16. В предыдущем параграфе мы видели, что, какое бы движение ни имело твердое тело, это дви-
*) На этом заканчиваетен все то, что удалось найти в рукописях Јагранжа в совершенно законченном виде по вопросу о вращательном движении. Мы будем продолжать эту главу, придержиєаясь параграфов прежнего издания, используя при этом многочисленные изменения, указанные в экземпляре Лагранжа. В конце настоящего тома мы в особой статье приведем некоторые отрывки, касающиеся данного вопроса, которые должны были послужить материалом для параграфа об общих уравнениях вращательного днижения любой системы тел. Эти отрывки слищком неполны, чтобы их можно было ввести в текст, тем не менее геометры пожалели бы,если бы они были лишены возможности познакомиться с ними. (Прим. издателя второго иддания.).

жение может зависеть лишь от шести переменных, из которых три относятся к движению единственной точки тела, которую мы называли центрои системы *), а три другие служат для определения вращательного движения тела вокруг этого центра. Отсюда следует, что число подлежащих определению уравнеиий не может быть больше шести, и ясно, что эти уравнения могут быть выведены из тех, которые уже были даны нами в параграфах I и II отдела III и которые являются общими для любой системы тел. Но при этом следует различать два случая: один – когда тело совершенно свободно, и второй – когда оно вынуждено двигаться вокруг нешодвижной точки.
17. Рассмотрим сначала совершенно свободное твердое тело; примем центр тела в его центре тяжести и обозначим через $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ три прямоугольные координаты этого центра, через $m$ массу всего тела, через $D m$ массу каждого из его элементов, и через $X, Y, Z$ ускоряющие силы, действующие на этот элемент по направлениям тех же координат; тогда мы прежде всего получим следующие три уравнения:
\[
\begin{array}{c}
m \frac{d^{2} x^{\prime}}{d t^{2}}+\mathbf{S} X D m=0, \\
m \frac{d^{2} y^{\prime}}{d t}+\mathbf{S} Y D m=0, \\
m \frac{d^{2} z^{\prime}}{d t^{2}}+\mathbf{S} Z D m=0,
\end{array}
\]

где знак $\mathbf{S}$ обозначает объемный интеграл, отнесенный ко всей массе тела; как видим, эти уравнения служат для определения движения центра тяжести.

Во-вторых, если через $\xi, \eta, \zeta$ обозначить прямоугольные координаты каждого элемента $D m$, отсчитываемые от центра тяжести и параллельные осям координат $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ этого центра, то мы получим три дру- $\qquad$
*) В первом издании напечатано: центром тела. (Прим. Бертрана.)

гих уравнения (упомянутый выше отдел, п. 12):
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}\left(\xi \frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}-\eta \frac{d^{2} \xi}{d t}+\xi Y-\eta X\right) D m=0, \\
\mathbf{S}\left(\xi \frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}}-\zeta \frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}+\xi Z-\zeta X\right) D m=0, \\
\mathbf{S}\left(\eta \frac{d^{2} \zeta}{d t^{3}}-\zeta \frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}+\eta Z-\zeta Y\right) D m=0 .
\end{array}
\]

Но в предыдущем параграфе мы доказали, что величины $\xi, \eta, \zeta$ всегда имеют следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\xi=a \xi^{\prime}+b \xi^{\prime \prime}+c \xi^{\prime \prime \prime}, \\
\eta=a \eta^{\prime}+b \eta^{\prime \prime}+c \eta^{\prime \prime \prime}, \\
\zeta=a \zeta^{\prime}+b \zeta^{\prime \prime}+c \zeta^{\prime \prime \prime},
\end{array}
\]

и видели, что для твердых тел величины $a, b, c$ обязательно всегда бывают постоянными по отношению ко времени и оказываются переменными только по отношению к различным элементам $\mathrm{Dm}$, так как эти величины выражают прямоугольные координаты каждого из этих элементов, отнесенные к трем осям, шересекающимся в центре.тела и остающимся в нем неподвижными; величины же $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \ldots$, наоборот, являются переменными по отношению ко времени и постоянными по отношению ко всем элементам тела, ибо все эти величины являются функциями трех углов $\varphi, \psi$, $\omega$, определяющих различные вращательные движения, которые тело совершает вокруг своего центра. Следовательно, если в цредыдущих уравнениях произвести указанные раньше различные подстановки и при этом позаботиться о том, чтобы переменные $\varphi$, $\psi$, $\omega$ и их дифференциалы вышли из-под знака $\mathbf{S}$, то мы получим три дифференциальных уравнения второго порядка между этими переменными и временем $t$, которые послужат для определения всех трех величин в функции $t$.

