10. Когда рассматривают только одно изолированное тело, можно отвлечься от его массы или принять ее равной единице; в этом случае мы имеем, как и в пункте 3 предыдущего отдела,
\[
T=\frac{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}{2 d t^{2}}, \quad \hat{\iota} V=R \varepsilon r+Q i q+P \hat{\delta} p+\ldots
\]

Уравнение поверхности дает $z$ в функции $x$ п $y$; следовательно, мы имеем
\[
d z=\frac{\partial z}{\partial x} d x+\frac{\partial z}{\partial y} d y
\]

если переменные $x$ и $y$ рассматривать как независимые, то каждая из них дает уравнение следующего вида:
\[
d \frac{\partial T}{\partial d x}-\frac{\delta T}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial x}=0 ;
\]

член $\frac{d x^{2}}{2 d t^{2}}$ величины $T$ дает прямо $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}$, член $\frac{d z^{2}}{2 d t^{2}}$, который рассматривается как функция $x, y$ и $d x, d y$, дает сначала два следующих члена:
\[
\frac{d\left(d z \frac{\partial z}{\partial x}\right)}{d t^{2}}-\frac{1}{2} \frac{\delta}{\delta x} \frac{d z^{2}}{d t^{2}} ;
\]

но $\frac{\partial z}{\partial x}$ это– то же, что $\frac{\delta z}{\delta x}$, а $\frac{1}{2} \frac{\delta}{\delta x} d z^{2}$ равно $\frac{d z d z}{\partial x}$ или $\frac{d z d \delta z}{\delta x}$; следовательно, рассматриваемые два члена
своднтся $к \frac{d^{2} z i z}{d t^{2} x}$; таким образом, уравнение, соответствующее $x$, принимает следующий вид:
\[
\frac{d \cdot x}{d t^{2}}+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \frac{\delta z}{\partial x}+\frac{\delta V}{\partial x}=0 ;
\]

аналогично мы имеем для $y$
\[
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \frac{\delta z}{\partial y}+\frac{\delta V}{\delta y}=0 .
\]

Если бы тело было вынуждено двигаться по заданной ликии, то $y$ и $z$ были бы функциями $x$; член $\frac{d y^{2}}{2 d t^{2}}$ выражения для $T$ дал бы следующие члены:
\[
\frac{d\left(d y \frac{d y}{d x}\right)}{d t^{2}}-\frac{1}{2} \frac{\delta}{\partial x} \frac{d y^{2}}{d t^{2}},
\]

которые тем же путем свелись бы к $\frac{d y}{d t^{2}} \frac{\partial y}{\partial x}$; точно так же член $\frac{d z^{2}}{2 d t^{2}}$ дал бы $\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \frac{\delta z}{\delta x}$, и мы получили бы для $x$, которая была бы единственний переменной величиной, уравнение
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \frac{\partial y}{\partial x}+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial x}=0 .
\]

Из приведенного выше анализа видно, что всякий член величины $T$, имеющий вид $k \frac{d z^{2}}{d t^{2}}$, где $z$ является заданной фуикцией двух других переменных $x$ и $y$, дает
\[
\begin{array}{l}
d \frac{\partial T}{\partial d x}-\frac{\partial T}{\partial x}=2 k \frac{d^{2} z}{d t^{2}} \frac{\partial z}{\partial x}, \\
d \frac{\partial T}{\partial d y}-\frac{\partial T}{\partial y}=2 k \frac{d^{2} z}{d t^{2}} \frac{\partial z}{\partial y} .
\end{array}
\]

Эти иреобразования могут оказаться полезными во многих случаях.
11. Если вместо прямоугольных координат $x, y, z$ мы захотим воспользоваться (для поверхности) радиусом $r$ и двумя углами $९$ и $џ$, как мы это сделали в пункте 4 предыдущего отдела, то будем иметь
\[
T=\frac{r^{2}\left(d \psi^{2}+\cos ^{2} \psi d \dot{\ell}^{2}\right)+d r^{2}}{2 d t^{2}},
\]

где $r$ задано в функции $\psi$ и уравнением поверхности, а относительно $\psi$ и $\varphi$ мы будем иметь два уравнения следующего вида:
\[
d \frac{\hat{\sigma} T}{\hat{\partial d \psi}}-\frac{\hat{\partial} T}{\partial \psi}+\frac{\hat{\delta} V}{\partial \psi}=0 .
\]

Член $\frac{d r^{2}}{2 d t^{2}}$ величины $T$ даст $\frac{d^{2} r}{d t^{2}} \frac{\partial r}{\partial \psi}$ относительно $\psi$ и $\frac{d^{2} r}{d t^{2}} \frac{\delta r}{\delta \rho}$ относительно $\varphi$, и мы получим два следующих уравнения:
\[
\begin{aligned}
d \frac{r^{2} d \psi}{d t^{2}}+\frac{r^{2} \sin \psi \cos \psi d \rho^{2}}{d t^{2}}+\frac{d^{2} r}{d t^{2}} \frac{\delta r}{\partial \psi}+\frac{\partial V}{\partial \psi} & =0, \\
d \frac{r^{2} \cos ^{2} \psi d \rho}{d t^{2}}+\frac{d^{2} r}{d t^{2}} \frac{\delta r}{\delta \rho}+\frac{\delta N}{\partial \rho} & =0 .
\end{aligned}
\]

Пользунсь обычными методами, мы пришли бы к этим уравнениям лишь в результате многочисленных преобразований.
12. Следует отметить, что уравнение
\[
T+V=H
\]

имеющее место всегда, когда тело находится только под действием сил, пропорциональных функциям их расстояний от центров, дает прямо скорость тела в любой точке описываемой им кривой; действительно, если $u$-скорость и $s$ – описанное расстояние, то мы имеем
\[
u=\frac{d s}{d t}=\frac{\sqrt{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}}{d t} ;
\]

стало быть,
\[
T=\frac{u^{2}}{2}
\]

и, следовательно,
\[
u=\sqrt{2(H-V)} ;
\]

таким образом, если $V$-конечная функция координат, то скорость зависит лишь от положения тела в пространстве.

