5. Обозначая через $\xi$, $\psi$, , … независимые переменные, к которым будут сведены все координаты $x, y, z$ тел системы с помощью условных уравнений, зависящих от связей между телами, можно каждую постоянную величину $\left[{ }^{25}\right]$ всегда выразить с помощью заданной функции $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ и производных $\frac{d \xi}{d t}$, $\frac{d \psi}{d t}, \frac{d \varphi}{d t}, \ldots$ Но кинечные переменные $\xi, \dot{\psi}, \varphi, \ldots$ зависят только от мгновенного положения тел в пространстве и, следовательно, не могут испытывать какого-либо изменения под влиянием внешних импульсөв. Таким образом, под действием этих импульсов могут лишь измениться значения производных $\frac{d \bar{d}}{\bar{d} t}, \frac{d \stackrel{d}{d t}}{d t}, \frac{d}{d t}, \ldots$

Предположим, что эти производные превратятся в $\frac{d \xi}{d t}+\dot{\xi}, \frac{d}{d t}+\dot{\psi}, \frac{d}{d t}+\dot{\varphi}, \ldots ;$ приращения $\dot{\xi}, \dot{\psi}, \ldots$ будут обязаны своим происхождением импульсам; они будут представлять собсю скорости по направлению координат ह, $,, \varphi, \ldots$, вызванные импульсами в первое мгновение; эти приращения скорости нам и предстоит определить.

Пусть $P, Q, R, \ldots$ – импульсивные силы, приложенные к каждому телу $m$ системы по направлениям линий $p, q, r, \ldots$ и стремящиеся их сократить, и пусть $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ – начальные скорости, которые под их влиянием получило бы данное тело шо направлениям его прямоугольных координат $x, y, z$ и притом в сторону возрастания этих координат, если бы вся система находилась в покое; тогда, согласно пункту 11 отдела II, мы получаем уравнение
\[
\mathbf{S} m(x \hat{\varepsilon} x+\dot{y} \delta y+\dot{z} z)-\mathbf{S}(P \dot{\delta} p+Q \dot{\partial} q+R i r+\ldots)=0,
\]

которое должно оставаться в силе независимо от вариаций $\delta \xi, \delta \psi, \delta \varphi, \ldots$ каждой из независимых переменных ; таким образом, остается лишь подставить в это уравнение значения $x, y, z$ и $p, q, r, \ldots$ в функции $\xi, \stackrel{\downarrow}{\dagger}, \ldots, \ldots$ принимая во внимание, что скорости $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$, подобно всем скоростям, могут быть выражены через $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$.

С помощью указанных подстановок мы получим преобразованное уравнение
\[
\mathbf{S} m(\dot{x} \delta x+\dot{y} \delta y+\dot{z} \delta z)=\Xi \delta \xi+\Psi \delta \psi+\Phi \dot{\partial} \varphi+\ldots
\]

и если по примеру пункта 62 (предыдущего отдела) положить
\[
\delta Q=-\mathbf{S}(P \hat{\partial}+Q \hat{\imath} q+R \hat{\jmath}+\ldots),
\]

то мы получим следующие уравнения:
\[
\Xi=\frac{\partial Q}{\partial \xi}, \quad \Psi=\frac{\delta Q}{\partial \psi}, \quad \Phi=\frac{\partial Q}{\partial \varphi}, \ldots,
\]

число которых будет равно числу переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$
Но легко видеть, что величины $\Xi, \Psi, \Psi, \ldots$ будут функциями $\xi, \psi, \stackrel{\varphi}{ }, \ldots$ и их производных $\frac{d \bar{s}}{d t}, \frac{d \psi}{d t}, \frac{d ?}{d t}, \ldots$ и что эти производные представляют собою не что иное, как начальные скорости, которые мы выше обозначилй через $\dot{\xi}, \dot{\psi}, \dot{\varphi}, \ldots$ и которые, стало быть, можно определить с помощью приведенных выше уравнений.

