24. Эта задача, как бы она ни была трудна, является тем не менее одной из наиболее простых, выдвигаемых механикой, когда вещи рассматриваются в их естественном состоянии и без абстракции; в самом деле, так как все тела по существу своему являются тяжелыми и протяженными, то у них нельзя отнять ни одного, ни другого из этих свойств без того, чтобы не исказить их природу, и поэтому вопросы, при которых не принимались бы во внимание одновременно оба эти свойства, представляли бы интерес только с точки зрения чистой любознательности.

Мы начнем с исследования движения свободных тел, каковыми являются брошенные тела; затем исследуем движения тела, закрепленного в одной неподвижной точке, каковым является маятник.

В первом случае возьмем центр тела в его центре тяжести; тогда, как мы это только что видели, действие тяжести на вращение равно нулю; поэтому законы этого вращения мы определим с помощью трех следующих уравнений (п. 22):
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d \frac{\partial T}{\partial p}}{d t}+q \frac{\partial T}{\partial r}-r \frac{\partial T}{\partial q}=0, \\
\frac{d \frac{\partial T}{\partial q}}{\partial t}+r \frac{\partial T}{\partial p}-p \frac{\partial T}{\partial r}=0, \quad \frac{d \frac{\partial T}{\partial r}}{\partial t}+p \frac{\partial T}{\partial q}-q \frac{\partial T}{\partial p}=0,
\end{array}\right\}
\]

где принято (п. 21)
\[
p=\frac{d P}{d t}, \quad q=\frac{d Q}{d t}, \quad r=\frac{d R}{d t}
\]

и
\[
T=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right)-F q r-G p r-H p q .
\]

Что касается самого пентра тела, то он будет следовать известным законам движения брошенных тел, рассматриваемых как точки; таким образом, определение его движения не связано с какими-либо трудностями, и мы на этом здесь дальше останавливаться не будем.

Во втором случае возьмем центр тела в неподвижной точке подвеса и примем координаты $z$ направленными вертикально сверху вниз; тогда мы получим (п. 23)
\[
V=\left(a-z^{\prime}\right) \mathbf{S} D m-\zeta^{\prime} \mathbf{S} a D m-\zeta^{\prime \prime} \mathbf{S} b D m-\zeta^{\prime \prime \prime} \mathbf{S} c D m,
\]

откуда следует
\[
\frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}=-\mathbf{S} a D m, \quad \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime}}=-\mathbf{S} b D m, \quad \frac{\partial V}{\partial \xi^{\prime \prime \prime}}=-\mathbf{S} c D m,
\]

все же остальные частные производные $V$ будут равны нулю; таким образом, уравнения вращательного движения будут иметь следующий вид (п. 22):
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \frac{\partial T}{\partial p}}{d t}+q \frac{\partial T}{\partial r}-r \frac{\partial T}{\partial q}-\zeta^{\prime \prime} \mathbf{S} b D m+\zeta^{\prime \prime} \mathbf{S} c m=0, \\
\frac{d \frac{\partial T}{\partial q}}{d t}+r \frac{\partial T}{\partial p}-p \frac{\partial T}{\partial r}-\zeta^{\prime} \mathbf{S} c D m+\zeta^{\prime \prime \prime} \mathbf{S} a D m=0 \\
\frac{d \frac{\partial T}{\partial r}}{\partial t}+p \frac{\partial T}{\partial q}-q \frac{\partial T}{\partial p}-\zeta^{\prime \prime} \mathbf{S} a D m+\zeta^{\prime} \mathbf{S} b D m=0,
\end{array}\right\}
\]

причем величины $\mathbf{S} a D m, \mathbf{S} b D m, \mathbf{S}_{c} D m$ должны рассматриваться как постоянные, заданные формой тела и местом точки подвеса.
25. Разрешение первой задачи, когда тело предполагается совершенно свободным и когда исследуется только вращение вокруг центра тяжести, зависит лишь от интегрирования трех уравнений (A).

Легко, однако, с самого начала найти два интеграла этих уравнений; действительно: 1) если их умножить соответственно на $\frac{\partial T}{\partial p}, \frac{\partial T}{\partial q}, \frac{\partial T}{\partial r}$ и затем сложить, то мы, очевидно, получим интегрируемое уравнение, интегралом которого является
\[
\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)^{2}+\left(\frac{\partial T}{\partial q}\right)^{2}+\left(\frac{\partial T}{\partial r}\right)^{2}=f^{2},
\]

где $f^{2}$ – произвольная постоянная.
2) Если те же уравнения умножить на $p, q, r$ и затем сложить, то мы получим следующее уравнение:
\[
p d \frac{\partial T}{\partial p}+q d \frac{\partial T}{\partial q}+r d \frac{\partial T}{\partial r}=0 ;
\]

так как $T$ является только функцией $p, q, r$, следовательно, $d T:=\frac{\partial T}{\partial p} d p+\frac{\partial T}{\partial q} d q+\frac{\partial T}{\partial r} d r$, то это уравнение тоже интегрируемо, и интегралом его является
\[
p \frac{\partial T}{\partial p}+q \frac{\partial T}{\partial q}+r \frac{\partial T}{\partial r}-T=h^{2},
\]

где $h^{2}$ – новая произвольная постоянная.
Если в этих уравнениях вместо $T, \frac{\partial T}{\partial p}, \frac{\partial T}{\partial q}, \frac{\partial T}{\partial r}$ подставить их выражения, то мы получим два уравнения второго порядка между $p, q, r$, с помощью которых можно определить две из этих переменных в функции третьей; если эти величины затем подставить в какоелибо из трех уравнений (A), то мы получим уравнение первого порядка между $t$ и искомой переменной; стало быть, этим путем можно будет определить $p, q, r$ в функции $t$. Этим мы сейчас и займемся.

Отмечу сначала, что второй из найденных интегралов можно привести к более простому виду, если принять во внимание, что $T$ является однородной функцией двух измерений от $p, q, r$; тогда, в силу известного свойства этого рода функций, мы имеем
\[
p \frac{\partial T}{\partial p}+q \frac{\partial T}{\partial q}+r \frac{\partial T}{\partial r}=2 T,
\]

благодаря чему рассматриваемое интегральное уравнение $\left[^{28}\right]$ сводится к следующей форме:
\[
T=h^{2}
\]

выражаєщей сохранение живой силы вращательного движения.
Далее, отмечу, что так как выражение
\[
\left(r \frac{\partial T}{\partial q}-q \frac{\partial T}{\partial r}\right)^{2}+\left(p \frac{\partial T}{\partial r}-r \frac{\partial T}{\partial p}\right)^{2}+\left(q \frac{\partial T}{\partial p}-p \frac{\partial T}{\partial q}\right)^{2}
\]

эквивалентно следующему:
\[
\begin{array}{l}
\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)\left[\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)^{2}+\left(\frac{\partial T}{\partial q}\right)^{2}+\left(\frac{\partial T}{\partial r}\right)^{2}\right]- \\
-\left(p \frac{\partial T}{\partial p}+q \frac{\partial T}{\partial q}+\dot{r} \frac{\partial T}{\partial r}\right)^{2},
\end{array}
\]

которое, в силу двух приведенных выше интегралов, приводится к виду
\[
f^{2}\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)-4 h^{4},
\]

то мы цолучаем более простое дифференциальное уравнение, сложив квадраты выражений $d \frac{\partial T}{\partial p}, d \frac{\partial T}{\partial q}$, $d \frac{\partial T}{\partial r}$ в трех дифференциальных уравнениях (A); әто уравнение можно также взять вместо любого из указанных выше уравнений.

