15. Так как в солнечной системе сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния, то полоним $R=\frac{g}{r^2}$, где $g$-сила притяжения некоторой планеты к Солнцу на расстоннии $r=1$, откуда получается
$$\int Rdr=-\frac{g}{r}.$$

Подставляя это значение в уравнение между Фи $r$ (п. 11), мы видим, что подкоренное количество примет следующий вид:
$$2H+\frac{2g}{r}\dots \frac{D^2}{r^2},$$

что может быть представлено и следующим образом:
$$2H+\frac{g^2}{D^2}-{(\frac{D}{r}-\frac{g}{D})}^2;$$

тогда правая часть уравнения выразит дифференциал угла, косинус которого равен
$$\frac{\frac{D}{r}-\frac{g}{D}}{\sqrt{2H+\frac{g^2}{L^2}}},$$

так что, интегрируя, прибавив к $\mathrm{\Phi }$ произвольную постоянную $K$ и перейдя от дуг к их косинусам, мы получим
$$\frac{D}{r}-\frac{g}{D}=\sqrt{2H+\frac{g^2}{D^2}}\cos (\mathrm{\Phi }+K).$$

Как видно из этого уравнения, $r$ будет иметь наименьшее значение, когда угол $\mathrm{\Phi }+K$ равен нулю; но так как выше (л. 12) мы допустили, что угол Ф отсчитывается от той точки, которая соответствует минимуму $r$, то в данном случае мы имеем
$$K=0.$$

Положив для краткости
$$b=\frac{D^2}{g},e=\sqrt{1+\frac{2H{D}^2}{g^2}},$$

мы получим
$$r=\frac{b}{1+e\cos \mathrm{\Phi }}$$
— полярное уравнение конического сечения, в котором $b$ есть параметр и $e$-эксцентриситет, т. е. отношение фокусного расстояния к большой оси, $r$-радиус-вектор относительно одного из фокусов и Ф-угол, который этот радиус-вектор образует с той частью большой оси, которая соответствует наиболее близкой к этому фокусу вершине.

Так как наибольшее и наименьшее значения $r$ составляют $\frac{b}{1-e}$ и $\frac{b}{1+e}$, то их полусумма равна $\frac{b}{1-e^2}$; это — среднее расстояние, которое мы обозначим через $a$, так что будем иметь
$$b=a(1-e^2),$$

а если мы подставим сюда вместо $b$ и $e$ их выражения через $D$ и $H$, то получим
$$\frac{1}{a}=\frac{1-e^2}{b}=-\frac{2H}{g},$$

откуда видно, что для эллиптической орбиты постоянная $H$ должна быть отрицательной; если она равна нулю, то ось $2a$ будет бесконечно большой, и орбита будет параболической, но если она положительна, то ось $2a$ будет отрицательной*), и орбита будет гиперболической. В первом случае значение эксцентриситета будет меньше единицы, во втором случае оно равно единице и в третьем оно больше единицы.

Существует еще одна гипотеза о силах притяжения, которая также приводит к эллиптической орбите, а именно-допущение, что сила притяжения прямо пропорциональна расстоянию; но так как это допущение совершенно неприменимо к планетам, то мы на нем дальше не задержимся. По этому вопросу можно посмотреть «Principia» Ньютона, а также работы, в которых его теории даны в аналитическом изложении.
16. Вернемся теперь к уравнению, которое дает $t$ в функции $r$ (п. 10), и подставим в него — $\frac{g}{r}$ вместо $\int Rdr,gb=ga(1-e^2)$ вместо $D^2$ и $-\frac{g}{a}$ вместо $2H$; тогда оно примет вид
Іюложим $1-\frac{r}{a}=e\cos \theta$, откуда
$$r=a(1-e\cos \theta ),$$

тогда мы будем иметь
$$dt=\sqrt{\frac{\overline{a^3}}{g}}(1-e\cos \theta )d\theta ,$$

откуда, интегрируя, находим
$$t-c=\sqrt{\frac{\overline{a^3}}{g}}(\theta -e\sin \theta ),$$

где $c$ — произвольная постоянная. Это уравнение
$$
*) Когда формулы дают для $2a$ отрицательное значение, то уравнение $b=a(1-e^2)$ показывает, что е больше единицы; так как $b$ положительно и равно $\frac{D^2}{g}$, по этой причине траектория и представляет собою гиперболу. (Прим. Бертрана.)

дает $\theta$ в функции $t$, а так как мы имеем выражение $r$ в функции $\theta$, то путем подстановки получим и выражение $r$ в функции $t$.

Если ту же подстановку произвести в уравнения между Ф и $r$ пункта 11, то мы голучим следующее:
$$d\mathrm{\Phi }=\frac{d\theta \sqrt{1-e^2}}{1-e\cos \theta };$$

интеграл этого уравнения имеет вид
$$\mathrm{\Phi }=\arcsin \frac{\sqrt{1-e^2}\sin \theta }{1-e\cos \theta }+\text{ const }.$$

Но $\mathrm{\Phi }$ в функции $\theta$ можно получить и без нового интегрирования путем простого сравнения выражений для $r$, что дает уравнение
$$\frac{b}{1+e\cos \mathrm{\Phi }}=a(1-e\cos \theta ),$$

откуда, в силу равенства $b=a(1-e^2)$, следует
$$\cos \mathrm{\Phi }=\frac{\cos \theta -e}{1-e\cos \theta },\sin \mathrm{\Phi }=\frac{\sin \theta }{1-e\cos \theta }\sqrt{1-e^2},$$

а отсюда
$$\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\Phi }}{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\mathrm{tg}\frac{\theta }{2}.$$

