Положим, как в пункте 1 ,
\[
x=x^{\prime}+\xi, \quad y=y^{\prime}+\eta, \quad z=z^{\prime}+\zeta
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\xi=a \xi^{\prime}+b \xi^{\prime \prime}+c \xi^{\prime \prime \prime}, \\
\eta=a \eta^{\prime}+b \eta^{\prime \prime}+c \eta^{\prime \prime \prime}, \\
\zeta=a \zeta^{\prime}+b \xi^{\prime \prime}+c \xi^{\prime \prime \prime} .
\end{array}
\]

Эти формулы естественным образом выражают три вида движений, которые система может совершать. Переменные $x^{\prime}$, $y^{\prime}, z^{\prime}$ являются координатами некоторой точки системы, которую можно рассматривать в качестве ее центра, и они определяют общее движение всей системы. Девять переменных $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \xi^{\prime \prime \prime}, \eta^{\prime}, \ldots$, между которыми существует песть условных уравнений (п. 2), определяют вращательное движение всей системы вокруг ее центра. Наконец, величины $a, b, c$ зависят только от взаимных расстояний между телами и служат для определения их взаимных движений.

Если взять центр системы в какой-нибудь неподвижной точке, если подобная точка имеется в системе, или в ее центре тяжести, если система свободна, то мы будем иметь общую формулу (отд. III, п. 6)
\[
\mathbf{S}_{m}\left(\frac{d^{2} \xi \delta \zeta+d^{2} \eta \delta \eta+d^{2} \xi \delta \xi}{d t^{2}}+X \hat{\jmath} \hat{\zeta}+Y \delta \eta+Z \delta \xi\right)=0,
\]

в которой следует еще добавить члены
\[
\lambda \hat{\delta} L+\mu \hat{\delta} .
u+
u \hat{\delta} N+\ldots,
\]

обязанные своим происхождением условным уравнениям
\[
L=0, \quad M=0, \quad N=0, \ldots,
\]

и тогда мы получим общее уравнение движения системы (отд. IV, I. 11).

Теперь следует вместо переменных $\xi, \eta, \zeta$ подставить их выражения через $a, b, c, \xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \ldots$, приведенные в предыдущем пункте. Но если в выражениях пункта 14 для $d \xi$, $d \eta, d \zeta$ символ $d$ заменить символом $\delta$, что допустимо, то мы получим
\[
\begin{array}{l}
\delta \hat{\xi}=\xi^{\prime} \delta a^{\prime}+\xi^{\prime \prime} \delta b^{\prime}+\xi^{\prime \prime \prime} \delta c^{\prime}, \\
\delta \eta=\eta^{\prime} \delta a^{\prime}+\eta^{\prime \prime} \delta b^{\prime}+\eta^{\prime \prime \prime} \delta c^{\prime}, \\
\delta \xi=\zeta^{\prime} \delta a^{\prime}+\zeta^{\prime \prime} \delta b^{\prime}+\zeta^{\prime \prime \prime} \delta c^{\prime},
\end{array}
\]

гце $\delta a^{\prime}, \delta b^{\prime}, \delta c^{\prime}$ имеют следующие значения:
\[
\begin{array}{l}
\delta a^{\prime}=\delta \boldsymbol{\delta} a+c \hat{\delta} Q-b \hat{\delta} R, \\
\delta b^{\prime}=\delta b+a \delta R-c \delta P, \\
\hat{\delta} c^{\prime}=\hat{\delta} c+b \hat{\delta} P-a \hat{\delta} Q ; \\
\end{array}
\]

если в выражении $d^{2} \xi \delta \xi+d^{2} \eta \delta \eta+d^{2} \zeta \delta \xi$ произвести эти подстановки, а также подставить значения $d^{2} \xi, d^{2} \eta, d^{2} \xi$, указанные в приведенном выше пункте, то, в силу уэловных уравнений пункта 6 , әто выражение примет следующий вид:
\[
d^{2} a^{\prime \prime} \delta a^{\prime}+d^{2} b^{\prime \prime} \delta b^{\prime}+d^{2} c^{\prime \prime} \delta c^{\prime} .
\]

Равным образом величина $X \delta \xi+Y \delta \eta+Z \delta \zeta$ превратится в следующую:
\[
X^{\prime} \delta a^{\prime}+Y^{\prime} \delta b^{\prime}+Z^{\prime} \delta c^{\prime},
\]

если для краткости положить
\[
\begin{array}{l}
X^{\prime}=\xi^{\prime} X+\eta^{\prime} Y+\zeta^{\prime} Z, \\
Y^{\prime}=\xi^{\prime \prime} X+\eta^{\prime \prime} Y+\xi^{\prime \prime} Z, \\
Z^{\prime}=\xi^{\prime \prime \prime} X+\eta^{\prime \prime \prime} Y+\xi^{\prime \prime \prime} Z .
\end{array}
\]

Еели допустить, что система может свободно вращатьен во всех направлениях вокруг своего центра, то легко видеть, что условные уравнения
\[
L=0, \quad M=0, \quad N=0, \ldots,
\]

заданные природой системы, не могут содержать координат $a, b, c$, определяющих взаимное расположение тел. Стало быть, величины $L, M, N, \ldots$ могут быть лишь функциями $a, b, c$, относящихся к различным телам.