Эти уравнения аналогичны тем, которые впервые были найдены Даламбером для вращательного движения тела любой формы, и которые он столь плодотворно применил в своих исследованиях о прецессии равноденствий.

Ввиду указанного обстоятельства, а также принимая во внимание, что вообще вид этих уравнений не обладает той простотой, какая могла бы быть им придана, мы не будем здесь больше задерживаться на подробностях; мы перейдем к прямому разрешению задачи, пользуясь общим методом отдела IV, который тотчас же даст нам уравнения, наиболее простые и наиболее удобные для вычислений.
18. Для того чтобы применить здесь этот метод наиболее общим и наиболее простым образом, допустим, – а это соответствует условиям, наблюдаемым в природе, – что каждая частица тела $D m$ притягивается силами $\bar{P}, \bar{Q}, \bar{R}, \ldots$, пропорциональными каким-либо функциям расстояний $\bar{p}, \bar{q}, \bar{r}$ каждой из частиц от центров этих сил, и составим теперь следующую алгебраическую величину:
\[
\Pi=\int(\bar{P} \overline{d p}+\bar{Q} d \bar{q}+\bar{R} d \bar{r}+\ldots) .
\]

Затем рассмотрим две величины:
\[
T=\mathbf{S}\left(\frac{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}{2 d t^{2}}\right) D m, V=\mathbf{S} \Pi D m,
\]

отнеся знак интеграла $\mathbf{S}$ к элементам тела и к величинам, относящимся к положению этих элементов в теле.

Представим обе эти величины как функции каких-либо переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, относящихся к различным движениям тела, и составим следующую общую формулу (отд. IV, п. 10):
\[
\begin{aligned}
0 & =\left(d \frac{\delta T}{\delta d \xi}-\frac{\delta T}{\delta \xi}+\frac{\delta V}{\delta \xi}\right) \delta \xi+ \\
& +\left(d \frac{\delta T}{\delta d \psi}-\frac{\delta T}{d \psi}+\frac{\delta V}{\partial \psi}\right) \delta \psi+ \\
& +\left(d \frac{\delta T}{\delta d \varphi}-\frac{\delta T}{\delta p}+\frac{\delta V}{\delta \varphi}\right) \delta \varphi+ \\
& +\ldots . . . . . . .
\end{aligned}
\]

Если, в силу природы задачи, переменные $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ не зависят друг от друга (а их всегда можно взять такими), можно приравнять отдельно нулю величины, умноженные на каждую из неопределенных вариаций $\delta \xi, \delta \psi, i \varphi, \ldots$, и тогда этим путем мы получим столько уравнений между переменными $\xi$, $, \varphi, \ldots$, сколько имеется этих переменных.

Если рассматриваемые переменные не вполне независимы друг от друга, но между ними существует одно или несколько условных уравнений, то путем дифференцирования этих уравнений мы получим такое же количество условных уравнений между вариациями $\delta \xi, \delta \psi, \delta \varphi, \ldots$, с помощью которых эти вариации можно будет свести к меньшему числу.

После того как указанное преобразование в общей формуле произведено, приравняем нулю также каждый из коэффициентов оставшихся вариаций; полученных при этом уравнений, взятых совместно с заданными условными уравнениями, окажется достаточно для разрешения задачи.

В рассматриваемой здесь задаче остается лишь применить те преобразования, которые были изложены в предыдущем параграфе. Стало быть, сначала следует подставить $x^{\prime}+\xi, y^{\prime}+\eta, z^{\prime}+\zeta$ вместо $x, y, z$; затем $a^{\xi^{\prime}}+b \xi^{\prime \prime}+c \xi^{\prime \prime \prime}, \quad a \eta^{\prime}+b \eta^{\prime \prime}+c \eta^{\prime \prime \prime}, \quad a_{b^{\prime}}+b_{b^{\prime \prime}}+c_{\zeta^{\prime \prime \prime}}$ вместо $\xi, \eta, \zeta$ (п. 1); наконед, подставив вместо $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \ldots$ их выражения через $\varphi, \psi, \omega$, указанные в пункте 7 , мы получим величины $T, V$, выраженные в функции шести независимых переменных $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, \varphi, \dot{\psi}, \omega$, вместо которых, если это будет признано целесообразным, можно ввести другие равнозначащие переменные; каждая из этих переменных даст для определения движения тела одно уравнение следующего вида:
\[
d \frac{\partial T}{\partial d \alpha}-\frac{\partial T}{\partial \alpha}+\frac{\partial V}{\partial x}=0,
\]

