15. Возьмем начало координат в точке подвеса маятника и ось $z$-ов предположим направленной по вертикали сверху вниз; однако вместо прямоугольных координат $x, y, z$ возьмем радиус $r$, который служит длиной маятника, и два угла $\psi$ и $\varphi$, из которых первый является углом наклона маятника к вертикальной линии, а второй представляет собою угол, описываеемый маятником при вращении его вокруг вертикальной линии. В таком случае мы будем иметь
\[
x=r \sin \psi \cos \varphi, \quad y=r \sin \psi \sin \varphi, \quad z=r \cos \psi,
\]

и величина $T$, в силу постоянства $r$, примет вид
\[
T=\frac{r^{2}\left(\sin ^{2} \psi d \rho^{2}+d \psi^{2}\right)}{2 d t^{2}} .
\]

Следует отметить, что применяемый здесь нами угол $\psi$ является дополнением до $90^{\circ}$ угла $\psi$, который 14 ж. Лагранж, т. II

мы применяли до сих пор и который выражал угол наклона радиуса $r$ к горизонтальной плоскости, между тем как в настоящем случае он выражает угол наклона к вертикальной линии.

Сила $R$, нашравленная к центру радиусов $r$, равна нулю; сила $Q$ может быть рассматриваема как сила тяжести, которую обозначим через $g$; так как она должна действовать параллельно координате $z$ и стремиться увеличить эту координату-в то время как сила $Q$, по нашему представлению, стремится уменьшить расстояние $q$,-следует положить
\[
d q=-d z=-d(r \cos \psi),
\]

считая, что дентр этой силы удалился в босконечность. Таким образом, мы будем иметь просто
\[
\hat{\delta} V=-g \delta r \cos \psi=g r \sin \psi \dot{\psi} .
\]

Стало быть, уравнения относительно $\psi$ и ч по разделении на $r^{2}$ дадут
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} \psi}{d t^{2}}-\frac{\sin \psi \cos \psi d \rho^{2}}{d t^{2}}+\frac{g}{r} \sin \psi & =0, \\
\frac{d\left(\sin ^{2} \psi d o\right)}{d t^{2}} & =0 .
\end{aligned}
\]

Второе из этих уравнений имеет интеграл
\[
\frac{\sin ^{2} \psi d \rho}{d t}=C,
\]

а если значение $d ?$, найденное из этого уравнения, подставить в первое, то оно примет вид
\[
\frac{d^{2} \psi}{d t^{2}}-\frac{C^{2} \cos \psi}{\sin ^{3} \psi}+\frac{g}{r} \sin \psi=0 ;
\]

умножив последнее на $2 d \psi$ и проинтегрировав, получим
\[
\frac{d \psi^{2}}{d t^{2}}+\frac{C^{2}}{\sin ^{2} \psi}-2 \frac{g}{r} \cos \psi=E,
\]

где $C$ и $E$-две постоянные, зависящие от начального состояния.

Последнее уравнение тотчас же дает
\[
d t=\frac{\sin \psi d \psi}{\sqrt{\left(E+2 \frac{g}{r} \cos \psi\right) \sin ^{2} \psi-C^{2}}},
\]

а так как из первого мы имеем $d \varphi=\frac{C d t}{\sin ^{2} \psi}$, то мы получаем
\[
d \varphi=\frac{C d \psi}{\sin \psi \sqrt{\left(E+\frac{2 g}{r} \cos \psi\right) \sin ^{2} \psi-C^{2}}} ;
\]

в этих уравнениях переменные разделены, но правые части их могут быть проинтегрированы лишь путем спрямления конических сечений $\left[{ }^{26}\right]$.

Уравнение относительно $t$ и \& дает время, затрачиваемое маятником на то, чтобы описать в вертикальной плоскости угол $\psi$; уравнение для : и $\psi$ дает кривую, описываемую телом, образующим маятник; эта кривая представляет собою некоторый вид сферической спирали. Положив $r \sin \psi=p$, мы получим уравнение, которое будет уравнением проекшии этой спирали на горизонтальную плоскость; это будет уравнение между радиусом-вектором $\rho$ и углом $\varphi$, описанным этим радиусом вокруг вертикальной линии.
16. Если величину, стоящую под знаком корня, приравнять нулю, то мы получим уравнение
\[
\left(E+\frac{2 g}{r} \cos \psi\right) \sin ^{2} \psi-C^{2}=0,
\]

которое даст наибольшие и наименьшие значения угла наклона $\psi$. В силу равенства $\sin ^{2} \psi=1-\cos ^{2} \psi$, это уравнение будет уравнением третьей степени по отношению к неизвестной $\cos \psi$; следовательно, оно будет заведомо иметь один вещественный корень; но, в силу самой природы задачи, легко видеть, что не может существовать максимума $\dot{\psi}$ без того, чтобы одновременно не существовало и минимума, и наоборот. Отсюда следует, что все три корня обязательно
будут вещественными*), причем два корня дадут максимум, а третий даст минимум.

