В общем случае мы имели (стр. 245)
\[
\begin{array}{l}
d \zeta^{2}+d \eta^{2}+d \zeta^{2}= \\
=(c d Q-b d R+d a)^{2}+(a d R-c d P+d b)^{2}+(b d P-a d Q+d c)^{2} .
\end{array}
\]

Если ускоряющие силы зависят только от взаимного положения тел, то они являются функциями лишь величин $a, b, c$.

Если положить
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2}\left[\frac{d P^{2}}{d t^{2}} \mathbf{S} m\left(b^{2}+c^{2}\right)+\frac{d Q^{2}}{d t^{2}} \cdot \mathbf{S} m\left(a^{2}+c^{2}\right)+\right. \\
\left.+\frac{d R^{2}}{d t^{2}} \mathbf{S} m\left(a^{2}+b^{2}\right)\right]-\frac{d Q}{d t} \frac{d\}}{d t} \mathbf{S} m b c-\frac{d P}{d t} \frac{d R}{d t} \mathbf{S} m a c- \\
-\frac{d P}{d t} \frac{d Q}{d t} \mathbf{S} m a b+\frac{d P}{d t} \mathbf{S} m \frac{b d c-c d b}{d t}+ \\
+\frac{d Q}{d t} \mathbf{S} m \frac{c d a-a d c}{d t}+\frac{d R}{d t} \mathbf{S} m \frac{a d b-b d a}{d t}+ \\
+\mathbf{S} m \frac{d a^{2}+d b^{2}+d c^{2}}{2 d t^{2}}, \\
\end{array}
\]

то мы получим по отношению к переменным $d P, d Q, d R$
\[
\frac{\delta T}{\delta d P} \delta d P+\frac{\delta T}{\delta d Q} \delta d Q+\frac{\delta T}{\delta d R} \delta d R=0 ;
\]

стало быть (п. 15, стр. 247),
\[
\begin{aligned}
\frac{\delta T}{\delta d P}(d \delta P+d Q \delta R-d R \delta Q) & +\frac{\delta T}{\delta d Q}(d \delta Q+d R \delta P-d P \delta R)+ \\
& +\frac{\delta T}{\delta d R}(d \delta R+d P \delta Q-d Q \delta P)=0,
\end{aligned}
\]

оккуда получаются следующие уравнения:
\[
\begin{array}{l}
d \frac{\delta T}{\delta d P}-\frac{\partial T}{\delta d Q} d R+\frac{\delta T}{\delta d R} d Q=0, \\
d \frac{\delta T}{\partial d Q}-\frac{\delta T}{\delta d P} d P+\frac{\delta T}{\delta d R} d R=0, \\
d \frac{\delta T}{\delta d R}-\frac{d T}{\delta d P} d Q+\frac{\delta T}{\delta d Q} d P=0,
\end{array}
\]
т. е. если $d P, d Q, d R$ заменить выражениями $p d t, q d t, r d t$,
\[
\left.\begin{array}{l}
d \frac{\partial T}{\partial p}+\left(q \frac{\partial T}{\partial r}-r \frac{\partial T}{\partial q}\right) d t=0 \\
d \frac{\partial T}{\partial q}+\left(r \frac{\partial T}{\partial p}-p \frac{\partial T}{\partial r}\right) d t=0, \\
d \frac{\partial T}{\partial r}+\left(p \frac{\partial T}{\partial q}-q \frac{\partial T}{\partial p}\right) d t=0,
\end{array}\right\}
\]

как в уравнениях (A), стр. 262; но настоящие формулы являются общими, как бы ни нзменялись $a, b, c$.

Из әтих уравнений мы тотчас же получаем интеграл
\[
\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)^{2}+\left(\frac{\partial T}{\partial q}\right)^{2}+\left(\frac{\partial T}{\partial r}\right)^{2}=f^{2} .
\]

Затем мы также имеем
\[
p d \frac{\partial T}{\partial p}+q d \frac{\partial T}{\partial q}+r d \frac{\partial T}{\partial r}=0 ;
\]

однако последнее выражение не является полным дифференциалом в силу изменяемости величин $a, b, c$; но на основании принципа живых сил мы всегда имеем интеграл
\[
T+V=\text { const., }
\]

где $V$ равно $\mathbf{S}$ ilm, а п обозначает функцию притягательных сил (отд. III, п. 34).

