
d \frac{\partial T^{\prime}}{\partial d \xi}-\frac{\partial T^{\prime}}{\delta \xi}+\frac{\partial V^{\prime}}{\partial \xi}=0
\]

91. Если имеется лишь два тела $m$ и $m^{\prime}$, то выражение для $V^{\prime}$ цринимает следующий вид:
\[
V^{\prime}=\left(m+m^{\prime}\right) \int R^{\prime} d \rho^{\prime} .
\]

Таким образом, в данном случае $T^{\prime}$ и $V^{\prime}$ тождественны со значениями этих величин для одного тела, тяготеющего к неподвижному центру с силой $\left(m+m^{\prime}\right) \boldsymbol{R}^{\prime}$, пропорциональной некоторой функции расстояния $p^{\prime}$ (п. 4). Стало быть, относительное движение тела $m^{\prime}$ вокруг тела $m$ тождественно с тем движением, какое получилось бы, если бы второе тело было неподвижно и притягивающая масса была равна сумме обеих масс; это известно уже со времени Ньютона.

В том случае, когда масса $m$ тела, вокруг которого, как мы считаем, движутся остальные тела, намного превышает сумму масс $m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$, что соответствует случаю Солнца по отношению к планетам, то мы имеем приближенно
\[
V^{\prime}=\left(m+m^{\prime}\right) \int R^{\prime} d \rho^{\prime} .
\]

Следовательно, в этом случае движение тела $m^{\prime}$ вокруг тела $m$ почти совпадает с тем движением, какое получилось бы, если бы последнее тело было неподвижно и в нем была бы сосредоточена сумма масс $m+m^{\prime}$; если прочие силы $m^{\prime \prime} R^{\prime \prime}, m^{\prime \prime} R^{\prime \prime}, \ldots$ рассматривать как возмущающие силы, можно для определения действия этих сил применить теорию вариации произвольных постоянных; таким образом, дело сводится к тому, чтобы в соответствии с пунктом 9 отдела $\mathrm{V}$ взять функцию- 8 равной сумме всех остальных членов приведенного выше выражения для $V^{\prime}$. Снабдив букву $Q$ знаком’, дабы показать, что она относится к планете $m^{\prime}$, положим
\[
\begin{array}{l}
Q^{\prime}=-m^{\prime \prime} \int R^{\prime \prime}, d p^{\prime \prime},-m^{\prime \prime \prime} \int R_{\prime \prime}^{\prime \prime \prime} d_{p}^{\prime \prime \prime}-\ldots- \\
-m^{\prime \prime} R^{\prime \prime} \frac{f^{\prime 2}+p^{\prime \prime 2}-\rho^{\prime \prime 2}}{2 \rho^{\prime \prime}}-m^{\prime \prime \prime} R^{\prime \prime \prime} \frac{\rho^{\prime 2}+\rho^{\prime \prime \prime 2}-\rho_{1}^{\prime \prime 2}}{2 \rho^{\prime \prime \prime}}+\ldots, \\
\end{array}
\]

и тогда с помощью обеих формул пункта 14 того же отдела мы получим вариации элементов движения тела $m^{\prime}$ вокруг тела $m$, рассматриваемого как неподвижное тело.