Обозначим через $\alpha$ и $\beta$ наибольшее и наименьшее значения $\psi$; тогда мы будем иметь два уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\left(E+\frac{2 g}{r} \cos \alpha\right) \sin ^{2} \alpha-C^{2}=0, \\
\left(E+\frac{2 g}{r} \cos \beta\right) \sin ^{2} \beta-C^{2}=0,
\end{array}
\]

которые дают
\[
\begin{aligned}
E & =\frac{2 g\left(\cos \alpha \sin ^{2} \alpha-\cos \beta \sin ^{2} \beta\right)}{r\left(\sin ^{2} \beta-\sin ^{2} \alpha\right)}, \\
C^{2} & =\frac{2 g \sin ^{2} \alpha \sin ^{2} \beta(\cos \alpha-\cos \beta)}{r\left(\sin ^{2} \beta-\sin ^{2} \alpha\right)} ;
\end{aligned}
\]

эти выражения могут быть приведены к следующим, более простым:
\[
\begin{array}{l}
E=\frac{2 g\left(1-\cos ^{2} \alpha-\cos ^{2} \beta-\cos \alpha \cos \beta\right)}{r(\cos \alpha+\cos \beta)}, \\
C^{2}=\frac{2 g \sin ^{2} \alpha \sin ^{2} \beta}{r(\cos \alpha+\cos \beta)} .
\end{array}
\]

Подставим эти выражения в уравнение относительно $\cos \psi$, которое после перемены знаков примет следующий вид:
\[
\frac{2 g}{r} \cos ^{3} \psi+E \cos ^{2} \psi-\frac{2 g}{r} \cos \psi+C^{2}-E=0 ;
\]

в силу природы уравнений, левая часть рассматриваемого уравнения превратится в
\[
\begin{aligned}
\frac{2 g}{r}(\cos \psi-\cos \alpha) & (\cos \psi-\cos \beta) \times \\
& \times\left(\cos \psi+\cos \alpha+\cos \beta+\frac{E r}{2 g}\right) ;
\end{aligned}
\]
*) Это утверждение неточно; полином относительно $\cos \psi$ никогда не должкен менять знака и, следовательно, $\cos \psi$ должен быть всегда заключен между одними и теми же двумя корнями. Отсюда следует, что один из корней не соответствует ни максимуму, ни минимуму. (IIрим. Бертрана.)

последняя величина, будучи взята со знаком -, оказывается тождественной с величиной, стоящей под знаком корня в двух последних уравнениях предыдущего пункта.
Но мы имеем
\[
\cos \alpha+\cos \beta+\frac{E r}{2 g}=\frac{1+\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha+\cos \beta} ;
\]

следовательно, рассматриваемая величина равна
\[
\begin{aligned}
-\frac{2 g}{r}(\cos \psi-\cos \alpha) & (\cos \psi-\cos \beta) \times \\
& \times\left(\cos \psi+\frac{1+\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha+\cos \beta}\right) .
\end{aligned}
\]
17. Теперь положим
\[
\cos \psi=\cos \alpha \sin ^{2} \sigma+\cos \beta \cos ^{2} \sigma ;
\]

ясно, что значение $\beta$ величины $\psi$, которое, согласно предположению, должно быть наименьшим, соответствует $\sigma=0,2 \pi, 4 \pi, \ldots$ и что значение $\alpha$, которое должно быть наибольшим, соответствует $\sigma=\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$, $\frac{5 \pi}{2}, \ldots$, где $\pi$ равно двум прямым углам. Таким образом, мы будем иметь
\[
\begin{aligned}
& \cos \psi-\cos \alpha=(\cos \beta-\cos \alpha) \cos ^{2} \sigma, \\
& \cos \psi-\cos \beta=(\cos \alpha-\cos \beta) \sin ^{2} \sigma, \\
\cos \psi+ & \frac{1+\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha+\cos \beta}= \\
= & \frac{1+2 \cos \alpha \cos \beta+\cos ^{2} \alpha \sin ^{2} \sigma+\cos ^{2} \beta \cos ^{2} \sigma}{\cos \alpha+\cos \beta},
\end{aligned}
\]

сверх того, мы имеем
\[
\sin \psi d \psi=-d \cos \psi=2(\cos \beta-\cos \alpha) \sin \sigma \cos \sigma d \sigma,
\]