Наконец, если эти уравнения соответственно умножить на $d \xi^{\prime}, d \xi^{\prime \prime}, d \xi^{\prime \prime \prime}$, то путем их сложения мы получим
\[
\begin{aligned}
\xi^{\prime} d \frac{\partial T}{\partial p}+\xi^{\prime \prime} d \frac{\partial T}{\partial q}+\xi^{\prime \prime \prime} & d \frac{\partial T}{\partial r}+\frac{\partial T}{\partial p}\left(r \xi^{\prime \prime}-q \xi^{\prime \prime \prime}\right) d t+ \\
& +\frac{\partial T}{\partial q}\left(p \xi^{\prime \prime \prime}-r \xi^{\prime}\right) d t+\frac{\partial T}{\partial r}\left(q \xi^{\prime}-p \xi^{\prime \prime}\right) d t=0,
\end{aligned}
\]
т. е., в силу $d \zeta_{\zeta}^{\prime}=\left(r_{\zeta}^{\prime \prime}-q \zeta^{\prime \prime \prime}\right) d t, \ldots$ стр. 244),
\[
\xi^{\prime} \frac{\partial T}{\partial p}+\xi^{\prime \prime} \frac{\partial T}{\partial q}+\xi^{\prime \prime \prime} \frac{\partial T}{\partial r}=\text { const. }=1
\]

и точно так же
\[
\eta^{\prime} \frac{\partial T}{\partial p}+\eta^{\prime \prime} \frac{\partial T}{\partial q}+\eta^{\prime \prime \prime} \frac{\partial T}{\partial r}=\mathrm{m}, \quad \zeta^{\prime} \frac{\partial T}{\partial p}+\zeta^{\prime \prime} \frac{\partial T}{\partial q}+\zeta^{\prime \prime \prime} \frac{\partial T}{\partial r}=\mathrm{n} .
\]

Можно заметить, что эти уравнения являются уравнениями сохранения площадей; действительно, мы имеем (стр. 245)
\[
\begin{array}{c}
d \xi=\xi^{\prime} d a^{\prime}+\xi^{\prime \prime} d b^{\prime}+\xi^{\prime \prime \prime} d c^{\prime}, \\
d \eta=\eta^{\prime} d a^{\prime}+\eta^{\prime \prime} d b^{\prime}+\eta^{\prime \prime \prime} d c^{\prime}, \\
d \xi=\xi^{\prime} d a^{\prime}+\xi^{\prime \prime} d b^{\prime}+\xi^{\prime \prime \prime} d c^{\prime},
\end{array}
\]

а отсюда
\[
\begin{aligned}
\xi d \eta-\eta d \xi= & \left(\xi^{\prime} a+\xi^{\prime \prime} b+\xi^{\prime \prime \prime} c\right)\left(\eta^{\prime} d a^{\prime}+\eta^{\prime \prime} d b^{\prime}+\eta^{\prime \prime \prime} d c^{\prime}\right)- \\
& -\left(\eta^{\prime} a+\eta^{\prime \prime} b+\eta^{\prime \prime \prime} c\right)\left(\xi^{\prime} d a^{\prime}+\xi^{\prime \prime} d b^{\prime}+\xi^{\prime \prime \prime} d c^{\prime}\right)= \\
= & \left(a d b^{\prime}-b d a^{\prime}\right) \xi^{\prime \prime \prime}-\left(a d c^{\prime}-c d a^{\prime}\right) \xi^{\prime \prime}+\left(b d c^{\prime}-c d b^{\prime}\right) \xi^{\prime}, \\
\xi d \zeta-\zeta d \xi= & \left(\xi^{\prime} a+\xi^{\prime \prime} b+\xi^{\prime \prime \prime} c\right)\left(\zeta^{\prime} d a^{\prime}+\zeta^{\prime \prime} d b^{\prime}+\zeta^{\prime \prime \prime} d c^{\prime}\right)- \\
& -\left(\zeta^{\prime} a+\zeta^{\prime \prime} b+\zeta^{\prime \prime \prime} c\right)\left(\xi^{\prime} d a^{\prime}+\xi^{\prime \prime} d b^{\prime}+\xi^{\prime \prime \prime} d c^{\prime}\right)= \\
= & -\left(a d b^{\prime}-b d a^{\prime}\right) \eta^{\prime \prime \prime}+\left(a d c^{\prime}-c d a^{\prime}\right) \eta^{\prime \prime}-\left(b d c^{\prime}-c d b^{\prime}\right) \eta^{\prime}, \\
\eta d \zeta-\zeta d \eta= & \left(\eta^{\prime} a+\eta^{\prime \prime} b+\eta^{\prime \prime \prime} c\right)\left(\zeta^{\prime} d a^{\prime}+\zeta^{\prime \prime} d b^{\prime}+\zeta^{\prime \prime \prime} d c^{\prime}\right)- \\
& -\left(\zeta^{\prime} a+\zeta^{\prime \prime} b+\zeta^{\prime \prime \prime} c\right)\left(\eta^{\prime} d a^{\prime}+\eta^{\prime \prime} d b^{\prime}+\eta^{\prime \prime \prime} d c^{\prime}\right)= \\
= & \left(a d b^{\prime}-b d a^{\prime}\right) \xi^{\prime \prime \prime}-\left(a d c^{\prime}-c d a^{\prime}\right) \xi^{\prime \prime}+\left(b d c^{\prime}-c d b^{\prime}\right) c^{\prime} .
\end{aligned}
\]

