1. Для применения общего уравнения пункта 2 предыдущего отдела к этому роду жидкостей следует иметь в виду, что член $\mathbf{S} \lambda \delta L$ должен отпасть, так как условие несжимаемости, результатом которого явился этот член, при настоящем допущении отсутствует; но с другой стороны, следует учесть влияние упругости, противодействующей сжатию и стремящейся расширить жидкость.

Итак, пусть в – упругость какой-нибудь частиды Dm жидкости; так как ее действие сводится к увеличению объема $D x \quad D y \quad D z$ этой тастицы и, следовательно, к уменьшению величины- $D x D y D z$, то отсюда следует, что для этой частицы надо к левой части указанного уравнения прибавить момент – $\delta \delta(D x D y D z)$. Таким образом, для всех частиц следует вместо члена $\mathbf{S} \lambda \delta L$ подставить интегральный член $-\mathbf{S}$ в ( $D x D y D z)$. Но так как
\[
\delta L=\delta(D x D y D z),
\]

то ясно, что общее уравнение сохранит свой прежний вид при условии лишь замены $\lambda$ через-з. Тогда с помощью тех же рассуждений мы снова придем к трем окончательным уравнениям, аналогичным уравнеииям (A), а именно:
\[
\left.\begin{array}{l}
\Delta\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+X\right)+\frac{D_{s}}{D x}=0, \\
\Delta\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+Y\right)+\frac{D_{3}}{D y}=0, \\
\Delta\left(\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+Z\right)+\frac{D_{3}}{D z}=0 .
\end{array}\right\}
\]

И в данном случае величина $\varepsilon$ должна быть равна нулю на поверхности жидкости, когда эта поверхность свободна; если же жидкость ограничивается стенками, то значение в равно сопротивлению, оказываемому стенками для удержания жидкости, что само по себе очевидно, так как \& выражает силу упругости ее частиц.
2. Для сжимаемых жидкостей плотность $\Delta$ всегда задана как известная функция $\varepsilon, x, y, z, t$, зависящая от закона упругости жидкости и тешлоты, которая, согласно допущению, господствует каждое мгновение во всех точках пространства. Таким образом, здесь шриходится определять четыре неизвестные величины $\varepsilon, x, y, z$ в функции $t$, и следовательно, для полного решения задачи необходимо иметь еще четвертое уравнение. Для несжимаемых жидкостей условие неизменности объема было дано уравнением (B) пункта 3, а условие неизменяемости плотности от одного мгновения до другого было дано уравнением (H) пункта 11. У сжимаемых жидкостей ни одно из этих условий в отдельности не имеет места, так как объем и плотность изменяются одновременно; но масса, являющаяся произведением этих двух элементов, должна оставаться неизменной. Таким образом, мы имеем
\[
d(\Delta D x D y D z)=0 .
\]

Следовательно, произведя логарифмическое дифферен цирование
\[
\frac{d \Delta}{\Delta}+\frac{d(D x D y D z)}{D x D y D z}=0
\]

и подставив значение $d(D x D y D z)$ (это значение тождественно со значением $\delta(D x D y D z)$ пункта 2 предыдущего отдела, если символ $d$ заменить символом $\delta$ ), мы получим уравнение
\[
\frac{d \Delta}{\Delta}+\frac{D d x}{D x}+\frac{D d y}{D y}+\frac{D d z}{D z}=0,
\]

которое соответствует уравиению (B) пункта 3 упомянутого отдела: последнее выражает неизменяемость объема, а только что полученное-неизменяемость массы.
3. Если координаты $x, y, z$ рассматривать как функции начальных координат $a, b, c$ и времени $t$, истекшего с начала движения, то в результате операций, аналогичных указанным в пункте 5 предыдущего отдела, уравнения (a) примут следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\theta \Delta\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+X\right)+\alpha \frac{\partial s}{\partial a}+\beta \frac{\partial_{s}}{\partial b}+\gamma \frac{\partial s}{\partial c}=0, \\
\theta \Delta\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+Y\right)+\alpha^{\prime} \frac{\partial_{3}}{\partial a}+\beta^{\prime} \frac{\partial s}{\partial b}+\gamma^{\prime} \frac{\partial_{3}}{\partial c}=0, \\
\theta \Delta\left(\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+Z\right)+\alpha^{\prime \prime} \frac{\partial_{3}}{\partial a}+\beta^{\prime \prime} \frac{\partial s}{\partial b}+\gamma^{\prime \prime} \frac{\partial_{s}}{\partial c}=0,
\end{array}\right\}
\]