Таким образом, определение величин $p, q, r$ в функдии $t$ зависит от трех следующих уравнений:
\[
\begin{array}{c}
T=h^{2}, \\
\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)^{2}+\left(\frac{\partial T}{\partial q}\right)^{2}+\left(\frac{\partial T}{\partial r}\right)^{2}=f^{2}, \\
\left(d \frac{\partial T}{\partial p}\right)^{2}+\left(d \frac{\partial T}{\partial q}\right)^{2}+\left(d \frac{\partial T}{\partial r}\right)^{2}=\left[f^{2}\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)-4 h^{4}\right] d t^{2}, \\
\text { в которых } \\
T=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right)-F q r-G p r-H p q .
\end{array}
\]

в которых
26. Решение задачи оказывается довольно легким, когда три постоянных $F, G, H$ равны нулю; действительно, тогда мы имеем просто
\[
T=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right) ;
\]

следовательно,
\[
\frac{\partial T}{\partial p}=A p, \quad \frac{\partial T}{\partial q}=B q, \quad \frac{\partial T}{\partial r}=C r
\]

таким образом, три подлежащих разрешению уравнения получают следующий вид:
\[
\begin{aligned}
A p^{2}+B q^{2}+C r^{2} & =2 h^{2}, \\
A^{2} p^{2}+B^{2} q^{2}+C^{2} r^{2} & =f^{2}, \\
\frac{A^{2} d p^{2}+B^{2} d q^{2}+C^{2} d r^{2}}{d t^{2}} & =f^{2}\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)-4 h^{4} .
\end{aligned}
\]

Следовательно, если положить $p^{2}+q^{2}+r^{2}=u$ и определить $p, q, r$ из трех уравнений:
\[
\begin{aligned}
p^{2}+q^{2}+r^{2} & =u, \\
A p^{2}+B q^{2}+C r^{2} & =2 h^{2}, \\
A^{2} p^{2}+B^{2} q^{2}+C^{2} r^{2} & =f^{2},
\end{aligned}
\]

то мы получим
\[
\begin{aligned}
p^{2} & =\frac{B C u-2 h^{2}(B+C)+f^{2}}{(A-B)(A-C)}, \\
q^{2} & =\frac{A C u-2 h^{2}(A+C)+f^{2}}{(B-A)(B-C)}, \\
r^{2} & =\frac{A B u-2 h^{2}(A+B)+f^{2}}{(C-A)(C-B)} ;
\end{aligned}
\]

если затем эти выражения подставить в указанное выше дифференциальное уравнение, то левая часть его после некоторых преобразований примет следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
A^{2} B^{2} C^{2}\left(4 h^{2}-f^{2} u\right) d u^{2}:\left\{4 \left[B C u-2 h^{2}(B+C)+\right.\right. \\
\left.\left.+f^{2}\right]\left[A C u-2 h^{2}(A+C)+f^{2}\right]\left[A B u-2 h^{2}(A+B)+f^{2}\right] d t^{2}\right\},
\end{array}
\]

а правая часть его будет равна $f^{2} u-4 h^{4}$; поэтому, разделив все это уравнение на $f^{2} u-4 h^{4}$ и извлекщи квадратный корень, мы, наконец, получим
\[
\begin{aligned}
d t=A B C d u & : 2\left\{-\left[B C u-2 h^{2}(B+C)+f^{2}\right][A C u-\right. \\
& \left.\left.-2 h^{2}(A+C)+f^{2}\right]\left[A B u-2 h^{2}(A+B)+f^{2}\right]\right\}^{-\frac{1}{2}},
\end{aligned}
\]

откуда путем интегрирования можно получить $t$ в функции $u$ и наоборот $\left[{ }^{29}\right]$.
27. Теперь предположим, что постоянные $F, G, H$ не равны нулю, и посмотрим, каким образом с помощью некоторых подстановок можно этот случай свести к предыдущему.

Для этой цели я подставлю вместо переменных $p, q, r$ функции других переменных $x, y, z$, которые, однако, не следует смешивать с теми, которые раныше представляли координаты различных точек тела; при этом я предполагаю прежде всего эти функции такими, что мы имеем
\[
p^{2}+q^{2}+r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} .
\]

Ясно, что для выполнения этого условия рассматриваемые функции должны быть линейными и, стало быть, должны иметь следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
p=p^{\prime} x+p^{\prime \prime} y+p^{\prime \prime \prime} z, \quad q=q^{\prime} x+q^{\prime \prime} y+q^{\prime \prime \prime} z, \\
r=r^{\prime} x+r^{\prime \prime} y+r^{\prime \prime \prime} z .
\end{array}
\]

Величины $p^{\prime}, p^{\prime \prime}, p^{\prime \prime \prime}, q^{\prime}, \ldots$ являются произвольными постоянными $\left[{ }^{30}\right]$, между которыми, в силу уравнения
\[
p^{2}+q^{2}+r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
\]

должно существовать шесть следующих условных уравнений:
\[
\begin{aligned}
p^{\prime 2}+q^{\prime 2}+r^{\prime 2} & =1, & p^{\prime} p^{\prime \prime}+q^{\prime} q^{\prime \prime}+r^{\prime} r^{\prime \prime} & =0 \\
p^{\prime 2}+q^{\prime 2}+r^{\prime \prime 2} & =1, & p^{\prime} p^{\prime \prime \prime}+q^{\prime} q^{\prime \prime \prime}+r^{\prime} r^{\prime \prime \prime} & =0 \\
p^{\prime \prime \prime 2}+q^{\prime \prime \prime 2}+r^{\prime \prime \prime 2} & =1, & p^{\prime \prime} p^{\prime \prime \prime}+q^{\prime \prime} q^{\prime \prime \prime}+r^{\prime \prime} q^{\prime \prime \prime} & =0
\end{aligned}
\]

стало быть, так как у нас имеется девять указанных величин, то, носле того как мы удовлетворим этим шести уравнениям, у нас останется еще лишь три произвольные постоянные величины.