Из этих формул видно, что когда угол $\theta$ увеличивается на ${360}^{\circ }$, радиус $r$ получает первоначальное значение, а угол $\mathrm{\Phi }$ тоже увеличивается на ${360}^{\circ }$. Таким образом, планета, совершив полный оборот, возвращается в ту же точку пространства. Но когда угол $\theta$ увеличивается на ${360}^{\circ }$, то время $t$ возрастает на $\sqrt{\frac{a^3}{g}}\times {360}^{\circ }$; таково то время, какое затрачивает планета, чтобы вернуться в ту же точку своей орбиты, и которое называют периодом обращения. Таким образом, это время зависит только от величины оси $2a$ и имеет то же значение, как если бы планета описывала окружность с радиусом, равным среднему расстоянию $а$. В этом случае мы имели бы
$$e=0,t-c=\theta \sqrt{\frac{\overline{a^3}}{g}},\theta =\mathrm{\Phi };$$

следовательно, время было бы пропорционально пройденным углам. Если бы мы допустили, что $g=1$, и среднее расстояние $a$ Земли приняли в качестве единицы расстояний, то времена были бы выражены теми самыми углами, которые Земля описывала бы, если бы она двигалась со скоростью, равной единице, по кругу, радиус которого был бы равен среднему расстоянию. Движение по такому кругу — это то движение, которое астрономы называют средним движе нием Земли или Солнца и к которому они обычно относят движение других планет [2].
17. Когда орбита гиперболическая, большая ось $a$ остановится отрицательной, а угол $\theta$ мнимым. Для того чтобы применить приведенные выше формулы к этому случаю, положим
$$a=-A\text{ и }\theta =\frac{\mathrm{\Theta }}{\sqrt{-1}};$$

согласно известным формулам, — причем і является числом, гишерболический логарифм которого равен 1, мы имеем
$$\sin \theta =\frac{{\mathrm{i}}^{\mathit{\theta }}-{\mathrm{i}}^{-\mathit{\theta }}}{2\sqrt{-1}},\cos \theta =\frac{{\mathrm{i}}^{\mathit{\theta }}+{\mathrm{i}}^{-\mathit{\theta }}}{2};$$

в силу этого уравнения шредыдущего пункта принимают следующий вид:
$$\begin{array}{l}\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\Phi }}{2}=\sqrt{\frac{e+1}{e-1}}\cdot \frac{{\mathrm{i}}^{\frac{1}{2}\theta }-{\mathrm{i}}^{-\frac{1}{2}\theta }}{{\mathrm{i}}^{\frac{1}{2}\theta }+{\mathrm{i}}^{-\frac{1}{2}\theta }},\end{array}$$

ибо $e>1$.
18. Уравнение
$$r(1+e\cos \mathrm{\Phi })=b,$$

полученное в пункте 15, если в нем вместо $r\cos \mathrm{\Phi }$ подставить $X$ (п. 13), дает
$$X=\frac{b-r}{e}=\frac{a(1-e^2)-r}{e}.$$

Если вместо $r$ подставить его значение в функции $\theta$, т. е. $a(1-e\cos \theta )$, мы получим
$$X=a(\cos \theta -e),$$

а так как $Y=\sqrt{r^2-X^2}$, то мы найдем
$$Y=aV\overline{1-e^2}\sin \theta .$$

Это — очень простые выражения, которые можно подставить в общие выражения $x,y,z$ того же пункта.

Таким образом, дело сводится только к тому, чтобы подставить значение $\theta$ в функции $t$, вытекающее из уравнения, приведенного в пункте 16, и тогда мы получим три координаты как функции времени.
19. Угол $\theta$, который мы ввели вместо $t$, 一ә то тот угол, который в астрономии называют эксцентрической аномалией и который соответствует средней аномалии $(t-c)\sqrt{\frac{g}{a^3}}$ п истинной аномалии $\mathrm{\Phi }$; но астрономы обычно отсчитывают эти углы от той вершины эллипса, которая наиболее удалена от фокуса, в котором, согласно допущению, помещается Солнце, и которую называют афелием или верхней точкой апсид, между тем как в приведенных выше формулах предполагается, что углы отсчитываются от наиболее близкой к указанному фокусу вершины, которую называют перигелием или нижней точкой апсид [[3]. Для того чтобы отнести их к афелию, следует лишь прибавить угол в ${180}^{\circ }$, или, что то же, переменить знак величины $e$. Однако, если избрать начало аномалий в перигелии, мы приобретаем то преимущество, что получаются формулы, одинаково применимые к планетам, эксцентриситет которых очень мал, и к кометам, эксцентриситет которых почти равен единице, так как их большая ось очень велика, а параметр сохраняет конечное значение.

20. Нам остается еще определить $\theta$ в функции $t$, т. е. определить эксцентрическую аномалию при посредстве средней; это- проблема, известная под названием задачи Кеплера, так как последний вшервые ее поставил и попытался разрешить. Ввиду того, что уравнение между $t$ и $\theta$ является трансцендентным, вообще говоря, невозможно получить значения $\theta$ в функции $t$ в виде конечного выражения; но если допустить, что эксцентриситет $e$ очень мал, то $\theta$ можно выразить с помощью более или менее быстро сходящегося ряда. Для того чтобы придти к нему возможно более простым путем, мы воспользуемся общей формулой $\left[{}^4\right]$, выведенной нами в другом месте *), для разложения в ряд решения некоторого уравнения.
Пусть имеется уравнение вида
$$u=\theta -f(\theta ),$$

где $f(\theta )$ обозначает любую функцию $\theta$; тогда мы, наоборот, имеем
$$\theta =u+f(u)+\frac{d[f(u{)}^2]}{2du}+\frac{d^2[f(u{)}^3]}{2\cdot 3d{u}^2}+\dots$$

Если мы вообще хотим определить значение любой функции от $\theta ,F(\theta )$, положим
$$F^{\prime }(\theta )=\frac{dF(\theta )}{d\theta },$$

и тогда мы будем иметь
$$F(0)=F(u)+f(u)F^{\prime }(u)+\frac{d[f(u{)}^2{F}^{\prime }(u)]}{2du}+\frac{d^2[f(u{)}^3{F}^{\prime }(u)]}{2\cdot 3d{u}^2}+\dots$$
21. Чтобы применить эту формулу к уравнению пункта 16 , положим
$$f(\theta )=e\sin \theta \text{ и }u=(t-c)\sqrt{\frac{\overrightarrow{g}}{a^3}};$$
*) Cu. Mémoires de Berlin 1768 — 1769, Théorie des fonctions, Chap. XVI, 1 ière partie, и Traité de la résolution des équations, note II. (I рим. Лагранжа.)

