3. Когда рассматривается движение только одного изолированного тела, то его массу $m$ можно положить равной единице, и тогда получается просто
\[
T=\frac{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}{2 d t^{2}}, \quad V=\Pi
\]
n
В этом случае, каковы бы ни были три координаты, определяющие положевие тела в пространстве, эти координаты, в силу своей независимости, дают три дифференциальных уравнения следующего вида:
\[
d \frac{\partial \mathbf{T}}{\partial d \bar{\xi}}-\frac{\partial \mathbf{T}}{\partial \bar{\xi}}+\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial \hat{\zeta}}=0
\]
к которым можно еще присоединить уравнение первого порядка
\[
T+V=H,
\]
которое заменит одно из них.
Если бы движение происходило в сопротивляющейся среде, то, обозначив сопротивление через $R$, следовало бы лишь к значению бV прибавить члены (отд. II, п. 8)
\[
R\left(\frac{d x}{d s} \delta x+\frac{d y}{d s} \dot{\delta} y+\frac{d z}{d s} \delta z\right),
\]
но в этом случае уравнение $T+V=H$ уже не имело бы места.
4. Предположим, что тело $m$ притягивается к неподвижному центру силой $R$, являющейся функцией расстояния $r$ тела от центра; тогда мы имеем просто
\[
V=\int R d r
\]
Примем расстояние $r$ за одну из координат тела, а за две другие возьмем угол $\psi$, образуемый радиусом-вектором $r$ с плоскостью $x y$, и угол $\varphi$, образуемый проекцией $r$ на эту плоскость с осью $x$; если начало прямоугольных координат $x, y, z$ поместить в неподвижном центре, так что
\[
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
\]
то мы легко найдем
\[
x=r \cos \psi \cos \varphi, \quad y=r \cos \psi \sin \varphi, \quad z=r \sin \psi,
\]
и отсюда
Таким образом, мы получим три дифференциальных уравнения относительно $r, \psi$, $\varphi$ :
\[
\begin{array}{l}
d \frac{\delta \mathbf{T}}{\partial d r}-\frac{\delta \mathbf{T}}{\partial r}+\frac{\delta \mathbf{V}}{\partial r}=0, \\
d \frac{\delta \mathbf{T}}{\partial d \psi}-\frac{\partial \mathbf{T}}{\partial \psi}+\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial \psi}=0, \\
d \frac{\delta \mathbf{T}}{\partial d p}-\frac{\delta \mathbf{T}}{\partial ?}+\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial p}=0,
\end{array}
\]
которые принимают следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} r}{d t^{2}}-\frac{r\left(\cos ^{2} \psi d \rho^{2}+d t^{2}\right)}{d t^{2}}+R & =0, \\
d \frac{r^{2} d \psi}{d t^{2}}+\frac{r^{2} \sin \psi \cos \psi d \rho^{2}}{d t^{2}} & =0, \\
d \frac{r^{2} \cos ^{2} \psi d \rho}{d t} & =0,
\end{aligned}
\]
и уравнение
\[
T+V=H
\]
тотчас же дает первый интеграл
\[
\frac{r^{2}\left(\cos ^{2} \psi d p^{2}+d \psi^{2}\right)+d r^{2}}{d t^{2}}+2 \int R d r=2 H,
\]
в котором $H$ является произвольной постоянной.
5. Последнее из приведенных выше трех дифференциальных уравнений интегрируется непосредственно, его интегралом будет
\[
\frac{r^{2} \cos ^{2} \psi d p}{d t}=C,
\]
где $C$ – произвольная постоянная; второе же уравнение становится интегрируемым, если в него вместо $\frac{d f}{d t}$ подставить выражение $\frac{C}{r^{3} \cos ^{2} \psi}$, выведенное из полученного интеграла, и затем помножить на $2 r^{2} d \Psi$; интегралом является уравнение
\[
\frac{r^{4} d \psi^{2}}{d t^{2}}+\frac{C^{2}}{\cos ^{2} \psi}=E^{2},
\]
где $E$ – новая произвольная постоянная.
