30. В теории планет элементами называют шесть постоянных величин, служащих для определения формы орбиты, ее положения по отношению к нешодвижной плоскости, за которую принимают плоскость эклиптики, и эпохи, или момента прохождения планеты через афелий или перигелий [].

Пусть, как в предыдущем параграфе, $a$ будет больщая полуось, или среднее расстояние, и $b$-параметр; эти два элемента определяют форму орбиты; если через $e$ обозначить эксцентриситет, или отношение фокусного расстояния к большой оси, то мы будем иметь
\[
b=a\left(1-e^{2}\right)
\]

и, следовательно,
\[
e=\sqrt{1-\frac{b}{a}} .
\]

Іусть, далее, $c$-время, соответствующее прохождению планеты через перигелий; этот элемент совместно с двумя предшествующими служит для определения эллиптического движения независимо от положения орбиты в пространстве.

Для того чтобы определить это положение, обозначим через $k$ долготу перигелия, отсчитываемую от линии узлов, т. е. угол, образуемый частью большой оси, соответствующей перигелию, с линией пересечения плоскости орбиты с неподвижной плоскостью; этот элемент определнет положение эллипса в плоскости орбиты [7].

Пусть, наконец, $i$ – наклонение этой плоскости к неподвижной плоскости, которая считается основной и за которую в астрономии обычно принимают плоскость эклиптики (в наших формулах мы примем ее за плоскость координат $x, y$ ), и пусть $h$-долгота узла, т. е. угол, образуемый линией пересечения обеих этих плоскостей с неподвижной линией, за которую астрономы принимают линию, направленную в точку весеннего равноденствия и которую мы примем за ось $x$-ов.

Указанные шесть величин $a, b, c, h, i, k$ являются элементами, которые надлежит определить по некоторым обстоятельствам данного эллиптического движения.
31. Наиболее простым случаем настоящей задачи является тот, когда в какое-либо заданное мгновение нам известно положение движущегося тела, его скорость и направление. В этом случае заданными являются значения $x, y, z, \frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$ для определенного мгновения, которые мы обозначим прямыми буквами $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \frac{d \mathrm{x}}{d t}, \frac{d \mathrm{y}}{d t}, \frac{d \mathrm{z}}{d t}$; через эти шесть величин и требуется выразить шесть элементов $a, b, c, h, i, k$. Прежде всего, пункт 9, если подставить $-\frac{g}{\mathrm{r}}$ вместо $\int R d r$ и $x, y, z, r, \frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$ заменить через $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \frac{d \mathrm{x}}{d t}, \frac{d \mathrm{y}}{d t}, \frac{d \mathrm{z}}{d t}$, дает
\[
\begin{array}{c}
A=\mathrm{y} \frac{d \mathrm{z}}{d t}-\mathrm{z} \frac{d \mathrm{y}}{d t}, \quad B=\mathrm{z} \frac{d \mathrm{x}}{d t}-\mathrm{x} \frac{d \mathrm{z}}{d t}, \quad C=\mathrm{x} \frac{d \mathrm{y}}{d t}-\mathrm{y} \frac{d \mathrm{x}}{d t}, \\
2 H=\left(\frac{d \mathrm{x}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \mathrm{y}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \mathrm{z}}{d t}\right)^{2}-\frac{2 g}{\mathrm{r}},
\end{array}
\]

а пункты 11 и 15 дают
\[
\begin{array}{c}
A=D \sin i \sin h, \quad B=-D \sin i \cos h, \quad C=D \cos i, \\
D=1^{\prime} \overline{b b}, \quad H=-\frac{g}{2 a} .
\end{array}
\]

Из этих формул мы немедленно получим значения полуоси $a$ и параметра $b$, откуда найдем эксцентриситет $e=\sqrt{1-\frac{b}{a}}$ и углы $h$ и $i$;стается лишь определить величины $c$ и $k$.
32. Следует отметить, qто выражения для $a$ и $b$ могут быть приведены к более простому виду. В самом деле, так как ясно, что $\mathrm{x}^{\prime 2}+\mathrm{y}^{\prime 2}+\mathrm{z}^{\prime 2}$ является квадратом начальной скорости, которую мы обозначим через $\mathrm{u}$, то мы будем иметь
\[
\frac{1}{a}=\frac{2}{\mathrm{r}}-\frac{\mathrm{u}^{2}}{g},
\]

откуда видно, что большая ось конического сечения, а следовательно, и время обращения (п. 16) зависят только от первоначального расстояния тела от притягивающего фокуса и от начальной скорости.

Что касается параметра $b$, то в пункте 11 мы привели величину $D$ к виду $\frac{\mathrm{r}^{2} d \Phi}{d t}$, где $d \Phi$ – угол, описанный радиусом $r$ за время $d t$, так что $\mathrm{r} d \Phi$ представляет собою малую дугу, описанную тем же радиусом; следовательно, $\frac{\mathrm{r} d \Phi}{d t}$ есть перпендикулярная к этому радиусу скорость, с которой тело вращается вокруг фокуса.