Телерь я подставляю эти выражения $p, q, r$ в выражение для $T$; с помощью трех упомянутых мною выше произвольных ностоянных я могу добиться того, чтобы три члена, содержащие произведения $x y, x z, y z$, исчезли из выражения $T$, так что последняя величина приводится к следующему виду:
\[
\frac{\alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma z^{2}}{2} .
\]

Для упрощения выкладок я подставляю непосредстве но в эту формулу $x, y, z$ в функции $p, q, r$ и, савнивая затем полученный результат с выражениел для $T$, определяю не только интересующие нас про звольные постоянные, но и неизвестные величины $\alpha, \beta, \gamma$. В самом деле, если приведенные выше выражения $p, q, r$ умножить соответственно на $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$, на $l^{\prime \prime}, q^{\prime \prime}, r^{\prime \prime}$ и на $p^{\prime \prime \prime}, q^{\prime \prime \prime}, r^{\prime \prime}$ и затем сложить, то, в силу условных уравнений между коэффициентами $p^{\prime}, p^{\prime \prime}, \ldots$, мы тотчас же получим
\[
\begin{array}{c}
x=p^{\prime} p+q^{\prime} q+r^{\prime} r, \quad y=p^{\prime \prime} p+q^{\prime \prime} q+r^{\prime \prime} r, \\
z=p^{\prime \prime \prime} p+q^{\prime \prime \prime} q+r^{\prime \prime \prime} r .
\end{array}
\]

Подетановка этих величин в выражение $\frac{\alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma^{2}}{2}$ и сравнение с выражением $T$, приведенным в пункте 25 , цает нам шесть следующих уравнений:
\[
\begin{aligned}
\alpha p^{2}+\beta p^{\prime 2}+\gamma p^{\prime \prime 2} & =A, \\
\alpha q^{2}+\beta q^{\prime 2}+\gamma q^{\prime \prime \prime} & =B, \\
\alpha r^{2}+\beta r^{\prime 2}+\gamma r^{\prime \prime \prime 2} & =C, \\
\alpha q^{\prime} r^{\prime}+\beta q^{\prime \prime} r^{\prime \prime}+\gamma q^{\prime \prime \prime} r^{\prime \prime \prime} & =-F, \\
\alpha p^{\prime} r^{\prime}+\beta p^{\prime \prime} r^{\prime \prime}+\gamma p^{\prime \prime \prime} r^{\prime \prime \prime} & =-G, \\
\alpha p^{\prime} q^{\prime}+\beta p^{\prime \prime} q^{\prime \prime}+\gamma p^{\prime \prime \prime} q^{\prime \prime \prime} & =-H,
\end{aligned}
\]

которые служат для определения интересующих нас шести неизвестных,

Это определение само по себе не вызывает никаких затруднений; в самом деле, если первое из этих уравнений, умноженное на $p^{\prime}$, сложить с шестым, умноженным на $q^{\prime}$, и с пятым, умноженным на $r^{\prime}$, то, в силу указанных уже выше условных уравнсчий, мы будем иметь
\[
\alpha . p^{\prime}=A p^{\prime}-H q^{\prime}-G r^{\prime} ;
\]

сложив второе, четвертое и шестое, умноженные соответственно на $q^{\prime}, r^{\prime}, p^{\prime}$, мы аналогичным образом голучим
\[
\alpha q^{\prime}=B q^{\prime}-F r^{\prime}-H p^{\prime} ;
\]

наконец, сложив третье, пятое и четвертое, умноженные соответственно на $r^{\prime}, p^{\prime}, q^{\prime}$, мы будем иметь.
\[
\alpha r^{\prime}=C r^{\prime}-G p^{\prime}-F q^{\prime} ;
\]

приведенные три уравнения, взятые в сочетании с условным уравнением
\[
p^{\prime 2}+q^{\prime 2}+r^{\prime 2}=1,
\]

послужат для определения четырех неизвестных величин $\alpha, p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$.
Первые два уравнения даот
\[
q^{\prime}=\frac{H G+F(A-\alpha)}{F H+G(B-\alpha)} p^{\prime}, \quad r^{\prime}=\frac{(A-\alpha)(B-\alpha)-H^{2}}{F H+G(B-\alpha)} p^{\prime} ;
\]

если әти выражения подставить в третье уравнение, то после разделения на $p^{\prime}$ мы получим следующее уравнение относительно $\alpha$ :
\[
\begin{aligned}
(\alpha-A)(\alpha-B) & (\alpha-C)-F^{2}(\alpha-A)- \\
& -G^{2}(\alpha-B)-H^{2}(\alpha-C)+2 F G H=0,
\end{aligned}
\]

которое, будучи уравнением третьей степени, необходимо имеет один вещественный корень.

Если те же выражения подставить в четвертое уравиение, то мы получим выражения $p^{\prime}, q^{\prime} ; r^{\prime}$ в функции $\alpha$, которые, если для сокращения положить
\[
\begin{array}{l}
(\alpha)=\left\{\left[(A-\alpha)(B-\alpha)-H^{2}\right]^{2}+[H G+F(A-\alpha)]^{2}+\right. \\
+ {\left.[F H+G(B-\alpha)]^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} }
\end{array}
\]

будут иметь следующий вид:
\[
\begin{aligned}
p^{\prime} & =\frac{F H+G(B-\alpha)}{(\alpha)}, \\
q^{\prime} & =\frac{H G+F(A-\alpha)}{(\alpha)}, \\
r^{\prime} & =\frac{(A-\alpha)(B-\alpha)-H^{2}}{(\alpha)} .
\end{aligned}
\]

Если те же комбинации снова проделать с приведенными выше уравнениями, но в качестве множителей вместо $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$ взять $p^{\prime \prime}, q^{\prime \prime}, r^{\prime \prime}$, то с их помощью мы получим следующие уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\beta p^{\prime \prime}=A p^{\prime \prime}-H q^{\prime \prime}-G r^{\prime \prime}, \\
\beta q^{\prime \prime}=B q^{\prime \prime}-F r^{\prime \prime}-H p^{\prime \prime}, \\
\beta r^{\prime \prime}=C r^{\prime \prime}-G p^{\prime \prime}-F q^{\prime \prime},
\end{array}
\]

которые, будучи взяты совместно с условным уравнением
\[
p^{\prime 2}+q^{\prime 2}+r^{\prime 2}=1,
\]

послужат для определения четырех неизвестных величин $\beta, p^{\prime \prime}, q^{\prime \prime}, r^{\prime \prime}$; а так как последние уравнения отличаются от приведеннных выше только тем, что в них стоят эти неизвестные вместо прежних неиввестных $\alpha, p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$, то отсюда можно тотчас же сделать вывод, что уравнение относительно $\beta$, равно как выражения $p^{\prime \prime}, q^{\prime \prime}, r^{\prime \prime}$ в функции $\beta$, будут тождественны с теми, которые мы раныше нашли для $\alpha$.