тогда мы получим непосредственно
$$\theta =u+e\sin u+e^2\frac{d{\sin }^{2}u}{2du}+e^3\frac{d^2{\sin }^{3}u}{2\cdot 3d{u}^2}+\dots$$

Здесь остается лишь выполнить указанные дифференцирования; однако, для того чтобы получить возможно более простые выражения, представляется целесообразным предварительно выразить степени синуса через синусы и жосинусы углов, кратных угла $u$.
Точно так же мы будем иметь
$$\begin{array}{l}\sin \theta =\sin u+e\sin u\cos u+e^2\frac{d({\sin }^{2}u\cos u)}{2du}+\\ +e^3\frac{d^2({\sin }^{3}u\cos u)}{2\cdot 3d{u}^2}+\dots ,\\ \cos \theta =\cos u-e{\sin }^{2}u-e^2\frac{d{\sin }^{3}u}{2du}-e^3\frac{d^2{\sin }^{4}u}{2\cdot 3d{u}^2}-\dots ,\\ \mathrm{tg}\theta =\mathrm{tg}u+e\frac{\sin u}{{\cos }^{2}u}+e^2\frac{\frac{{\sin }^{2}u}{{\cos }^{2}u}}{2du}+e^3\frac{d^2\frac{{\sin }^{3}u}{{\cos }^{2}u}}{2\cdot 3d{u}^2}+\dots \end{array}$$

Таким образом, согласно формулам пунктов 16 и 17, мы получим
$$\begin{array}{l}\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\Phi }}{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}[\mathrm{tg}\frac{u}{2}+e\frac{\sin u}{1+\cos u}+e^2\frac{d\frac{{\sin }^{2}u}{1+\cos u}}{2du}+\\ +e^3\frac{d^2\frac{{\sin }^{3}u}{1+\cos u}}{2\cdot 3d{u}^2}+\dots ][\left[{}^5\right]\text{. }\end{array}$$

22. Отсюда можно было бы вывести значение угла $\mathrm{\Phi }$, выраженное с помощью ряда, определяющего угол при посредстве тангенса, но этим путем было бы трудно получить ряд, закон которого можно было бы установить. Для того чтобы получить подобный ряд, следует сначала определить значение угла Ф из уравнения
$$\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\Phi }}{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\mathrm{tg}\frac{\theta }{2},$$

что можно осуществить очень изящным способом, пользуясь мнимыми показательными функциями. Действительно, обозначая через і число, гиперболический логарифм которого равен единице, мы преобразуем последнее уравнение к виду
$$\frac{{\mathrm{i}}^{\frac{\mathrm{\Phi }}{2}\sqrt{-1}}-{\mathrm{i}}^{-\frac{\mathrm{\Phi }}{2}\sqrt{-1}}}{{\mathrm{i}}^{\frac{\mathrm{\Phi }}{2}\sqrt{-1}}+{\mathrm{i}}^{-\frac{\mathrm{\Phi }}{2}\sqrt{-1}}}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\cdot \frac{{\mathrm{i}}^{\frac{0}{2}\sqrt{-1}}-{\mathrm{i}}^{-\frac{0}{2}\sqrt{-1}}}{{\mathrm{i}}^{\frac{0}{2}\sqrt{-1}+{\mathrm{i}}^{-\frac{1}{2}\sqrt{-1}}}},$$

или
$$\frac{{\mathrm{i}}^{\mathrm{\Phi }\sqrt{-1}-1}}{{\mathrm{i}}^{\mathrm{\Phi }\sqrt{-1}+1}}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\cdot \frac{\mathrm{i}\sqrt{-1}-1}{{\mathrm{i}}^{\oplus }\sqrt{-1}+1},$$

откуда, положив $\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}=\hat{\epsilon }$, получаем
$${\mathrm{i}}^{\mathrm{\Phi }}\sqrt{-1}=\frac{(1+z){\mathrm{i}}^{†}\sqrt{-1}+1-s}{(1-s)i^3\sqrt{-1}+1+s};$$

наконец, полагая
$$E=\frac{s-1}{\mathrm{s}+1}=\frac{e}{1+\sqrt{1-e^2}},$$

имеем
$${\mathrm{i}}^{\mathrm{\Phi }}\sqrt{-1}={\mathrm{i}}^{\prime }\sqrt{-1}\frac{1-E{\mathrm{i}}^{-9}\sqrt{-1}}{1-E{\mathrm{i}}^{\prime }\sqrt{-1}}.$$

ІІрологарифмируем тешерь обе части этого равенства и разделим на $\sqrt{-1}$; тогда мы получим
$$\mathrm{\Phi }=6+\frac{1}{\sqrt{-1}}\log (1-E{\mathrm{i}}^{-0\sqrt{-1}})-\frac{1}{\sqrt{-1}}\log (1-E{\mathrm{i}}^3\sqrt{-1});$$

разложив логарифмы правой части в ряды и подставив затем вместо мнимых показательных функций соответствующие им вещественные синусы, мы, наконец, получим ряд *)
$$\mathrm{\Phi }=\theta +2E\sin \theta +\frac{2E^2}{2}\sin 2\theta +\frac{2E^3}{3}\sin 36+\dots .$$

Тешерь остается только подставить вместо $\theta$ его выражение в функции $u$. Если это сделать и при этом для краткости полонить
$$U=\cos u+E\cos 2u+E^2\cos 3u+\dots ,$$