Если взять суммы, то мы найдем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial T}{\partial p} d t=\mathbf{S} m\left(b d c^{\prime}-c d b^{\prime}\right), \\
\frac{\partial T}{\partial q} d t=\mathbf{S} m\left(c d a^{\prime}-a d c^{\prime}\right), \\
\frac{\partial T}{\partial r} d t=\mathbf{S} m\left(a d b^{\prime}-b d a^{\prime}\right) ;
\end{array}
\]

отсюда мы также получим
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial T}{\partial p}=1 \xi^{\prime}+\mathrm{m} \eta^{\prime}+\mathrm{n} \xi^{\prime}, \\
\frac{\partial T}{\partial q}=1 \xi^{\prime \prime}+\mathrm{m} \eta^{\prime \prime}+\mathrm{n} \xi^{\prime \prime}, \\
\frac{\partial T}{\partial r}=1 \xi^{\prime \prime \prime}+\mathrm{m} \eta^{\prime \prime \prime}+\mathrm{n} \xi^{\prime \prime \prime},
\end{array}\right\}
\]

а если значения $p, q, r$, взятые из этих уравнений, затем подставить в уравнение
\[
T+V=\text { const. },
\]

то мы получим конечное уравнение относительно $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \ldots$, т. е. между углами $\varphi, \psi$ и $\omega$.

Приведенные выше уравнения (c) тождественны с теми уравнениями, которые на стр. 276 мы нашли менее прямым путем.

Если уравнения (b) умножить на $\frac{d L}{d t}, \frac{d M}{d t}, \frac{d N}{d t}$ и затем сложить, то на основании формул страницы 242 мы, в силу равенств
\[
p=\frac{d P}{d t}, \quad q=\frac{d Q}{d t}, \quad r=\frac{d R}{d t},
\]

получим
\[
p \frac{\partial T}{\partial p}+q \frac{\partial T}{\partial q}+r \frac{\partial T}{\partial r}=\frac{\mathrm{l} d L+\mathrm{m} d M+\mathrm{n} d N}{d t} .
\]

Но мы нашли уравнение
\[
p d \frac{\partial T}{\partial p}+q d \frac{\partial T}{\partial q}+r d \frac{\partial T}{\partial r}=0,
\]

которое получается из уравнений (a), если их умножить на $p, q, r$ и сложить; следовательно, если через $\mathrm{d} T$ обозначить вариацию $T$ только по $a, b, c$, то мы будем иметь
\[
d T=\frac{\partial T}{\partial p} d p+\frac{\partial T}{\partial q} d q+\frac{\partial T}{\partial r} d r+\mathrm{d} T
\]

стало быть, если данное уравнение сложить с предыдущим, то мы получим
\[
d T=d\left(p \frac{\partial T}{\partial p}+q \frac{\partial T}{\partial q}+r \frac{\partial T}{\partial r}\right)+d T ;
\]

следовательно,
\[
p \frac{\partial T}{\partial p}+q \frac{\partial T}{\partial q}+r \frac{\partial T}{\partial r}=T-\int \mathrm{d} T+\mathrm{const}
\]

Но принцип живых сил дает
\[
T+V=\text { const. }
\]

следовательно, мы имеем
\[
p \frac{\partial T}{\partial p}+q \frac{\partial T}{\partial q}+r \frac{\partial T}{\partial r}=K-\int d T-V
\]

стало быть,
\[
1 \frac{d L}{d t}+\mathrm{m} \frac{d M}{d t}+\mathrm{n} \frac{d N}{d t}=K-\int \mathrm{d} T-V ;
\]

а если $a, b, c$-постоянные величины, то $\mathrm{d} T=0$, а $V$ будет постоянной величиной, как если бы оно зависело только от внутренних сил.