или же следующий, более простой:
\[
\begin{array}{l}
\Delta\left[\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+X\right) \frac{\partial x}{\partial a}+\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+Y\right) \frac{\partial y}{\partial a}+\right. \\
\left.+\left(\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+Z\right) \frac{\partial z}{\partial a}\right]+\frac{\partial_{3}}{\partial a}=0, \\
\Delta\left[\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+X\right) \frac{\partial x}{\partial b}+\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+Y\right) \frac{\partial y}{\partial b}+\right. \\
\left.+\left(\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+Z\right) \frac{\partial z}{\partial b}\right]+\frac{\partial s}{\partial b}=0, \\
\Delta\left[\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+X\right) \frac{\partial x}{\partial c}+\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+Y\right) \frac{\partial y}{\partial c}+\right. \\
\left.+\left(\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+Z\right) \frac{\partial z}{\partial c}\right]+\frac{\partial \varepsilon}{\partial c}=0 ; \\
\end{array}
\]

эти преобразованные уравнения аналогичны преобразованным уравнениям (C) и (D) в указанном выше месте

Что касается уравнения (b), то если к нему применить преобразование пункта 3 предыдущего отдела, то оно примет следующий вид:
\[
\frac{d \Delta}{\Delta}+\frac{d \theta}{\theta}=0,
\]

где дифференциалы $d \Delta$ и $d \theta$ относятся только к переменной $t$; интегрируя это уравнение, мы получим
\[
\theta \Delta=\text { функция }(a, b, c) .
\]

В указанной выше статье мы видели, что когда $t=0$, f) становится равной единице; следовательно, если допустить, что значением $\Delta$ тогда будет $H$, мы будем иметь
\[
H=\text { функция }(a, b, c),
\]

и уравнение примет вид $\theta \Delta=H$, или же
\[
\theta=\frac{H}{\Delta},
\]

или, если вместо функции $\theta$ подставить ее выражение,
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial b} \frac{\partial z}{\partial c}-\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial z}{\partial c}+\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial y}{\partial c} \frac{\partial z}{\partial a}- \\
-\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial b} \frac{\partial z}{\partial a}+\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial z}{\partial b}-\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial c} \frac{\partial z}{\partial b}=\frac{H}{\Delta} ;
\end{array}
\]

это преобразованное уравнение аналогично преобразованному уравнению (E) упомянутого выше пункта.

Наконец, к этим уравнениям следуе1 применить то, что было мною сказано в пункте 8 того же отдела относительно поверхности жидкости.
4. Но если желательно, что гораздо проще, получить уравнения между скоростями $p, q, r$ частид по паправлениям координат $x, y, z$, рассматривая эти скорости, равно как и величины $\Delta$ и $\varepsilon$, как функции $x, y, z, t$, следует применить преобразования пункта 10 предыдущего отдела, и тогда уравнения (a) тотчас же дадут следующие преобразованные уравнения, аналогичные преобразованным уравнениям (F) этого последнего пункта:
\[
\left.\begin{array}{l}
\Delta\left(\frac{\partial p}{\partial t}+p \frac{\partial p}{\partial x}+q \frac{\partial p}{\partial y}+r \frac{\partial p}{\partial z}+X\right)+\frac{\partial z}{\partial x}=0, \\
\Delta\left(\frac{\partial q}{\partial t}+p \frac{\partial q}{\partial x}+q \frac{\partial q}{\partial y}+r \frac{\partial q}{\partial z}+Y\right)+\frac{\partial z}{\partial y}=0, \\
\Delta\left(\frac{\partial r}{\partial t}+p \frac{\partial r}{\partial x}+q \frac{\partial r}{\partial y}+r \frac{\partial r}{\partial z}+Z\right)+\frac{\partial s}{\partial z}=0 .
\end{array}\right\}
\]

В уравнении (b), помимо подстановки $p d t, q d t, r d t$ вместо $d x, d y, d z$ и замены символа $D$ символом $d$, следует еще вместо $d \Delta$ подставить его полное выражение
\[
\left(\frac{\partial \Delta}{\partial t}+p \frac{\partial \Delta}{\partial x}+q \frac{\partial \Delta}{\partial y}+r \frac{\partial \Delta}{\partial z}\right) d t,
\]

и тогда после разделения на $d t$ мы получим следующее преобразованное уравнение:
\[
\frac{1}{\Delta} \frac{\partial \Delta}{\partial t}+\frac{p}{\Delta} \frac{\partial \Delta}{\partial x}+\frac{q}{\Delta} \frac{\partial \Delta}{\partial y}+\frac{r}{\Delta} \frac{\partial \Delta}{\partial z}+\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial q}{\partial y}+\frac{\partial r}{\partial z}=0,
\]

которое, будучи умножено на $\Delta$, примет следующий более простой вид:
\[
\frac{\partial \Delta}{\partial t}+\frac{\partial(\Delta p)}{\partial x}+\frac{\partial(\Delta q)}{\partial y}+\frac{\partial(\Delta r)}{\partial z}=0 .
\]

Что касается условия, относящегося к движению частиц на поверхности, то оно равным образом может быть выражено с помощью уравнения (I) пункта 12 предыдущего отдела, т. е.
\[
\frac{\partial A}{\partial t}+p \frac{\partial A}{\partial x}+q \frac{\partial A}{\partial y}+r \frac{\partial A}{\partial z}=0,
\]