Так как величины $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ равносильны $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}$, $\frac{d z}{d t}$, то величина $\dot{x} \hat{\imath} x+\dot{y} \hat{\delta} y+\dot{z} \hat{i} z$ может быть также выражена через
\[
\frac{d x \hat{\delta} x+d y \delta y+d z \delta z}{d t},
\]

а из доказанного нами выше (п. 2) следуе’, что.если в формулу
\[
T=\mathbf{S} m \frac{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}{2 d t^{2}}
\]

вместо $x, y, z$ подставить их выражения через $\xi, \dot{\psi}, \stackrel{\rho}{9}, \ldots$ и если подставить $\stackrel{\xi}{\text { вместо }} \frac{d \xi}{d t}$, $\dot{\text { вместо }} \frac{d \psi}{d t}$, iे вместо $\frac{d q}{d t}$, то мы получим путем частного дифференцирования по $\dot{\xi}, \dot{\psi}, \dot{\sim}, \ldots$
\[
\Xi=\frac{\partial T}{\partial \dot{\xi}}, \quad \Psi=\frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}, \quad \Phi=\frac{\partial T}{\partial \dot{p}}, \ldots,
\]

и для определения $\dot{\xi}, \dot{\psi}, \ldots$ мы будем иметь уравнения
\[
\frac{\partial T}{\partial \xi}=\frac{\partial \Omega}{\partial \xi}, \quad \frac{\partial T}{\partial \psi}=\frac{\partial Q}{\partial \psi}, \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}=\frac{\partial Q}{\partial \varphi}, \ldots ;
\]

при этом отметим, что указанные неизвестные входят здесь только в первой степени, так как в выражение для $T$ они могут войти лишь во второй степени.

Таким образом, действие мгновенных и конечных импульсов $P, Q, R, \ldots$ сводится к увеличению значений производных $\frac{d \xi}{d t}, \frac{d \psi}{d t}, \frac{d \varphi}{d t}, \ldots$ – в выражениях для произвольных постоянных задачи-на величины $\dot{\xi}, \dot{\psi}, \dot{\varphi}, \ldots$
6. Для того чтобы настоящую теорию применить к случаю очень малых и непрерывно действующих импульсов, заменим $P, Q, R, \ldots$ величинами $P d t$, $Q d t, R d t, \ldots$, в результате чего $\delta Q$ превратится в $\delta Q d t$, а величины $\dot{\xi}, \dot{\psi}, \ldots, \ldots$ станут очень малыми величинами шервого порядка; произвольные постоянные станут непрерывно изменяющимися величинами, а величины $\dot{\xi}, \dot{\psi}, \dot{\varphi}, \ldots$ будут представлять собою вариации $\frac{d \xi}{d t}, \frac{d \psi}{d t}, \frac{d \varphi}{d t}, \ldots$ в выражениях для этих ностоянных; таким образом, если $a$ является одной из постоянных величин, ставших переменными, то, положив $\frac{d \xi}{d t}=\xi^{\prime}, \frac{d \psi}{d t}=\psi^{\prime}, \frac{d \varphi}{d t}=\varphi^{\prime}, \ldots$, мы будем иметь

ири этом ћонечные переменные $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ не претерпят никакого изменения; остается лишь вместо $\dot{\xi} . \dot{\psi}, \dot{\varphi}, \ldots$ подставить их значения, выведенные из указанных выше уравнений; однако в рассматриваемом случае эти уравнения могут быть приведены к более иростому виду, исходя из нижеследующего рассуждения.

Если переменные $\xi, \dot{\psi}, \varphi, \ldots$, равно как производные $\xi^{\prime}, \psi^{\prime}, \varphi^{\prime}, \ldots$, рассматривать как функции произвольных постоянных $a, b, c, \ldots$ и времени $t$ и если символом $\delta$ обозначить их вариации, являющиеся результатом варьирования этих постоянных, то мы,
очевидно, будем иметь
\[
\delta \xi=0, \quad \delta \psi=0, \quad \delta \varphi=0, \quad \delta \xi^{\prime}=\dot{\xi}, \quad \delta \psi^{\prime}=\dot{\psi}, \quad \delta \varphi^{\prime}=\dot{\varphi}, \ldots,
\]