Когда тело не находится под действием какой-либо ускоряющей силы, мы имеем $V=0$, и скорость становится постоянной. Так как мы доказали вообще, что интеграл $\int u d s$ является всегда максимумом или минимумом в заданных пределах (отд. III, п. 39), то и величина $\int d s$, или $s$, т. е. длина кривой, описываемой телом, будет также максимумом или минимумом, но ясно, что она может быть только минимумом*), так как максимум здесь не может иметь места. Отсюда следует известная теорема, что тело, брошенное на какой-либо поверхности, описывает на ней всегда кратчайшую линию между заданными точками.
13. Однако при разрешении подобного рода задач зачастую бывает проще рассматривать все координаты как независимые переменные и пользоваться уравнениями заданной поверхности или линии как условными уравнениями; последние, будучи представлены в виде
\[
L=0, \quad M=0,
\]

дадут просто для каждой переменной члены $\lambda . \hat{\delta} L$ и $\mu \delta M$, которые должны быть прибавлены к $\delta V$, причем $\lambda, \mu$ являются неопределенными величинами и подлежат исключению.

Из того, что было нами доказано в пункте 5 отдела IV «Статики», следует, что каждый член, например $\lambda . \delta L$, может выразить момент силы, равной
\[
\lambda \sqrt{\frac{\partial L^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial L^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial L^{2}}{\partial z^{2}}}
\]
*) Этот прием рассуждения недошустим, так как можно рассматривать и такой случай, когда не существует ни максимума, ни минимума. Можно прямо доказать, что между двумя бесконечно близкими точками всегда существует минимум. См. дополн. статью в конце настоящего тома. (Прим. Бертрана.)

и действующей перпендикулярно к поверхности, уравнение которой выражается через $L=0$; следовательно, эта сила не может быть иной, чем та, которая возникает вследствие сопротивления, оказываемого телу поверхностью, и которая равна давлению, производимому телом на поверхность.

Таким образом, коэффициент $\lambda$ служит для определения давления тела на поверхность, заданную уравнением $L=0$; если же тело движется по заданной линии, то мы будем рассматривать последнюю как получающ юся в результате пересечения двух поверхностей, выраженных уравнениями $L=0, M=0$; два коэффициента $\lambda$ и п послужат тогда для определения давлений, производимых телом на данную линию перпендикулярно к обеим поверхностям.
14. Вообще член $\lambda \hat{\delta} L$ можно уподобить члену $\delta \mathrm{V}$; а так как
\[
\delta V=R \hat{\partial} r+Q \dot{\delta} q,
\]

где $R, Q, \ldots$ являются силами, действующими по линиям $r, q, \ldots$ и стремящимися их укоротить, то если $L$ является функцией координат $\xi, \psi$, ф, мы имеем
\[
\delta L=\frac{\partial L}{\partial \xi} \delta \hat{\xi}+\frac{\partial L}{\partial \psi} \delta \psi+\frac{\partial L}{\partial \rho} \delta \varphi
\]

и члены $\lambda \frac{\partial L}{\partial \xi}, \lambda \frac{\partial L}{\partial \psi}, \lambda \frac{\partial L}{\partial \rho}$ выражают силы, получающиеся в результате сопротивления поверхности, уравнение которой $L=0$, по направлениям координат $\xi$, $\left.\psi, q^{*}\right)$, и стремящиеся укоротить эти координаты.

Если бы уравнением поверхности было $\xi=a$, где a является величиной постоянной, чего всегда можно $\qquad$
*) В «Статике\” мы неодиократно отмечали, что эти утверждения носят слишком абсолютный характер. См. примечания к стр. 60,67, 133 и 153 предыдущего тома. В данном случае будет уместно сделать гакое же замечание. (Прим. Бертрана.)

добитьсн путем выбора координат, то мы имели бы
\[
L=\xi-a, \quad \frac{\delta L}{\delta \xi}=1, \quad \frac{\delta L}{\delta \psi}=0, \quad \frac{\delta L}{\partial \rho}=0,
\]

и уравнение, относящееся к $\xi$ (п. 3), приняло бы следующий вид:
\[
d \frac{\delta T}{\delta d \xi}-\frac{\delta T}{\partial \xi}+\lambda+\frac{\partial V}{\partial \xi}=0 ;
\]

уравнения, относящиеся к двум другим переменным, не испытали бы никакого изменения. Таким образом, мы тотчас же получим давление $\lambda$ тела на поверхность, положив в выражении для $\lambda$
\[
\begin{array}{c}
\lambda=\frac{\partial T}{\delta \xi}-d \frac{\partial T}{\delta d \xi}-\frac{\delta V}{\delta \xi}, \\
\xi=a \quad \text { и } \quad d \xi=0 .
\end{array}
\]

Так как применение наших общих формул не вызывает никаких затруднений, ограничимся приведением одного или двух примеров.