если принять, что $A=0$ есть уравнение поверхности.
5. Уравнению (g) легко удовлетворить, если положить
\[
\Delta p=\frac{\partial a}{\partial t}, \quad \Delta q=\frac{\partial \beta}{\partial t}, \quad \Delta r=\frac{\partial \gamma}{\partial t},
\]

где $\alpha, \beta, \gamma$ являются функциями $x, y, z, t$. С помощью 24 ж. Лагранж, т. II

этих подстановок рассматриваемое уравнение приводится к следующему виду:
\[
\frac{\partial \Delta}{\partial t}+\frac{\partial^{2} \alpha}{\partial t \partial x}+\frac{\partial^{\prime} \beta}{\partial t \partial y}+\frac{\partial^{2} \gamma}{\partial t \partial z}=0
\]

последнее уравнение интегрируемо по’ $t$ и интегралом его является
\[
\Delta=F-\frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial \beta}{\partial y}-\frac{\partial \gamma}{\partial z},
\]

где $F$-функция $x, y, z$, но без $t$, зависящая от закона начальной плотности жидкости.
Таким образом, мы получаем
\[
\begin{array}{c}
p=\frac{\frac{\partial \iota}{\partial t}}{F-\frac{\partial \iota}{\partial x}-\frac{\partial \beta}{\partial y}-\frac{\partial \gamma}{\partial z}}, \\
q=\frac{\frac{\partial \beta}{\partial t}}{F-\frac{\partial \alpha}{\partial x}-\frac{\partial \beta}{\partial y}-\frac{\partial \gamma}{\partial z}}, \\
r=\frac{\frac{\partial \gamma}{\partial t}}{F-\frac{\partial \downarrow}{\partial x}-\frac{\partial \beta}{\partial y}-\frac{\partial \gamma}{\partial z}} .
\end{array}
\]

іІодставив эти выражения в уравнения (f) и, далее, подставив вместо $\varepsilon$ его выражение в функции $\Delta, x$, $y, z, t$ (п. 2), мы получим три уравнения в частных производных между неизвестными $\alpha, \beta, \gamma$ и четырьмя переменными $x, y, z, t$, и решение задачи будет зависеть только от интегрирования этих уравнений; однако это интегрирование выходит за пределы возможностей анализа в современном его состоянии.
6. Если отвлечься от теплоты и других обстоятельств, которые могут вызвать изменение упругости независимо от плотности, то значение упругости з будет некоторой функцией плотности $\Delta$, так что выражение $\frac{d \varepsilon}{\Delta}$ является дифференциалом одной переменной и, следовательно, интегрируемо; обозначим интеграл этой величины через $E$.

Пусть, далее, величина $X d x+Y d y+Z d z$ представляет собою полный дифференциал, интеграл которого, как в пункте 15 предыдущего отдела, обозначим через $V$.

Уравнения (f) пункта 4, будучи соответственно умножены на $d x, d y, d z$ и затем сложены, дают после деления на $\Delta$ уравнение следующего вида:
\[
\begin{aligned}
d E+d V= & -\left(\frac{\partial p}{\partial t}+p \frac{\partial p}{\partial x}+q \frac{\partial p}{\partial y}+r \frac{\partial p}{\partial z}\right) d x- \\
& -\left(\frac{\partial q}{\partial t}+p \frac{\partial q}{\partial x}+q \frac{\partial q}{\partial y}+r \frac{\partial q}{\partial z}\right) d y- \\
& -\left(\frac{\partial r}{\partial t}+p \frac{\partial r}{\partial x}+q \frac{\partial r}{\partial y}+r \frac{\partial r}{\partial z}\right) d z
\end{aligned}
\]

так как левая часть этого уравнения интегрируема, то же имеет место и в отношении правой части.
Таким образом, мы снова имеем случай уравнения (L) пункта 15 предыдущего отдела и, следовательно, приходим к аналогичным выводам.
7. Мы видели, что если величина $p d x+q d y+r d z$ оказывается в какой-либо момент полным дифференциалом, а это всегда имеет место в начале движения, когда жидкость выходит из состояния покоя или приводится в движение ударом, приложенным к ее поверхности, то эта величина должна быть всегда голным дифференциалом (предыдущий отдел, п. 17 и 18).

При этом допущении положим, как в пункте 20 предыдуіщего отдела,
\[
p d x+q d y+r d z=d \varphi,
\]

что дает
\[
p=\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad q=\frac{\partial \varphi}{\partial y}, \quad r=\frac{\partial \varphi}{\partial z}
\]

если уравнение (1) после этих подстановок проинтегрировать, то оно даст
\[
E=-V-\frac{\partial p}{\partial t}-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2} ;
\]

это значение удовлетворяет одновременно трем уравнениям (f) пункта 4.