Уравнение (К) показывает, что скорость вращения вокруг определенной неподвижной в пространстве оси в данном случае постоянна. В самом деле, так как в формулах страницы $242 d P$, $d Q, d R$ обозначают вращения вокруг осей координат $a, b, c$, a $d L$, $d M, d N$ – вращения вокруг осей $x, y, z$, то отсюда следует, что если первые принять за $d L, d M, d N$, то последние можно отнести к другим осям, по отношению к которым они теперь превратятся в $(d L),(d M),(d N)$, причем положение новых осей тогда определится с помощью величин $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \ldots$, которые я обозначу через $\left(\xi^{\prime}\right),\left(\eta^{\prime}\right), \ldots$ Тогда мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
(d L)=\left(\xi^{\prime}\right) d L+\left(\xi^{\prime \prime}\right) d M+\left(\xi^{\prime \prime \prime}\right) d N, \\
(d M)=\left(\eta^{\prime}\right) d L+\left(\eta^{\prime \prime}\right) d M+\left(\eta^{\prime \prime \prime}\right) d N \\
(d N)=\left(\xi^{\prime}\right) d L+\left(\xi^{\prime \prime}\right) d M+\left(\xi^{\prime \prime \prime}\right) d N .
\end{array}
\]

Так как $\left(\xi^{\prime}\right)^{2}+\left(\xi^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(\xi^{\prime \prime \prime}\right)^{2}=1$, то если приведенное выше уравнение представить в виде
\[
\frac{1 \frac{d L}{d t}+\mathrm{m} \frac{d M}{d t}+\mathrm{n} \frac{d N}{d t}}{\sqrt{\mathrm{l}^{2}+\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}}}=\frac{K-\int \mathrm{d} T-V}{\sqrt{\mathrm{1}^{2}+\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}}},
\]

то мы можем положить
\[
\begin{array}{c}
\left(\xi^{\prime}\right)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{i}^{2}+\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}}}, \quad\left(\xi^{\prime \prime}\right)=\frac{\mathrm{m}}{\sqrt{1^{2}+\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}}}, \\
\left(\xi^{\prime \prime \prime}\right)=\frac{\mathrm{n}}{\sqrt{1^{2}+\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}}},
\end{array}
\]

и тогда мы будем иметь
\[
\frac{(d L)}{d t}=\frac{K-\int \mathrm{d} T-V}{\sqrt{1^{2}+\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}}} .
\]

Итак, скорость вращения вокруг неподвижной оси выразится следующим образом:
\[
\frac{K-\int \mathrm{d} T-V}{\sqrt{\mathrm{1}^{2}+\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}}} ;
\]

она, следовательно, постоянна, когда d $T$ равен нулю и функция $V$ постоянна.

В том случае, когда ускоряющие силы зависят от притяжения тела, координаты которого относительно центра координат $a, b, c$, параллельные осям координат $\xi, \eta, \xi$, равны $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$, мы имеем
\[
\Pi=\frac{1}{\sqrt{(\mathrm{x}-\xi)^{2}+(\mathrm{y}-\eta)^{2}+(L-\zeta)^{2}}}, \quad V=\mathbf{S} \Pi D m .
\]

Ho
\[
\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}=\mathrm{r}^{2}, \quad \xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}=r^{2} ;
\]

следоватөльно,
\[
\begin{aligned}
\Pi & =\frac{1}{\sqrt{\mathrm{r}^{2}+r^{2}-2(\mathrm{x} \xi+\mathrm{y} \eta+\mathrm{z} \zeta)}}= \\
& =\frac{1}{\mathrm{r}}+\frac{\mathrm{x} \xi+\mathrm{y} \eta+\mathrm{z} \xi-\frac{r^{2}}{2}}{\mathrm{r}^{3}}+\frac{3}{2} \frac{(\mathrm{x} \xi+\mathrm{y} \eta+\mathrm{z} \xi)^{2}}{\mathrm{r}^{5}}
\end{aligned}
\]

Ho
\[
\xi=a \xi^{\prime}+b \xi^{\prime \prime}+c \xi^{\prime \prime \prime}+\ldots ;
\]