Из этого интеграла я ирежде всего делаю тот вывод, что если допустить, что $\psi$ и $\frac{d \psi}{d t}$ в некоторое мгновение одновременно становятся равными нулю, то они обязательно всегда остаются равными нулю; в самом деле, если для некоторого мгновения положить $\psi=0$ и $\frac{d \psi}{d t}=0$, то последнее уравнение даст
$C^{2}=E^{2}$, а после подстановки $C^{2}$ вместо $E^{2}$ это уравнение примет следующий вид:
\[
\frac{r^{4} d \psi^{2}}{d t^{2}}+C^{2} \operatorname{tg}^{2} \psi=0
\]
последнее может иметь место только в том случае, если
\[
\psi=0, \quad \frac{d \psi}{d t}=0 .
\]
Указанное допущение сводится к тому, что в некоторое мгновение тело движется в плоскости $x y$, что всегда возможно, так как положение этой плоскости является произвольным; тогда тело будет продолжать двигаться в той же плоскости и обязательно будет ошисывать плоскую орбиту, т. е. линию простой кривизны. Это мояно доказать и непосредственно путем интегрирования того же уравнения. Действительно, если в нем вместо $d t$ подставить его значение, выведенное из первого уравнения, то оно примет следуюцций вид:
\[
\frac{C^{2} d \gamma^{2}}{\cos ^{4} \psi_{\gamma^{2}}{ }^{2}}+\frac{C^{2}}{\cos ^{2} \psi}=E^{2} \text {. }
\]
Допустим, что когда $\psi=0, \frac{d \psi}{d i}=\operatorname{tg} i$, тогда мы имеем
\[
E^{2}=C^{2}+C^{2} \operatorname{tg}^{2} i=\frac{C^{2}}{\cos ^{2} i},
\]
и последнее уравнение превращается в
\[
\frac{d \psi^{2}}{\cos ^{4} \psi d \gamma^{2}}=\frac{1}{\cos ^{2} i}-\frac{1}{\cos ^{2} \psi}=\operatorname{tg}^{2} i-\operatorname{tg}^{2} \psi,
\]
откуда мы получаем
\[
d \varphi=\frac{d \psi}{\cos ^{2} \psi \sqrt{\operatorname{tg}^{2} i-\operatorname{tg}^{2} \psi}},
\]
уравнение с разделенными переменными, интеграл которого имеет вид
\[
\varphi-h=\arcsin \frac{\operatorname{tg} \psi}{\operatorname{tg} i}
\]
или
\[
\operatorname{tg} \psi=\operatorname{tg} i \sin (?-h),
\]
где $h$ есть значение $\varphi$ для $\psi=0$.
Из последнего уравнения видно, что $\varphi-h$ и $\psi$ являются двумя сторонами прямоугольного сферического треугольника, в котором $i$ представляет собою угол, противолежащий стороне ‡. Так как мы допустили, что дуга $\varphi$ – $h$ лежит в плоскости $x y$, а дуга \& всегда перпендикулярна к этой же плоскости, то отсюда следует, что дуга, соединяющая эти две дуги и являющаяся гипотенузой треугольника, образует с основанием $\varphi-h$ постоянный угол $i$; следовательно, эта дуга будет проходить через концы всех дуг $\psi$, и все радиусы $r$ будут находиться в плоскости той же дуги, которая, таким образом, будет плоскостью орбиты тела, наклон которой ₹ плоскости $x y$ будет постоянным углом $i$ и пересечение которой с той же плоскостью образует с осью $x$ угол $h$.
Если принять для определенности за плоскость $x y$ плоскость эклиптики, то фудет долготой на эклиптике, $\psi$-широтой, $h$-долготой узла орбиты и $i$-ее наклонением.