Наконец, если мы снова повторим те же операции, но в качестве множителей возьмем $p^{\prime \prime \prime}, q^{\prime \prime \prime}, r^{\prime \prime \prime}$, то снова получим три уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\gamma p^{\prime \prime \prime}=A p^{\prime \prime \prime}-H q^{\prime \prime \prime}-G r^{\prime \prime \prime} \\
\gamma q^{\prime \prime \prime}=B q^{\prime \prime \prime}-F r^{\prime \prime \prime}-H p^{\prime \prime \prime} \\
\gamma r^{\prime \prime \prime}=C r^{\prime \prime \prime}-G p^{\prime \prime \prime}-F q^{\prime \prime \prime}
\end{array}
\]

к которым следует присоединить уравнение
\[
p^{\prime \prime \prime 2}+q^{\prime \prime \prime 2}+r^{\prime \prime \prime}=1 ;
\]

так как эти уравнения во всем схожи с предыдущими, то по отношению к ним можно сделать те же самые выводы.

Итак, мы приходим к общему выводу, что найденное выше уравнение относительно $\alpha$ имеет своими корнями значения трех величин $\alpha, \beta, \gamma$ и что если эти корни последовательно подставить в выражения $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$ через $\alpha$, то мы тотчас же получим $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}, p^{\prime \prime}, q^{\prime \prime}, r^{\prime \prime}$ и $p^{\prime \prime \prime}, q^{\prime \prime \prime}, r^{\prime \prime \prime}$; таким образом, путем разрешения указанного уравнения мы определим все интересующие нас величины.

Так как упомянутое уравнение является уравнением третьей степени, то оно всегда имеет один вещественный корень, который, будучи принят в качестве значения $\alpha$, сообщает вещественные значения и трем величинам $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$. Что касается двух других корней $\beta$ и $\gamma$, то, как известно, если бы они были мнимыми, они должны были бы иметь следующий вид:
\[
b+c \sqrt{-1} \text { и } b-c \sqrt{-1},
\]

так что и величины $p^{\prime \prime}, q^{\prime \prime}, r^{\prime \prime}$, являющиеся рациональными функциями $\beta$, должны были бы иметь следующий вид:
\[
m+n \sqrt{-1}, \quad m^{\prime}+n^{\prime} \dot{V}=1, \quad m^{\prime \prime}+n^{\prime \prime} \sqrt{-1} ;
\]

величины же $p^{\prime \prime \prime}, q^{\prime \prime \prime}, r^{\prime \prime \prime}$, являющиеся аналогичными функциями $\gamma$, должны были бы иметь сопряженный вид
\[
m-n \sqrt{-1}, \quad m^{\prime}-n^{\prime} V=1, \quad m^{\prime \prime}-n^{\prime \prime} V \overline{-1} ;
\]

стало быть, условное уравнение $p^{\prime \prime} p^{\prime \prime \prime}+q^{\prime \prime} q^{\prime \prime \prime}+r^{\prime \prime} r^{\prime \prime \prime}=0$ дало бы
\[
m^{2}+n^{2}+m^{\prime 2}+n^{\prime 2}+m^{\prime 2}+n^{\prime 2}=0,
\]

что, однако, невозможно, поскольку $m, n, m^{\prime}, n^{\prime}, m^{\prime \prime}, n^{\prime \prime}$ вещественны; отсюда следует, что $\beta$ и $\gamma$ не могут быть мнимыми*).

Для того чтобы можно было прямо убедиться в правильности этого утверждения, исходя из самого рассматриваемого уравнения, я представляю последнее в следующем виде:
\[
\alpha-C=\frac{F^{2}(\alpha-A)+G^{2}(\alpha-B)-2 F G H}{(\alpha-A)(\alpha-B)-H^{2}},
\]

затем подставляю в нем вместо $\alpha$ последовательно два других корня $\beta$ и $\gamma$ и два полученных таким образом уравнения вычитаю одно из другого; после сокращений и разделения на $\beta-\gamma$ я получаю следующее преобразованное уравнение:
\[
\begin{array}{l}
{\left[(\beta-A)(\beta-B)-H^{2}\right]\left[(\gamma-A)(\gamma-B)-H^{2}\right]+} \\
\quad+\left(F^{2}+G^{2}\right) \beta \gamma-\left(A F^{2}+B G^{2}+2 F G H\right)(\beta+\gamma)+ \\
\quad+\left(F^{2}+G^{2}\right) H^{2}+A^{2} F^{2}+B^{2} G^{2}+2 F G H(A+B)=0,
\end{array}
\]

которое может быть приведено к следующему виду:
\[
\begin{array}{l}
{\left[(\beta-A)(\beta-B)-H^{2}\right]\left[(\gamma-A)(\gamma-B)-H^{2}\right]+} \\
\quad+[F(\beta-A)-G H][F(\gamma-A)-G H]+ \\
\quad+[G(\beta-B)-H F][G(\gamma-B)-H F]=0 ;
\end{array}
\]

последнее, как видим, предс’тавляет собою то же самое, что и уравнение
\[
p^{\prime \prime} p^{\prime \prime \prime}+q^{\prime \prime} q^{\prime \prime \prime}+r^{\prime \prime} r^{\prime \prime \prime}=0
\]
*) Рассматриваемое здесь уравнение является уравнением, указывающим нацравление главных осей поверхностей втоporo порядка. Приведенное ниже докавательство является первым в истории прямым доказательством вещественности корней этого уравнения. (Прим. Бертрана.)

и, следовательно, приводит к аналогичным заключениям*).

Таким образом, все три корня $\alpha, \beta, \gamma$ обязательно вещественны, равным образом вещественны и девять коэффициентов $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}, p^{\prime \prime}, \ldots$, являющиеся рапиональными функциями этих корней.
28. Мы только что определили значения этих коэффициентов так, чтобы иметь
\[
p^{2}+q^{2}+r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} \quad \text { и } \quad T=\frac{\alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma z^{2}}{2} ;
\]

если последовательно варьировать $p, q, r$, то в силу того, что $x, y, z$ являются функциями этих переменных, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial T}{\partial p}=\alpha x \frac{\partial x}{\partial p}+\beta y \frac{\partial y}{\partial p}+\gamma z \frac{\partial z}{\partial p}, \\
\frac{\partial T}{\partial q}=\alpha x \frac{\partial x}{\partial q}+\beta y \frac{\partial y}{\partial q}+\gamma z \frac{\partial z}{\partial q}, \\
\frac{\partial T}{\partial r}=\alpha x \frac{\partial x}{\partial r}+\beta y \frac{\partial y}{\partial r}+\gamma z \frac{\partial z}{\partial r}
\end{array}
\]

но, как мы уже видели выше,
\[
\begin{array}{c}
x=p^{\prime} p+q^{\prime} q+r^{\prime} r, \quad y=p^{\prime \prime} p+q^{\prime \prime} q+r^{\prime \prime} r, \\
z=p^{\prime \prime \prime} p+q^{\prime \prime \prime} q+r^{\prime \prime \prime} r
\end{array}
\]

следовательно,
\[
\frac{\partial x}{\partial p}=p^{\prime}, \quad \frac{\partial x}{\partial q}=q^{\prime}, \quad \frac{\partial x}{\partial r}=r^{\prime}, \quad \frac{\partial y}{\partial p}=p^{\prime}, \quad \frac{\partial y}{\partial q}=q^{\prime \prime}, \ldots ;
\]

поэтому, подставив эти значения, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial T}{\partial p}=p^{\prime} \alpha x+p^{\prime \prime} \beta y+p^{\prime \prime \prime} \gamma z, \\
\frac{\partial T}{\partial q}=q^{\prime} \alpha x+q^{\prime \prime} \beta y+q^{\prime \prime \prime} \gamma z, \\
\frac{\partial T}{\partial r}=r^{\prime} \alpha x+r^{\prime \prime} \beta y+r^{\prime \prime \prime} \gamma z .
\end{array}
\]
*) Как видим, участие величин $p^{\prime \prime}, p^{\prime \prime \prime}, \ldots$ не является сколько-нибудь обязательным; достаточно указать, что последнее уравнение имеет в качестве своей левой части сумму произведений трех пар сопряженных мнимых выражений. (I рим. Берт рана.)