а так как частные производные $\frac{\partial T}{\partial \dot{\xi}}, \frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}, \ldots$ содержат лишь первые измерения $\dot{\xi}, \dot{\psi}, \dot{\varphi}, \ldots$, то легко видеть, что они могут быть сведены к $\delta \frac{\partial T}{\partial \xi^{\prime}}, \delta \frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}}, \ldots$, если $T$ рассматривать как функцию $\xi^{\prime}, \psi^{\prime}, \varphi^{\prime}, \ldots$ Стало быть, рассматриваемые уравнения примут следующий вид:
\[
\delta \frac{\partial T}{\partial \xi^{\prime}}=\frac{\partial \Omega}{\partial \xi} d t, \quad \delta \frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}}=\frac{\delta !}{\partial \psi} d t, \quad \delta \frac{\partial T}{\partial \hat{q}^{\prime}}=\frac{\partial \Omega}{\partial \hat{p}} d t, \ldots,
\]

и мы будем иметь
\[
d a=\frac{\partial a}{\partial \xi^{\prime}} \delta \xi^{\prime}+\frac{\partial a}{\partial \psi^{\prime}} \hat{\delta} \psi^{\prime}+\frac{\partial a}{\partial \varphi^{\prime}} \delta \varphi^{\prime}+\ldots,
\]

куда надо подставить значения $\delta \xi^{\prime}, \delta \psi^{\prime}, \delta \varphi^{\prime}, \ldots$ полученные из этих уравнений.

Если затем частные производные $Q$ по $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ заменить частными производными по постоянным $\dot{a}, b, c, \ldots$, то мы придем к формулам, которые будут аналогичны формулам пункта 60 предыдущего отдела и в которых коэффициенты $\frac{\partial Q}{\partial a}, \frac{\partial Q}{\partial b}, \ldots$ будут обладать тем свойством, что они будут независимы от времени $t$; однако прямое доказательство этого особого свойства очень трудно, как в этом можно убедиться из прекрасного мемуара Пуассона по данному вопросу, помещенного в томе VIII Journal de l’ École Politechnique; возможно, что этого доказательства никогда и не пытались бы найти, если бы наперед не было уверенности в справедливости этой теоремы *).
*) См. дополнение VII в конце I тома. Коэффициенты величин $\frac{\partial \Omega}{\partial a}, \frac{\partial \Omega}{\partial b}, \ldots$ представляют собою в точности выражения, рассмотренные в этом дополнении. Можно легко доказать, что они являются постоянными величинами, но Лагранж правильно отмечает, что было бы трудно попы аться определить их a priori. (Прим. Бертрана.)

Так как в V отделе мною была дана полная теория вариации произвольных постоянных, то я на этом здесь больше останавливаться не буду; сделаю лишь дополнительно два замечания, касающиеся формул настоящей теории.
7. Первое замечание относится к общей формуле пункта 11 упомянутого отдела, которая, если положить для упрощения
\[
\frac{\partial T}{\partial \bar{\xi}^{\prime}}=T^{\prime}, \quad \frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}}=T^{\prime \prime}, \quad \frac{\partial T}{\partial \rho^{\prime}}=T^{\prime \prime \prime}, \ldots,
\]

сведется к
\[
\begin{array}{c}
\Delta Q d t=\Delta \xi \delta T^{\prime}+\Delta \psi \delta T^{\prime \prime}+\Delta \varphi \delta T^{\prime \prime \prime}+\ldots \\
-\delta \xi \Delta T^{\prime}-\delta \psi \Delta T^{\prime \prime}-\delta p \Delta T^{\prime \prime \prime}-\ldots,
\end{array}
\]

где символ $\delta$ указывает на вариации, при которых все постоянные $a, b, c, \ldots$ рассматриваются как переменные, но символ $\Delta$ может относиться безразлично к каждой из этих постоянных. Если этот символ сначала отнести к какой-либо из этих постоянных величин, например к $a$, и разложить вариации, обозначенные символом $\delta$, то мы тотчас же получим следующую формулу:
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial a} d t=[a, b] d b+[a, c] d c+[a, k] d k+\ldots,
\]