то мы получим
$$\begin{array}{c}\mathrm{\Phi }=u+e\sin u+\frac{e^{2}d{\sin }^{2}u}{2du}+\frac{e^2{d}^2{\sin }^{3}u}{2\cdot 3d{u}^3}+\dots \\ \dots +2E\sin u+\frac{2E^2}{2}\sin 2u+\frac{2E^3}{3}\sin 3u+\dots \\ \dots +2eEU\sin u+2e^{2}E\frac{d(U{\sin }^{2}u)}{2du}+2e^{3}E\frac{d^2(U{\sin }^{3}u)}{2\cdot 3d{u}^2}+\dots \end{array}$$

Выражение дэя $U$ можно привести к конечному виду. и тогда мы найдем
*) Cir. в Mémoires de l’Académie de Berlin за 1776 г. многочисленные применения әтого метода. (Прим. Лагранжа.)

Мемуар, к которому Лагранж отсылает читателя, озаглавлен: Solution de quelques problémes d’astronomi par le moyon des séries; он помещен в IV томе Oeuvres de Lagrange, стр. 275. (Iгрим. Дарбу.)

Эти формулы обладают тем иреимуществом, что они дают закон рядов, который не мог бы быть наперед установлен.
23. Если за плоскость $xy$ иринять плоскость эклиптики, которую мы предполагаем неподвижной, и допустить, что ось $x$ направлена к точке весеннего равноденствия, то угол $\phi$ представит собою то, что называют долготой планеты, угол $h$ будет долготой узла и угол $\psi$-широтой; отсюда ясно, что угол $4+k$, проекцией которого на эклиптику является $\phi -h$, представляет собою долготу в орбите, отсчитанную от линии узлов, или же так называемый ареумент широть; у уравнение (г. і)
$$\mathrm{tg}(i-h)=\cos i\mathrm{tg}(\mathrm{\Phi }+k),$$

дающее угол ¿ в функции Ф, может быть решено, если наклонение достаточно мало, разложением в ряд с помощью того же метода мнимых показательных функций, который был применен выше. Для этого следует эишь в выражении Ф в функции $\theta$ подставить $\phi -h$ вместо $\frac{\mathrm{\Phi }}{2},\mathrm{\Phi }+k$ вместо $\frac{\theta }{2}$ и $\cos i$ вместо $z$, в результате чего получится
$$E=\frac{\cos i-1}{\cos i+1}=-{\mathrm{tg}}^2\frac{i}{2},$$

и мы будем иметь
$$\begin{array}{rl}p-h& =(\dot{w}+k)-{\mathrm{tg}}^2\frac{i}{2}\sin 2(\mathrm{\Phi }+k)+\\ & +\frac{1}{2}{\mathrm{tg}}^4\frac{i}{2}\sin 4(\mathrm{\Phi }+k)-\frac{1}{3}{\mathrm{tg}}^6\frac{i}{2}\sin 6(4)+k)+\dots \end{array}$$

Уравнение, дающее $\psi$ в функции ч (п. 5):
$$\mathrm{tg}\psi =\mathrm{tg}i\sin (\psi -h)$$

может быть решено таким же образом, но в этом случае получается менее изящный ряд. Сначала мы
$$3^{\ast }$$

будем иметь уравнение

где і обозначает число, гиперболический логарифм которого равен 1 , а отсюда получается
$${\mathrm{i}}^{2\psi V-1}=\frac{1+\frac{\mathrm{tg}i}{2}[{\mathrm{i}}^{(\hat{\phi }-h)V-1}-{\mathrm{i}}^{-(\phi -h)V-1}]}{1-\frac{\mathrm{tg}i}{2}[{\mathrm{i}}^{(\phi -h)V-1}-{\mathrm{i}}^{-(\phi -h)V-1}]};$$

логарифмируя, имеем
$$\begin{array}{rl}p=& +\frac{\mathrm{tg}i}{2\sqrt{-1}}[{\mathrm{i}}^{(\phi -h)V-1}-{\mathrm{i}}^{-(\phi -h)V-1}]+\\ & +\frac{{\mathrm{tg}}^{3}i}{3\cdot 8\sqrt{-1}}{[{\mathrm{i}}^{(\phi -h)V-1}-{\mathrm{i}}^{-(\phi -h)V-1}]}^3+\\ & +\frac{{\mathrm{tg}}^{5}i}{5\cdot 32V-1}{[{\mathrm{i}}^{(\phi -h)V-1}-{\mathrm{i}}^{-(?-h)V-1}]}^5+\\ & +\dots \dots \dots \dots \dots \end{array}$$

и, наконец, разлагая степени мнимых показательных функций и подставляя соответствующие им синусы, мы получим
$$\begin{array}{rl}\psi =& +\mathrm{tg}i\sin (\phi -h)+\frac{{\mathrm{tg}}^{3}i}{3\cdot 4}[\sin 3(\phi -h)-3\sin (\phi -h)]+\\ & +\frac{{\mathrm{tg}}^{5}i}{5\cdot 16}[\sin 5(\phi -h)-5\sin 3(\phi -h)+10\sin (\phi -h)]+\\ & +\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \end{array}$$

Полученные нами ряды являются сходящимися только в том случае, когда эксцентриситет $e^{\ast }$ ) или
*) B Mémoires de l’Académie des Sciences за 1823 г. Jlanлас дал условия, необходимые для сходимости приведенных пыше рядов. Тот же вопрос был ватем рассмотрен Коши (Саuchy) в Comptes rendus de l’Académie des Sciences и в Exersices d’analyse et de physique mathématique за $1\text{llbracket}41\mathrm{r}$. Анализ Ко-

