111. Для того чтобы не оставить без внимания ничего относящегося к вопросу о вековых возмущениях планет, мы должны еще рассмотреть действие слабо сопротивляющейся среды, в которой они, быть может, движутся или необходимо должны были бы двигаться, если бы свет происходил вследствие колебаний некоторой жидкости. Как мы уже видели в пункте 79 , для того, чтобы принять в расчет сопротивление, достаточно к величине $\delta Q$ прибавить члены
\[
-\frac{\mathrm{r}^{\prime} \sqrt{d r^{2}+r^{2} d \Phi^{2}}\left(d r \delta r+r^{2} d \Phi \delta \Phi+r^{2} d \Phi \delta \gamma\right)}{d t^{2}},
\]

где Г’-плотность среды, которая может быть функцией $r$ и которую мы должны считать очень малой; в приведенном выше выражении следует вместо $r$ и ф подставить их выражения в функции $t$, получающиеся из формул әллиптического движения планеты, причем следует помнить, что символ $d$ относится ко времени $t$, а символ $\delta$-к элементам планеты.

Так как в данном случае мы определяем лишь вековые возмущения, следует, как мы это делали и раньше, отбрасывать все периодические члены и сохранять лишь одни постоянные члены.
112. Обозначим, как в пункте 21 , среднюю аномалию планеты через
\[
u=\sqrt{\frac{\bar{g}}{a^{3}}}(t-c) ;
\]

мы видели, что $r$ и $\Phi-u$ могут быть выражены рядами, из которых первый содержит лишь косинусы, а второй-синусы углов, кратных $u$; следовательно, $d r$ будет содержать лишь синусы без постоянного члена, а $d \Phi$-косинусы тех же углов; следовательно, величина $d r^{2}+r^{2} d \Phi^{2}$ будет содержать лишь косинусы; то же самое относится и к ряду, выражающему величину $\sqrt{d r^{2}+r^{2} d \Phi^{2}}$. Таким образом, если положить $\mathrm{I}^{\prime}=f(r)$, то величина $\Gamma \sqrt{d r^{2}+r^{2} d \Phi^{2}}$ выразится с помощью ряда косинусов аргументов, кратных $u$.

Для того чтобы получить $8 r$ и $\delta \Phi$, следует в рядах $r$ и Ф варьировать коэффициенты косинусов и синусов, заданных в функции $a$ и $e$, и, сверх того, угол $u$, так как последний содержит постоянные $a$ и $c$. Обозначим через $\delta(r)$ и $\delta(\Phi)$ те части $\delta r$ и $\delta \Phi$, которые содержат вариации коэффициентов; мы будем иметь
\[
\delta r=\delta(r)+\frac{d r}{d u} \delta u,
\]

а также
\[
\delta \Phi=\delta(\Phi)+\frac{d \Phi}{d u} \delta u
\]

стало быть,
\[
d r \delta \partial+r^{2} d \Phi \hat{\delta} \Phi=\delta r \delta(r)+r^{2} d \Phi \delta(\Phi)+\left(d r^{2}+r^{2} d \Phi^{2}\right) \frac{\delta u}{d u} .
\]

Но ясно, что $\delta(r)$ будет содержать лишь косинусы, а так как $d r$ содержит только синусы, то $d r \delta(r)$ тоже будет содержать лишь синусы без постоянного члена. Точно так же $\delta(\Phi)$ будет содержать лишь синусы, а так как $\partial \Phi$ содержит только косинусы, то $d \Phi \delta(\Phi)$ тоже будет содержать лишь синусы. Далее, $r^{2}$ содержит лишь косинусы, следовательно, $r^{2} d \Phi \delta(Ф)$ будет содержать лишь синусы. Поэтому величину
\[
d r \delta(r)+r^{2} d \Phi \hat{\delta}(\Phi),
\]

содержащую лишь синусы углов, кратных $u$, без всякого постоянного члена, нужно отбросить.
113. Итак, для вековых уравнений мы будем иметь просто
\[
d r \delta r+r^{2} d \Phi \partial \Phi=\left(d r^{2}+r^{2} d \Phi^{2}\right) \frac{\delta u}{d u} .
\]

Но $d u=d t \sqrt{\frac{\bar{g}}{a^{3}}} ;$ произведя эту подстановку, мы получим для членов, которые из-за наличия сопротивления среды следует шрибавить к $\delta Q$ :

где вместо $r$ и следует подставить их выражения в функции $t$ или $u$; в полученных таким путем выражениях следует сохранить лишь те члены, которые не зависят от синусов и косинусов $u$.

В силу свойств эллиптического движөния, мы тотчас же получим
\[
\begin{aligned}
r^{2} d \Phi=D d t & =\sqrt{g a\left(1-e^{2}\right)} d t, \\
d r^{2}+r^{2} d \Phi^{2} & =\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right) g d t^{2} ;
\end{aligned}
\]

следовательно, рассматриваемые члены примут следующий вид:
$-g \Gamma\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)^{3 / 2} \sqrt{a^{3}} \hat{\partial} u-g \Gamma \sqrt{\frac{2}{r}-\frac{1}{a}} \sqrt{a\left(1-e^{2}\right)} \delta \%$, где
\[
\delta u=-\sqrt{\frac{\bar{g}}{a^{3}}} \delta c-\frac{3}{2} \sqrt{\frac{\bar{g}}{a^{5}}}(t-c) \hat{\delta} a .
\]
114. Таковы те члены, которые следует подставить вместо $\delta Q$ в общих формулах вариаций элементов планет (п. 74), после чего мы будем иметь
\[
\begin{aligned}
d a & =-2 a^{2} \Gamma\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)^{3 / 2} V \bar{g} d t, \\
d c & =3 a \Gamma^{\prime}\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)^{3 / 2}(t-c) \sqrt{g} d t, \\
d e & =\frac{1-e^{2}}{e} \Gamma\left[\sqrt{\frac{2}{r}-\frac{1}{a}}-a\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)^{3 / 2}\right] \sqrt{g} d t,
\end{aligned}
\]