Но $E$, будучи равно $\int \frac{d s}{\Delta}$, является функцией $\Delta$, так как $\varepsilon$-известная функция $\Delta$; следовательно, $\Delta$ является функцией $E$. Поэтому, если в уравнение (g) пункта 4 подставить выражение $\Delta$, найденное из предыдущего уравнения, ра́вно как и выражения $p, q, r$, то мы получим уравнение в частных производных относительно $\varphi$, которого будет достаточно для определения этой неизвестной величины, так как оно не содержит никаких других неизвестных; таким образом, вся трудность сводится к этому единственному интегрированию.
8. У известных упругих жидкостей упругость всегда пропорциональна плотности; следовательно, для этих жидких тел мы имеем $\varepsilon=i \Delta$, где $i$ – постоянный коэффициент, который можно определить, установив значение упругости при заданной плотности.

Так, для воздуха упругость равна весу столба ртути в барометре; следовательно, если через $\boldsymbol{H}$ обозначить высоту барометра для определенной плотности воздуха, которую мы примем за единицу, через $n$ плотность ртути, т. е. численное отношение плотности ртути к плотности воздуха, – а это отношение равно отношению удельных весов, – и через $g$ ускоряющую силу тяжести, то при $\Delta=1$ мы будем иметь з =gnH; следовательно, $i=g n H$; ири этом отметим, что $n H$ представляет собою высоту, какую имела бы атмосфера, если допустить, что она однородна. Обозначив эту высоту через $h$, мы получим проще $i=g h$, а отсюда $\mathrm{a}=g h \Delta$.
Следовательно, так как $E=\int \frac{d_{3}}{\Delta}$, мы будем иметь
\[
E=g h \log \Delta \text {. }
\]

Но уравнение (g) пункта 4 может быть представлено в следующем виде:
\[
\frac{\partial \log \Delta}{\partial t}+\frac{\partial \log \Delta}{\partial x} p+\frac{\partial \log \Delta}{\partial y \cdot} q+\frac{\partial \log \Delta}{\partial z} r+\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial q}{\partial y}+\frac{\partial r}{\partial z}=0 \text {. }
\]

Следовательно, если подставить в него $\frac{E}{g h}, \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}$ вместо $\log \Delta, p, q, r$ и умножить на $g h$, то это уравнение примет следующий вид:
\[
g h\left(\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \cdot}{\partial z^{2}}\right)+\frac{\partial E}{\partial t}+\frac{\partial E}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial x}+\frac{\partial E}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial y}+\frac{\partial E}{\partial z} \frac{\partial \varphi}{\partial z}=0 .
\]

Таким образом, остается лишь вместо $E$ подставить найденное выше выражение, и тогда эта подстановка даст окончательное уравнение относительно $џ:$
\[
\begin{aligned}
0=g h\left(\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}\right. & \left.+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}\right)-\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}-\frac{\partial V}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial x}-\frac{\partial V}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial y}-\frac{\partial V}{\partial z} \frac{\partial \varphi}{\partial z}- \\
& -2 \frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x \partial t}-2 \frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y \partial t}-2 \frac{\partial \varphi}{\partial z} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z \partial t}- \\
& -\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}-\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}- \\
& -2 \frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x \partial y}-2 \frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial z} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x \partial z}-2 \frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{\partial^{\varphi} \varphi}{\partial z} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y \partial z} ; \quad(\mathrm{n})
\end{aligned}
\]

в әтом одном уравнении содержится теория движения упругих жидкостей, построенная на сделанном допущении.
9. Если движение жидкости очень мало и если принять во внимание только очень малые величины первого порядка, то, как мы видели в пункте 21 предыдущего отдела, величина $p d x+q d y+r d z$ тоже обязательно является полным дифференциалом. Следовательно, в данном случае приведенные выше формулы всегда имеют силу, каким бы способом ни было вызвано движение жидкости, лишь бы только оно было всегда малым и, стало быть, функция ф тоже была очень мала.

В теории звука допускают, что движение частиц воздуха очень мало; поэтому, если в уравнении (n) величину ‡ рассматривать как очень малую и отбросить те члены, в которых она поднимается выше первого измерения, то мы получим для этой теории общее уравнение
\[
g h\left(\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}\right)-\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}-\frac{\partial V}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial x}-\frac{\partial V}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial y}-\frac{\partial V}{\partial z} \frac{\partial \varphi}{\partial z}=0 .
\]

А если отбросить вторые измерения $\varphi$ также в выражении для $E$ пункта 7 , то мы получим просто (п. 8 )
\[
E=-V-\frac{\partial_{\ell}}{\partial t}=g h \log \Delta .
\]

Можно допустить, что в состоянии покоя или равновесия функция $\varphi$ равна нулю. В этом состоянии мы, стало быть, имеем
\[
\frac{\partial p}{\partial t}=0,
\]

и следовательно,
\[
\text { gh } \log \Delta=-V \text { и } \Delta=e^{-\frac{V}{\mathrm{gh}}} .
\]