где $\alpha$-одна из этих переменных.
19. Итак, начнем с того, что в выражении для $T$ подставим вместо $x, y, z$ эти новые переменные $x^{\prime}+\xi$, которые являются общими для всех точек тела, так как они являются координатами центра тела, мы приведем функцию $T$ к следующему виду:
\[
\begin{array}{r}
\frac{d x^{\prime 2}+d y^{\prime 2}+d z^{\prime 2}}{2 d t^{2}} \mathbf{S} D m+\mathbf{S}\left(\frac{d \xi^{2}+d \eta^{2}+d \xi^{2}}{2 d t^{2}}\right) D m+ \\
+\frac{d x^{\prime} \mathbf{S} d \xi D m+d y^{\prime} \mathbf{S} d \eta D m+d z \mathbf{S} d \zeta D m}{d t^{2}} .
\end{array}
\]

Как видим, это выражение состоит из трех частей, из которых первая содержит только переменные $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ и выражает величину $T$ в том случае, когди тело рассматривается как точка. Если эти переменные независимы от других переменных $\xi, \eta$,, что имеет место в том случае, когда тело может вращаться свободно по всем направлениям вокруг своего цештра, то рассматриваемая формула должна трактовагься отдельно, и тогда она даст для движения этиго центра те же уравнения, какие получились бы, если бы все тело было сосредоточено в этой точке. Таким образом, эта часть задачи приводится к тому случаю, который мы разрешили в предыдущих отделах и на котором мы здесь больше останавливаться не будем.

Третья часть приведенного выше выражения, содоржащая в себе дифференциалы $d x^{\prime}, d y^{\prime}, d z^{\prime}$, умноженные на дифференциалы $d \xi, d \eta, d \zeta$, сама собою ичезает в двух случаях: во-первых, когда центр тела ненодвижен, так как тогда, очевидно, дифференциалы $d x^{\prime}, d y^{\prime}, d z^{\prime}$ координат центра равны нулю, и, вовторых, когда мы допускаем, что этот центр находится в центре тяжести тела, так как в этом случае интегралы $\mathbf{S} d \xi D m, \mathbf{S} d \eta D m, \mathbf{S} d^{
atural} D m$ сами собою обращаются в нуль. В самом деле, если вместо $d \xi, d \eta, d \zeta$ нодставить их значения $a d \xi^{\prime}+b d \xi^{\prime \prime}+c d \xi^{\prime \prime \prime}, \quad a d \eta^{\prime}+$ $+b d \eta^{\prime \prime}+c d \eta^{\prime \prime \prime}, \quad a d \zeta^{\prime}+b d \zeta^{\prime \prime}+c d_{\zeta^{\prime \prime \prime}}$ (см. предыдущий џункт) и вынести за знак $\mathbf{S}$ величины $d \xi^{\prime}, d \xi^{\prime \prime}, \ldots$, .

не зависящие от положения частиц $d m$ в теле, то каждый член этих интегралов окажется умножениым на одну из следующих трех величин:
$\mathbf{S} a D m, \quad \mathbf{S} b D m, \quad \mathbf{S}_{c} D m ;$

но эти величины представляют собою не что иное, как суммы произведений каждого элемента $D m$ на его расстояние от трех плоскостей, проходящих через центр тела и перпендикулярных к осям коојдинат $a, b, c$; поэтому, в силу известных своїств центра тяжести тела, они равны нулю, когда центр тела совпадает с центром тяжести всех тел. Следовательно, в данном случае и три интеграла $\mathbf{S} d \xi D m$, $\mathbf{S} d \eta D m, \mathbf{S} d \zeta D m$ тоже будут равны нулю.