стало быть,
\[
\begin{aligned}
\mathrm{x} \xi+\mathrm{y} \eta+\mathrm{z} \zeta=a\left(\mathrm{x} \bar{\zeta}^{\prime}+\mathrm{y} \eta^{\prime}+\mathrm{z} \zeta^{\prime}\right)+b\left(\mathrm{x} \xi^{\prime \prime}+\right. & \left.\mathrm{y} \eta^{\prime \prime}+\mathrm{z} \zeta^{\prime \prime}\right)+ \\
& +c\left(\mathrm{x} \xi^{\prime \prime \prime}+\mathrm{y} \eta^{\prime \prime \prime}+\mathrm{z} \zeta^{\prime \prime \prime}\right)
\end{aligned}
\]

Пусть
\[
\begin{aligned}
\mathrm{x} \xi^{\prime}+\mathrm{y} \eta^{\prime}+\mathrm{z} \xi^{\prime} & =\lambda, \\
\mathrm{x} \xi^{\prime \prime}+\mathrm{y} \eta^{\prime \prime}+\mathrm{z} \xi^{\prime \prime} & =\mu, \\
\mathrm{x} \xi^{\prime \prime \prime}+\mathrm{y} \eta^{\prime \prime \prime}+\mathrm{z} \xi^{\prime \prime \prime} & =\gamma ;
\end{aligned}
\]

тогда мы имеем
\[
\Pi=\frac{1}{\mathrm{r}}+\frac{a \lambda+b_{\downarrow}+c \gamma}{\mathrm{r}^{3}}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2 \mathrm{r}^{3}}+\frac{3(a \lambda+b \mu+c \gamma)^{2}}{2 \mathbf{r}^{5}}
\]

и (если сохранить только последний член)
\[
\begin{aligned}
V=\frac{3}{2 \mathrm{r}^{5}}\left(\frac{B+C-A}{2} \lambda^{2}\right. & +\frac{A+C-B}{2} \mu^{2}+ \\
& \left.+\frac{A+B-C}{2}
u^{2}+2 F \mu
u+2 G \lambda
u+2 H \lambda \mu\right) .
\end{aligned}
\]

Если все время принимать во внимание только последний член, то мы получим
\[
\begin{array}{l}
b \frac{\partial \Pi}{\partial c}-c \frac{\partial \Pi}{\partial b}=\frac{3\left(a \lambda+b_{\mathrm{r}^{\perp}}+c \gamma\right)}{\mathrm{r}^{5}}\left(b_{
u}-c \mu\right), \\
c \frac{\partial \Pi}{\partial a}-a \frac{\partial \Pi}{\partial c}=\frac{3\left(a \lambda+b_{i}+c_{\gamma}\right)}{\mathrm{r}^{5}}\left(c \lambda-a_{
u}\right) \text {, } \\
a \frac{\partial \Pi}{\partial b}-b \frac{\partial \Pi}{\partial a}=\frac{3\left(a \lambda+b_{\mu}+c
u\right)}{\mathbf{r}^{5}}\left(a_{\mu}-b \lambda\right) ; \\
\end{array}
\]

если приведенные выше выражения умножить на $D m$ и проинтегрировать, то мы получим
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}\left(b \frac{\partial \Pi}{\partial c}-c \frac{\partial \Pi}{\partial b}\right) D m=\frac{3}{\mathrm{r}^{5}}\left[(C-B) \mu
u+H \lambda
u+F\left(
u^{2}-\mu^{2}\right)-G \mu \lambda\right], \\
\mathbf{S}\left(c \frac{\partial \Pi}{\partial a}-a \frac{\partial \Pi}{\partial c}\right) D m=\frac{3}{\mathrm{r}^{5}}\left[\left(G \lambda^{2}-
u^{2}\right)+F \lambda \mu+(A-C) \lambda
u-H \mu
u\right], \\
\mathbf{S}\left(a \frac{\partial \Pi}{\partial b}-b \frac{\partial \Pi}{\partial a}\right) D m=\frac{3}{\mathrm{r}^{5}}\left[(B-A) \lambda \lambda+H\left(\mu^{2}-\lambda^{2}\right)+G \mu
u-F \lambda
u\right) .
\end{array}
\]