наклонение $i$ очень малы; следовательно, они применимы только к эллиптическим орбитам, очень мало отличающимся от круга и мало наклонным, каковы орбиты планет и их спутников; исключение составляет лишь Паллада, одна из четырех новых малых планет, наклонение которой к эклиптике составляет около ${34}^{\circ }$, что дает. впрочем, для ${\mathrm{tg}}^2\frac{i}{2}$ еще достаточно малую величину; таким образом, ряд, дающий $е$ в функции ф, будет быстро сходящимся, но ряд, дающий $\psi$ в функции $\phi$, будет сходиться гораздо медленнее.
24. Помимо того случая, когда эксцентриситет $e$ очень мал, задача Кеплера поддается аналитическому разрешению еще и в том случае, когда эксцентриситет очень мало отличается от единицы, что имеет место для орбит, близких к параболическим, каковыми являются орбиты комет. В этом случае большая полуось $a$ очень велика, и уравнение пункта 15
$$\frac{1}{a}=\frac{1-e^2}{b},$$

в котором $b$ равняется параметру, дает
$$e=\sqrt{1-\frac{b}{a}}=1-\frac{b}{2a}-\frac{b^2}{8a^2}-\dots$$

ши был дальше развит и дополнен Пиюзе (Puiseux) в Journal de mathématiques Лиувилл, т. XIV, 1849. См. дополнение в конце настоящего тома. Сверх того Јежандр (Legendre) в Exersices de calcul intégral (V partie, ${\mathrm{n}}^{\circ }116$ ) дал много лучше сходящийся ряд для қыражения \& в функции $\phi -h$. Этот ряд может быть применен даже к планете Палладе. (Прим. Бертрана.)
Ряд Лежандра следующий:
$$\begin{array}{rl}\psi =2\mathrm{tg}& \frac{i}{2}\sin (p-h)+\frac{2}{3}{\mathrm{tg}}^3\frac{i}{2}\sin 3(p-h)+\\ & +\frac{2}{5}{\mathrm{tg}}^5\frac{i}{2}\sin 5(p-h)+\frac{2}{7}{\mathrm{tg}}^7\frac{i}{2}\sin 7(p-h)+\dots \end{array}$$
(Iрим. Дарбу.)

Уравнение между $t$ и $\theta$ (п. 16), будучи представлено в виде
$$(t-c)\sqrt{\frac{\dot{g}}{a^3}}=\theta -e\sin \theta ,$$

показывает, что когда $a$ очень велико, $\theta$ становитея очень малым, так что $\sin \theta$ может быть разложен в ряд
$$\theta -\frac{{\theta }^3}{2\cdot 3}+\frac{{\theta }^5}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}-\dots$$

Произведя соответствующую подстановку в предыдущем уравнении, мы получим
$$\begin{array}{l}(t-c)\sqrt{\frac{\overline{g}}{a^3}}=\frac{{\theta }^3}{2\cdot 3}-\frac{{\theta }^5}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}+\dots \\ \dots +\frac{b}{2a}(\theta -\frac{{\theta }^3}{2\cdot 3}+\dots )+\frac{b^3}{8a^2}(\theta -\dots )+\dots ,\end{array}$$

откуда видно, что величина $\theta$-порядка $\frac{1}{1/a}$. Следовательно, если положить
$$\theta =\frac{A}{\sqrt{a}}$$

и ограничиться приближением лишь до членов порядка $\frac{1}{a}$, то мы будем иметь
$$\begin{array}{rl}(t-c)\sqrt{g}=\frac{b}{2}\mathrm{\Theta }& +\frac{1}{2\cdot 3}{\theta }^3+\\ & +\frac{1}{a}(\frac{b^2}{8}\mathrm{\Theta }-\frac{b}{4\cdot 3}{H}^3-\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{\mathrm{\Theta }}^5).\end{array}$$

С тем же приближением мы получим
$$\begin{array}{rl}r& =\frac{1}{2}(b+{\theta }^2)+\frac{1}{4a}(\frac{b^2}{2}-b{\mathrm{\Theta }}^2-\frac{1}{2\cdot 3}{\theta }^4),\\ \mathrm{tg}\frac{\mathrm{\Phi }}{2}& =\frac{1}{\sqrt{b}}\theta -\frac{\sqrt{\overline{b}}}{4a}(\theta +\frac{1}{3b}{\theta }^2),\\ X& =\frac{1}{2}(b-{\theta }^2)+\frac{b^2}{8a}(1+\frac{1}{3}{\theta }^4),\\ Y& =\sqrt{\overline{b}}\theta -\frac{\sqrt{b}}{2\cdot 3a}{\mathrm{\Theta }}^3.\end{array}$$

Пусть $T$ — значение $\theta$, когда $a=\mathrm{\infty }$, т. е. в случае параболы; для определения $T$ в функции $t$ мы имеем уравнение третьей стенени
$$T^3+3bT=6(t-c)\sqrt{g},$$

которое дает
$$\begin{array}{l}T=+\sqrt[3]{3(t-c)\sqrt{\overline{g}+\sqrt{9(t-c{)}^{2}g+b^3}}+}\\ +\sqrt[3]{3(t-c)\sqrt{g}-\sqrt{9(t-c{)}^{2}g+b^3}};\end{array}$$

и если положить
$$T^{\prime }=-\frac{-\frac{b^{2}T}{4}+\frac{b{T}^3}{6}+\frac{T^5}{3\cdot 4\cdot 5}}{b+T^2},$$

то мы получим
$$\vartheta =T+\frac{T^{\prime }}{a}+\dots ,$$

откуда
$$\begin{array}{rl}r& =\frac{1}{2}(b+T^2)+\frac{1}{a}(\frac{b^2}{8}-\frac{b{T}^2}{4}-\frac{T^4}{24}+T{T}^{\prime }),\\ \mathrm{tg}\frac{\mathrm{\Phi }}{2}& =\frac{T}{V^{\prime }\overline{b}}-\frac{1}{a}(\frac{T\sqrt{b}}{V^{\prime }}+\frac{T^3}{12\sqrt{b}}-\frac{T^{\prime }}{\sqrt{\overline{b}}}),\\ X& =\frac{1}{2}(b-T^2)+\frac{1}{a}(\frac{b^2}{8}+\frac{b^2{T}^1}{24}-T{T}^{\prime }),\\ Y& =T\sqrt{}/\overline{b}-\frac{1}{a}(\frac{T^3\sqrt{b}}{6}-T^{\prime }\sqrt{\overline{b}}).\end{array}$$

Однако иррациональность вырэжения $T$ всегда будет создавать препятствие для широкого применения этих формул при вычислении параболических или почти параболических орбит.
25. Относительно параболического движения следует отметить, что время, затраченное на прохождение какой-либо дуги орбиты, может быть определено с помощью довольно простой формулы, содержащей лишь сумму радиусов-векторов, соответствующих обоим концам дуги, и хорду, стягивающую эту дугу.

