10. Когда рассматривают только одно изолированное тело, можно отвлечься от его массы или принять ее равной единице; в этом случае мы имеем, как и в пункте 3 предыдущего отдела,
$$T=\frac{d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2}{2d{t}^2},\hat{\iota }V=R\epsilon r+Qiq+P\hat{\delta }p+\dots$$

Уравнение поверхности дает $z$ в функции $x$ п $y$; следовательно, мы имеем
$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

если переменные $x$ и $y$ рассматривать как независимые, то каждая из них дает уравнение следующего вида:
$$d\frac{\partial T}{\partial dx}-\frac{\delta T}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial x}=0;$$

член $\frac{d{x}^2}{2d{t}^2}$ величины $T$ дает прямо $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$, член $\frac{d{z}^2}{2d{t}^2}$, который рассматривается как функция $x,y$ и $dx,dy$, дает сначала два следующих члена:
$$\frac{d\left(dz\frac{\partial z}{\partial x}\right)}{d{t}^2}-\frac{1}{2}\frac{\delta }{\delta x}\frac{d{z}^2}{d{t}^2};$$

но $\frac{\partial z}{\partial x}$ это— то же, что $\frac{\delta z}{\delta x}$, а $\frac{1}{2}\frac{\delta }{\delta x}d{z}^2$ равно $\frac{dzdz}{\partial x}$ или $\frac{dzd\delta z}{\delta x}$; следовательно, рассматриваемые два члена
своднтся $к\frac{d^{2}ziz}{d{t}^{2}x}$; таким образом, уравнение, соответствующее $x$, принимает следующий вид:
$$\frac{d\cdot x}{d{t}^2}+\frac{d^{2}z}{d{t}^2}\frac{\delta z}{\partial x}+\frac{\delta V}{\partial x}=0;$$

аналогично мы имеем для $y$
$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\frac{d^{2}z}{d{t}^2}\frac{\delta z}{\partial y}+\frac{\delta V}{\delta y}=0.$$

Если бы тело было вынуждено двигаться по заданной ликии, то $y$ и $z$ были бы функциями $x$; член $\frac{d{y}^2}{2d{t}^2}$ выражения для $T$ дал бы следующие члены:
$$\frac{d\left(dy\frac{dy}{dx}\right)}{d{t}^2}-\frac{1}{2}\frac{\delta }{\partial x}\frac{d{y}^2}{d{t}^2},$$

которые тем же путем свелись бы к $\frac{dy}{d{t}^2}\frac{\partial y}{\partial x}$; точно так же член $\frac{d{z}^2}{2d{t}^2}$ дал бы $\frac{d^{2}z}{d{t}^2}\frac{\delta z}{\delta x}$, и мы получили бы для $x$, которая была бы единственний переменной величиной, уравнение
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\frac{\partial y}{\partial x}+\frac{d^{2}z}{d{t}^2}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial x}=0.$$

Из приведенного выше анализа видно, что всякий член величины $T$, имеющий вид $k\frac{d{z}^2}{d{t}^2}$, где $z$ является заданной фуикцией двух других переменных $x$ и $y$, дает
$$\begin{array}{l}d\frac{\partial T}{\partial dx}-\frac{\partial T}{\partial x}=2k\frac{d^{2}z}{d{t}^2}\frac{\partial z}{\partial x},\\ d\frac{\partial T}{\partial dy}-\frac{\partial T}{\partial y}=2k\frac{d^{2}z}{d{t}^2}\frac{\partial z}{\partial y}.\end{array}$$

Эти иреобразования могут оказаться полезными во многих случаях.
11. Если вместо прямоугольных координат $x,y,z$ мы захотим воспользоваться (для поверхности) радиусом $r$ и двумя углами $९$ и $џ$, как мы это сделали в пункте 4 предыдущего отдела, то будем иметь
$$T=\frac{r^2(d{\psi }^2+{\cos }^2\psi d{\dot{\ell }}^2)+d{r}^2}{2d{t}^2},$$

где $r$ задано в функции $\psi$ и уравнением поверхности, а относительно $\psi$ и $\phi$ мы будем иметь два уравнения следующего вида:
$$d\frac{\hat{\sigma }T}{\widehat{\partial d\psi }}-\frac{\hat{\partial }T}{\partial \psi }+\frac{\hat{\delta }V}{\partial \psi }=0.$$

Член $\frac{d{r}^2}{2d{t}^2}$ величины $T$ даст $\frac{d^{2}r}{d{t}^2}\frac{\partial r}{\partial \psi }$ относительно $\psi$ и $\frac{d^{2}r}{d{t}^2}\frac{\delta r}{\delta \rho }$ относительно $\phi$, и мы получим два следующих уравнения:
$$\begin{array}{rl}d\frac{r^{2}d\psi }{d{t}^2}+\frac{r^2\sin \psi \cos \psi d{\rho }^2}{d{t}^2}+\frac{d^{2}r}{d{t}^2}\frac{\delta r}{\partial \psi }+\frac{\partial V}{\partial \psi }& =0,\\ d\frac{r^2{\cos }^2\psi d\rho }{d{t}^2}+\frac{d^{2}r}{d{t}^2}\frac{\delta r}{\delta \rho }+\frac{\delta N}{\partial \rho }& =0.\end{array}$$

Пользунсь обычными методами, мы пришли бы к этим уравнениям лишь в результате многочисленных преобразований.
12. Следует отметить, что уравнение
$$T+V=H$$

имеющее место всегда, когда тело находится только под действием сил, пропорциональных функциям их расстояний от центров, дает прямо скорость тела в любой точке описываемой им кривой; действительно, если $u$-скорость и $s$ — описанное расстояние, то мы имеем
$$u=\frac{ds}{dt}=\frac{\sqrt{d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2}}{dt};$$

стало быть,
$$T=\frac{u^2}{2}$$

и, следовательно,
$$u=\sqrt{2(H-V)};$$

таким образом, если $V$-конечная функция координат, то скорость зависит лишь от положения тела в пространстве.