вариации же других элементов $\chi, h, i$ будут равны нулю. Отсюда можно, прежде всего, сделать тот вывод, что большая ось, или линия апсид, равно как узел и наклонение, не будут подвержены каким-либо вековым возмущениям $\left[{ }^{21}\right]$; следовательно, сопротивление не сместит орбиты планеты, но будет лишь с течением времени изменять больпую ось $\left[{ }^{22}\right]$ и эксцентриситет и в то же время будет вызывать вековое изменение в средней аномалии, зависящей от вариации $c$.

Если скомбинировать вместе два первых уравнения, то мы получим
\[
d c=-\frac{3(t-c) d a}{2 a} ;
\]

следоватөльно,
\[
d t-d c-\frac{3(t-c) d a}{2 a}=d t ;
\]
\[
\frac{t-c}{\sqrt{a^{3}}}=\int \frac{d t}{\sqrt{a^{3}}},
\]

а так как $u=(t-c) \sqrt{\frac{\bar{g}}{a^{3}}}$, то мы получим
\[
u=\sqrt{ } \bar{g} \int \frac{d t}{\sqrt{a^{3}}},
\]

если допустить, что интеграл $\int \frac{d t}{\sqrt{a^{3}}}$ обращается в нуль при $u=0$; таким образом, все зависит от вариации среднего расстояния $a$.

Если в первом приближении пренебречь эксцентриситетом $e$, который предполагается очень малым, то мы будем иметь $r=a$, qто дает
\[
\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)^{3 / 2}=\frac{1}{\sqrt{a^{3}}}
\]

так как плотность среды $\Gamma$ может быть лишь функцией $r$, то она будет функцией $a$, и первое уравнение даст
\[
d t=-\frac{d a}{2 \Gamma \sqrt{g a}} .
\]

Предположим, что I’- постоянная величина; проинтегрировав, мы получим
\[
t=\frac{\sqrt{\bar{A}-\sqrt{a}}}{\Gamma \sqrt{g}},
\]

где $A$-значение $a$ при $t=0$; следовательно,
\[
a=(\sqrt{A}-\mathrm{\Gamma} t \sqrt{\bar{g}})^{2},
\]

и величина $u$ примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
u=\sqrt{g} \int \frac{d t}{\sqrt{A}-\Gamma t \sqrt{g})^{3}} & =\frac{1}{2 \Gamma}\left[\frac{1}{(\sqrt{A}-\Gamma t \sqrt{g})^{2}}-\frac{1}{A}\right]= \\
& =\frac{t \sqrt{\frac{g}{A^{3}}}-\Gamma^{2} \frac{g}{2 A^{2}}}{\left(1-\Gamma t \sqrt{\frac{g}{A}}\right)^{2}},
\end{aligned}
\]

где коэффидиент $\Gamma$ должен рассматриваться как очень малая величина.
115. Для того чтобы получить вековое возмущение эксцентриситета $e$, следует в иррациональностях $\sqrt{\frac{2}{r}-\frac{1}{a}}$ и $\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)^{3 / 2}$, входящих в выражение для $d e$, подставить выражение $r$ в функции $u$ и при разложении сохранить лишь постоянные члены. Но если при этом ограничиться лишь вторыми измерениями $e$, то, согласно пункту 21 , мы будем иметь
\[
r=a\left(1-e \cos u+\frac{e^{2}}{2}-\frac{e^{2}}{2} \cos 2 u\right),
\]

откуда вытекает
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{r} & =\frac{1}{a}\left(1+e \cos u+e^{2} \cos 2 u\right), \\
\sqrt{\frac{2}{r}-\frac{1}{a}} & =\frac{1}{\sqrt{a}}\left(1+e \cos u-\frac{e^{2}}{4}+\frac{3 e^{2}}{4} \cos 2 u\right), \\
\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)^{3 / 2} & =\frac{1}{\sqrt{a^{3}}}\left(1+3 e \cos u+\frac{3}{4} e^{2}+\frac{15}{4} e^{2} \cos 2 u\right) ;
\end{aligned}
\]

следовательно, отбросив $\cos u$ и $\cos 2 u^{*}$ ), мы получим
\[
d e=-\mathrm{I}^{\prime} \sqrt{\bar{g}}\left(1-e^{2}\right) e \frac{d t}{\sqrt{\bar{a}}} .
\]

Если вместо $\sqrt{\bar{a}}$ подставить его значение $\sqrt{\bar{A}}-\mathrm{\Gamma} t \bigvee^{\prime} \bar{g}$ и пренебречь третьей степенью $e$, то мы получим уравнение
\[
d e(\sqrt{\bar{A}}-\Gamma t \sqrt{\bar{g}}+\mathrm{\Gamma} \sqrt{\bar{g}} e d t)=0,
\]

интегрирование которого дает
\[
e=E\left(1-\mathrm{I} t \sqrt{\frac{g}{A}}\right),
\]

где $E$ – значение $e$ при $t=0$.
Но так как существование сопротивляющейся среды и в еще большей мере закон плотности этой среды являются только гипотетическими, то приведенные выше выводы должны рассматриваться лишь как применение наших общих формул вековых возмущений.