Если принять а бесконечно большим и положить $\theta =\tau \sqrt{b}$, то приведенные выше формулы дадут
$$\begin{array}{c}6(t-c)\sqrt{g}=b\sqrt{b}(3\tau +{\tau }^3),\tau =\mathrm{tg}\frac{\mathrm{\Phi }}{2},\\ 2r=b(1+{\tau }^2),2X=b(1-{\tau }^2),Y=b\tau .\end{array}$$

Обозначим штрихом аналогичные величины, относящиеся к другой точке параболы; тогда разность $t^{\prime }-t$, т. е. время, затрачиваемое на прохождение дуги параболы, заключающейся между двумя заданными точками, выразится формулой
$$6(t^{\prime }-t)\sqrt{g}=b\sqrt{b}(3+{\tau }^2+\tau {\tau }^{\prime }+{\tau }^{\prime 2})({\tau }^{\prime }-\tau ).$$

Но мы имеем
$$X=b-r,Y=\sqrt{2br-b^2},$$

и если через $v$ обозначить хорду, соединяющую концы радиусов $r$ и $r^{\prime }$, то мы получим
\[
\begin{aligned}

u^{2} & =\left(X^{\prime}-X\right)^{2}+\left(Y^{\prime}-Y\right)^{2}= \
& =\left(r^{\prime}-r\right)^{2}+\left(\sqrt{2 b r^{\prime}-b^{2}}-\sqrt{2 b r-b^{2}}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]

Положим для краткости
$$U^2=u^2-{(r^{\prime }-r)}^2;$$

тогда мы получим уравнение
$$U=\sqrt{2b{r}^{\prime }-b^2}-\sqrt{2br-b^2},$$

из которого надлежит определить величину $b$.
Освободившись от корней и расположив члены по степеням $b$, мы получим
$$b^2[{(r^{\prime }-r)}^2+U^2]-b{U}^2(r^{\prime }+r)+\frac{U^4}{4}=0,$$

откуда следует
$$b=\frac{U^2(r^{\prime }-r+\sqrt{4r^{\prime }r-U^2})}{2[{(r^{\prime }-r)}^2+U^2]},$$

или после умножения числителя и знаменателя на
$$\begin{array}{l}{r}^{\prime }+r-\sqrt{4r^{\prime }r-U^2}\\ b=\frac{U^2}{2(r^{\prime }+r-\sqrt{4r^{\prime }r-U^2})}.\end{array}$$

Но мы имеем
$$\tau =\frac{\sqrt{2br-b^2}}{b},$$

следовательно,
$${\tau }^{\prime }-\tau =\frac{U}{b}\text{ и }{\tau }^2+{\tau }^{\prime 2}+\tau {\tau }^{\prime }=\frac{3(r+r^{\prime })}{b}-3-\frac{U^2}{2b^2};$$

таким образом,
$$6(t^{\prime }-t)\sqrt{g}=\frac{U}{2b\sqrt{b}}[6b(r^{\prime }+r)-U^2];$$

подставляя сюда значение $b$, мы приведем правую часть к следующему виду:
$$[2(r+r^{\prime })+\sqrt{4r{r}^{\prime }-U^2}]\sqrt{2(r^{\prime }+r)-2\sqrt{4r{r}^{\prime }-U^2}}.$$
$И$, наконец, заменив $U^2$ его значением и положив $r+r^{\prime }=s$, мы получим
$$t^{\prime }-t=\frac{(2s+\sqrt{s^2-v^2})\sqrt{2s-2\sqrt{s^2-v^2}}}{6\sqrt{g}}.$$

Это выражение может быть представлено в следующем более простом виде:
$$t^{\prime }-t=\frac{(s+\gamma {)}^{3/2}-(s-v{)}^{3/2}}{6\sqrt{g}},$$

в чем легко убедиться путем возведения в квадрат.
26. Эта изящная формула была впервые дана Эйлером в седьмом томе Miscellanea Berolinensia. Eе можно было бы вывести из леммы $X$ третьей книги «Principia mathematica», если представить аналитически построение, при помощи которого Ньютон определяет скорость, с которой точка, двигаясь равномерно, пробежала бы хорду параболы за то же время, за которое комета пробегает соответствующую дугу; при этом следует принять во внимание, что у параболы полусумма радиусов-векторов, проведенных к концам любой дуги, всегда равна радиусу-вектору, заканчивающемуся в вершине диаметра, проведенного через середину хорды параллельно оси, — с прибавлением к нему той части этого диаметра, которая заключена между дугой и хордой; отсюда и из IX леммы получается значение этого шоследнего радиуса, выраженное через хорду и сумму радиусов-векторов, соответствующих обоим концам хорды.