Таким образом, на основании условных уравнений между коэффициентами $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}, p^{\prime \prime}, \ldots$ мы будем иметь
\[
\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)^{2}+\left(\frac{\partial T}{\partial q}\right)^{2}+\left(\frac{\partial T}{\partial r}\right)^{2}=\alpha^{2} x^{2}+\beta^{2} y^{2}+\gamma^{2} z^{2}
\]

и
\[
\left(d \frac{\partial T}{\partial p}\right)^{2}+\left(d \frac{\partial T}{\partial q}\right)^{2}+\left(d \frac{\partial T}{\partial r}\right)^{2}=\alpha^{2} d x^{2}+\beta^{2} d y^{2}+\gamma^{2} d z^{2} \text {. }
\]

Сталі быть, три окончательных уравнения сведутся к следующим уравнениям:
\[
\begin{aligned}
\alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma z^{2} & =2 h^{2}, \\
\alpha^{2} x^{2}+\beta^{2} y^{2}+\gamma^{2} z^{2} & =f^{2}, \\
\frac{\alpha^{2} d x^{2}+\beta^{2} d y^{2}+\gamma^{2} d z^{2}}{d t^{2}} & =f^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-4 h^{4},
\end{aligned}
\]

которые, как видим, совершенно аналогичны уравнениям пункта 25 , причем величины $x, y, z, \alpha, \beta, \gamma$ соответствуют величинам $p, q, r, A, B$.

Отсюда следует, что если положить, как в только что упомянутом пункте,
\[
u=p^{2}+q^{2}+r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
\]

то мы получим те же формулы между переменными $x, y, z, u, t$, какие мы нашли между $p, q, r, u, t$, заменив лишь $A, B, C$ величинами $\alpha, \beta, \gamma$.

Имея, таким образом, $x, y, z$ в функции $u$ или $t$, мы с помощью формул пункта 27 получим и величины $p, q, r$.
29. Однако определения величин $p, q, r$ недостаточно для установления всех обстоятельств вращательного движения тела: әти величины служат лишь для определения его мгновенного вращения. В самом деле, так как
\[
p=\frac{d P}{d t}, \quad q=\frac{d Q}{d t}, \quad r=\frac{d R}{d t},
\]

то отсюда, как мы уже это видели в пункте 10 , следует, что мгновенная ось вращения, вокруг которой тело вращается каждое мгновение, образует с осями координат $a, b, c$ углы, косинусы которых соответственно равны
\[
\frac{p}{\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}}, \quad \frac{q}{\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{9}}}, \quad \frac{r}{\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}},
\]

и что угловая скорость вокруг этой оси выражается через
\[
\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}
\]

Для полного определения вращения тела следует еще найти значения девяти величин $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \ldots$, от которых зависят координаты $\xi, \eta, \zeta$, дающие абсолютное положение каждой точки тела в пространстве по отношению к центру тяжести, который рассматривается как находящийся в состоянии покоя (п. 17); это требует еще трех новых интегрирований.

Для этой цели я обращаюсь к дифференциальным формулам пункта 13 и, подставив $p d t, q d t, r d t$ вместо $d P, d Q, d R$, получаю следующие уравнения:

столько же аналогичных уравнений я получаю относительно $\eta_{i}^{\prime}, \eta^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime \prime}$ и $\zeta^{\prime}$, $\zeta^{\prime \prime} ?^{\prime \prime \prime}$, подставив лишь вместо $\xi$ сначала $\eta$, а затем $\zeta$.

Если эти уравнения сравнить с дифференциальными уравнениями (A) пункта 24 между величинами $\frac{\partial T}{\partial p}, \frac{\partial T}{\partial q}, \frac{\partial T}{\partial r}$, то станет ясно, что эти уравнения совершенно подобны друг другу, так что указанные величины соответствуют величинам $\xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \xi^{\prime \prime \prime}$, равно как величинам $\eta^{\prime}, \eta^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime \prime}$ и величинам ‘ $\zeta^{\prime}, \zeta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime \prime}$.

Отсюда я заключаю, что эти последние переменные могут быть рассматриваемы как частные значения переменных $\frac{\partial T}{\partial p}, \frac{\partial T}{\partial q}, \frac{\partial T}{\partial r}$ и что так как уравнения между этими переменными являются линейными, то, взяв какие-либо три постояннае величины $l, m, n$, мы получим три следующих полных интегральных уравнения $\left[{ }^{31}\right]$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial T}{\partial p}=l \xi^{\prime}+m \eta^{\prime}+n \zeta^{\prime}, \\
\frac{\partial T}{\partial q}=l \xi^{\prime \prime}+m \eta^{\prime \prime}+n \zeta^{\prime \prime}, \\
\frac{\partial T}{\partial r}=l \xi^{\prime \prime \prime}+m \eta^{\prime \prime \prime}+n \zeta^{\prime \prime \prime} .
\end{array}\right\}
\]

Могло бы шоказаться, что если бы эти уравнения соединить с шестью условными уравнениями между теми же переменными है $^{\prime}, \eta^{\prime}, \ldots$, то можно было бы определить эти переменные, общее число которых составляет девять; однако, если более внимательно рассмотреть приведенные выше уравнения, можно легко убедиться, что фактически они могут заменить только два уравнения; в самом деле, если сложить их квадраты, то, в силу тех же условных уравнений (II. 5), все неизвестные $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}, \ldots$ сразу исчезнут, так что мы получим просто уравнение
\[
\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)^{2}+\left(\frac{\partial T}{\partial q}\right)^{2}+\left(\frac{\partial T}{\partial r}\right)^{2}=l^{2}+m^{2}+n^{2},
\]

которое, как видим, совпадает с первым из двух найденных выше (п. 22) интегралов; сопоставление этих уравнений дает
\[
f^{2}=l^{2}+m^{2}+n^{2},
\]

таким образом, из четырех пистоянных $f, l, m, n$ лишь три величины остаются произвольными.