Эти члены следует прибавить к трем уравнениям (A), которые, стало быть, примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \frac{\partial T}{\partial p}}{d t}+q \frac{\partial T}{\partial r}-r \frac{\partial T}{\partial q}+\frac{3\left[(C-B) \mu
u+F\left(
u^{2}-\mu^{2}\right)+H \lambda
u-G \mu \lambda\right]}{r^{5}}=0, \\
\frac{d \frac{\partial T}{\partial q}}{d t}+r \frac{\partial T}{\partial p}-p \frac{\partial T}{\partial r}+\frac{3\left[(A-C) \lambda
u+G\left(\lambda^{2}-
u^{2}\right)+F \lambda \mu-H \mu
u\right]}{r^{5}}=0, \\
\frac{d \frac{\partial T}{\partial r}}{d t}+p \frac{\partial T}{\partial q}-q \frac{\partial T}{\partial p}+\frac{3\left[(B-A) \lambda \mu+H\left(\mu^{2}-
u^{2}\right)+G \mu
u-F \lambda
u\right]}{r^{5}}=0 .
\end{array}
\]

Отсюда мы получаем следующие уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d\left(\xi^{\prime} \frac{\partial T}{\partial p}+\xi^{\prime \prime} \frac{\partial T}{\partial q}+\xi^{\prime \prime \prime} \frac{\partial T}{\partial r}\right)}{d t}+(P) \xi^{\prime}+(Q) \xi^{\prime \prime}+(R) \xi^{\prime \prime \prime}=0, \\
\frac{d\left(\eta^{\prime} \frac{\partial T}{\partial p}+\eta^{\prime \prime} \frac{\partial T}{\partial q}+\eta^{\prime \prime \prime} \frac{\partial T}{\partial r}\right)}{d t}+(P) \eta^{\prime}+(Q) \eta^{\prime \prime}+(R) \eta^{\prime \prime \prime}=0, \\
\frac{d\left(\zeta^{\prime} \frac{\partial T}{\partial p}+\zeta^{\prime \prime} \frac{\partial T}{\partial q}+\xi^{\prime \prime \prime} \frac{\partial T}{\partial r}\right)}{d t}+(P) \zeta^{\prime}+(Q) \zeta^{\prime \prime}+(R) \xi^{\prime \prime \prime}=0,
\end{array}
\]

где $(P),(Q),(R)$ обозначают части приведенных выше уравнений, не зависящие от $p, q, r$.

Положим для краткости $F=0, G=0, H=0$; сверх того, в левых частях уравнений отбросим разности $A, B, C$; тогда мы нолучим
\[
\frac{\partial T}{\partial p}=A p, \frac{\partial T}{\partial q}=A q, \frac{\partial T}{\partial r}=A r,
\]

и наши уравнения примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
A \frac{d^{2} L}{d t^{2}}+\frac{3\left[(C-B) \mu
u \xi^{\prime}+(A-C) \lambda
u \xi^{\prime \prime}+(B-A) \lambda \mu \xi^{\prime \prime \prime}\right]}{\mathbf{r}^{5}}=0, \\
A \frac{d^{2} M}{d t^{2}}+\frac{3\left[(C-B) \mu
u \eta^{\prime}+(A-C) \lambda
u \eta^{\prime \prime}+(B-A) \lambda \mu \eta^{\prime \prime \prime}\right]}{\mathrm{r}^{5}}=0, \\
A \frac{d^{2} N}{d t^{2}}+\frac{3\left[(C-B) \mu
u \xi^{\prime}+(A-C) \lambda
u \xi^{\prime \prime}+(B-A) \lambda \mu \xi^{\prime \prime \prime}\right]}{\mathrm{r}^{5}}=0 .
\end{array}
\]

Положив еще $A \leftrightharpoons B$, мы получим
\[
\begin{array}{l}
A \frac{d^{2} L}{d t^{2}}+\frac{3}{\mathrm{r}^{5}}(C-A)\left(\zeta^{\prime \prime \prime} \mathrm{y}-\eta^{\prime \prime \prime} \mathrm{z}\right)
u=0 \\
A \frac{d^{2} M}{d t^{2}}+\frac{3}{\mathrm{r}^{5}}(C-A)\left(\xi^{\prime \prime \prime} \mathrm{z}-\zeta^{\prime \prime \prime} \mathrm{x}\right)
u=0 \\
A \frac{d^{2} N}{d t^{2}}+\frac{3}{\mathrm{r}^{5}}(C-A)\left(\eta^{\prime \prime \prime} \mathrm{x}-\xi^{\prime \prime \prime} \mathrm{y}\right)
u=0 \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]