в которой
\[
\begin{aligned}
{[a, b] } & =\frac{\partial \xi}{\partial a} \frac{\partial T^{\prime}}{\partial b}+\frac{\partial \downarrow}{\partial a} \frac{\partial T^{\prime \prime}}{\partial b}+\frac{\partial \varphi}{\partial a} \frac{\partial T^{\prime \prime \prime}}{\partial b}+\ldots \\
& -\frac{\partial T^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial \xi}{\partial b}-\frac{\partial T^{\prime \prime}}{\partial a} \frac{\partial \psi}{\partial b}-\frac{\partial T^{\prime \prime \prime}}{\partial a} \frac{\partial p}{\partial b}-\ldots \\
{[a, c] } & =\frac{\partial \xi}{\partial a} \frac{\partial T^{\prime}}{\partial c}+\frac{\partial \psi}{\partial a} \frac{\partial T^{\prime \prime}}{\partial c}+\frac{\partial p}{\partial a} \frac{\partial T^{\prime \prime \prime}}{\partial c}+\ldots \\
& -\frac{\partial T^{\prime}}{\partial a} \frac{\partial \xi}{\partial c}-\frac{\partial T^{\prime \prime}}{\partial a} \frac{\partial \psi}{\partial c}-\frac{\partial T^{\prime \prime \prime}}{\partial a} \frac{\partial p}{\partial c}-\ldots
\end{aligned}
\]

и где значения коэффициентов $[a, b],[a, c], \ldots$ становятся независимыми от $t$ после подстановки $\xi, \psi, \ldots$, выраженных через $a, b, c, \ldots$ и $t$.

Указанным путем мы получим те формулы, к которым я впервые пришел в «Мемуаре о вариации произвольных постоянных в задачах механики» (Mémoire sur la théorie de la variation des constantes arbitraires dans les problèmes de mécanique*).

Пуассон затем нашел более непосредственные формулы, приводящие к тому же, что и формулы, даниые мною в пункте 18 отдела V, однако, хотя формулы Пуассона предстәвляются более иростыми, так как они дают прямо значения вариаций $d a, d b, \ldots$, между тем как при других формулах их приходится получать путем исключения, тем не менее это преимущество является лишь кажущимся, как мы уже это отметили выше (отд. VII, п. 66); можно даже утверждать, что во многих случаях преимущество оказывается целиком на стороне приведенных здесь формул, так как они не требуют никакого предварительного преобразования и так как они могут быть непосредственно применены во всех тех случаях, когда мы имеем выражение каждой переменной в функции времени, в которое произвольные постоянные входят каким угодно образом; в силу этого я и счел необходимым их здесь воспроизвести.
8. Второе замечание касается применения, которое можно дать этим формулам по отношению к природе возмущающих сил. Мы всегда предполагали эти силы такими, что если их умножить на элементы их направлений, то сумма этих произведений будет интегрируемой и сможет быть выражена с помощью некоторой функции независимых переменных, которую мы обозначили через – 0 .

Но в пункте 62 предыдущего отдела мы уже отметили, что, каковы бы ни были возмущающие силы $R, Q, P, \ldots$, достаточно положить
\[
-\delta \mathrm{Q}=\boldsymbol{R} \delta \boldsymbol{\gamma}+Q \dot{\delta} q+P \delta p+\ldots,
\]
*) Oeluvres de Lagrange, t. VI, p. 771 и 809. (П рим. Берт. рана.)

если частные дифференциалы в смысле символа $\delta$ отнести только к переменным $r, q, p, \ldots$

Вообще говоря, для правильности формул вариаций не обязательно, чтобы возмущающие силы, представленные нами с помощью частных производных $\frac{\partial Q}{\partial \xi}, \frac{\partial Q}{\partial \psi}, \frac{\partial Q}{\partial ?}, . .$, действительно были частными производными одной и той же величины. Можно допустить, что эти силы выражены с помощью каких угодно величин, которые мы обозначим через $Q^{\prime}, Q^{\prime \prime}, Q^{\prime \prime \prime} \ldots$; в таком случае в формулах пункта 11 отдела V мы будем вместо $\Delta Q$ иметь
\[
Q^{\prime} \Delta^{\xi}+Q^{\prime \prime} \Delta \dot{\varphi}+Q^{\prime \prime \prime} \Delta_{\varphi}+\ldots,
\]