Отсюда следует заключить, что полное решение задачи требует еще нового интегрирования, для которого следует применить любое из приведенных выше дифференциальных уравнений или же любую комбинацию этих уравнений.
30. Но вычисления можно сделать гораздо более общими и более простыми, если прямо отыскивать значения самих координат $\xi, \eta, \zeta$, определяющих непосредственно абсолютное положение любой точки тела, для которой координаты, отнесенные к осям тела, суть $a, b, c$.

Для этой дели я складываю три найденных выше интегральных уравнения (D), предварительно умножив первое из них на $a$, второе на $b$, третье на $c$, в результате чего получается (I. 1) следующее уравнение:
\[
l \xi+m \eta+n \zeta=a \frac{\partial T}{\partial p}+b \frac{\partial T}{\partial q}+c \frac{\partial T}{\partial r} .
\]

Но, в силу природы величин $\xi, \eta, \zeta$, мы уже имели (п. 5)
\[
\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2} .
\]

Наконец, подставив $p d t, q d t, r d t$ вместо $d P, d Q$, $d R$ и считая $a, b, c$ постоянными, мы также получим
\[
\frac{d \xi^{2}+d \eta^{2}+d \zeta^{2}}{d t^{2}}=(c q-b r)^{2}+(a r-c p)^{2}+(b p-a q)^{2} .
\]

Итак, здесь мы имеем три уравнения, из которых с помощью одного только интегрирования можно долучить величины $\xi, \eta, \zeta$. Далее, если бы мы захотели узнать отдельно значения $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \ldots$, надо было бы лишь в общих выражениях $\xi, \eta, \zeta$ положить
\[
a=1, \quad b=0, \quad c=0,
\]

или
\[
a=0, \quad b=1, \quad c=0,
\]

или
\[
a=0, \quad b=r, \quad c=1 .
\]

Положим для краткости
\[
\begin{aligned}
L & =a \frac{\partial T}{\partial p}+b \frac{\partial T}{\partial p}+c \frac{\partial T}{\partial r}, \\
M & =a^{2}+b^{2}+c^{2}, \\
N & =(c q-b r)^{2}+(a r-c p)^{2}+(b p-a q)^{2} ;
\end{aligned}
\]

тогда нам придется разрешить три следующих уравнения:
\[
\begin{aligned}
l \xi+m \eta+n^{\circ} & =L, \\
\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2} & =M, \\
\frac{d \xi^{2}+d \eta^{2}+d \xi^{2}}{d t^{2}} & =N,
\end{aligned}
\]

в которых $M$ является заданной постоянной величиной, $L, N$, согласно допущению, известны в функции $t$, а $l, m, n$ являются произвольными постоянными.

Отмечу здесь прежде всего, что если бы $l$ и $m$ одновременно были равны нулю, то первое уравнение дало бы
\[
\zeta=\frac{L}{n},
\]

а если бы это значение подставить в два других уравнения, то мы нолучили бы
\[
\xi^{2}+\eta^{2}=M-\frac{L^{2}}{n^{2}}, \quad \frac{d \xi^{2}+d \eta^{2}}{d t^{2}}=N-\frac{d L^{2}}{n^{2} d t^{2}} ;
\]

эти уравнения легко интегрируются, если положить $\xi=\rho \cos \theta, \eta=p \sin \theta ;$ благодаря әтой подстановке они превращаются в два следующих уравнения:
\[
\rho^{2}=M-\frac{L}{n^{2}}, \quad \frac{\rho^{2} d \theta^{2}+d \rho^{2}}{d t^{2}}=N-\frac{d L^{2}}{n^{2} d t^{2}},
\]

из которых первое дает $\beta$, а второе–угол $\theta$ интегрированием уравнения
\[
d \theta=\frac{d t}{\rho} \sqrt{N-\frac{d L^{2}}{n^{2} d t^{2}}-\frac{d \rho^{2}}{d t^{2}}} .
\]

Теперь предположим, что $l$ и $m$ не равны нулю, и посмотрим, каким образом данный случай можно свести к предыдущему. Ясно, что если положить
\[
l \xi+m \eta=x \sqrt{l^{2}+m^{2}}, \quad m \xi-l \eta=y \sqrt{l^{2}+m^{2}},
\]

то мы точно так же получим
\[
\xi^{2}+\eta^{2}=x^{2}+y^{2} \text { и } d \xi^{2}+d \eta^{2}=d x^{2}+d y^{2} ;
\]

таким образом, рассматриваемые уравнения сначала приведутся к следующему виду:
\[
\begin{aligned}
x \sqrt{l^{2}+m^{2}}+n^{\zeta} & =L, \\
x^{2}+y^{2}+\zeta^{2} & =M, \\
\frac{d x^{2}+d y^{2}+d b^{2}}{d t^{2}} & =N .
\end{aligned}
\]

Если затем положить
\[
\begin{array}{l}
x \sqrt{l^{2}+m^{2}}+\eta_{\zeta}=z \sqrt{l^{2}+m^{2}+n^{2}}, \\
n x-\zeta \sqrt{l^{2}+m^{2}}=u \sqrt{l^{2}+m^{2}+n^{2}}
\end{array}
\]

то мы получим еще
\[
x^{3}+\zeta^{2}=z^{2}+u^{2} \quad \text { и } \quad d x^{2}+d \zeta^{2}=d z^{2}+d u^{2} ;
\]

стало быть, мы получим следующие цреобразованные уравнения:
\[
\begin{aligned}
z \sqrt{l^{2}+m^{2}+n^{2}} & =L, \\
u^{2}+y^{2}+z^{2} & =M, \\
\frac{d u^{2}+d y^{2}+d z^{2}}{d t^{2}} & =N,
\end{aligned}
\]

которые, как видим, совершенно аналогичны уравнениям, которые мы разрешили выше; таким ббразом, мы получим для $u, y, z$ те же выражения, какие мы раньше нашли для $\xi, \eta, \zeta$, поставив лишь вместо $n$ выражение $\sqrt{l^{2}+m^{2}+n^{2}}$.

Если эти величины известны, то общие выражения для $\xi, \eta, \zeta$, мы получим с помощью следующих формул:
\[
\xi=\frac{l x+m y}{\sqrt{i^{2}+m^{2}}}, \quad \eta=\frac{m x-l y}{\sqrt{l^{2}+m^{2}}}, \quad \zeta=\frac{n z-u \sqrt{i^{2}+m^{2}}}{\sqrt{i^{2}+m^{2}+n^{2}}} .
\]
31. Таково, если я не ошибаюсь, наиболее общее и в то же время наиболее простое решение, какое можно дать знаменитой проблеме о вращательном движении свободных тел; оно аналогично тому решению, которое я дал в Mémoires de l’Académie de
Berlin за 1773 г.*), но в то же время оно является более прямым и в некоторых отношениях более простым. В указанном выше решении я исходил из трех интегральных уравнений, соответствующих уравнениям (D) пункта 29 , – уравнений, которые я вывел непосредственно с помоцью известного принципа площадей и моментов и к которым я присоединил уравнение живых сил $T=h_{i}^{2}$ (і. 24). Здесь же я все решение вывел из трех первоначальных дифференциальных уравнений и, полагаю, в это решение я внес всю ясность, и если можно так выразиться, все изящество, которое можно придать этому решению; поэтому я льщу себя надеждой, что меня не упрекнут за повторное рассмотрение настоящей проблемы, хотя при этом я руководился чистой любознательностью, в особенности принимая во внимание, что это решение, несомненно, может принести некоторую пользу для развития анализа.