Когда тело не находится под действием какой-либо ускоряющей силы, мы имеем $V=0$, и скорость становится постоянной. Так как мы доказали вообще, что интеграл $\int uds$ является всегда максимумом или минимумом в заданных пределах (отд. III, п. 39), то и величина $\int ds$, или $s$, т. е. длина кривой, описываемой телом, будет также максимумом или минимумом, но ясно, что она может быть только минимумом*), так как максимум здесь не может иметь места. Отсюда следует известная теорема, что тело, брошенное на какой-либо поверхности, описывает на ней всегда кратчайшую линию между заданными точками.
13. Однако при разрешении подобного рода задач зачастую бывает проще рассматривать все координаты как независимые переменные и пользоваться уравнениями заданной поверхности или линии как условными уравнениями; последние, будучи представлены в виде
$$L=0,M=0,$$

дадут просто для каждой переменной члены $\lambda .\hat{\delta }L$ и $\mu \delta M$, которые должны быть прибавлены к $\delta V$, причем $\lambda ,\mu$ являются неопределенными величинами и подлежат исключению.

Из того, что было нами доказано в пункте 5 отдела IV «Статики», следует, что каждый член, например $\lambda .\delta L$, может выразить момент силы, равной
$$\lambda \sqrt{\frac{\partial L^2}{\partial x^2}+\frac{\partial L^2}{\partial y^2}+\frac{\partial L^2}{\partial z^2}}$$
*) Этот прием рассуждения недошустим, так как можно рассматривать и такой случай, когда не существует ни максимума, ни минимума. Можно прямо доказать, что между двумя бесконечно близкими точками всегда существует минимум. См. дополн. статью в конце настоящего тома. (Прим. Бертрана.)

и действующей перпендикулярно к поверхности, уравнение которой выражается через $L=0$; следовательно, эта сила не может быть иной, чем та, которая возникает вследствие сопротивления, оказываемого телу поверхностью, и которая равна давлению, производимому телом на поверхность.

Таким образом, коэффициент $\lambda$ служит для определения давления тела на поверхность, заданную уравнением $L=0$; если же тело движется по заданной линии, то мы будем рассматривать последнюю как получающ юся в результате пересечения двух поверхностей, выраженных уравнениями $L=0,M=0$; два коэффициента $\lambda$ и п послужат тогда для определения давлений, производимых телом на данную линию перпендикулярно к обеим поверхностям.
14. Вообще член $\lambda \hat{\delta }L$ можно уподобить члену $\delta \mathrm{V}$; а так как
$$\delta V=R\hat{\partial }r+Q\dot{\delta }q,$$

где $R,Q,\dots$ являются силами, действующими по линиям $r,q,\dots$ и стремящимися их укоротить, то если $L$ является функцией координат $\xi ,\psi$, ф, мы имеем
$$\delta L=\frac{\partial L}{\partial \xi }\delta \hat{\xi }+\frac{\partial L}{\partial \psi }\delta \psi +\frac{\partial L}{\partial \rho }\delta \phi$$

и члены $\lambda \frac{\partial L}{\partial \xi },\lambda \frac{\partial L}{\partial \psi },\lambda \frac{\partial L}{\partial \rho }$ выражают силы, получающиеся в результате сопротивления поверхности, уравнение которой $L=0$, по направлениям координат $\xi$, $\psi ,q^{\ast })$, и стремящиеся укоротить эти координаты.

Если бы уравнением поверхности было $\xi =a$, где a является величиной постоянной, чего всегда можно $$
*) В «Статике\» мы неодиократно отмечали, что эти утверждения носят слишком абсолютный характер. См. примечания к стр. 60,67, 133 и 153 предыдущего тома. В данном случае будет уместно сделать гакое же замечание. (Прим. Бертрана.)

добитьсн путем выбора координат, то мы имели бы
$$L=\xi -a,\frac{\delta L}{\delta \xi }=1,\frac{\delta L}{\delta \psi }=0,\frac{\delta L}{\partial \rho }=0,$$

и уравнение, относящееся к $\xi$ (п. 3), приняло бы следующий вид:
$$d\frac{\delta T}{\delta d\xi }-\frac{\delta T}{\partial \xi }+\lambda +\frac{\partial V}{\partial \xi }=0;$$

уравнения, относящиеся к двум другим переменным, не испытали бы никакого изменения. Таким образом, мы тотчас же получим давление $\lambda$ тела на поверхность, положив в выражении для $\lambda$
$$\begin{array}{c}\lambda =\frac{\partial T}{\delta \xi }-d\frac{\partial T}{\delta d\xi }-\frac{\delta V}{\delta \xi },\\ \xi =a\text{ и }d\xi =0.\end{array}$$

Так как применение наших общих формул не вызывает никаких затруднений, ограничимся приведением одного или двух примеров.