В главе III отдела VII*) Јагранж отметил, что в задаче о движении тела, притягиваемого к двум нешодвижным центрам силами, обратно пропорциональными квадратам расетояний, траекторией движущегося тела может быть эллипе или гипер-
*) См. стр 128 настоящего тома.

бола, имеющие фокусами два неподвижных центра. То же самое может также иметь место, если прибавить еще третий неподвижный центр, расположенный посредине прямой, соединяющей два первых центра, действие которого пропорциональн, нервой степени расстояния. Как мы уже отметили раньше, рассуждение, примененное Лагранжем для обоснования әтого положения, оставляет кое-чего желать; в настоящей статье мы ставим себе целью дать строгое доказательство указанного предложения.

Сохраним все обозначения автора; таким образом, расстояние между первыми двумя неподвижными центрами будет $h$; за координаты движущегося тела примем расстояния $r$ и $q$ от әтих двух центров и угол $\varphi$, образуемый цроекцией $r$ на плоскость, перпендикулярную к $h$, с неподвижной прямой, расположенной в той же плоскости; наконец, положим $r+q=s$ и $r-q=u$. Сила, пропорциональная расстоянию и направленная к третьему неподвижному центру, о котором мы упомянули выше, может быть разложена на две другие силы, направленные по радиусам $r$ и $q$ и соответственно пропорциональные этим радиусам; таким образом, тело будет приводиться в движение только двумя силами:
\[
\frac{\alpha}{r^{2}}+2 \gamma r, \frac{\beta}{q^{2}}+2 \gamma q,
\]

где $\alpha, \beta, \gamma$ обозначают заданные постоянные величины. Если через $B, C, H$ обозначить постоянные, введенные первыми тремя интегрированиями, и для краткости положить
\[
\begin{array}{l}
S=-\frac{\gamma}{4} s^{6}+\left(H+\frac{\gamma h^{2}}{4}\right) s^{4}+ \\
\quad+(\alpha+\beta) s^{3}+C s^{2}-h^{2}(\alpha+\beta) s-H h^{4}-B^{2}, \\
U=-\frac{\gamma}{4} u^{6}+\left(H+\frac{\gamma h^{2}}{4}\right) u^{4}+ \\
\quad+(x-\beta) u^{3}+C u^{2}-h^{2}(\alpha-\beta) u-H h^{4}-B^{2},
\end{array}
\]

то задача сведется к следующим уравнениям с разделенными переменными:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d s}{\sqrt{S}}-\frac{d u}{\sqrt{\bar{U}}}=0, \\
d_{q}=\frac{B h^{2} d s}{\left(s^{2}-h^{2}\right) \sqrt{S}}-\frac{B h^{2} d u}{\left(u^{2}-h^{2}\right) \sqrt{\bar{U}}}, \\
d t=\frac{s^{2} d s}{4 \sqrt{S}}-\frac{u^{2} d u}{4 \sqrt{U}} ; \\
\end{array}
\]

первые два уравнения принадлежат траектории, а третье определяет элемент времени. Постоянные $B, C, H$ могут быть определены, если задать положение тела и его скорость в начале движения. Допустим, что әто определение уже выполнено; если через $r_{0}, s_{0}$, 甲 $_{0}$ обозначить начальные значения $r, s$, , то интегральные уравнения настоящей задачи примут следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{c}
\int_{s_{0}}^{s} \frac{d s}{\sqrt{S}}-\int_{u_{0}}^{u} \frac{d u}{\sqrt{\bar{U}}}=0, \\
\varphi=p_{0}+B h^{2} \int_{s_{0}}^{s} \frac{d s}{\left(s^{2}-h^{2}\right) \sqrt{S}}-B h^{3} \int_{u_{0}}^{u} \frac{d u}{\left(u^{2}-h^{2}\right) \sqrt{\bar{U}}}, \\
t=\frac{1}{4} \int_{s_{0}}^{s} \frac{s^{2} d s}{\sqrt{\bar{S}}}-\frac{1}{4} \int_{u_{0}}^{u} \frac{u^{2} d u}{\sqrt{\bar{U}}} .
\end{array}\right\}
\]

В общем случае интегралы, содержащиеся в уравнениях (2), являются абелевыми функциями, но в случае $\gamma=0$ они сводятея к простым әллиптичесіим функциям. Как видим, вообще говоря, координаты $s$ и $u$ зависят одна от другой, иными словами, обе әти величины являются переменными. Тем не менее можно добиться того, чтобы траектория движущегося гела была эллипсом или гиперболой, имеющими фокусами и центром три неподвижных центра; это мы сейчас и докажем.

Первое из уравнений (1), в которых $B, C, H$ имеют определенные значения, допускает, помимо своего общего интеграла, еще частное решение
\[
S U=0,
\]

так что последнее может быть удовлетворено, если для $s$ взять один из корней уравнения $S=0$ или для $u$-один из корней уравнения $U=0$. Однако для того, чтобы это частное рещение могло подойти к нашей задаче, прежде всего начальное значение $S_{0}$ или $U_{0}$, величин $S$ или $U$ должно быть равно нулю; мы должны, следовательно, иметь
\[
\left(\frac{d s}{d t}\right)_{0}=0 \text { или }\left(\frac{d u}{d t}\right)_{0}=0,
\]

где индекс 0 указывает, что вместо $s$ или $u$ следует подетавить $s_{0}$ чли $u_{0}$.

Однако әто условие, будучи необходимым, не является достаточным; в самом деле, частное решение может ответить на вопрос нашей задачи только в том случае, когда общее решение, указанное уравнениями (2), не достигает әтой цели; последнее же может иметь место только в том случае, когда входящие в его состав определенные интегралы принимают бесконечно большие значения. Но для того, чобы интегралы
\[
\int_{s_{0}}^{s} \frac{d s}{\sqrt{\bar{S}}}, \int_{s_{0}}^{s} \frac{s^{2} d s}{\sqrt{\bar{s}}}, \int_{s_{0}}^{s} \frac{d s}{\left(s^{2}-h^{2}\right) \sqrt{\bar{S}}},
\]

элемент которых, согласно допущению, для $s=s_{0}$ бесконечно велик, сами приняли бесконечно большие значения, полином $S$, очевидно, должен содержать множитель $s-s_{0}$ по меньшей мере во второй степени; другими словами, необходимо, чтобы уравнение $S=0$ имело по крайней мере два корня, равных $s_{0}$.
Таким образом, одним из уравнений траектории будет
\[
s=s_{0} \quad \text { или } \quad u=u_{0},
\]

если у нас имеется
\[
S_{0}=0, \quad\left(\frac{d S}{d s}\right)_{0}=0,
\]

или
\[
U_{0}=0, \quad\left(\frac{d U}{d u}\right)_{0}=0 .
\]

Отсюда, как это сделал Лагранж, можно придти к выводу, что то же самое коническое сечение, которое может быть описано под действием силы, направленной к одному из фокусов и действующей обратно пропорционально квадрату рассгояний или направленной к центру и действующей прямо пропорционально расстоянию, может быть также описано под действием трех подобных сил, направленных к двум фокусам и к центру.