6. Обратимся теперь к интегралу
\[
\frac{r^{2}\left(\cos ^{2} \psi d \stackrel{\tau}{2}^{2}+d \psi^{2}\right)+d r^{2}}{d t^{2}}+2 \int R d r=2 H ;
\]
подставляя сода вместо $d \downarrow$ найденное выше его значение, выраженное через $d \varphi$, мы получим
\[
\frac{r^{2} \cos ^{4} \psi d \rho^{2}}{\cos ^{2} i d t^{2}}+\frac{d r^{2}}{d t^{2}}+2 \int R d r=2 H .
\]
Подставляя теперь сюда вместо $d p$ его значение из уравнения
\[
\frac{r^{2} \cos ^{2} \psi d ?}{d t}=C
\]
и полагая
\[
\frac{C}{\cos i}=D,
\]
мы получим уравнение
\[
\frac{d r^{2}}{\overline{d t^{2}}}+\frac{D^{2}}{r^{2}}+2 \int R d r=2 H,
\]
откуда находим
\[
d t=\frac{d r}{\sqrt{2 H-2 \int R d r-\frac{L^{2}}{r^{2}}}} .
\]
Проинтегрировав это уравнение, мы получим выражение для $t$ в функции $r$ и, обратно, выражение для $r$ в функции $t$.
7. Далее, мы получим $\varphi$ с помошью уравнения
\[
d \varphi=\frac{D \cos i d t}{r^{2} \cos ^{2} \psi}
\]
но так как плоскость углов $甲$ является произвольной, то если ее избрать таким образом, чтобы она совпала с плоскостью орбиты, положив $i=0$, то мы будем иметь также $\psi=0$ (п. 5); следовательно, $d p=\frac{D d t}{r^{2}}$, и в этом случае угол $d \varphi$ будет тем углом, который радиус $r$ описывает в плоскости орбиты. Поэтому, если мы обозначим вообще этот угол через $d \Phi$, то будем иметь
\[
d \Phi=\frac{D d t}{r^{2}}
\]
и, подставив сюда значение $d t$, выраженное через $d r$,-
\[
d \Phi=\frac{D d r}{r^{2} \sqrt{2 H-2 \int R d r-\frac{D^{2}}{r^{2}}}} ;
\]
интеграл этого уравнения даст нам значение Ф в функции $r$ и, обратно, – значение $r$ в функции $\Phi$.
Далее, выражение $\varphi$ в функции $\Phi$ мы получим с помощью уравнения
\[
d \Phi=\frac{\cos ^{2} \psi d \varphi}{\cos i},
\]
которое после подстановки вместо $\cos \psi$ его значения, полученного из найденного выше уравнения
\[
\operatorname{tg} \psi=\operatorname{tg} i \sin (\varphi-h),
\]
примет следующий вид:
\[
d \Phi=\frac{d \varphi}{\cos i\left[1+\operatorname{tg}^{2} i \sin ^{2}(\varphi-h)\right]}=\frac{\cos i d \operatorname{tg}(?-h)}{\cos ^{2} i+\operatorname{tg}^{2}(?-h)},
\]
откуда интегрированием получаем
\[
\Phi+k=\operatorname{arctg} \frac{\operatorname{tg}(\varphi-h)}{\cos i},
\]
где $k$-произвольная постоянная; а из этого уравнения мы имеем
\[
\operatorname{tg}(\varphi-h)=\cos i \operatorname{tg}(\Phi+k) ;
\]
последнее уравнение показывает, что $\Phi+k$ является гипотенузой прямоугольного сферического треугольника, которого основание есть $p-h$, прилежащий к нему угол $i$ (п. 5), а $џ$ является стороной, противолежащей $i$.
Отсюда видно, что $\Phi+k$ представляет собою угол, описываемый радиусом $r$ в плоскости орбиты, начало которого лежит на линии пересечения этой плоскости с плоскостью $x y$; что $-h$ представляет собою угол, описываемый проекцией этого радиуса на ту же плоскость и что $i$ является углом наклона плоскости орбиты к неподвижной плоскости $x y$.