поэтому, произведя указанные подстановки в дифференциальном уравнении предыдущего пункта, мы приведем его к следующему виду:
\[
d t=\frac{2 d \sigma \sqrt{\cos \alpha+\cos \beta}}{\sqrt{\frac{2 g}{r}\left(1+2 \cos \alpha \cos \beta+\cos ^{2} \alpha \sin ^{2} \sigma+\cos ^{2} \beta \cos ^{2} \sigma\right)}} ;
\]

а положив для краткости
\[
\begin{array}{l}
x^{2}=\frac{\cos \alpha+\cos \beta}{2+4 \cos \alpha \cos \beta+\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta}, \\
\Sigma=\sqrt{1+x^{2}(\cos \beta-\cos \alpha) \cos 2 \sigma},
\end{array}
\]

мы преобразуем его в следующее:
\[
d t=\sqrt{\frac{r}{g}} \frac{2 x d \sigma}{\Sigma} .
\]

Затем мы получим
\[
\begin{aligned}
d \varphi=\frac{C d t}{\sin ^{2} \psi} & =\sqrt{\frac{2 g}{r}} \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sqrt{\cos \alpha+\cos \beta}} \frac{d t}{\sin ^{2} \psi}= \\
& =\frac{x \sqrt{2} \sin \alpha \sin \beta}{\sqrt{\cos \alpha+\cos \beta}}\left[\frac{d \sigma}{(1+\cos \psi) \searrow}+\frac{d \sigma}{(1-\cos \psi) \Sigma}\right],
\end{aligned}
\]

где вместо $\cos \psi$ надо будет подставить его выражение через $\cos 2 \sigma$
\[
\cos \psi=\frac{1}{2}(\cos \alpha+\cos \beta)+\frac{1}{2}(\cos \beta-\cos \alpha) \cos 2 \sigma .
\]

Проинтегрировав это уравнение в пределах от $\sigma=0$ до $\sigma=\frac{\pi}{2}$, мы получим время и угол вращения между наиболее низкой точкой, в которой угол наклона маятника к вертикальной линии равен $\beta$, и наиболее высокой точкой, где угол наклона равен $\alpha$; но эти интегрирования, вообще говоря, связаны со спрямлением конических сечений. Если значение $\varphi$, заключенное между этими двумя пределами $\sigma$, соизмеримо с $\pi$, то описываемая маятником спираль после некоторого числа оборотов замкнется; если же оно несоизмеримо с $\pi$, то спираль проделает бесконечно большое число различных оборотов.

18. Когда маятник совершает лишь очень малые отклонения вверх, так что углы $\alpha$ и $\beta$ очень мало отличаются друг от друга, то разность $\cos \beta-\cos \alpha$ тоже очень мала, и корень У может быть разложен в сходящийся ряд.
Положим
\[
x^{2}(\cos \beta-\cos \alpha)=\sin 2 \gamma=\frac{2 \operatorname{tg} \gamma}{1+\operatorname{tg}^{2} \gamma} ;
\]

тогда функция $\Sigma$ примет вид
\[
\Sigma=\cos \gamma \sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \gamma+2 \operatorname{tg} \gamma \cos 2} \sigma .
\]

Иррациональная функция
\[
\left(1+\operatorname{tg}^{2} \gamma+2 \operatorname{tg} \gamma \cos 2 \sigma\right)^{-\frac{1}{2}}
\]

может быть разложена в ряд следующего вида:
\[
A+B \cos 2 \sigma+C \cos 4 \sigma+D \cos 6 \sigma+\cdots ;
\]

если в последних формулах пункта 98 предыдущего отдела псложить
\[
\begin{array}{c}
\subsetneq=2 \sigma, \quad a^{\prime}=1, \quad a^{\prime \prime}=-\operatorname{tg} \gamma, \quad n=\frac{1}{2}, \\
n^{\prime}=\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}, \quad n^{\prime \prime}=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}, \ldots,
\end{array}
\]

то мы получим для коэффициентов этого ряда следующие значения:
\[
\begin{array}{l}
A=1+n^{2} \operatorname{tg}^{2} \gamma+n^{2} \operatorname{tg}^{4} \gamma+n^{\prime 2} \operatorname{tg}^{6} \gamma+\ldots, \\
B=-2\left(n \operatorname{tg} \gamma+n n^{\prime} \operatorname{tg}^{3} \gamma+n^{\prime} n^{\prime \prime} \operatorname{tg}^{5} \gamma+\ldots\right) \\
C=2\left(n^{\prime} \operatorname{tg}^{2} \gamma+n n^{\prime \prime} \operatorname{tg}^{4} \gamma+n^{\prime \prime} n^{\prime \prime \prime} \operatorname{tg}^{6} \gamma+\ldots\right) \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

Таким образом, после подстановки мы будем иметь
\[
d t=\sqrt{\frac{r}{s}} \frac{2 x}{\cos \gamma}(A+B \cos 2 \sigma+C \cos 4 \sigma+\cdots) d \sigma,
\]