В том и другом случаях остается линь рассмотјеть в выражении $T$ величину
\[
\mathbf{S}\left(\frac{d \digamma^{2}+d \eta^{2}+d \zeta^{2}}{2 d t^{2}}\right) D m
\]

относящуюся только к вращательному движению, которое система может иметь вокруг своего центра, и служащую, следовательно, для определения законов этого движения, независимо от того движения, какое центр может иметь в пространстве.
20. Для того чтобы максимально упростить решение, представляется целесообразным воспользоваться выражениями $d \xi, d \eta, d \zeta$ пункта 14 , которые, чсли положить $d a=0, d b=0, d c=0$, дают
\[
\begin{array}{l}
d \zeta^{2}+d \eta^{2}+d \zeta^{2}= \\
=(c d Q-b d R)^{2}+(a d R-c d P)^{2}+(b d P-a d Q)^{2}== \\
=\left(b^{2}+c^{2}\right) d P^{2}+\left(a^{2}+c^{2}\right) d Q^{2}+\left(a^{2}+b^{2}\right) d R^{2}- \\
\quad-2 b c d Q d R-2 a c d P d R-2 a b d P d Q .
\end{array}
\]

Так как величины $a, b, c$ являются здесь единственными переменными по отношению к положению частиц $D m$ в теле, то отсюда следует, что для опре́деления величины
\[
\mathbf{S}\left(d \xi^{2}+d \eta^{2}+d \zeta^{2}\right) D m
\]

нужно лишь умножить каждый член указанной выше величины на $D m$ и затем проинтегрировать по символу $\mathbf{S}$, выведя из-под этого знака величины $d P, d Q, d R$, которые от него не зависят. Таким образом, величина $\mathbf{S}\left(\frac{d \xi^{2}+d \eta^{2}+d \xi^{2}}{2 d t^{2}}\right) D m$ примет следующий вид:
\[
\frac{A d P^{2}+B d Q^{2}+C d R^{2}}{2 d t^{2}}-\frac{F d Q d R+G d P d R+H d P d Q}{d t^{2}},
\]

если для краткости положить
$A=\mathbf{S}\left(b^{2}+c^{2}\right) D m, \quad B=\mathbf{S}\left(a^{2}+c^{2}\right) D m, \quad C=\mathbf{S}\left(a^{8}+b^{2}\right) D m$, $F=\mathbf{S} b c D m, \quad G=\mathbf{S} a c D m, \quad H=\mathbf{S} a b D m$.

Указанные выше интегрирования распространяются на всю массу тела, так что $A, B, C, F, G, H$ должны впредь рассматриваться и трактоваться как постоянные величины, заданные формой тела $\left[{ }^{27}\right]$.
21. Если для упрощения положить
\[
\frac{d P}{d t}=p, \quad \frac{d Q}{d t}=q, \quad \frac{d R}{d t}=r
\]

и в функции $T$ рассматривать лишь те члены, которые относятся к вращательному движению, то мы будем иметь
\[
T=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right)-F q r-G p r-H p q ;
\]

так как $T$ является функцией только $p, q, r$, то, продифференцировав по символу $\delta$, мы получим
\[
\delta T=\frac{\partial T}{\partial p} \delta p+\frac{\partial T}{\partial q} \delta q+\frac{\partial T}{\partial r} \delta r .
\]

Но на основании формул пункта 11 мы имеем
\[
\begin{array}{l}
p=\frac{\sin \varphi \sin \omega d \psi+\cos \varphi d \omega}{d t}, \\
q=\frac{\cos \varphi \sin \omega d \psi-\sin \varphi d \omega}{d t}, \\
r=\frac{d \varphi+\cos \omega d \psi}{d t} ;
\end{array}
\]

следовательно (так как $d t$ всегда постоянно),
\[
\begin{aligned}
\partial T= & \left(\frac{\partial T}{\partial p} q-\frac{\partial T}{\partial q} p\right) \delta \varphi+\frac{\partial T}{\partial r} \frac{\delta d \varphi}{d t}+ \\
& +\left(\frac{\partial T}{\partial p} \sin \varphi \sin \omega+\frac{\partial T}{\partial q} \cos \varphi \sin \omega+\frac{\partial T}{\partial r} \cos \omega\right) \frac{\delta d \psi}{d t}+ \\
& +\left(\frac{\partial T}{\partial p} \sin \varphi \cos \omega+\frac{\partial T}{\partial q} \cos \varphi \cos \omega-\frac{\partial T}{\partial r} \sin \omega\right) \frac{d \psi \delta \omega}{d t}+ \\
& +\left(\frac{\partial T}{\partial p} \cos \varphi-\frac{\partial T}{\partial q} \sin \varphi\right) \frac{\delta d \omega}{d t},
\end{aligned}
\]