8. Таким образом, данная задача разрешена, ибо она сводится лишь к интегрированию двух уравнений с разделенными переменными между $t$, $\Phi$ и $r$; шестью произвольными постоянными, необходимыми для полного интегрирования трех дифференциальных уравнений в геременных $r$, ? и $\psi$, будут $i, h, D, H$ и две постоянные, которые появятся в выражениях $t$ и Ф в результате интегрирования.
В приведенном выше решении мы избрали в качестве координат радиус-вектор и два угла-долготу и широту с тем, чтобы сообразоваться с практикой астрономов; но это решение имеет еще и то преимущество, что оно прямо дает большинство теорем, которые обычно находятся только с помощью сферической тригонометрии. Если, однако, подойти к нему с аналитической точки зрения, то оно представляется менее простым, чем если бы мы сохранили первоначальные прямоугольные координаты. Представляется уместным это показать – тем более, что одновременно будут получены новые формулы, которые в дальнейшем могут оказаться полезными.
9. Если за три независимые переменные принять w, $y, z$, то общие формулы пункта 3 тотчас же дают три дифференциальных уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+R \frac{x}{r}=0, \\
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+R \frac{y}{r}=0, \\
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+R \frac{z}{r}=0,
\end{array}
\]
и интегральное уравнение [1]
\[
\frac{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}{2 d t^{2}}+\int R d r=H .
\]
Исключая $R$ из трех дифференциальных уравнений, мы тотчас же получим три интегрируемых уравнения, интегралы которых будут
\[
\begin{array}{l}
\frac{x d y-y d x}{d t}=C, \\
\frac{z d x-x d z}{d t}=B, \\
\frac{y d z-z d y}{d t}=A,
\end{array}
\]
где $C, B, A$-произвольные постоянные, из которых первое тождественно с произвольным постоянным уравнения
\[
\frac{r^{2} \cos ^{2} \psi d p}{d t}=C
\]
пункта 5 , так как последнее по существу является только результатом преобразования уравнения
\[
\frac{x d y-y d x}{d t}=C,
\]
путем подстановки значений $x, y, z$, указанных в пункте 4.
Эти три интеграла соответствуют тем интегралам, которые мы дали в пункте 9 отдела III для системы тел, откуда мы и могли бы их заимствовать.
10. Беря сумму квадратов трех последних уравнений и применяя следующее известное тождество:
\[
\begin{array}{l}
(x d y-y d x)^{2}+(z d x-x d z)^{2}+(y d z-z d y)^{2}= \\
\quad=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}\right)-(x d x+y d y+z d z)^{2},
\end{array}
\]
мы получим уравнение
\[
\frac{r^{2}\left(d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}\right)-r^{2} d r^{2}}{d t^{2}}=A^{2}+B^{2}+C^{2} ;
\]
подставляя сюда вместо суммы $d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}$ ее значение, полученное из первого интеграла, и полагая для краткости
\[
A^{2}+B^{2}+C^{2}=D^{2},
\]
мы находим
\[
2 r^{2}\left(H-\int R d r\right)-\frac{r^{2} d r^{2}}{d t^{2}}=D^{2},
\]
откуда тотчас же получается
\[
d t=\frac{d r}{\sqrt{2 H-2 \int R d r-\frac{L^{2}}{r^{2}}}},
\]
аналогично тому, что было получено в пункте 6.
Если те же уравнения сложить, умножив предварительно первое из них на $z$, второе на $y$ и третье на $x$, то мы получим уравнение
\[
C z+B y+A x=0,
\]
которое является уравнением плоскости, проходящей через начало координат, и показывает, что орбита, описываемая телом, является плоской кривой, ошисанной вокруг центра сил.