а после интегрирования в пределах от 0 до $\sigma$ получим
\[
t=\sqrt{\frac{r}{g}} \frac{2 x}{\cos \gamma}\left(A \sigma+\frac{1}{2} B \sin 2 \sigma+\frac{1}{4} C \sin 4 \sigma+\ldots\right) .
\]

Ноложив $\sigma=\frac{\pi}{2}$, мы найдем время качания маятника от высшей до низшей точки; обозначив его через $T$, мы получим
\[
T=A \pi \sqrt{\bar{r}} \frac{x}{\cos \gamma} .
\]

Если через $T^{\prime}, T^{\prime \prime}, \ldots$ обозначить значения $t$, соответствующие
\[
\sigma=\frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \ldots,
\]

то мы будем иметь
\[
T^{\prime}=3 T, \quad T^{\prime \prime}=5 T, \ldots,
\]

откуда ясно, что маятник поднимается на одну и ту же высоту по истечении одного и того же времени $2 T$, которое, стало быть, и представляет собою продолжительность одного колебания.
19. Аналогичным путем можно определить и соответствующий угол $\varphi$; для этой цели следует положить
\[
\begin{array}{l}
\frac{\cos \beta-\cos \alpha}{2+\cos \alpha+\cos \beta}=\sin 2 \mu, \\
\frac{\cos \beta-\cos \alpha}{2-\cos \alpha-\cos \beta}=\sin 2
u ;
\end{array}
\]

тогда мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{1+\cos \psi}=\frac{2}{(2+\cos \alpha+\cos \beta) \cos ^{2} \mu\left(1+\operatorname{tg}^{2} \mu+2 \operatorname{tg} \mu \cos 2 \sigma\right)}, \\
\frac{1}{1-\cos \psi}=\frac{2}{(2-\cos \alpha-\cos \beta) \cos ^{2}
u\left(1+\operatorname{tg}^{2} \gamma-2 \operatorname{tg}
u \cos 2 \sigma\right)} .
\end{array}
\]

Если в тех же формулах пункта 98 (отд. VII) положить $n=1$, то мы будем иметь
\[
n^{\prime}=1, \quad n^{\prime \prime}=1, \ldots,
\]

следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\left(1+\operatorname{tg}^{2} \mu+2 \operatorname{tg} \mu \cos 2 \sigma\right)^{-1}= \\
\quad=(A)+(B) \cos 2 \sigma+(C) \cos 4 \sigma+(D) \cos 6 \sigma+\ldots,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
(A)=1+\operatorname{tg}^{2} \mu+\operatorname{tg}^{4} \mu+\operatorname{tg}^{6} \mu+\ldots=\frac{1}{1-\operatorname{tg}^{2} \mu}, \\
(B)=-2 \operatorname{tg} \mu\left(1+\operatorname{tg}^{2} \mu+\operatorname{tg}^{4} \mu+\ldots\right)=-\frac{2 \operatorname{tg} \mu}{1-\operatorname{tg}^{2} \mu}, \\
(C)=2 \operatorname{tg}^{2} \mu\left(1+\operatorname{tg}^{2} \mu+\operatorname{tg}^{4} \mu+\ldots\right)=\frac{2 \operatorname{tg}^{2} \mu}{1-\operatorname{tg}^{2} \mu}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

Таким образом, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\left(1+\operatorname{tg}^{2} \mu+2 \operatorname{tg} \mu \cos 2 \sigma\right)^{-1}= \\
=\frac{1}{1-\operatorname{tg}^{2} \mu}(1-2 \operatorname{tg} \mu \cos 2 \sigma+ \\
\left.+2 \operatorname{tg}^{2} \mu \cos 4 ;-2 \operatorname{tg}^{3} \mu \cos 6 \tau+\ldots\right) \text {. } \\
\end{array}
\]

Если этот ряд умножить на ряд
\[
A+B \cos 2 ;+C \cos 4 \sigma+\ldots,
\]

то произведение будет снова иметь вид
\[
A^{\prime}+B^{\prime} \cos 2 \sigma+C^{\prime} \cos 4 \sigma+\ldots,
\]

и мы будем иметь
\[
A^{\prime}=\frac{A-B \operatorname{tg} \mu+C \operatorname{tg}^{2} \mu-D \operatorname{tg}^{3} \mu \ldots}{1-\operatorname{tg}^{2} \mu} .
\]

Таким образом, мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{(1+\cos \psi)^{2}}= \\
=\frac{2}{(2+\cos \alpha+\cos \beta) \cos ^{2} \mu \cos \gamma}\left(A^{\prime}+B^{\prime} \cos 2 \sigma+C^{\prime} \cos 4 \sigma+\ldots\right) .
\end{array}
\]

