1. В предыдущем отделе мы предполагали, что тела свободны и что, следовательно, они допускают все движения, которые им стремятся сообщить ускоряющие силы. При этом предположении координаты каждого из тел могут рассматриваться как независимые переменные, и каждая из них дает уравнение вида (отд. VII, II. 1)
\[
d \frac{\partial T}{\partial d \xi}-\frac{\partial T}{\partial \vec{\xi}}+\frac{\partial V}{\partial \xi}=0 .
\]

В том случае, когда тела несвободны, т. е. когда они вынуждены двигаться по заданным поверхностям или линиям, или связаны друг с другом нитями или стержнями, либо их движение стесняется иным каким угодно образом, – эти условия, будучи выражены аналитически, могут быть всегда сведены к условным уравнениям между различными координатами рассматриваемых тел; при посредстве этих условных уравнений некоторые из координат приводятся в зависимость от других и могут быть выражены с помощью функций последних. Таким образом, тогда мы имеем меньшее число независимых переменных, но каждая из них дает еще такое же уравнение, как если бы она принадлежала свободному телу. Итак, те формулы, которые мы дали в пунктах 1 и 2 предыдущего отдела, послужат для нас основой и в настоящем случае.

Какова бы ни была связь между телами, мы имеем также уравнение живых сил
\[
T+V=H .
\]
2. Если бы движение происходило в сопротивляющейся среде, то, как мы видели в пункте 3 того же отдела, пришлось бы для учета сопротивления $R$ прибавить к $\delta V$ для каждого тела $m$ члены
\[
R \frac{d x \delta x+d y \grave{\delta} y+d z \grave{\delta} z}{d s}
\]

таким образом, нам надлежало бы лишь выразить дифференциалы $\delta x, \delta y, \delta z$ через дифференциалы новых независимых переменных.

Этому преобразованию можно придать общий вид, пользуясь анализом пункта 4 отдела IV; в самом деле, если новые переменные обозначить через $\xi, \psi$, $\varphi$, то, как мы видели, величина $d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z$ преобразуется в
$F d \xi \delta \xi+G(d \xi \delta \psi+d \psi \delta \xi)+H d \psi \delta \psi+I(d \xi \delta \varphi+d \varphi \dot{\xi})+\ldots$, откуда ясно, что коэффициентом $\hat{\xi}$ является
\[
F d \xi+G d \psi+I d \varphi .
\]

Если символ $\delta$ заменить символом $d$, то преобразование выражения $d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}$ даст
\[
F d \xi^{2}+2 G d \xi d \psi+H d \dot{\varphi}^{2}+2 I d \xi d \varphi+\ldots,
\]

а если это преобразованное выражение обозначить через $\Phi$, то ясно, что мы будем иметь
\[
F d \xi+G d \dot{\psi}+I d \varphi=\frac{\delta \Phi}{2 \delta d \xi^{*}} .
\]

Отсюда следует, что вообще
\[
d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z=\frac{\delta \Phi}{2 \delta d \xi} \delta \xi+\frac{\delta \Phi}{2 \delta d \psi} \delta \psi+\frac{\partial \Phi}{2 \hat{\delta} d \phi} \delta \% .
\]

Так кањ сопротивление жидких тел, вообще говоря, пропорционально квадрату скорости $\frac{d s}{d t}$ (где $s$-пройденное телом расстояние), то если через $\Gamma$ обозначить плотность жидкости, мы будем иметь $\left[{ }^{23}\right]$
\[
R=\Gamma \frac{d s^{2}}{d t^{2}},
\]

и к $\delta V$ ирицется прибавить члены
\[
\text { Г } d s \frac{d x \delta x+d y \hat{\partial} y+d z \hat{\delta} z}{d t^{2}} \text {. }
\]

Следовательн, если сохранить зиачение буквы $T$ пункта 1 предыдущего отдела, пам придется лишь прибавить к $\delta V$ члены

и затем вместо $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$ поставить $\Gamma d s, \Gamma^{\prime} d s^{\prime}$, $l^{\prime \prime} d s^{\prime \prime}$, . . ; в самом деле, сопротивление пропорционально не массе, а лишь поверхности, поэтому сопротивления, которые испытывали бы тела $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$, если бы они двигались со скоростью, равной единице, следует выразить лишь в функции Г’, Г’, Г’, …

Таким образом, уравнение пункта 1 относительно примет следующий вид:
\[
d \frac{\partial T}{\partial d \vec{\zeta}}-\frac{\partial T}{\partial \vec{\xi}}+\frac{\partial V}{\partial \vec{\zeta}}+\frac{\partial T}{\partial d \vec{\zeta}}=0 ;
\]

однако уравнение живых сил в данном случае уже не будет иметь места.
3. Вместо того, чтобы, пользуясь условными уравнениями, вытекаюцими из природы задачи, свести все переменные к меньшему числу независимых переменных, можно все переменные прямо трактовать как независимые, и если
\[
L=0, \quad M=0, \ldots
\]

представляют собою условные уравнения между этими переменными, то достаточно к уравнению, относящемуся к каждой иә этих переменных, прибавить члены следующего вида:
\[
\lambda \frac{\delta L}{\partial \xi}+\mu \frac{\delta L}{\partial \dot{\xi}}+\ldots
\]

Таким образом, мы получим по отношению к любой переменной $\xi$ уравнение
\[
d \frac{\partial T}{\partial d \xi}-\frac{\partial T}{\partial \xi}+\frac{\partial V}{\partial \xi}+\lambda \frac{\partial L}{\partial \xi}+\mu \frac{\partial M}{\partial \xi}+\therefore=0,
\]

где $\lambda, \mu, \ldots$ – неопределенные величины, которые надлежит исключить с помощью условных уравнений.

Что касается этих последних, то мы-уже отметили, что они не должны обязательно представляться в конечной форме: достаточно, чтобы они являлись дифференциальными уравнениями первого порядка; заменив затем символ $d$ символом $\hat{\delta}$, мы получим также частные производные по каждой из переменных $\xi$.

Наконец, если бы система состояла из бесконечно большого числа частиц, произвольным образом связанных друг с другом, то по отношению к членам, вытекающим из условных уравнений, следует придерживаться тех же правил, которые нами были изложены в отделе VI «Статики» (I. 10), так как в общей формуле движения эти члены являются теми же, что и в общем уравнении равновесия.
4. После того как, таким образом, задача сведена к известному числу независимых переменных, мы получаем для каждой из этих переменных дифференциальное уравнение второго порядка, интегрирование которого введет две произвольные постоянные величины; таким образом, полное решение будет содержать дважды столько произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных, и эти произвольные шостоянные надо будет ошеделить из начального состояния системы. Но если во время движения системы одно или несколько из тел, входящих в состав этой системы, в какое-либо заданное мгновение получит какие-либо имшульсы со стороны, то эти импульсы, действующие лишь в течение мгновения, не изменят вида уравнений, но повлияют на значения произвольных постоянных [24]; однако если бы импульсы оказались бесконечно малыми и непрерывно действующими, то произвольные постоянные перестали бы быть постоянными величинами и сами превратились бы в переменные.

В главе II предыдущего отдела мы уже дали теорию вариации произвольных постоянных для свободных тел и применили ее к элементам планетных орбит; настоящий отдел мы начнем с того, что обобщим эту теорию и сделаем ее применимой ко всякой системе тел, действующих друг на друга.