Наиболее замечательным в приведенном выше решении мне представляется то применение, которое дается величинам $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \ldots$ при отсутствии данных об их значениях, а лишь на основании условных уравнений, которым они подчинены, – величинам, которые в конце концов совершенно исчезают из расчета; я не сомневаюсь, что этот вид анализа может оказаться полезным и в других случаях.

Между прочим, если это решение несколько пространно, то это обстоятельство следует приписать лишь большой общности, которую я хотел сохранить; можно было указать два способа упрощения расчета, один – основанный на допущении, что постоянные величины $F, G, H$ равны нулю (п. 25), и второй – основанный на приравнивании нулю постоянных величин $l$ и $m$ (п. 30 ).

Первое из этих допущений всегда считали необхедимым для получения полного решения проблемы, до тех пор, пока в своем мемуаре 1773 г. я не дал
*) Oeuvres de Lagrange, т. III, стр. 579. (Прим. Дарбу.)

способа, с помощью которого можно избежать этого допущения. Действительно, это допущение заключается в том, что за оси координат $a, b, c$ избирают такие прямые, чтобы суммы $\mathbf{S} a b D m, \mathbf{S} a c D m, \mathbf{S} b c D m$ были равны нулю (п. 19); Эйлер впервые доказал, что это всегда возможно, какова бы ни была форма тела, и что определенные таким образом оси являются естественными осями вращения, т. е. такими осями, что тело может свободно вращаться вокруг каждой их них. Хотя всегда можно найти оси, обладающие указанным свойством, и хотя положение осей тела вообще является произвольным, тем не менее представляется небезразличным получить решение, совершенно прямое и не зависимое от указанных особых соображений.

Второе из упомянутых допущений зависит от положения осей координат $\xi, \eta, \zeta$ в пространстве. которое, будучи точно так же произвольным, может быть всегда выбрано таким образом, чтобы постоянные величины $l$ и $m$ оказались равными нулю, в чем можно непосредственно убедиться с помощью найденных нами выше общих выражений для $\xi, \eta, \zeta$.
32. Если допустить, что $F, G, H$ равны нулю, то, как мы видели в пункте 26 , получается
\[
\frac{\partial T}{\partial p}=A p, \quad \frac{\partial T}{\partial q}=B q, \quad \frac{\partial T}{\partial r}=C r
\]

а если эти значения подставить в три дифференциальных уравнения (A), то получаются следующие уравнения:
\[
\begin{array}{c}
d p+\frac{C-B}{A} q r d t=0, \quad d q+\frac{A-C}{B} p r d t=0, \\
d r+\frac{B-A}{C} p q d t=0
\end{array}
\]

последние совпадают с уравнениями, примененными Эйлером при решении настоящей проблемы, которое он дал .впервые (см. Mémoires de l’Académie de Berlin за 1758 г.). Для того чтобы в этом убедиться, достаточно принять во внимание, что постоянные величины $A, B, C$ (п. 20) представляют собой совершенно то же, что Эйлер назвал моментами инерции тела вокруг осей координат $a, b, c$, и что переменные $p, q$, $r$ зависят от мгновенного и произвольного вращательного движения; таким образом, если через $\alpha, \beta, \gamma$ обозначить углы, образуемые осью, вокруг которой тело в каждое мгновение произвольно вращается, с осями $a, b, c$, и через $\rho$ угловую скорость вращения этой оси, то мы будем иметь (п. 29)
\[
p=p \cos \alpha, \quad q=p \cos \beta, \quad r=\rho \cos \gamma .
\]

Что касается других уравнений Эйлера, служащих для определения положения осей тела в пространстве, то они соответствуют нашим уравнениям (C) пункта 29. В самом деле, так как девять величин $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}, \xi^{\prime \prime}, \ldots$ представляют собою не что иное, как прямоугольные координаты трех точек тела, взятых на трех осях на расстоянии, равном единице от центра (это, очевидно, следует из того, что указанные величины получаются из трех величин $\xi, \eta$, $\zeta$, если последовательно положить $a=1, b=0, c=0$, затем $a=0, b=1, c=0$ и, наконец, $a=0, b=0, c=1$ ), то ясно, что если вместе с Эйлером через $l, m, n$ обозначить дополнения углов наклона этих осей $\mathbf{\kappa}$ неподвижной плоскости है и $\eta$, а через $\lambda, \mu,
u$-углы, образуемые проекциями этих же осей с неподвижной осью $\xi$, то мы получим три следующих выражения:
\[
\begin{array}{l}
\zeta^{\prime}=\cos l, \quad \eta^{\prime}=\sin l \sin \lambda, \quad \xi^{\prime}=\sin l \cos \lambda, \\
\zeta^{\prime \prime}=\cos m, \quad \eta^{\prime \prime}=\sin m \sin \mu, \quad \xi^{\prime \prime}=\sin m \cos \mu, \\
\zeta^{\prime \prime \prime}=\cos n, \quad \eta^{\prime \prime \prime}=\sin n \sin
u, \quad \xi^{\prime \prime \prime}=\sin n \cos
u ; \\
\end{array}
\]

с помощью этих подстановок можно легко получить уравнения, к которым Эйлер пришел путем геометрических и тригонометрических соображений.
33. Между прочим, если одновременно сделать оба допущения, что $F, G, H$ равны нулю и что $l, m$ тоже равны нулю, то мы получим наиболее простое решение с помощью трех уравнений (D) пункта 29 , подставив в них значения $\zeta^{\prime}, \zeta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime \prime}$ и $p, q, r$ в функции $\varphi, \psi$, (п) (п. 7,20 ); в самом деле, этим путем мы получим три следующих уравнения первого порядка:
\[
\begin{aligned}
A \frac{\sin \varphi \sin \omega d \psi+\cos \varphi d \omega}{d t} & =n \sin \varphi \sin \omega, \\
B \frac{\cos \varphi \sin \omega d \psi-\sin \varphi d \omega}{d t} & =n \cos \varphi \sin \omega, \\
C \frac{d \varphi+\cos \omega d \psi}{d t} & =n \cos \omega,
\end{aligned}
\]

которые, очевидно, могут быть сведены к следующим:
\[
\begin{array}{l}
n d t-A d \psi=\frac{A d \omega}{\operatorname{tg} \varphi \sin \omega}, \\
n d t-B d \psi=-\frac{B \operatorname{tg} \varphi d \omega}{\sin \omega}, \\
n d t-C d \psi=\frac{C d \rho}{\cos \omega} .
\end{array}
\]