откуда мы тотчас же получаем для вращательного движения три следующих уравнения второго порядка:
\[
\begin{array}{r}
\frac{d \frac{\partial T}{\partial r}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial p} q+\frac{\partial T}{\partial q} p+\frac{\partial V}{\partial \varphi}=0, \\
\frac{d\left(\frac{\partial T}{\partial p} \sin \varphi \sin \omega+\frac{\partial T}{\partial q} \cos \varphi \sin \omega+\frac{\partial T}{\partial r} \cos \omega\right)}{d t}+\frac{\partial V}{\partial \psi}=0, \\
\frac{d\left(\frac{\partial T}{\partial p} \cos \varphi-\frac{\partial T}{\partial q} \sin \varphi\right)}{d t}- \\
-\left(\frac{\partial T}{\partial p} \sin \varphi \cos \omega+\frac{\partial T}{\partial q} \cos \varphi \cos \omega-\frac{\partial T}{\partial r} \sin \omega\right) \frac{d \psi}{d t}+\frac{\partial V}{\partial \omega}=0 .
\end{array}
\]

Что касается величины $V$, то, так как она зависит от сил, действующих на тело, она равна нулю в том случае, когда тело не находится под действием какойлибо силы; следовательно, в этом случае и три величины $\frac{\delta V}{\partial \rho}, \frac{\partial V}{\partial \psi}, \frac{\delta V}{\delta \omega}$ тоже равны нулю, и второе из указанных выше уравнений становится само по себе интегрируемым; однако общее интегрирование всех этих уравнений продолжает еще оставаться очень трудным.

Так как вообще $V=\mathbf{S}$ П $\mathrm{Dm}$, а П является алгебраической функцией расстояний $\bar{p}, \bar{q}, \ldots$ (п. 18), из которых каждое выражается через
\[
\sqrt{(x-\mathrm{f})^{2}+(y-\mathrm{g})^{2}+(z-\mathrm{h})^{2}},
\]

то, если через $\mathrm{f}, \mathrm{g}, \mathrm{h}$ обозначить координаты неподвижного центра сил, надо будет лишь произвести в функции II те же подстановки, что и выше, и тогда после интегрирования по всей массе тела мы получим выражение $V$ в функции $\varphi, \psi$, (, откуда путем обычного дифференцирования найдем значения $\frac{\delta V}{\partial \rho}, \frac{\delta V}{\partial \psi}, \frac{\delta V}{\delta \omega}$, которые тождественны с $\frac{\partial V}{\partial \rho}, \frac{\partial V}{\partial \psi}, \frac{\partial V}{\partial \omega}$. Так как в связи с этим здесь не возникает никаких затруднений, то мы на этом больше останавливаться не будем; отметим лишь, что указанные выше уравнения сводятся к тем уравнениям, которые я применил в своих первых исследованиях о ,ибрации Луны.
$\left.22^{*}\right)$. Хотя применение углов $\varphi, \psi$, () является как будто наиболее простым способом определения с помощью нашего метода уравнений вращения тела, тем не менее к этой цели можно придти еще более прямым путем и при әтом получить формулы, более изящные и во многих случаях более удобные для вычислений; для этого следует рассмотреть непосредственно ва-
*) Настоящий пункт принадлежит к числу тех, которые приведены не в том виде, в каком они были изложены в первом издании; выводы, которые здесь получаются, абсолютно тождественны с прежними выводами, но редақция упрощена ссылкой на пункт 15 , которого в первом издании не имеется. (Прим. Бертрана.)

риации величин $d P, d Q, d R$, данные формулами пункта 15 , т. е.
\[
\begin{array}{l}
\delta d P=d \delta P+d Q \delta R-d R \delta Q, \\
\delta d Q=d \delta Q+d R \delta P-d P \delta R, \\
\delta d R=d \delta R+d P \delta Q-d Q \delta P ;
\end{array}
\]

подставив эти значения в $\boldsymbol{T}$ и написав $p, q, r$ вместо $\frac{d P}{d t}, \frac{d Q}{d t}, \frac{d R}{d t}$, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\delta T=\frac{\partial T}{\partial p}\left(\frac{d \delta P}{d t}+q \delta R-r \delta Q\right)+ \\
+\frac{\partial T}{\partial q}\left(\frac{d \delta Q}{d t}+r \delta P-p \delta R\right)+\frac{\partial T}{\partial r}\left(\frac{d \delta R}{d t}+p \delta Q-q \delta P\right) .
\end{array}
\]