Допустим, что когда воздух находится в состоянии колебания, его естественная плотность увеличивается в отношении $1+s$ к 1 , где $s$-очень малая величина; тогда мы имеем вообще
\[
\Delta=e^{-\frac{v}{g h}}(1+s) \text {, }
\]

а отсюда, отбросив квадрат и более высокие стенени $s$, мы получим
\[
\log \Delta=-\frac{V}{g h}-s ;
\]

следовательно,
\[
s=\frac{1}{g h} \frac{\partial \varphi}{\partial t} .
\]

Что касается значения $V$, зависящего от ускоряющих сил, то если допустить, что жидкость является весомой, и для большей простоты принять координаты $z$ направленными вертикально сверху вниз, с помощью формулы пункта 23 (предыдущего отдела) мы получим
\[
V=-g z,
\]

где $g$-ускоряющая сила тяжести. Тиким образом, уравнение для звука будет иметь следующий вид:
\[
g h\left(\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} p}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}\right)+g \frac{\partial \varphi}{\partial z}=\frac{\partial^{2} p}{\partial t^{2}} .
\]

Определив с помощью этого уравнения $\varphi$, мы получим скорости $p, q, r$ воздуха, равно как его сгущение $s$, пользуясь нижеследующими формулами:
\[
p=\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad q=\frac{\partial p}{\partial y}, \quad r=\frac{\partial p}{\partial z}, \quad s=\frac{1}{g h} \frac{\partial p}{\partial t} .
\]
10. Если желательно принять во внимание лишь горизонтальное движение воздуха, нужно допустить, что функция $\varphi$ не содержит $z$, а лишь $x, y, t$. Тогда уравнение для $\varphi$ примет следующий вид:
\[
g h\left(\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}\right)=\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}} .
\]

Однако даже и при таком ушрощении это уравнение все еще слишком сложно, чтобы его можно было проинтегрировать точно *).

Добавим, что это уравнение совершенно подобно уравнению движения волн в горизонтальном и неглубоком канале. См. предыдущий отдел, пункт 37.

До сих пор удалось полностью разрешить лишь тот случай, когда воздушной массе приписывают только одно измерение, т. е. случай звучащей линии, все частицы которой испытывают только продольные смещения,

Если в этом случае указанную линию принять за ось $x$, то функция $\varphi$ не будет содержать $y$, и указанное выше уравнение сведется к. следующему:
\[
g h \frac{\partial^{2} \cdot \rho}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} \cdot p}{\partial t^{2}},
\]

которое аналогично уравнению звучащих струн и имеет в качестве полного интеграла
\[
\varphi=F(x+t \sqrt{g h})+f(x-t \sqrt{g \bar{h}}),
\]

если знаками $F$ и $f$ обозначить две произвольные функции.
*) Это уравнение было проинтегрировано Пуассоном, равно как и более общее уравнение, в котором $\varphi$ считается функцией $x, y$ и $z$. См. новые Mémoires de l’Académie des Sciences, т. III. (Iрим. Бертрана.)

Последняя формула охватывает две важные теории: теорию звучания флейт или органных труб и теорию распространения звука в свободной атмосфере. Следует лишь надлежащим образом определить обе произвольнье функции; ниже изложены принципы, которыми надлежит руководиться при этом определении.
11. У флейт рассматривают только звучащую линию, которая в ней заключается; допускают, что начальное состояние этой линии дано, причем это состояние зависит от сообщенных частицам сотрясений, и определяют закон колебаний.

Будем отсчитывать абсциссы $x$ от одного из концов этой линии, и пусть длина последней, т. е. длина флейты, равна $a$. Таким образом, сгущения $s$ и продольные скорости $p$ будут даны для $t=0$ от $x=0$ до $x=a$; мы их назовем $S$ и $P$.

Теперь, так как $s=\frac{1}{g h} \frac{\partial \varphi}{\partial x}$ и $p=\frac{\partial p}{\partial x}$, то если продифференцировать общее выражение для $\varphi$ предыдущего пункта и через $F^{\prime}$ и $f^{\prime}$ обозначить производные функций $F$ и $f$, так что $F^{\prime}(x)=\frac{\partial F(x)}{\partial x}, f^{\prime}(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}$, то мы получим
\[
\begin{aligned}
p & =F^{\prime}(x+t \sqrt{g \bar{h}})+f^{\prime}(x-t \sqrt{\overline{g h}}), \\
s \sqrt{g h} & =F^{\prime}(x+t \sqrt{g h})-f^{\prime}(x-t \sqrt{g \bar{h}}) .
\end{aligned}
\]

Если положить $t=0$ и вместо $p$ поставить $P$, а вместо $s$ поставить $S$, то мы будем иметь
\[
P=F^{\prime}(x)+f^{\prime}(x), \quad S V \overline{g h}=F^{\prime}(x)-f^{\prime}(x) .
\]

Так как $P$ и $S$ даны для всех абсцисс $x$, начиная от $x=0$ до $x=a$, то мы таким образом получим на этом протяжении и значения $F^{\prime}(x)$ и $f^{\prime}(x)$; следовательно, мы будем иметь значения $p$ и $s$ для любой абсциссы и любого времени, поскольку значения $x+t \sqrt{g h}$ заключаются в пределах от 0 до $a$.