и уравнение предыдущего пункта примет следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\left(Q^{\prime} \Delta \xi+Q^{\prime \prime} \Delta \psi+Q^{\prime \prime \prime} \Delta \varphi+\ldots\right) d t \\
=+\Delta \xi \delta T^{\prime}+\Delta \psi \delta T^{\prime \prime}+\Delta \psi \delta T^{\prime \prime \prime}+\ldots \\
-\delta \xi \Delta T^{\prime}-\delta \psi \Delta T^{\prime \prime}-\delta \psi \delta T^{\prime \prime \prime}-\ldots,
\end{array}
\]

откуда, относя символ $\Delta$ к произвольной постоянной $a$, мы точно так же получим
\[
\begin{aligned}
\left(Q^{\prime} \frac{\partial \xi}{\partial a}+\right. & \left.Q^{\prime \prime} \frac{\partial}{\partial a}+Q^{\prime \prime \prime} \frac{\partial \hat{\imath}}{\partial a}+\ldots\right) d t= \\
& =[a, b] d b+[a, c] d c+[a, k] d k+\ldots,
\end{aligned}
\]

рассматривая неременные $\xi, \psi, p, \ldots$ как функции $a, b, c, k, \ldots$

То же самое будет иметь место и для формул пунітов 14 и 18 того же $\mathrm{V}$ отдела, если всюду поставить
\[
Q^{\prime} d \xi+Q^{\prime \prime} d \varphi+\Omega^{\prime \prime \prime} d \varphi+\ldots
\]

вместо $d Q$ и отнести к переменным $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ частные производные $Q$ по постоянным $\alpha, \beta, \gamma, \ldots, i, \mu,
u, \ldots$ или $a, b, c, k, \ldots$
9. Наконец, можно отвлечься от возмущающих сил и рассматривать функцию- $Q$ лишь как величину, которая, будучи прибавлена к функции $V$ основных сил, вызывает вариации произвольных постоянных при движениях, получающихея под действием этих сил. А так как при исчислении этих вариаций играют роль лишь частные производные $Q$ по независимым переменным $\xi$, $\psi, \varphi, \ldots$, то нет необходимости в том, чтобы дифференциал $d \Omega$ был точным дифференциалом; достаточно, чтобы входящие в его состав дифференциалы сами по себе были точными дифференциалами, из которых можно получить частные производные по переменным $\xi, \psi, \varphi, \ldots$

Іодобное расширение наших формул, о котором мы уже упомянули в щредисловий к т тому, может оказаться полезным во многих задачах, где возмущающие силы являются функциями не только независимых переменных $\xi, \psi$,, , но и их производных $\frac{d \xi}{d t}, \frac{d \psi}{d t}, \frac{d}{d t}, \ldots$ и времени $t$; например, если бы, разрешив какую-либо задачу механики в пустоте, мы захотели бы принять в расчет сопротивление среды, как мы это сделали в предшествующем отделе по отношению к планетам.

Однако это расширение но может иметь места по отношению к основным силам, входящим в состав дифференциальных уравнений, при интегрировании которых появляются гроизвольные постоянные величины. Эти сплы, будучи умножены соответственно на элемент своего направления, должны всегда позволить образовать интегральную величину, которую мы обозначили через $V$ (отд. IV, п. 9) и которая должна быть функцисй независимых переменных, но не их производных; в противном случае не могло бы иметь места приведение этих уравнений к виду, указанному в пункте 2 отдела $V$, и анализ § I того же отдела перестал бы быть правильным; однако ничто не препнтствует тому. чтобы выражения этих сил содержали время $t$; в самом деле, так как величина $V$ исчезает в частных производных функции $Z=T-V$ по $\xi^{\prime}, \psi^{\prime}, \psi^{\prime}, \ldots$, то ококчательный выеод пункта 7 всегда будет в сюле, иєо он сказываєтся независимым от $V$. Но он потерял бы свою силу, если бы әта величина была функцией $\xi, \psi, \varsigma, \ldots$ и $\xi^{\prime}, \psi^{\prime} \varphi^{\prime}, \ldots$

Перейдем теперь к разрешению нескольких частных задач.