Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
10. Когда рассматривают только одно изолированное тело, можно отвлечься от его массы или принять ее равной единице; в этом случае мы имеем, как и в пункте 3 предыдущего отдела, Уравнение поверхности дает $z$ в функции $x$ п $y$; следовательно, мы имеем если переменные $x$ и $y$ рассматривать как независимые, то каждая из них дает уравнение следующего вида: член $\frac{d x^{2}}{2 d t^{2}}$ величины $T$ дает прямо $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}$, член $\frac{d z^{2}}{2 d t^{2}}$, который рассматривается как функция $x, y$ и $d x, d y$, дает сначала два следующих члена: но $\frac{\partial z}{\partial x}$ это— то же, что $\frac{\delta z}{\delta x}$, а $\frac{1}{2} \frac{\delta}{\delta x} d z^{2}$ равно $\frac{d z d z}{\partial x}$ или $\frac{d z d \delta z}{\delta x}$; следовательно, рассматриваемые два члена аналогично мы имеем для $y$ Если бы тело было вынуждено двигаться по заданной ликии, то $y$ и $z$ были бы функциями $x$; член $\frac{d y^{2}}{2 d t^{2}}$ выражения для $T$ дал бы следующие члены: которые тем же путем свелись бы к $\frac{d y}{d t^{2}} \frac{\partial y}{\partial x}$; точно так же член $\frac{d z^{2}}{2 d t^{2}}$ дал бы $\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \frac{\delta z}{\delta x}$, и мы получили бы для $x$, которая была бы единственний переменной величиной, уравнение Из приведенного выше анализа видно, что всякий член величины $T$, имеющий вид $k \frac{d z^{2}}{d t^{2}}$, где $z$ является заданной фуикцией двух других переменных $x$ и $y$, дает Эти иреобразования могут оказаться полезными во многих случаях. где $r$ задано в функции $\psi$ и уравнением поверхности, а относительно $\psi$ и $\varphi$ мы будем иметь два уравнения следующего вида: Член $\frac{d r^{2}}{2 d t^{2}}$ величины $T$ даст $\frac{d^{2} r}{d t^{2}} \frac{\partial r}{\partial \psi}$ относительно $\psi$ и $\frac{d^{2} r}{d t^{2}} \frac{\delta r}{\delta \rho}$ относительно $\varphi$, и мы получим два следующих уравнения: Пользунсь обычными методами, мы пришли бы к этим уравнениям лишь в результате многочисленных преобразований. имеющее место всегда, когда тело находится только под действием сил, пропорциональных функциям их расстояний от центров, дает прямо скорость тела в любой точке описываемой им кривой; действительно, если $u$-скорость и $s$ — описанное расстояние, то мы имеем стало быть, и, следовательно, таким образом, если $V$-конечная функция координат, то скорость зависит лишь от положения тела в пространстве. Когда тело не находится под действием какой-либо ускоряющей силы, мы имеем $V=0$, и скорость становится постоянной. Так как мы доказали вообще, что интеграл $\int u d s$ является всегда максимумом или минимумом в заданных пределах (отд. III, п. 39), то и величина $\int d s$, или $s$, т. е. длина кривой, описываемой телом, будет также максимумом или минимумом, но ясно, что она может быть только минимумом*), так как максимум здесь не может иметь места. Отсюда следует известная теорема, что тело, брошенное на какой-либо поверхности, описывает на ней всегда кратчайшую линию между заданными точками. дадут просто для каждой переменной члены $\lambda . \hat{\delta} L$ и $\mu \delta M$, которые должны быть прибавлены к $\delta V$, причем $\lambda, \mu$ являются неопределенными величинами и подлежат исключению. Из того, что было нами доказано в пункте 5 отдела IV «Статики», следует, что каждый член, например $\lambda . \delta L$, может выразить момент силы, равной и действующей перпендикулярно к поверхности, уравнение которой выражается через $L=0$; следовательно, эта сила не может быть иной, чем та, которая возникает вследствие сопротивления, оказываемого телу поверхностью, и которая равна давлению, производимому телом на поверхность. Таким образом, коэффициент $\lambda$ служит для определения давления тела на поверхность, заданную уравнением $L=0$; если же тело движется по заданной линии, то мы будем рассматривать последнюю как получающ юся в результате пересечения двух поверхностей, выраженных уравнениями $L=0, M=0$; два коэффициента $\lambda$ и п послужат тогда для определения давлений, производимых телом на данную линию перпендикулярно к обеим поверхностям. где $R, Q, \ldots$ являются силами, действующими по линиям $r, q, \ldots$ и стремящимися их укоротить, то если $L$ является функцией координат $\xi, \psi$, ф, мы имеем и члены $\lambda \frac{\partial L}{\partial \xi}, \lambda \frac{\partial L}{\partial \psi}, \lambda \frac{\partial L}{\partial \rho}$ выражают силы, получающиеся в результате сопротивления поверхности, уравнение которой $L=0$, по направлениям координат $\xi$, $\left.\psi, q^{*}\right)$, и стремящиеся укоротить эти координаты. Если бы уравнением поверхности было $\xi=a$, где a является величиной постоянной, чего всегда можно $\qquad$ добитьсн путем выбора координат, то мы имели бы и уравнение, относящееся к $\xi$ (п. 3), приняло бы следующий вид: уравнения, относящиеся к двум другим переменным, не испытали бы никакого изменения. Таким образом, мы тотчас же получим давление $\lambda$ тела на поверхность, положив в выражении для $\lambda$ Так как применение наших общих формул не вызывает никаких затруднений, ограничимся приведением одного или двух примеров.
|
1 |
Оглавление
|