Но так как время $t$ непрерывно растет, то величины $x+t \sqrt{g h}$ и $x-t \sqrt{g h}$ скоро перешагнут эти пределы, и определение функций
\[
F^{\prime}(x+t \sqrt{g h}), \quad f^{\prime}(x-t \sqrt{g h})
\]

будет зависеть от условий, которые должны иметь место на концах звучащей линии, в зависимости от того, будет ли флейта открытой или закрытой.
12. Предположим с начала, что флейта открыта с обоих концов, так что звучащая линия сообщается непосредственно с наружным воздухом; тогда ясно, что ее упругость в этих двух точках может уравновешиваться только постоянным давлением атмосферы, вследствие чего сгущение $s$ должно там всегда быть равным нулю. Таким образом, в этом случае мы должны иметь $s=0$ при $x=0$ и при $x=a$, каково бы ни было значение $t$, что приводит к необходимости выполнения двух условий:
\[
\begin{aligned}
F^{\prime}(t \sqrt{g h})-f^{\prime}(-t \sqrt{g h}) & =0, \\
F^{\prime}(a+t \sqrt{g h})-f^{\prime}(a-t \sqrt{g h}) & =0,
\end{aligned}
\]

которые всегда должны иметь место при любом положительном значении $t$.

Итак, приняв за $z$ какую угодно положительную величину, мы будем иметь вообще
\[
F^{\prime}(a+z)=f^{\prime}(a-z), \quad f^{\prime}(-z)=F^{\prime}(z) .
\]

Следовательно, 1) покуда $z$ меньше $a$, мы будем знать значения $F^{\prime}(a+z)$ и $f^{\prime}(-z)$, так как они сводятся к значениям $f^{\prime}(a-z)$ и $F^{\prime}(z)$, которые заданы.

Подставим в этих формулах $a+z$ вместо $z$; тогда они дадут
\[
\begin{aligned}
F^{\prime}(2 a+z) & =f^{\prime}(-z)=F^{\prime}(z), \\
f^{\prime}(-a-z) & =F^{\prime}(a+z)=f^{\prime}(a-z) .
\end{aligned}
\]

Следовательно, 2) шока $z$ меньше $a$, мы будем знать и значения $F^{\prime}(2 a+z)$ и $f^{\prime}(-a-z)$, так как они сводятся к значениям $F^{\prime}(z)$ и $f^{\prime}(a-z)$, которые нам даны.

В последних формулах вместо $z$ снова поставим $a+z$; комбинируя их с первыми, ибо $z$ может иметь любое значение, мы пелучим
\[
\begin{aligned}
F^{\prime}(3 a+z) & =F^{\prime}(a+z)=f^{\prime}(a-z), \\
f^{\prime}(-2 a-z) & =f^{\prime}(-z)=F^{\prime}(z) .
\end{aligned}
\]

Следовательно, 3) пока $z$ меньше $a$, мы знаем и значения $F^{\prime}(3 a+z)$ и $f^{\prime}(-2 a-z)$, так как они сводятся к заданным значениям $F^{\prime}(z)$ и $f^{\prime}(a-z)$.

Точно так же, снова подставив $a+z$ вместо $z$, мы найдем
\[
\begin{aligned}
F^{\prime}(4 a+z) & =f^{\prime}(-z)=F^{\prime}(z), \\
f^{\prime}(-3 a-z) & =F^{\prime}(a+z)=f^{\prime}(a-z) .
\end{aligned}
\]

Отсюда мы получаем значения. $F^{\prime}(4 a+z)$ и $f^{\prime}(-3 a-z)$ для значений $z$, меньших $a$, и так далее.

Указанным путем мы получаем значения функций $F^{\prime}\left(k^{\prime}+t \sqrt{g h}\right)$ и $f^{\prime}\left(x-t \bigvee^{\prime} \overline{g h}\right)$, каково бы ни было время $t$, истекшее с начала движения звучащей линии; таким образом, мы узнаем для каждого мгновения состояние этой линии, т. е. скорости $p$ и сгущения $s$ каждой из ее частиц.

Из приведенных выше формул ясно, что значения этих функций остаются неизменными, если к величине $t \sqrt{g h}$ прибавить $2 a$ или $4 a, 6 a, \ldots$; таким образом, звучащая линия возвращается точно в первоначальное состояние по истечении каждого промежутка времени, определяемого с помощью уравнения
\[
t \sqrt{g h}=2 a ;
\]

отсюда для указанного промежутка времени получается величина $\frac{2 a}{\sqrt{g h}}$.