Точно так же мы найдем
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{1-\cos \psi)
u^{2}}= \\
=\frac{2}{(2-\cos \alpha-\cos \beta) \cos ^{2}
u \cos \gamma}\left(A^{\prime \prime}+B^{\prime \prime} \cos 2 ;+C^{\prime \prime} \cos 4 \sigma+\ldots\right),
\end{array}
\]

откуда после подстановки – $у$ вместо « мы получим
\[
A^{\prime \prime}=\frac{A+B \operatorname{tg}
u+C \operatorname{tg}^{2}
u+D \operatorname{tg}^{3}
u+\ldots .}{1-\operatorname{tg}^{2}
u} .
\]

Произведя указанные подстановки в выражении для $d \varphi$ пункта 17 и проинтегрировав последнее таким образом, чтобы $?$ было равно 0 , когда $\sigma=0$, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\varphi=\frac{x \sqrt{2} \sin \alpha \sin \beta}{\sqrt{\cos \alpha+\cos \beta}}\left[\frac{2 A^{\prime} \circ+B^{\prime} \sin 2 \sigma+\frac{1}{2} C^{\prime} \sin 4 \sigma+\ldots}{(2+\cos \alpha+\cos \beta) \cos ^{2} \mu \cos \gamma}+\right. \\
\left.+\frac{2 A^{\prime \prime} \sigma+B^{\prime \prime} \sin 2 \sigma+\frac{1}{2} C^{\prime \prime} \sin 4 \sigma+\ldots}{(2-\cos \alpha-\cos \beta) \cos ^{2} v \cos \gamma}\right] \text {. } \\
\end{array}
\]

Положив $\sigma:=\frac{\pi}{2}$, мы найдем угол, заключенный между плоскостями, проходящими через вертикальную линию и через высшую и низшую точку кривой, описываемой маятником; если этот угол обозначить через ф, то мы будем иметь
\[
\begin{aligned}
\Phi= & \frac{\pi A^{\prime} \times \sqrt{2} \sin \alpha \sin \beta}{\sqrt{\cos \alpha+\cos \beta(2+\cos \alpha+\cos \beta) \cos ^{2} \mu \cos \gamma}}+ \\
& +\frac{\pi A^{\prime \prime} \times \sqrt{2} \sin \alpha \sin \beta}{\sqrt{\cos \alpha+\cos \beta(2-\cos x-\cos \beta) \cos ^{2} \gamma \cos \gamma}} .
\end{aligned}
\]

Так как все высшие точки, или вершины кривой, соответствуют $\sigma=\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \ldots$, то если $\Phi^{\prime}, \Phi^{\prime \prime}, \ldots$ суть значения $\varphi$, соответствующие $z=\frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \ldots$, то мы будем иметь
\[
\Phi^{\prime}=3 \Phi, \quad \Phi^{\prime \prime}=5 \mathrm{l}, \ldots
\]

Таким образом, угол, заключенный между двумя последовательными вершинами и соответствующий целому колебанию малтника, равен 2 \%.
20. Если предположить, что углы $\alpha$ и $\beta$ представляют собою очень малые величины первого порядка, то величина $\cos \beta-\cos \alpha$ будет очень малой величиной второго порядка, следовательно, и угол $\gamma$ тоже будет очень малой величиной второго порядка; поэтому, если пренебречь только очень малыми величинами четвертого порядка, мы будем иметь
\[
A=1, \quad \cos \gamma=1 ;
\]

следовательно,
\[
T=\pi \sqrt{\frac{r}{g}} \sqrt{\frac{\cos \alpha+\cos \beta}{2+4 \cos \alpha \cos \beta+\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta}},
\]

и $2 T$, с точностью до величин четвертого порядка, будут периодом полного колебания.

Если иренебречь величинами второго порядка, то указанная выше величина $T$ сведется к $\pi \sqrt{\frac{r}{g}}$; это-известное выражение для продолжительности очень малых колебаний маятника, длина которого составляет $r$; в этом выражении можно положить $g=1$; но изложенный выше анализ показывает, что рассматриваемая продолжительность остается одной и той же, каковы бы ни были колебания, – происходят ли они в вертикальной плоскости или же одновременно маятник выполняет вращательное движение вокруг вертикали.