Если эту скорость вращения обозначить через $\mathrm{v}$, то мы будем иметь
\[
\frac{\mathrm{r}^{2} d \Phi}{d t}=\mathrm{rv}=\sqrt{g \bar{b}},
\]

и, следовательно,
\[
b=\frac{\mathrm{r}^{2} \mathrm{v}^{2}}{g} .
\]

Таким образом, параметр $b$ зависит лишь от радиуса $\mathrm{r}$ и от той слагающей скорости $u$, с которой тело стремится вращаться вокруг фокуса, к которому оно тяготеет.
33. Чтобы найти значение элемента $c$, определяющего время прохождения через перигелий, заметим, что эта постоянная была введена в выкладки только интегрированием, которое дало $r$ в функции $t$ (п. 16). Следовательно, если обозначить через $\vartheta$ значение $\theta$, соответствующее $t=0$, то из формул указанного пункмы получим
\[
-c=\sqrt{\frac{a^{3}}{g}}(\vartheta-e \sin \vartheta), \mathrm{r}=a(1-e \cos \vartheta) .
\]

Таким образом, путем исключения $\vartheta$ мы получим величину $c$ в функции $\mathrm{r}$, так как значения $a$ и $e$ нам уже известны.

Наконец, чтобы определить последний элемент $k$, который тоже появился при интегрировянии уравне4 Ж. Јагранж, т. II

ния между $r$ и (п. 15), заметим, прежде всего, что, заменяя $\mathrm{x}$, $\mathbf{y}$ через $x, y$ и относя угол $\varphi$ к начальному моменту времени, мы получим
\[
\frac{y}{x}=\operatorname{tg}:
\]

Затем пункт 7 дает
\[
\operatorname{tg}(\Phi+k)=\frac{\operatorname{tg}(\varphi-h)}{\cos i} ;
\]

таким образом, так как $h$ и $i$ уже известны, мы будем иметь угол Ф при посредстве вспомогательного угла с в функции $x$ и $y$, а отсюда получается $k$ с помощью уравнения пункта 16 , отнесенного к мгновению, когда $t=0$ :
\[
\cos \Phi=\frac{1}{e}\left(\frac{b}{r}-1\right) .
\]
34. Если известны два положения движущегося тела ка его орбите и время, протекшее между мгновениями, когда тело занимало эти два положения, то у нас тоже имеется шесть данных, а именно, координаты, соответствующие указанным двум точкам орбиты, и тогда шесть элементов тоже могут быть определены с помощью значений этих координат; однако трапсцендентное выражение для времени не дает возможности получить общее и алгебраическое решение этой задачи. Последнюю можно разрешить лишь путем приближения – в том случае, когда промежуток времени между двумя положениями достаточно мал,-пользуясь для этого формулами пункта 28.

Пусть х, у, z-три координаты первого места на орбите и $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ – коордикаты второго места; если через $t$ обозначить время, протекшее между прохождениями тела через эти два места, то мы вообще будем иметь (ст. 28)
\[
\mathrm{x}^{\prime}=\mathrm{x} T+\frac{d \mathrm{x}}{d t} V, \quad \mathrm{y}^{\prime}=\mathrm{y} T+\frac{d \mathrm{y}}{d t} V, \quad \mathrm{z}^{\prime}=\mathrm{z} T+\frac{d \mathrm{z}}{d t} V .
\]

Допустим, что мы желаем ограничиться точностью до третьей степени $t$; тогда мы будем иметь
\[
T=1-\frac{g}{\mathrm{r}^{3}} \frac{t^{2}}{2}+\frac{3 g \mathrm{~s}}{\mathrm{r}^{5}} \frac{t^{3}}{6}, \quad V=t-\frac{g}{\mathrm{r}^{3}} \frac{t^{3}}{6} .
\]

Так как выражение $T$ содержит постоянную величину
\[
\mathrm{s}=\frac{\mathrm{r} d \mathrm{r}}{d t}=\frac{\mathrm{x} d \mathrm{x}+\mathrm{y} d \mathrm{y}+\mathrm{z} d \mathrm{z}}{d t},
\]

то мы начнем с ее определения, для чего сложим три предыдущих уравнения, помножив предварительно первое из них на $x$, второе на $y$ и третье на $z$; таким образом, мы получим уравнение
\[
\mathrm{xx}^{\prime}+\mathrm{yy}^{\prime}+\mathrm{zz}^{\prime}=\mathrm{r}^{2} T+\mathrm{s} V,
\]

откуда определим значение $\mathrm{s}$, которое затем подставим в выражение для $T$.