Что касается членов, связанных с вариацией $V$, то, так как $V$ становится алгебраической функцией $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \xi^{\prime \prime \prime}, \eta^{\prime}, \ldots$, после подстановки $x^{\prime}+a_{2}^{\prime}+b \xi^{\prime \prime}+$ $+c^{\prime}{ }^{\prime \prime}, y^{\prime}+a \eta^{\prime}+b \eta^{\prime \prime}+c \eta^{\prime \prime \prime}, z^{\prime}+a \zeta^{\prime}+b \zeta^{\prime \prime}+c^{\prime \prime \prime \prime}$, вместо $x, y, z$, а знак интеграла $\mathbf{S}$ относится только к $a, b, c$, следует лишь произвести дифференцирование по символу $\delta$ и затем нодставить вместо $\delta \xi^{\prime}, \delta \xi^{\prime \prime}, \ldots$ их выражения через $\delta P, \delta Q, \delta R$; так как
\[
\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime}}=\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime}}, \quad \frac{\delta V}{\delta \xi^{\prime \prime}}=\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}, \ldots,
\]

мы, таким образом, в этом уравнении получим следующие члены, происходящие от $\delta V$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime}}\left(\xi^{\prime \prime} \delta R-\xi^{\prime \prime \prime} \delta Q\right)+\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}\left(\xi^{\prime \prime \prime} \delta P-\xi^{\prime} \delta R\right)+ \\
+\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}\left(\xi^{\prime} \delta Q-\xi^{\prime \prime} \delta P\right)+\frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime}}\left(\eta^{\prime \prime} \hat{\delta} R-\eta^{\prime \prime \prime} \partial Q\right)+ \\
\text { + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Наконец, если сгруппировать все члены, умножающиеся на каждую из трех величин $\delta P, \delta Q, \delta R$, то мы получим общее уравнение следующего вида:
\[
(P) \hat{\partial} P+(Q) \delta Q+(R) \delta R=0,
\]

в котором
\[
\begin{array}{l}
(P)=\frac{d \frac{\partial T}{\partial p}}{d t}+q \frac{\partial T}{\partial r}-r \frac{\partial T}{\partial q}+\xi^{\prime \prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}+\eta^{\prime \prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime \prime}}+\xi^{\prime \prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}- \\
-\xi^{\prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \dot{\epsilon}^{\prime \prime \prime}}-\eta^{\prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime \prime \prime}}-\xi^{\prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \zeta^{\prime \prime \prime}}, \\
(Q)=\frac{d \frac{\partial T}{\partial q}}{d t}+r \frac{\partial T}{\partial p}-p \frac{\partial T}{\partial r}+\xi^{\prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}+\eta^{\prime} \frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime \prime \prime}}+\zeta^{\prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}- \\
-\xi^{\prime \prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime}}-\eta_{i}^{\prime \prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime}}-\xi^{\prime \prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}, \\
(R)=\frac{d \frac{\partial T}{\partial r}}{d t}+p \frac{\partial T}{\partial q}-q \frac{\partial T}{\partial p}+\xi^{\prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime}}+\eta^{\prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime}}+\zeta^{\prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime}}- \\
-\xi^{\prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}-\eta^{\prime} \frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime \prime}}-\zeta^{\prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}} . \\
\end{array}
\]
от друга и в то же время являются произвольными, то мы получим три следующих уравнения:
\[
(P)=0, \quad(Q)=0, \quad(R)=0,
\]

которые, будучи соединены с шестью условными уравнениями между девятью переменными $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}$, .. (т. 5), послужат для определения каждой из этих переменных.