Если сохранить величины второго порядка, можно приведенную выше формулу упростить, подставив вместо $\cos \alpha$ и $\cos \beta$ их приближенные значения $1-\frac{\alpha^{2}}{2}, 1-\frac{\beta^{2}}{2}$, верные до величин четвертого порядка; отбрасывая все время члены четвертого порядка, мы получим для продолжительности очень малых колебаний – с точностью до величин четвертого порядкаследующее выражение:
\[
\pi \sqrt{\frac{r}{g}}\left(1+\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{16}\right) .
\]
21. В том случае, когда угол $\beta$, соответствующий наиболее низкой точке, равен нулю, маятник всегда проходит через вертикальное положение, и колебания происходят в вертикальной плоскости; в самом деле, положив $\beta=0$, мы из формулы пункта 17 увидим, что угол $\varphi$ равен нулю: это-случай, который обычно рассматривается и который имеет место всякий раз, когда, отклонив маятник от вертикального направления на угол $\alpha$, ему предоставляют падать, не сообщив никакого имнульса; но как бы ни был мал толчок, сообщенный маятнику в направлении, не проходящем через вертикальную линию, он будет совершать колебания в форме конического движения, и угол $\beta$ не будет равен нулю.

Если в данном случае предположить, что и углы $\alpha$ и 3 тоже очень малы, и в первом приближении пренебречь очень малыми величинами второго порядка, то мы получим
\[
\begin{array}{c}
x=\frac{1}{2}, \quad \gamma=0, \quad A=1, \quad B=0, \quad C=0, \ldots, \\
\mu=0, \quad \sin 2
u=\frac{\alpha^{2}-\beta^{2}}{\alpha^{2}+\beta^{2}}, \quad A^{\prime}=1, \quad A^{\prime \prime}=\frac{1}{1+\operatorname{tg}^{2}
u}=\cos ^{2}
u
\end{array}
\]

следовательно,
\[
\left.\Phi=\frac{\pi x \beta}{\alpha^{2}+\beta^{2}} *\right)
\]

и $2 \Phi$ будет углом на вертикали, заключенным между двумя последовательными вершинами кривой. Следовательно, если отношение $\alpha$ к $\alpha^{2}+\beta^{2}$ рационально, то угол $2 \Phi$ будет находиться в рациональном отношении к углу $\pi$, равному двум прямым, и кривая, описываемая маятником, будет образована лишь определенным числом завитков, которые будут переходить один в другой; в противном случае кривая представит собою некоторый вид нешрерывной сыирали. Однако әти заключения являются лишь приближенными, $\qquad$
*) Эта формула неверна. Бравә, обративший мое внимание на этот недосмотр Лагранжа, передал мне исправленный расчет, который мы и приводим в конце настоящего тсма. (Прим. Бертрана.)

и для того, чтобы иметь более точные выводы, следует увеличить приближение, пользуясь данными нами выше рядами.

Настоящая задача была первоначально разрешена Клеро в Mémoires de l’Académie des Sciences за 1735 г., однако менее полно; найденные нами выше приближенные выводы совпадают с выводами Клеро, если в выражении для $T$ положить $\beta=0$ и в выражении для $\Phi$ положить $\beta=\alpha$.
22. Приведенные выше формулы имеют место, если угол а отличается от угла $\beta$, ибо, как бы ни была мала их разность, в вертикальных отклонениях маятника всегда имеются максимум и минимум; но если мы имеем в точности $\alpha=\beta$, то уже не существует ни максимума ни минимума; в этом случае маятник всегда образует один и тот же угол а с вертикальной линией и, следовательно, при своем движении он описывает конус с круговым основанием.

Подобное допущение возможно, так как в этом случае (п. 16 и 17) величина, стоящая в выражении для $d t$ под знаком радикала, имеет два равных множителя $\cos \psi-\cos \alpha$; следовательно, согласно теории, изложенной в пункте 83 предыдущего отдела, можно *) всегда полагать $\cos \psi=\cos \alpha$; это – случай конических колебаний, который был впервые рассмотрен Гюйгенсом.
В этом случае уравнение (г. 4)
\[
d \stackrel{\varphi}{\varphi}=\frac{C d t}{\sin ^{2} \psi}=\sqrt{\frac{g}{r \cos \alpha}} d t
\]

дает
\[
\varphi=t \sqrt{\frac{g}{r \cos \alpha}},
\]

так что время целого оборота маятника выразится через $2 \pi \sqrt{\frac{r \cos \alpha}{g}}$.
*) Следует читать: должно всегда полагать $\cos y=\cos \alpha$. (Iрим. Берірана.)

Для того чтобы этот случай имел место, маятник должен получить угловую скорость вращательного движения вокруг вертикальной линии, выражающуюся через
\[
\frac{d p}{d t}=\sqrt{\frac{g}{r \cos \alpha}}
\]

и зависящую лишь от высоты описываемого им конуса.
23. Если бы маятник двигался в среде, оказывающей сопротивление, пропорциональное квадрату скорости, причем плотность этой среды выражалась бы через $\Gamma$, то для получения уравнений его движения следовало бы к $\delta V$ прибавить члены (п. 2)
\[
\Gamma d s\left(\frac{\delta T}{\delta d \varphi} \delta \psi+\frac{\delta T}{\delta d \varphi} \delta \varphi\right),
\]

сохранив при этом для $T$ выражение пункта 11, в котором $r$ постоянно.