Ниже мы увидим, каким образом эта формула может быть распространена на движение по эллипсу и по гиперболе *).
27. Наконец, уравнение между $\theta$ и $t$ всегда можно решить приближенно, если допустить, что время $t$ очень мало; тогда мы получим для $\theta$, а следовательно, и для переменных, от нее зависящих, ряды, расположенные по степеням $t$, которые тем быстрее сходятся, чем меньше значение $t$. Однако в этом случае проще получить решение непосредственно из дифференциальных уравнений относительно $x,y,z$ и $t$ пункта 9 , положив в них $R=\frac{g}{r^2}$.
*) Формула, касающаяся времени, необходимого для прохождения дуги параболы, тасто пришисывалась Јамберту (Lambert), который, дейетвительно, пригел к ней в 1761 г, не зная о существовании мемуара Әйлера, где эта формула была доказана, хотя этот мемуар был датирован 1744 г. Сам Јагранж долгое время разделял эту ошибку; действительно, в первом своем мемуаре Sur le problème de la détermination des orbites des comètes d’après trois observations (Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 439) он в связи со своей теоремой говорит: «Јамберт пришел к одной из наиболее изящных и полезных теорем, которые были открыты по данному вопросу и которые в то же время обладают тем преимуществом, что они применимы к эллиптическим орбитам». Эти слова были напечатаны в 1780 г., т. е. за три года до смерти Эйтера, который никогда не заявлял о своем праве на приоритет. В Mémoires de Berlin за 1771 г. Ламберт упоминает о той же теореме и приписывает себе ее открытие. (IIрим, Берпрана.)

Рассматривая переменные $x,y,z$ как функции $t$ и допуская, что они превращаются в $x+x^{\prime },y+y^{\prime }$, $z+z^{\prime }$, когда $t$ превращается в $t+t^{\prime }$, мы имеем вообще, согласно известной теореме,
$$\begin{array}{l}{x}^{\prime }=\frac{dx}{dt}{t}^{\prime }+\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\frac{t^{\prime 2}}{2}+\frac{d^{3}x}{d{t}^3}\frac{t^{\prime 2}}{2\cdot 3}+\dots ,\\ y^{\prime }=\frac{dy}{dt}{t}^{\prime }+\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\frac{t^{\prime 2}}{2}+\frac{d^{3}y}{d{t}^3}\frac{t^{\prime 2}}{2\cdot 3}+\dots \\ z^{\prime }=\frac{dz}{dt}{t}^{\prime }+\frac{d^{2}z}{d{t}^2}\frac{t^{\prime 2}}{2}+\frac{d^{3}z}{d{t}^3}\frac{t^{\prime 2}}{2\cdot 3}+\dots \end{array}$$

куда нам остается только подставить значения дифференциалов $x,y,z$, полученные из трех уравнений
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{gx}{r^3}=0,\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\frac{gy}{r^3}=0,\frac{d^{2}z}{d{t}^2}+\frac{gz}{r^3}=0,$$

к которым для упрощения выкладок можно присоединить уравнение пункта 10 относительно $r$
$$2H{r}^2+2gr-\frac{r^{2}d{r}^2}{d{t}^2}=D^2,$$

которое, будучи продифферендировано и разделено на $2rdr$, дает
$$2H+\frac{g}{r}-\frac{d(rdr)}{d{t}^2}=0,$$

откуда, дифференцируя еще раз и полагая для сокращения
$$s=\frac{rdr}{dt},$$

мы получим уравнение
$$\frac{d^{2}s}{d{t}^2}+\frac{g^{s}s}{r^3}=0,$$

которое совершенно сходно с предыдущими.

Таким образом, с помощью последовательных дифференцирований и подстановок мы получим
$$\begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{gx}{r^5},\frac{d^{3}x}{d{t}^3}=:\frac{3gs}{r^5}x-\frac{g}{r^3}\frac{dx}{dt},\\ \frac{d^{4}x}{d{t}^4}=(\frac{3z}{r^5}\frac{ds}{dt}-\frac{3\cdot 5g{s}^2}{r^7}+\frac{g^2}{r^6})x+\frac{2\cdot 3gs}{r^5}\frac{dx}{dt},\\ \frac{d^{5}x}{d{t}^5}=(-\frac{3\cdot 3\cdot 5g}{r^7}\frac{sds}{dt}+\frac{3\cdot 5\cdot 7g{s}^3}{r^9}-\frac{3\cdot 5g^{2}s}{r^8})x+\\ +(\frac{3\cdot 3g}{r^5}\frac{ds}{dt}-\frac{3\cdot 3\cdot 5g{s}^2}{r^7}+\frac{g^2}{r^6})\frac{dx}{dt},\end{array}$$

и так далее.
Подобные же выражения мы получим для дифференциалов $y$ и $z$, заменив лишь $x$ через $y$ и $z$.
28. Произведем эти подстановки, и так как в этих формулах величины $x,y,z$ и их дифференциалы относятся $\kappa$ началу времени $t^{\prime }$, то, меняя $t^{\prime }$ на $t$ и обозначая через $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z},\mathbf{r},\mathbf{s}$ значения $x,y,z,r,s$, соответствующие $t=0$, и полагая еще для сокращения
$$\begin{array}{l}T=+1-\frac{g}{{\mathrm{r}}^3}\frac{t^2}{2}+\frac{3g\mathrm{s}}{{\mathrm{r}}^5}\frac{t^3}{2\cdot 3}+(\frac{3g}{{\mathrm{r}}^5}\frac{ds}{dt}-\frac{3\cdot 5g{\mathrm{s}}^3}{{\mathrm{r}}^7}+\frac{g^2}{{\mathrm{r}}^6})\frac{t^4}{2\cdot 3\cdot 4}+\\ +(-\frac{3\cdot 3\cdot 5g}{{\mathrm{r}}^7}\frac{\mathrm{s}d}{dt}+\frac{3\cdot 5\cdot 7{\mathrm{gs}}^2}{{\mathrm{r}}^9}-\frac{3\cdot 5g^2\mathrm{S}}{{\mathrm{r}}^8})\frac{t^5}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}+\dots \\ V=t-\frac{g}{{\mathrm{r}}^3}\frac{t^3}{2\cdot 3}+\frac{2\cdot 3g\mathrm{s}}{{\mathrm{r}}^5}\frac{t^4}{2\cdot 3\cdot 4}+\\ +(\frac{3\cdot 3g}{{\mathrm{r}}^5}\frac{ds}{dt}-\frac{3\cdot 3\cdot 5g{\mathrm{s}}^2}{{\mathrm{r}}^7}+\frac{g^2}{{\mathrm{r}}^6}-\frac{t^5}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}+\dots ,\end{array}$$