Итак, продолжительность колебаний звучащей линии не зависит от первоначальных сотрясений, а зависит исключительно от длины $a$ этой линии и от высоты $h$ атмосферы.

Если ускоряющую силу тяжести $g$ положить равной единице, следует в качестве единицы для измерения расстояний принять удвоенное расстояние, проходимое телом свободно за время, принятое в качестве единицы (отд. II, п. 2). Следовательно, если $h$, что допустимо, принять в качестве единицы расстояний, то едипицей времен будет то время, какое требуется для тяжелого тела, чтобы упасть с высоты $\frac{h}{2}$; тогда время колебания звучащей линии выразится через $2 a$ или, что то же самое, время одного колебания будет относиться ко времени падения тела с высоты $\frac{h}{2}$, как $2 a$ к $h$.
13. Если бы флейта была закрыта с обоих концов, то сгущения $s$ на концах могли бы иметь произвольные размеры, так как упругость частиц поддерживалась бы сопротивлением шерегородок; но по тем же соображениям скорости $p$ были бы там равны нулю, что опять дало бы нам условия
\[
\begin{aligned}
F^{\prime}(t \sqrt{g h})+f^{\prime}(-t \sqrt{g h}) & =0, \\
F^{\prime}(a+t \sqrt{g h})+f^{\prime}(a+t \sqrt{g h)} & =0 .
\end{aligned}
\]

Эти формулы сводятся к тем, которые мы исследовали выше, если только взять функцию, обозначенную через $f^{\prime}$, с противоположным знаком. Таким путем в данном случае получатся выводы, подобные предыдущим, и мы будем иметь такое же точно выражение для продолжительности колебаний звучащей нити.

Иначе обстояло бы дело, если бы флейта была закрыта на одном конде и открыта на другом.

Тогда $s$ было бы всегда равно нулю в открытом конце, а $p$ было бы равно нулю в закрытом.

Так, если допустить, что флейта открыта там, где $x=0$, и закрыта, где $x=a$, то мы будем иметь следующие условия:
\[
\begin{aligned}
F^{\prime}(t \sqrt{g h})-f^{\prime}(-t \sqrt{g h}) & =0, \\
F^{\prime}(a+t \sqrt{g h})+f^{\prime}(a-t \sqrt{g h}) & =0,
\end{aligned}
\]

откуда с помощью анализа, аналогичного изложенному в пункте 12 , мы получим следующие формулы:
\[
\begin{array}{rlrl}
F^{\prime}(a+z) & =-f^{\prime}(a-z), \quad f^{\prime}(-z) & =F^{\prime}(z), \\
F^{\prime}(2 a+z) & =-F^{\prime}(z), & f^{\prime}(-a-z) & =-f^{\prime}(a-z), \\
F^{\prime}(3 a+z) & =f^{\prime}(a-z), & f^{\prime}(-2 a-z) & =-F^{\prime}(z), \\
F^{\prime}(4 a+z) & =F^{\prime}(z) . & f^{\prime}(-3 a-z) & =f^{\prime}(a-z),
\end{array}
\]

и так далее.
Но пока $z$ меньше $a$, функции $F^{\prime}(z)$ и $f^{\prime}(a-z)$ заданы начальными условиями звучащей нити; следовательно, посредством их мы определим и остальные функции
\[
F^{\prime}(a+z), \quad F^{\prime}(2 a+z), \ldots, \quad f^{\prime}(-z), \quad f^{\prime}(-a-z), \ldots
\]

и таким образом ролучим состояние нити по истечении любого времени $t$.

Но из приведенных формул видно, что это состояние восстанавливается лишь по истечении промежутка времени, определенного уравнением
\[
t \sqrt{g h}=4 a ;
\]

отсюда следует, что продолжительность колебаний в данном случае в два раза больше, чем у открытых флейт или у флейт, закрытых с обоих концов; это подтверждается и опытом с органными трубами, носящими название басов (bourdons); если дуть в них через верхний конец, противоположный мундштуку, то они дают тон на октаву ниже, чем если бы они были открыты.

По поводу теории флейт см., между прочим, два первых тома Туринской академии, Парижские мемуары за 1762 г. и Петербургские Novi Commentarii, т. XVI.

14. Рассмотрим теперь звучащую линию неопределенной длины, возбуждаемую на очень малом протяжении; тогда мы имеем случай воздушных колебаний, вызванных звучащим телом.