Таким образом, в данном случае к левой части первого дифференциального уравнения этого пункта следует прибавить член $\frac{\mathrm{I} d s d}{d t^{2}}$ и к левой части второго уравнения член $\frac{\Gamma \sin ^{2} \psi d s d p}{d t^{2}}$.

После прибавления указанных членов уравнения, которые без этого поддавались интегрированию, становятся неинтегрируемыми; однако в том случае, когда сопротивление очень мало по сравнению с силой тяжести, что имеет место при медленных движениях тел в воздухе, эти уравнения можно решить приближенно, подставив в членах, выражающих влияние сопротивления, те значения $\psi$ и $\varphi$ в функции $t$, которые имеют место в пустоте, и определив те малые величины, которые прибавляются к упомянутым значениям этими вполне известными членами.

Рассматриваемые два уравнения имеют следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} \psi}{d t^{2}}-\frac{\sin \psi \cos \psi d q^{2}}{d t^{2}}+\frac{g}{r} \sin \psi+\frac{\Gamma d s d \psi}{d t^{2}} & =0, \\
\frac{d\left(\sin ^{2} \psi d \vartheta\right)}{d t^{2}}+\frac{\Gamma \sin ^{2} \psi d s d}{d t^{2}} & =0 .
\end{aligned}
\]

Второе из них, будучи разделено на $\frac{\sin ^{2} \psi d ?}{d t^{2}}$ и затем проинтегрировано, дает
\[
\frac{\sin ^{2} \varphi d \varphi}{d t}=C \mathrm{i}-\mathrm{r} s
\]

где і -число, гиперболический логарифм которого равен единице.

Затем первое уравнение, будучи помножено на $2 d \psi$ и прибавлено ко второму уравнению, умноженному на $2 d \varphi$, дает интеграл
\[
\frac{d \psi^{2}+\sin ^{2} \psi d \varphi^{2}}{d t^{2}}-\frac{2 g \cos \psi}{r}+\frac{2 \Gamma}{r^{2}} \int \frac{d s^{2}}{d t^{2}} d s=E,
\]

ибо $r^{2}\left(d \psi^{2}+\sin ^{2} \psi d \psi^{2}\right)=d s^{2}$.
Таким образом, мы получаем те же самые дифференциальные уравнения, которые были найдены нами в пункте 11, если вместо $C$ подставить $C \mathrm{i}^{-\Gamma s}$ и вместо $E$ подставить $E-\frac{2 \Gamma}{r^{2}} \int \frac{d s^{2}}{d t^{2}} d s$; стало быть, действие сопротивления сводится к варьированию постоянных величин в общем решении, данном нами выше, в пункте 13, в котором мы не приняли во внимание сопротивления и где соотношения между переменными $\psi$, $\varphi$ и $t$ должны быть выведены из уравнений
\[
\frac{\sin ^{2} \psi d \varphi}{d t}=C, \quad \frac{d \psi^{2}}{d t^{2}}+\frac{C^{2}}{\sin ^{2} \iota}-2 \frac{g}{2} \cos \psi=E .
\]

Следовательно, если рассматривать величины $C$ и $E$ как переменные, то мы будем иметь
\[
d C=\mathrm{\Gamma} C d s, d E=-\frac{2 \Gamma}{r^{2}} \frac{d s^{2}}{d t^{2}} d s=-\frac{2 \mathrm{\Gamma}}{r^{2}}\left(E+\frac{2 g}{r} \cos \psi\right) d s
\]

II
\[
d s=\frac{\sin \psi \sqrt{E+\frac{2 g}{r} \cos \psi}}{\sqrt{E+\frac{2 g}{r} \cos \psi \sin ^{2} \psi-C^{2}}} d \psi .
\]

Когда маятник совершает лишь вертикальные колебания, мы имеем $C=0$ и, следовательно, $d s=d \psi$; уравнение относительно $E$ становится тогда интегрируемым, если его умножить на $\mathrm{i}^{\frac{2 \Gamma \psi}{I^{2}}}$; интегралом его является
\[
E^{\frac{2 \Gamma \psi}{r^{2}}}=(E)-\frac{2 \Gamma}{r^{2}} \int i^{\frac{2 \Gamma \psi}{\Gamma^{2}}} \cos \psi d \psi,
\]