мы получим следующие выражения:
$$x=\mathrm{x}T+\frac{d\mathrm{x}}{dt}V,y=\mathrm{y}T+\frac{d\mathrm{y}}{dt}V,z=\mathrm{z}T+\frac{d\mathrm{z}}{dt}V.$$

Что касается постоянных s и $\frac{ds}{dt}$, входящих в эти выражения, то следует отметить, что они приводятся тотчас же к постоянным $D$ и $H$, от которых, как мы показали в пункте 8, зависят элементы $a,b,c$ эллиптической орбиты. В самом деле, если оба уравнения относительно $r$, приведенные в предыдущем пункте, отнести к началу времени $t$, то мы будем иметь
$$\frac{(\mathrm{r}d\mathrm{r}{)}^2}{dt}-2g\mathrm{r}=2H{\mathrm{r}}^2-D^2,\frac{d(\mathrm{r}d\mathrm{r})}{d{t}^2}-\frac{g}{\mathrm{r}}=2H,$$
т. е.
$${\mathrm{s}}^2=2g\mathrm{r}+2H{\mathrm{r}}^2-D^2,\frac{d\mathrm{s}}{dt}=2H+\frac{g}{\mathrm{r}},$$

а подставив вместо $H$ и $D^2$ их значения — $\frac{g}{2a}$ и $gb$ (п. 15), мы получим
$$\frac{d\mathrm{s}}{dt}=g(\frac{1}{\mathrm{r}}-\frac{1}{a}),{\mathrm{s}}^2=g(2r-\frac{r^2}{a}-b),$$

откуда следует
$$\frac{1}{a}=\frac{1}{\mathrm{r}}-\frac{1}{\mathrm{g}}\frac{d\mathrm{s}}{dt},b=2\mathrm{r}-\frac{{\mathrm{r}}^2}{a}-\frac{{\mathrm{s}}^2}{g}.$$

Отсюда ясно, что величины $T$ и $V$ зависят только от формы орбиты и вовсе не зависят от положения ее плоскости.
29. Так как величина $\frac{rdr}{dt}$ или $s$ определяется таким же дифференциальным уравнением, какое определяет $x$, то мы получим для этой величины такое же выражение, заменив лишь $\mathrm{x}$ и $\frac{d\mathrm{x}}{dt}$ через $\mathrm{s}$ и $\frac{d\mathrm{s}}{dt}$. Таким образом, мы будем иметь
$$s=\frac{rdr}{dt}=\mathrm{s}T+\frac{d\mathrm{s}}{dt}V.$$

Отсюда, интегрируя и прибавив постоянную ${\mathrm{r}}^2$, мы получим
$$r^2={\mathrm{r}}^2+2\mathrm{s}\int Tdt+\frac{2d\mathrm{s}}{dt}\int Vdt,$$

где интегралы должны быть взяты таким образом, чтобы они были равны нулю при $t=0$. Подставив значения $T$ и $V$ и расположив члены по степеням $t$, мы, следовательно, получим
$$\begin{array}{rl}{r}^2={\mathrm{r}}^2+2\mathrm{s}t+& \frac{d\mathrm{s}}{dt}{t}^2-\frac{g\mathrm{s}}{{\mathrm{r}}^3}\frac{t^3}{3}+(\frac{3ot{\mathrm{s}}^2}{{\mathrm{r}}^5}-\frac{g}{{\mathrm{r}}^3}\frac{d\mathrm{s}}{dt})\frac{t^4}{3\cdot 4}+\\ & +(\frac{9g}{{\mathrm{r}}^5}\frac{\mathrm{s}d\mathrm{s}}{dt}-\frac{15,{\mathrm{s}}^3}{{\mathrm{r}}^7}+\frac{g^2\mathrm{s}}{{\mathrm{r}}^6})\frac{t^5}{3\cdot 4\cdot 5}+\dots \end{array}$$

Это выражение для $r^2$ должно быть тождественно с тем, которое дали бы значения $x,y,z$; действительно, так как $r^2=x^2+y^2+z^2$, то мы также имеем
$$\begin{array}{l}{r}^2=({\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2)T^2+2\frac{\mathrm{x}d\mathrm{x}+\mathrm{y}d\mathrm{y}+\mathrm{z}d\mathrm{z}}{dt}TV+\\ +\frac{d{\mathrm{x}}^2+d{\mathrm{y}}^2+d{\mathrm{z}}^2}{d{t}^2}{V}^2\text{. }\end{array}$$

Ho
$${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2={\mathrm{r}}^2,\frac{\mathrm{x}d\mathrm{x}+\mathrm{y}d\mathrm{y}+\mathrm{z}d\iota }{dt}=\frac{\mathrm{r}d\mathrm{r}}{dt}=\mathrm{s}$$

и
$$\begin{array}{rl}\frac{d{\mathrm{x}}^2+d{\mathrm{y}}^2+d{\mathrm{z}}^2}{d{t}^2}& =2H+\frac{2g}{\mathrm{r}}(\text{ п. }9)=\\ & =\frac{d(\mathrm{r}d\mathrm{r})}{dt}+\frac{g}{\mathrm{r}}(\text{ п. 27) }=\frac{d\mathrm{s}}{dt}+\frac{g}{\mathrm{r}},\end{array}$$

так что мы будем иметь
$$r^2={\mathrm{r}}^2{T}^2+2\mathrm{s}TV+(\frac{d\mathrm{s}}{dt}+\frac{g}{\mathrm{r}})V^2;$$

это выражение совпадает с тем, которое было приведено выше.