Следовательно, если отдельно приравнять нулю члены общего уравнения, которые умножаются на вариации $\delta P, \delta Q$, $\delta R$, являющиеся общими для всех тел системы, а также те члены, которые умножаются на вариации $\delta a, \delta b$, $c$, относящиеся к кажтому из этих тел, то для всей системы в целом мы сначала получим три уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}_{m}\left(\frac{a d^{2} b^{\prime \prime}-b d^{2} a^{\prime \prime}}{d t^{2}}+a Y^{\prime}-b X^{\prime}\right)=0 \\
\mathbf{S}_{m}\left(\frac{c d^{2} a^{\prime \prime}-a d^{2} c^{\prime \prime}}{d t^{2}}+c X^{\prime}-a Z^{\prime}\right)=0 \\
\mathbf{S}_{m}\left(\frac{b d^{2} c^{\prime \prime}-c d^{2} b^{\prime \prime}}{d t^{2}}+b Z^{\prime}-c Y^{\prime}\right)=0
\end{array}
\]

а затем для каждого из тел системы получим следующие уравнения:
\[
\begin{array}{l}
m\left(\frac{d^{3} a^{\prime \prime}}{d t^{2}}+X^{\prime}\right)+\lambda \frac{\partial L}{\partial a}+
u \frac{\partial M}{\partial a}+
u \frac{\partial N}{\partial a}+\ldots=0, \\
m\left(\frac{d^{2} b^{\prime \prime}}{d t^{2}}+Y^{\prime}\right)+\lambda \frac{d L}{\partial b}+\mu \frac{\partial M}{\partial b}+
u \frac{\partial N}{\partial b}+\ldots=0, \\
m\left(\frac{d^{2} c^{\prime \prime}}{\partial t^{2}}+Z^{\prime}\right)+\lambda \frac{\partial L}{\partial c}+\mu \frac{\partial M}{\partial c}+
u \frac{\partial N}{d c}+\ldots=0 .
\end{array}
\]

Если же система представляет собою твердое тело, составленное из элементов $D \mathrm{~m}$, для которых кординаты $a, b, c$ являются постоянными по отношению ко времени $t$, то мы будем иметь
\[
d a=0, \quad d b=0, \quad d c=0 ;
\]

следовательно,
\[
d a^{\prime}=c d Q-b d R, \quad d b^{\prime}=a d R-c d P, \quad d c^{\prime}=b d P-a d Q,
\]

а отсюда
\[
\begin{array}{l}
d^{2} a^{\prime \prime}=c d^{2} Q-b d^{2} R+b d P d Q+c d P d R-a\left(d Q^{2}+d R^{2}\right), \\
d^{2} b^{\prime \prime}=a d^{2} R-c d^{2} P+a d P d Q+c d Q d R-b\left(d P^{2}+d R^{2}\right), \\
d^{2} c^{\prime \prime}=b d^{2} P-a d^{2} Q+a d P d R+b d Q d R-c\left(d P^{2}+d Q^{2}\right) .
\end{array}
\]

Если әти значения подставить в предыдущие уравнения, за оси координат $a, b, c$ взять три главные оси тела, что даст нам (отд. III, II. 28)
\[
\mathbf{S} a b D m=0, \quad \mathbf{S} a c D m=0, \quad \mathbf{S} b c D m=0,
\]

если положить
\[
\mathbf{S} a^{2} L m=1, \quad \mathbf{S} b^{2} D m=\mathrm{m}, \quad \mathbf{S} c^{2} D m=\mathrm{n},
\]

то при допущении, что ускоряющие силы равны нулю, мы получим
\[
\begin{array}{l}
(\mathrm{l}+\mathrm{m}) \frac{d^{2} R}{d t^{2}}+(\mathrm{l}-\mathrm{m}) \frac{d P d Q}{d t^{2}}=0, \\
(\mathrm{l}+\mathrm{n}) \frac{d^{2} Q}{d t^{2}}+(\mathrm{n}-\mathrm{l}) \frac{d P d R}{d t^{2}}=0, \\
(\mathrm{~m}+\mathrm{n}) \frac{d^{2} P}{d t^{2}}+(\mathrm{m}-\mathrm{n}) \frac{d Q d R}{d t^{2}}=0 .
\end{array}
\]