где $(E)$ – произвольная постоянная, заменяющая собою постоянную $E$, которая стала переменной величиной. Но, интегрируя по частям, мы найдем
\[
\int \frac{2 \Gamma \psi}{\mathrm{i}^{\Gamma^{2}}} \cos \psi d \psi=\frac{\frac{2 \Gamma \psi}{\mathrm{i}^{\Gamma^{2}}}\left(\sin \psi-\frac{2 \Gamma}{r^{2}} \cos \psi\right)}{1+\frac{41^{2}}{r^{2}}} ;
\]

таким образом, мы получим
\[
E=(E) \mathrm{i}^{-\frac{2 \Gamma \psi}{r^{2}}} \frac{2 \Gamma}{r^{2}+4 \Gamma^{2}}\left(\sin \psi-\frac{2 \Gamma}{r^{2}} \cos \psi\right) ;
\]

таково то значение, которое следует подставить вместо $E$ в дифференциальное уравнение, дающее $t$ в функции $\psi ;$ а если допустить, что коэффициент I очень мал, можно легко определить измөнение, вызванное сопротивлением среды в значении времени $t$.
24. Если в случае маятника поступить подобно тому, как мы это только что делали, и принять за три координаты $r, \varphi, \psi$, то мы получим уравнение $r=a$, где $a$-заданная длина маятника; следовательно, согласно пункту 14 , поставив $r$ вместо ह, мы тотчас же получим значение $\lambda$, которое выразит силу, с какой натянута нить, удерживающая тело на сферической поверхности.
Эта сила выразится, таким образом, через
\[
\frac{\delta T}{\partial r}-d \frac{\delta T}{\delta d r}-\frac{\delta V}{\partial r}
\]

если вместо $T$ и $V$ подставить их полные выражения
\[
T=\frac{r^{2}\left(d \psi^{2}+\sin ^{2} \psi d \varphi^{2}\right)+d r^{2}}{2 d t^{2}}, \quad V=-g r \cos \psi
\]

и затем принять $r$ постоянным, то мы получим
\[
\frac{\delta T}{\delta d r}=0, \quad \frac{\delta T}{\delta r}=\frac{r\left(d \psi^{2}+\sin ^{2} \psi d \varphi^{2}\right)}{d t^{2}}, \quad \frac{\delta V}{\partial r}=\ldots \cos \psi,
\]

и следовательно,
\[
\lambda=r \frac{r\left(d \psi^{2}+\sin ^{2} \psi d \rho^{2}\right)}{d t^{2}}+g \cos \psi=\frac{2 T}{r}-\frac{V}{r} ;
\]

отметим, что здесь $2 T=u^{2}$ (п. 12); таким образом, натяжение нити маятника выразится через $\frac{u^{2}}{r}+g \cos \psi$.

Когда маятник движется в пустоте, то, согласно тому же пункту, мы имеем, если $c$-скорость при $џ=0$,
\[
u^{2}=2(H-V)=c^{2}-2 g r(1-\cos \psi),
\]

и натяжение, обозначенное через $\lambda$, определится следующим образом:
\[
\lambda=\frac{c^{2}}{r}-g(2-3 \cos \psi) .
\]
25. До сих шор мы предполагали, что длина маятника остается неизменной; но если бы длина маятника с течением времени непрерывно изменялась согласно известному закону, так что $r$ был бы заданной функцией $t$, то в этом случае следовало бы в дифференциальных уравнениях считать $r$ величиной переменной; однако, как в случае $r$ постоянного, мы и здесь имели бы $8 r=0$, и таким образом получили бы следующие уравнения:
\[
T=\frac{r^{2}\left(\sin ^{2} \psi d \dot{\psi}^{2}+d \psi^{2}\right)+d r^{2}}{2 d t^{2}}, \quad V=-g r \cos \dot{\psi} ;
\]

уравнения, относящегося к $r$, не существовало бы, но два других уравнения приняли бы следующий вид:
\[
d\left(r^{2} d \psi\right)–\frac{r^{2} \sin \psi \cos \psi d \tau^{2}}{d t^{2}}+g r \sin \psi=0, d \frac{r^{2} \sin ^{2} \psi d \varphi}{d t}=0 .
\]

Наконец, если бы нить, поддерживающая тело, была упругой и растяжимой, то, обозначив через $F$ силу, с которой нить стремится сократиться, и которая может быть лишь функцией $r$, следовало бы только прибавить $F \delta \gamma r$ к $\delta V$, и тогда в качестве уравнения, относящегося к $r$, мы получили бы нижеследующее уравнение:
\[
\frac{d^{2} r}{d t^{2}}-r \underbrace{\left.r \sin ^{2} \psi d \rho^{2}+d \psi^{2}\right)}_{d t^{2}}+F-g \cos \psi=0,
\]

остальные же два уравнения остались бы без изменения. В этом случае мы всегда имели бы интеграл
\[
T+V=H, \quad \text { где } \quad V=\int F d r-g r \cos \psi .
\]