11. Обозначим через $\xi, \eta$ прямоугольные координаты в плоскости этой кривой, причем за ось в примем линию пересечения шлоскости кривой с плоскостью $x y$; сверх того, как и в пункте 5 , обозначим через $i$ угол, образуемый этими двумя плоскостями, и через $h$-угол, образуемый той же линией пересечения с осью $x$; эти две величины $i$ и $h$ будут постоянными, и, согласно известным формулам преобразования координат, мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
x=\xi \cos h-\eta \cos i \sin h, \\
y=\xi \sin h+\eta \cos i \cos h, \\
z=\eta \sin i .
\end{array}
\]
Если эти выражения подставить в приведенные выше уравнения, то они дадут следующие уравнения:
\[
\begin{array}{r}
\frac{\xi d \eta-\eta d \xi}{d t} \cos i=C, \\
\frac{\eta d \xi-\xi d \eta}{d t} \sin i \cos h=B, \\
\frac{\xi d \eta-\eta d \xi}{d t} \sin i \sin h=A .
\end{array}
\]
Сложив их квадраты и извлекая затем корень, мы цолучим (п. 6)
\[
\frac{\xi d \eta-\eta d \xi}{d t}=\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}=\frac{C}{\cos i}=D,
\]
так что постоянные $A, B, C$ выразятся следующим обравом:
\[
C=D \cos i, \quad B=-D \sin i \cos h ; \quad A=D \sin i \sin h .
\]
Но если, подобно тому, как это было сделано в пункте 7 , обозначить через $\Phi+k$ угол, образуемый радиусом-вектором с линией пересечения плоскости орбиты с неподвижной плоскостью $x y$, то, очевидно мы будем иметь
\[
\xi=r \cos (\Phi+k), \quad \eta=r \sin (\Phi+k),
\]
и последнее из приведенных выше уравнений примет следующий вид:
\[
r^{2} d \Phi=D d t,
\]
что дает нам известную теорему, согласно которой площадь сектора $\int r^{2} d \Phi$ пропорциональна времени $t$.
Подставив сюда выражение для $d t$, мы получим
\[
d \Phi=\frac{D d r}{r^{2} \sqrt{2 H-2 \int R d r-\frac{D^{2}}{r^{2}}}},
\]
как и в упомянутом выше пункте.
Таким образом, задача снова сводится к интегрированию двух уравнений с разделенными переменными относительно $t$, Ф и $r$, что мы уже установили раньше (п. 6 и 7), но данное интегрирование зависит от выражения центральной силы $R$ в функции радиуса $r$.
12. Из полученных уравнений видно, что наибольшее или наименьшее значение радиуса по отношению ко времени $t$ или по отношению к углу Ф будет определено уравнением
\[
2 H-2 \int R d r-\frac{D^{2}}{r^{2}}=0 .
\]
Допустим, что при интегрировании указанных выше уравнений мы будем брать интегралы по $r$ таким образом, что их нижиим пределом будет минимальное значение $r$ и что угол $\Phi$ отсчитывается от соответствующей точки орбиты; тогда угол $k$ будет тем углом, который образует радиус, проходящий через ту же точку, с линией пересечения орбиты с неподвижной плоскостью (п. 7); присоединяя эту постоянную величину $k$ к постоянной, которую может еще дать интегрирование по $t$, и к постоянным $A, B, C, H$ или $D, i, h, H$, мы будем иметь все шесть произвольных постоянных, которые и должно дать интегрирование трех дифференциальных уравнений относительно $x, y, z$ и $t$.
13. Если теперь положить
\[
X=r \cos \Phi, \quad Y=r \sin \Phi,
\]
то ясно, что $X$ и $Y$ будут прямоугольными координатами в плоскости кривой и имеющими то же начало, что и радиус $r$, причем абсциссы $X$ направлены к той точке, в которой $r$ имеет минимум; если эти величины подставить в выражения для $\xi$ и $\eta$ пункта 11, то мы будем иметь
\[
\xi=X \cos k-Y \sin k, \quad \eta=Y \cos k+X \sin k .