Эти уравнения находятся в согласии с теми уравнениями, которые иным путем были найдены нами в отделе III, так как величины $\frac{d P}{d t}, \frac{d Q}{d t}, \frac{d R}{d t}$ являютея скоростями врапения вокруг трех главных осей тела, которые в уравнениях названного выше пункта мы обозначили через $\dot{\psi}, \dot{\omega}, \dot{\varphi}$. Они одновременно доказывают правильность последних уравнений, которые могли бы вызвать некоторые сомнения вследствие перехода от неподвижных осей к движущимся, но приведенный выше анализ, делающий общую формулу независимой от положения осей вращения, узаконивает этот переход.

Мы гидели, что в том же самом случае твердого тела, не находящегося под действием какой-либо ускоряющей силы, уравнения площадей оказываются интегрируемыми (отд. III, п. 9). Следовательно, если произвести указанные выше подстановки в интегральных уравнениях, то мы получим уравнения, которые будут интегралами уравнений предыдущего пункта.

Если сначала подставить значения $\xi, \eta, d \xi, d \eta$ в выражение $\varepsilon d \eta-\eta d \xi$, то мы получим
\[
\begin{aligned}
\xi d \eta-\eta d \xi & =\left(b d c^{\prime}-c d b^{\prime}\right)\left(\xi^{\prime \prime} \eta^{\prime \prime \prime}-\eta^{\prime \prime} \xi^{\prime \prime \prime}\right)+ \\
& +\left(c d a-a d c^{\prime}\right)\left(\eta^{\prime} \xi^{\prime \prime \prime}-\xi^{\prime} \eta^{\prime \prime \prime}\right)+\left(a d b^{\prime}-b d a^{\prime}\right)\left(\xi^{\prime} \eta^{\prime \prime}+\eta^{\prime} \xi^{\prime \prime}\right)
\end{aligned}
\]

следовательно, на основании формул пункта 6
\[
\xi d \eta-\eta d \xi=\left(b d c^{\prime}-c d b^{\prime}\right) \xi^{\prime \prime}+\left(c d a^{\prime}-a d c^{\prime}\right)_{\xi^{\prime \prime}}+\left(a d b^{\prime}-b d a^{\prime}\right)_{\sigma^{\prime \prime \prime}} .
\]

Точно так же мы найдем
$\zeta d \xi-\xi d \zeta=\left(b d c^{\prime}-c d b^{\prime}\right) \eta^{\prime}+\left(c d a^{\prime}-a d c^{\prime}\right) \eta^{\prime \prime}+\left(a d b^{\prime}-b d a^{\prime}\right) \eta^{\prime \prime \prime}$,
$\eta d \zeta-\zeta d \eta=\left(b d c^{\prime}-c d b^{\prime}\right) \xi^{\prime}+\left(c d a^{\prime}-a d c^{\prime}\right) \xi^{\prime \prime}+\left(a d b^{\prime}-b d a^{\prime}\right) \xi^{\prime \prime \prime}$.

Если эти выражения умножить на $\frac{D m}{d t}$, поставить впереди иих знак $\mathbf{S}$ и после подстановки значений $d a^{\prime}, d b^{\prime}, d c^{\prime}$ голожить
\[
\begin{array}{c}
d a=0, \quad d b=0, \quad d c=0, \\
\mathbf{S} a b D m=0, \quad \mathbf{S} b^{2} L m=\mathrm{m}, \quad \mathbf{S} b c D m=0, \\
\mathbf{S} a^{2} D m=1, \quad \mathbf{S} a c D m=0, \quad \mathbf{S} c^{2} D m=\mathrm{n}
\end{array}
\]

и затем приравнять их постоянным величинам $C, B, A$, то мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
(\mathrm{m}+\mathrm{n}) \frac{d P}{d t} \zeta^{\prime}+(1+\mathrm{n}) \frac{d Q}{d t} \xi^{\prime \prime}+(1+\mathrm{m}) \frac{d R}{d t} \xi^{\prime \prime \prime}=C, \\
(\mathrm{~m}+\mathrm{n}) \frac{d P}{d t} \eta^{\prime}+(1+\mathrm{n}) \frac{d Q}{d t} \eta^{\prime \prime}+(1+\mathrm{m}) \frac{d R}{d t} \eta^{\prime \prime \prime}=B, \\
(\mathrm{~m}+\mathrm{n}) \frac{d P}{d t} \xi^{\prime}+(\mathrm{l}+\mathrm{n}) \frac{d Q}{d t} \xi^{\prime \prime}+(1+\mathrm{m}) \frac{d R}{d t} \xi^{\prime \prime \prime}=A,
\end{array}
\]