Когда $T$ и $V$ известны, те же уравнения дадут значения производных $\frac{d \mathrm{x}}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d \mathrm{z}}{d t}$, и таким образом задача сведется к предыдущему случаю.
35. Наконец, если известны лишь три радиуса-вектора $r, r^{\prime}, r^{\prime \prime}$ и промежутки времени $t$ и $t^{\prime}$, протекшие между прохождениями тела через точки с векторами $r$ и $r^{\prime}$ и соответственно $r$ и $r^{\prime \prime}$, то орбиту опять-таки можно определить с помощью формул пункта 29, если допустить, что промежутки времени $t$ и $t^{\prime}$ достаточно малы.

В самом деле, если в выражении для $r^{2}$ положить $t=0$ и в рядах, дающих $r^{\prime 2}$ и $r^{\prime \prime 2}$, ограничиться членами с $t^{3}$ и $t^{\prime 3}$, то мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
r^{2}=\mathrm{r}^{2}, \\
r^{\prime 2}=\mathrm{r}^{2}+\left(2 t-\frac{g t^{3}}{3 \mathrm{r}^{3}}\right) s+t^{2} \frac{d \mathrm{~s}}{d t}, \\
r^{\prime \prime 2}=\mathrm{r}^{2}+\left(2 t^{\prime}-\frac{g t^{\prime 3}}{3 \mathrm{r}^{3}}\right) s+t^{\prime 2} \frac{d \mathrm{~s}}{d t}
\end{array}
\]

из этих уравнений можно получить значения $\mathrm{r}, \mathrm{s}$ и $\frac{d s}{d t}$. Последние две величины с помощью формул пункта 19 тотчас же дадут
\[
\frac{1}{a}=\frac{1}{\mathrm{r}}-\frac{d \mathrm{~s}}{g d t}, \quad b=2 \mathrm{r}-\frac{\mathrm{r}^{2}}{a}–\frac{\mathrm{s}^{2}}{g} ;
\]

затем мы получим угол II между радиусом $r$ и радиусом перигелин, пользуясь формулой (п. 15)
\[
\cos \Pi=\frac{b-\mathrm{r}}{\mathrm{r} e},
\]

где $e$ равно $\sqrt{1-\frac{b}{a}}$.
Если бы орбита была параболой, мы имели бы $a=\infty \mathbf{~ и , ~ с л е д о в а т е л ь н о , ~}$
\[
\frac{d \mathrm{~s}}{d t}=\frac{g}{\mathrm{r}} ;
\]

в этом случае было бы достаточно знать два расстояния $r$ и $r^{\prime}$; с помоцью первого можно было бы получить значение $\mathrm{r}$, а с помощью второго– значение $\mathrm{s}$ из уравнения
\[
r^{\prime 2}=\mathrm{r}^{2}-\frac{g t^{2}}{\mathrm{r}}+\left(2 t-\frac{g t^{3}}{3 \mathrm{r}^{3}}\right) \mathrm{s} .
\]
36. Элементы планет достаточно хорошо известны; их определили путем наблюдения долгот и широт, а малая величина их эксцентриситетов и их наклонений к плоскости эклиптики во многом облегчила эти определения.

Если эту плоскость принять за плоскость $x y$, то углы $\varphi$ и $\psi$ (п. 4) представят: один – долготу тела, а другой-его широту; а в пунктах 22 и 23 мы выразили ч и в функции $t$ рядами, которые тем быстрее сходятся, чем меньше эксцентриситет $e$ и наклонение $i$. Если взять шесть наблюдений: три наблюдения долготы и три соответствующих наблюдения широты, или вообще долготы или широты в заданные мгновения, то мы будем иметь шесть уравнений, с помощью которых можно определить шесть элементов, по крайней мере для Солнца и Луны, обращающихся непосредственно вокруг Земли $\left[{ }^{8}\right]$.

Для других планет, обращающихся вокруг Солнца, вычисление несколько более сложно, так как наблюдение дает непосредственно лишь долготы и широты, наблюдаемые с Земли, которые называют геоцентрическими; но если допустить, что движение Солнца $\left[{ }^{9}\right]$ известно, мы всегда можем из каждого наблюдения вывести одно уравнение; таким образом, шести наблюдений оказывается достаточно для того, чтобы полностью определить шесть элементов.

Настоящая задәча особенно важна для комет, элементы которых во время их появления совершенно неизвестны; со времени Ньютона, впервые попытавшегося разрешить эту проблему, найдется очень мәло геометров и астрономов, которые не занимались бы ею. Не имея возможности строить приближение на малой величине эксцентриситета и наклонения, как в случае планет, они все принимали, что промежутки времени между наблюдениями очень малы, и дали более или менее приближенные методы для определения элементов комет на основании трех наблюденных долгот и такого же числа широт. Так как решение, предложенное мною в Mémoires de Berlin*) за 1783 г., дает, мне кажется, наиболее прямое и наиболее общее решение кометной задачи, я считаю возможным изложить его здесь, но в несколько упрощенном виде и сопроводив его новыми замечаниями; это решение даст нам важное применение основных формул, выведенных нами в предыдущем параграфе.