При желании можно члены этого уравнения, зависящие от величины $V$, представить в более простом виде; действительно, так как $\boldsymbol{V}=\mathbf{S}$ П $\mathrm{Dm}$, то мы будем иметь (в силу того, что знак $\mathbf{S}$ совершенно не относится к переменным $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \ldots$ )
\[
\xi^{\prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime}}=\mathbf{S} \xi^{\prime \prime} \frac{\partial \mathrm{II}}{\partial \xi^{\prime}} D m, \quad \eta^{\prime \prime} \frac{\partial \gamma^{\prime}}{\partial \eta^{\prime}}=\mathbf{S} \eta^{\prime \prime} \frac{\partial \mathrm{II}}{\partial \eta^{\prime}} D m,
\]

а так как П является алгебраической функцией величин то легко видеть, что если варьировать в отдельности $a, b, c$, то мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime \prime \prime} \frac{\partial \Pi І}{c \xi^{\prime \prime}}+\eta^{\prime \prime \prime} \frac{\partial \mathrm{II}}{\partial \eta^{\prime \prime}}+\zeta^{\prime \prime \prime} \frac{\partial \mathrm{II}}{\partial \xi^{\prime \prime}}=b \frac{\partial \Pi}{\partial c}, \\
\xi^{\prime \prime} \frac{\partial \Pi І}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}+\eta^{\prime \prime} \frac{\partial \mathrm{II}}{\partial \eta^{\prime \prime \prime}}+\zeta^{\prime \prime} \frac{\partial \Pi}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}=c \frac{\partial \Pi}{\partial b}
\end{array}
\]

и так далее; таким образом, указанным путем мы получим
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}+\eta^{\prime \prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime \prime}}+\zeta^{\prime \prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}-\xi^{\prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}-\eta^{\prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime \prime \prime}}-\zeta^{\prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}= \\
=\mathbf{S}\left(b \frac{\partial \Pi}{c c}-c \frac{\partial \Pi}{\partial c}\right) D m, \\
\xi^{\prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}+\eta^{\prime} \frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime \prime \prime}}+\zeta^{\prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}-\xi^{\prime \prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime}}-\eta^{\prime \prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime}}-\zeta^{\prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime}}= \\
=\mathbf{S}\left(c \frac{\partial \Pi}{\partial a}-a \frac{\partial \Pi}{\partial c}\right) D m \\
\xi^{\prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime}}+\eta^{\prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime}}+\zeta^{\prime \prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime}}-\xi^{\prime} \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}-\eta^{\prime} \frac{\partial V}{\partial \eta^{\prime \prime}}-\zeta^{\prime} \frac{\partial V}{\partial \zeta^{\prime \prime}}= \\
=\mathbf{S}\left(a \frac{\partial \Pi}{\partial b}-b \frac{\partial I}{\partial a}\right) D m .
\end{array}
\]

Однако, хотя указанное выпе преобразование упрощает формулы, оно не упрощает вычислений, так как вместо одного интегрирования, связанного с $V$, теперь приходится шроизвести три интегрирования.
23. Кoгда расстояния центров сил от центра тела очень велики по сравнению с размерами этого тела, величину П можно свести к быстро сходящемуся ряду, члены которого пропорциональны степеням и произведениям $a, b, c$, так что в этом случае интегрирование $\mathbf{S I D m}^{2}$ не вызывает никаких затруднений: таков случай планет, поскольку они взаимно притягиваются.

Если сила притяжения $\bar{P}$ просто пропорциональна расстоянию $\bar{p}$, так что $\bar{P}=k \bar{p}$, где $k$ – постоянный коэффициент, то член $\mathbf{S} \bar{P} d \bar{p}$ выражения функции II (п. 18) становится равным $\frac{k \bar{p}^{2}}{2}$, а так как $\bar{p}$ вообще выражается через $\sqrt{(x-\mathrm{f})^{2}+(y-\mathrm{g})^{2}+(z-\mathrm{h})^{2}}$, где $\mathrm{f}, \mathrm{g}$, h обозначают координаты центра сил, то рассматриваемые члены дадут следующие выражения:
\[
\frac{k}{2}\left[(x-\mathrm{f})^{2}+(y-\mathrm{g})^{2}+(z-\mathrm{h})^{2}\right] .
\]

Следовательно, если вместо $x, y, z$ подставить их значения $x^{\prime}+\xi, y^{\prime}+\eta, z^{\prime}+\zeta$, умножить на $D m$ и проинтегрировать по знаку $\mathbf{S}$, то в выражении $V=\mathbf{S} \Pi D m$ мы получим следующие члены:
\[
\begin{array}{l}
\frac{k}{2}\left[\left(x^{\prime}-\mathrm{f}\right)^{2}+\left(y^{\prime}-\mathrm{g}\right)^{2}+\left(z^{\prime}-\mathrm{h}\right)^{2}\right] \mathbf{S} D m+ \\
+k\left(x^{\prime}-\mathrm{f}\right) \mathbf{S} \xi D m+k\left(y^{\prime}-\mathrm{g}\right) \mathbf{S} \eta D m+ \\
\quad+k\left(z^{\prime}-\mathrm{h}\right) \mathbf{S} \zeta D m+\frac{k}{2} \mathbf{S}\left(\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}\right) D m .
\end{array}
\]