Допустим, что начальное возбуждение происходит лишь на участке от $x=0$ до $x=a$, где $a$-очень малая величина. Следовательно, начальные скорости и сгущения $P, S$ даны для всех абсцисс $x$, как положительных, так и отрицательных; однако реальные значения они будут иметь только от $x=0$ до $x=a$; вне этих пределов они все будут равны нулю. Совершенно так же будет, следовательно, обстоять с функциями $F^{\prime}(x)$ и $f^{\prime}(x)$, ибо если положить $t=0$, то мы будем иметь
\[
P=F^{\prime}(x)+f^{\prime}(x), \quad S \sqrt{g h}=F^{\prime}(x)-f^{\prime}(x),
\]

и, значит,
\[
F^{\prime}(x)=\frac{1}{2}(P+S \sqrt{g h}), \quad f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}(P-S \sqrt{g h}) .
\]

Отсюда следует, что если за $z$ принять какую-нибудь положительную величину, меньшую $a$, то функции $F^{\prime}(x+t \sqrt{g h})$ и $f^{\prime}(x-t \sqrt{g h})$ будут иметь отличные от нуля значения, лишь когда $x \pm t \sqrt{g \bar{h}}=z$. Стало быть, по истечении любого времени $t$ скорости $p$ и сгущения $s$ будут равны вулю для всех точек звучащей линии, за исключением точек, соответствующих абсциссам $x=z \pm t \sqrt{g h}$.

Это объясняет, каким образом звук распространяется и каким образом на обоих концах звучащего тела и через равные промежутки времени образуются звучащие нити, равные по своей длине $a$ первоначальной нити.

Скорость распространения этих нитей выражается коэффициентом $\sqrt{g h}$; следовательно, она постоянна и не зависит от начального движения, что подтверждается и опытом, так как всякий звук, сильный или слабый, повидимому, расшространяется почти с одной и той же скоростью.

Что касается абсолютного значения этой скорости, то если, как в пункте 12 , положить $g=1$ и $h=1$, то эта скорость тоже будет равна 1. Но единицей скорости здесь является та скорость, какую тяжелое тело должно приобрести, падая с половины высоты $h$, принятой за единицу (отд. II, п. 2) Следовательно, скорость звука соответствует падению с высоты $\frac{h}{2}$.
15. Если вместе с большинством физиков допустить, что воздух в 850 раз легче воды, а вода в 14 раз легче ртути, то для отношения удельноги веса воздуха к удельному весу ртути мы получим 1:11900. Если среднюю высоту барометра принять равной 28 французским дюймам, то для высоты $h$ столба воздуха однородной плотности, поддерживающего в равновесии столб ртути в барометре, это даст 333200 дюймов или $27766 \frac{2}{3}$ фута. Таким образом, скорость звука соответствует высоте в $13883 \frac{1}{3}$ футов и, стало быть, равна 915 футам в секунду [36].

Опыт дает примерно 1088, что отличается от приведенной выше величины приблизительно на одну шестую часть; но эта разница может быть приписана только ненадежности результатов, полученных путем опыта. По этому вопросу см. в особенности мемуар покойного Ламберта в мемуарах Берлинской академии за 1768 г. *)
16. Если бы звучащая линия была с одной стороны ограничена неподвижным препятствием, то частицы воздуха, соприкасающиеся с этим препятствием, не имели бы никакого движения; следовательно, если $a$ – значение соответствующей ему абсциссы $x$, то ско- $\qquad$
*) Лаплас выяснил вероятную причину указанного расхождения между данными вшчисления и наблюдения. См. пятый том Mécanique, céleste, кн. XII,\” гл.؛ III. (Ï puм. Бертрана.)

рость $p$ должна равняться нулю, когда $x=a$, независимо от времени $t$; отсюда получается условие
\[
F^{\prime}(a+t \sqrt{g h})+f^{\prime}(a-t \sqrt{g h})=0 .
\]

Но мы видели (Iг. 14), что функция $f^{\prime}(a-t \sqrt{g h})$ имеет действительное значение, пока
\[
a-t \sqrt{g h}=z ;
\]

следовательно, так как
\[
F^{\prime}(a+t \sqrt{g \bar{h}})=-f^{\prime}(a-t \sqrt{g \bar{h})},
\]

то и функция $F^{\prime}(a+t \sqrt{g h})$ тоже будет иметь действительные значения, когда
\[
a-t \sqrt{g h}=z,
\]
т. е. когда
\[
t \sqrt{g h}=a-z .
\]

Таким образом, функция $F^{\prime}(x+t \sqrt{g \bar{h}})$ будет действительной не только, когда
\[
x+t \sqrt{g h}=z,
\]

но еще и когда
\[
x+t \sqrt{g h}=2 a-z ;
\]

отсюда следует, что в данном случае и скорости $p$, a также сгущения $s$ будут отличны от нуля для абсцисс
\[
x=2 a-z-t \sqrt{g h} .
\]

Таким образом, звучащая нить, пробежав расстоявие $a$, как бы отражается препятствием, которое она встречает, и отскакивает от него с некоторой скоростью; этим очень естественно объясняется обыкновенное эхо.

Совершенно так же можно объяснить и сложное эхо, допустив, что звучащая линия с обеих сторон ограничена неподвижными препятствиями, последовательно отражающими звучащие нити и заставляющими их совершать непрерывные колебания. По данному воцросу можно посмотреть указанные выше (п. 13) труды, а также Mémoires de l’Académie de Berlin за 1759 и 1765 гг.