\]
Подставим эти значения в выражения для $x, y, z$, приведенные в том же пункте, и положим для краткости
\[
\begin{aligned}
\alpha & =\cos k \cos h-\sin k \sin h \cos i, \\
\beta & =-\sin k \cos h-\cos k \sin h \cos i, \\
\alpha_{1} & =\cos k \sin h+\sin k \cos h \cos i, \\
\beta_{1} & =-\sin k \sin h+\cos k \cos h \cos i, \\
\alpha_{2} & =\sin k \sin i, \\
\beta_{2} & =\cos k \sin i
\end{aligned}
\]
тогда мы получим
\[
\begin{array}{l}
x=\alpha X+\beta Y=r(\alpha \cos \Phi+\beta \sin \Phi), \\
y=\alpha_{1} X+\beta_{1} Y=r\left(\alpha_{1} \cos \Phi+\beta_{1} \sin \Phi\right), \\
z=\alpha_{2} X+\beta_{2} Y=r\left(\alpha_{2} \cos \Phi+\beta_{2} \sin \Phi\right) .
\end{array}
\]
Эти выражения обладают тем преимуществом, что величины, зависящие от движения по орбите, отделены от величин, зависящих исключительно от положения орбиты относительно неподвижной плоскости $x y$.
Приведенные выражения для $x, y, z$ находятся в полном соответствии с общей теорией, изложенной раньше
(отд. II, п. 10), и могли бы быть непосредственно выведены из последней.
В самом деле, если мы наперед рассматриваем движение по орбите, то мы имеем лишь координаты $X, Y$, так как третья координата $Z$ равна нулю; они содержат в себе лишь три произвольные постоянные и могут быть рассматриваемы как частные значения общих координат $x, y, z$; затем с помощью коэффициентов $\alpha, \beta, \alpha_{1}, \ldots$, содержащих три другие постоянные, определяются и общие координаты.
14. Если бы вместо того, чтобы рассматривать движение в плоскости орбиты тела, мы отнесли бы это движение к любой плоскости, пользуясь тремя координатами $X, Y, Z$, которые тоже содержали бы в себе лишь три произвольные постоянные, то на основе той же теории мы получили бы общие выражения
\[
\begin{array}{l}
x=\alpha X+\beta Y+\gamma Z, \\
y=\alpha_{1} X+\beta_{1} Y+\gamma_{1} Z, \\
z=\alpha_{2} X+\beta_{2} Y+\gamma_{2} Z,
\end{array}
\]
а так как мы нашли (отд. III, п. 10)
\[
\gamma=\alpha_{1} \beta_{2}-\beta_{1} \alpha_{2}, \quad \gamma_{1}=\beta \alpha_{2}-\alpha \beta_{2}, \quad \gamma_{2}=\alpha_{1}{ }_{1}-\beta \alpha_{1},
\]
то мы имели бы
\[
\gamma=\sin h \sin i, \quad \gamma_{1}=-\cos h \sin i, \quad \gamma_{2}=\cos i .
\]
Эти выражения для $\alpha, \beta, \gamma, \alpha_{1}, \ldots$, содержащие в себе три произвольные постоянные величины $k, h, i$, удовлетворяют вообще шести заданным условным уравнениям (Статика, отд. III, II. 10):
\[
\begin{array}{c}
\alpha^{2}+\alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}=1, \quad \beta^{2}+\beta_{1}^{2}+\beta_{2}^{2}=1, \quad \gamma^{2}+\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}=1, \\
\alpha \beta+\alpha_{1} \beta_{1}+\alpha_{2} \beta_{2}=0, \quad \alpha_{\gamma}+\alpha_{1} \gamma_{1}+\alpha_{2} \gamma_{2}=0, \\
\beta \gamma+\beta_{1} \gamma_{1}+\beta_{2} \gamma_{2}=0 .
\end{array}
\]
После того как мы дали общие формулы для движения тела, притягиваемого к неподвижной точке, нам остается лишь применить их к движению планет и комет; это и послужит предметом следующих параграфов.