Ho
\[
\begin{array}{l}
\xi=a \xi^{\prime}+b \xi^{\prime \prime}+c \xi^{\prime \prime \prime}, \\
\eta=a \eta^{\prime}+b \eta^{\prime \prime}+c \eta^{\prime \prime \prime}, \\
\zeta=a \zeta^{\prime}+b \zeta^{\prime \prime}+c \zeta^{\prime \prime \prime} ;
\end{array}
\]

следовательно,
\[
\mathbf{S} \xi D m=\xi^{\prime} \mathbf{S} a D m+\xi^{\prime \prime} \mathbf{S} b D m+\xi^{\prime \prime \prime} \mathbf{S} c D m
\]

и так далее для других членов; и (п. 5)
\[
\mathbf{S}\left(\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}\right) D m=\mathbf{S}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) D m
\]

будет равна постоянной величине, которую мы обозначим через $E$.

Но если за произвольный центр тела принять его центр тяжести, то, как мы уже видели раньше (п. 19), у нас будет
\[
\mathbf{S} \text { a } d m=0, \quad \mathbf{S} b D m=0, \quad \mathbf{S} c D m=0 .
\]

Таким образом, в этом случае величина $V$ будет содержать в себе только следующие члены, связанные с рассматриваемой силой,
\[
\frac{k}{2}\left[\left(x^{\prime}-\mathrm{f}\right)^{2}+\left(y^{\prime}-\mathrm{g}\right)^{2}+\left(z^{\prime}-\mathrm{h}\right)^{2}\right]+\frac{k}{2} E,
\]

так что все частные производные $\frac{\partial V}{c \xi^{\prime}}, \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}, \ldots$ будут равны нулю.

Отсюда следует, что действие этой силы по отношению к вращательному движению вокруг центра тяжести равно нулю.

Так как приведенное выше выражение $V$ с точностью до постоянной величины $\frac{k E}{2}$ имеет тот же вид, как если бы все тело было сосредоточено в своем центре, когда $x=x^{\prime}, y=y^{\prime}, z=z^{\prime}$, то мы получим для поступательного движения этого центра те же самые уравнения, какие у нас были бы, если бы тело было сведено к одной точке; действительно, частные производные $V$ по переменным $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ будут те же, что и в только что указанном случае.

Если бы мы пожелали рассматривать данное тело как тяжелое тело, то, приняв ускоряющую силу тяжести за единицу и допустив, что ось $z$ направлена вертикально сверху вниз, мы получили бы
\[
\bar{P}=1 \quad \text { и } \quad \vec{p}=\mathrm{h}-z ;
\]

следовательно,
\[
\int P d p=\mathrm{h}-z=\mathrm{h}-z^{\prime}-a \zeta^{\prime}-b \zeta^{\prime \prime}-c \zeta^{\prime \prime \prime} ;
\]

таким образом, вследствие тяжести тела величина $V$ будет содержать в себе члены
\[
\left(\mathrm{h}-z^{\prime}\right) \mathbf{S} D m-\zeta^{\prime \prime} \mathbf{S} a D m-\zeta^{\prime \prime} \mathbf{S} b D m-\zeta^{\prime \prime \prime} \mathbf{S} c D m .
\]

Итак, в том случае, когда центр тела взят в центре его тяжести, члены, содержащие переменные $\zeta^{\prime}, \zeta^{\prime \prime}, \ldots$, исчезают и, следовательно, как и в предыдущем случае, действие тяжести на вращение сводится к нулю. Значение $V$, поскольку оно происходит от силы тяжести, сводится тогда к ( $\left.\mathrm{h}-z^{\prime}\right) \mathbf{S} D m$, т. е. к той величине, какая получилась бы, если бы тело было сведено к одной точке, сохраняя свою массу $\mathbf{S D m}$; следовательно, поступательное движение тела будет таким же, каким оно было бы в этом случае,