откуда с помощью условных уравнений пункта 3 мы тотчас же получим
\[
\begin{array}{l}
(\mathrm{m}+\mathrm{n}) \frac{d P}{d t}=A \xi^{\prime}+B \eta^{\prime}+C \zeta^{\prime} \\
(1+\mathrm{n}) \frac{d Q}{d t}=A \xi^{\prime \prime}+B \eta^{\prime \prime}+C \zeta^{\prime \prime} \\
(1+\mathrm{m}) \frac{d R}{d t}=A \xi^{\prime \prime \prime}+B \eta^{\prime \prime \prime}+C \zeta^{\prime \prime \prime}
\end{array}
\]

Эти уравнения совшадают с уравнениями пункта 31 отдела III, в которых $\dot{\psi}^{\prime}, \dot{\omega}^{\prime}, \dot{\rho}^{\prime}$ представляют собою то же самое, что $\frac{d P}{d t}, \frac{d Q}{d t}, \frac{d R}{d t}$ и где коэффициенты $\alpha, \beta, \gamma, \alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}, \ldots$ соответствуют $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \xi^{\prime \prime \prime}, \eta^{\prime}, \eta^{\prime \prime}, \ldots$

Если сложить квадраты трех предыдущих уравнений, то, в силу условных уравнений пункта 5 , мы тотчас же получим уравнение между $d P, d Q, d R$ и $d t$; это уравнение будет иметь следующий вид:
\[
(\mathrm{m}+\mathrm{n})^{2} \frac{d P^{2}}{d t^{2}}+(1+\mathrm{n})^{2} \frac{d Q^{2}}{d t^{2}}+(1-\mathrm{m})^{2} \frac{d R^{2}}{d t^{2}}=A^{2}+B^{2}+C^{2} ;
\]

пользуясь им, можно будет одну из трех переменных $\frac{d P}{d t}$, $\frac{d Q}{d t}, \frac{d R}{d t}$ определить с помощью двух других.

В этом же случае твердого тела, не находящегося под действием какой-либо ускоряющей силы, можно получить второе уравнение между рассматриваемыми переменными, пользуясь уравнением живых сил; в самом деле, если сложить квадраты величин $\frac{d \xi}{d t}, \frac{d \eta}{d t}, \frac{d \zeta}{d t}$, то, в силу условных уравнений, мы получим (п. 13)
\[
\frac{d \zeta^{2}+d \eta^{2}+d \xi^{2}}{d t^{2}}=\frac{d a^{\prime 2}+d b^{\prime 2}+d c^{\prime 2}}{d t^{2}} ;
\]

следовательно, если все члены снабдить знаком $\mathbf{S}$, умножив их шредварительно на $D m$, то мы получим вообще для любой системы при отсутствии ускоряющих сил (отд. III, I. 35)
\[
\mathbf{S}\left(\frac{d a^{\prime 2}+d b^{\prime 2}+d c^{\prime 2}}{d t}\right) D m=E .
\]

В случае твердого тела мы имеем
\[
d a=0, d b=0, \quad d c=0 ;
\]

стало быть,
\[
\begin{array}{l}
d a^{\prime 2}=c^{2} d Q^{2}-2 b c d Q d R+b^{2} d R^{3}, \\
d b^{\prime 2}=a^{2} d R^{2}-2 a c d P d R+c^{2} d P^{2}, \\
d c^{\prime 2}=b^{2} d P^{2}-2 a b d P d Q+a^{2} d Q^{2} .
\end{array}
\]

Следовательно, если, как и выше, положить
\[
\mathbf{S} a b D m=0, \quad \mathbf{S} a c D m=0, \quad \mathbf{S} b c D m=0
\]

и
\[
\mathbf{S} a^{2} D m=1, \quad \mathbf{S} b^{2} D m=\mathrm{m}, \quad \mathbf{S} c^{2} D m=\mathrm{n},
\]

то мы получим
\[
(\mathrm{m}+\mathrm{n}) \frac{d P^{2}}{d t^{2}}+(1+\mathrm{n}) \frac{d Q^{2}}{d t^{2}}+(1+\mathrm{m}) \frac{d R^{2}}{d t^{2}}=E .
\]

Таким образом, здесь мы имеем две из трех переменных $\frac{d P}{d t}, \frac{d Q}{d t}, \frac{d R}{d t}$, выраженные через третью, но значение последней можно получить только путем интегрирования одного из трех приведенных выше дифференциальных уравнений. Далее, для того, чтобы получить конечное значение координат $\xi, \eta, \zeta$ какой-либо точки тела, следует еще установить знічения величин $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \xi^{\prime \prime \prime}, \ldots$; как уже было указано выше (отд. IX, п. 29), этого можно достичь, комбинируя шесть условных уравнений между әтими девятью величинами.