А если исключить $d t$ и $d \psi$, сложив последние три уравнения, после того как они умножены соответственно на $C-B, A-C, B-A$, мы получим уравнение
\[
\begin{array}{l}
A(C-B) \frac{d \omega}{\operatorname{tg} \varphi \sin \omega}-B(A-C) \frac{\operatorname{tg} \varphi d \omega}{\sin \omega}+ \\
\quad+C(B-A) \frac{d \varphi}{\cos \omega}=0,
\end{array}
\]

которое приводится к следующему виду:
\[
\frac{\cos \omega d \omega}{\sin \omega}=\frac{C(B-A) d \varphi}{B(A-C) \operatorname{tg} \varphi-\frac{A(C-B)}{\operatorname{tg} \varphi}},
\]

где переменные разделены.
Правая часть этого уравнения преобразуется в
\[
\frac{C(B-A) \sin \varphi \cos \varphi d \varphi}{B(A-C) \sin ^{2} \varphi-A(C-B) \cos ^{2} \varphi}
\]

или еще в
\[
\frac{C(B-A) \sin 2 \varphi d \varphi}{2 A B-C(A+B)+C(B-A) \cos 2 \varphi} ;
\]

следовательно, если произвести логарифмическое интегрирование и затем от логарифмов перейти к числам, то мы получим
\[
2 A B-C(A+B)+C(B-A) \cos 2 \varphi=\frac{K}{\sin ^{2} \omega},
\]

где $K$ – произвольная постоянная. Но
\[
\operatorname{tg} \varphi=\sqrt{\frac{1-\cos 2 \varphi}{1+\cos 2 \varphi}}
\]

следовательно, подставив предыдущее значение, мы получим
\[
\operatorname{tg} \varphi=\sqrt{\frac{2 A(B-C) \sin ^{2} \omega-K}{2 B(C-A) \sin ^{2} \omega+\bar{K}}},
\]

а подставив указанное значение $\operatorname{tg} \varphi$ в два первых дифференциальных уравнения, мы будем иметь
\[
\begin{array}{r}
n d t-A d \psi=\frac{A d \omega}{\sin \omega} \sqrt{\frac{\overline{2 B(C-A) \sin ^{2} \omega+K}}{2 A(B-C) \sin ^{2} \omega-K}}, \\
n d t-B d \psi=-\frac{B d \omega}{\sin \omega} \sqrt{\frac{2 A(B-C) \sin ^{2} \omega-K}{2 B(C-A) \sin ^{2} \omega+\bar{K}}}
\end{array}
\]

в этих уравнениях переменные разделены, поэтому, будучи проинтегрированы, они дадут $t$ и $\psi$ в функции i\”.

Это решение совпадает с решением, данным Даламбером в томе IV его «Opuscules».
34. Перейдем ко второму случаю, в котором мы предполагаем, что тяжелое тело подвешено в одной непод вижной точке, вокруг которой оно может свободно вращаться во всех направлениях. Приняв эту точку за центр тела, т.е. за общее начало координат $\xi, \eta, \zeta$ и $a, b, c$, и допустив, что координаты $\zeta$ направлены сверху вниз, мы получим для вращательного движения тела уравнения (B) пункта 23. Эти уравнения сложнее уравнений предыдущего случая ввиду наличия членов, умноженных на величины $\mathbf{S} a \mathrm{Dm}$, $\mathbf{S} b D m, \mathbf{S}_{c} D m$, которые не равны нулю, когда центр тела, положение которого здесь дано, не совпадает с его центром тяжести; тем не менее можно добиться
еще уничтожения двух из этих величин, если одну из осей координат $a, b, c$, положение которых в теле произвольно, провести через центр тяжести, благодаря чему рассматриваемые уравнения несколько упростятся.

Итак, допустим, что ось координат $c$ проходит через центр тяжести тела; тогда, в силу свойств этого центра, мы будем иметь
\[
\mathbf{S} \text { } a D m=0, \quad \mathbf{S} b D m=0 ;
\]

если через $k$ обозначить расстояние между центром тела, являющимся точкой подвеса, и центром тяжести, то мы, очевидно, также получим
\[
\mathbf{S}(c-k) D m=0 ;
\]

следовательно,
\[
\mathbf{S} c D m=\mathbf{S} k D m=k \mathbf{S} D m=k m,
\]

где $m$ обозначает массу тела.
Произведя указанные подстановки и подставив $K$ вместо $k m$, мы получим три следующих уравнения:
\[
\left.\begin{array}{r}
\frac{d \frac{\partial T}{\partial p}}{d t}+q \frac{\partial T}{\partial r}-r \frac{\partial T}{\partial r}+K \zeta^{\prime \prime}=0 \\
\frac{d \frac{\partial T}{\partial q}}{d t}+r \frac{\partial T}{\partial p}-p \frac{\partial T}{\partial r}-K \zeta^{\prime}=0 \\
\frac{d \frac{\partial T}{\partial r}}{d t}+p \frac{\partial T}{\partial q}-q \frac{\partial T}{\partial p}=0
\end{array}\right\}
\]

в которых
\[
T=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right)-F q r-G p r-H p q .
\]
35. Можно прежде всего найти два интеграла этих уравнений, умножив их соответственно на $p, q, r$

как (п. 13)
\[
\begin{array}{c}
d \zeta^{\prime}=\left(\zeta_{0}^{\prime \prime} r-\zeta^{\prime \prime \prime} q\right) d t, \quad d \zeta^{\prime \prime}=\left(\zeta^{\prime \prime \prime} p-\zeta^{\prime} r\right) d t \\
d \zeta^{\prime \prime \prime}=\left(\zeta^{\prime} q-\zeta^{\prime \prime} p\right) d t,
\end{array}
\]

то мы таким образом получим два уравнения:
\[
\begin{array}{r}
p d \frac{\partial T}{\partial p}+q d \frac{\partial T}{\partial q}+r d \frac{\partial T}{\partial r}-K d \zeta^{\prime \prime \prime}=0 \\
\zeta^{\prime} d \frac{\partial T}{\partial p}+\zeta^{\prime \prime} d \frac{\partial T}{\partial q}+\zeta^{\prime \prime \prime} d \frac{\partial T}{\partial r}+ \\
+\frac{\partial T}{\partial p} d \zeta^{\prime}+\frac{\partial T}{\partial q} d \zeta^{\prime \prime}+\frac{\partial T}{\partial r} d \zeta^{\prime \prime \prime}=0
\end{array}
\]

интегралами которых являются нижеследующие уравнения:
\[
\begin{aligned}
p \frac{\partial T}{\partial p}+q \frac{\partial T}{\partial q}+r \frac{\partial T}{\partial r}-T-K^{\prime \prime \prime \prime} & =f, \\
\zeta^{\prime} \frac{\partial T}{\partial p}+\zeta^{\prime \prime} \frac{\partial T}{\partial q}+\zeta^{\prime \prime \prime} \frac{\partial T}{\partial r} & =h,
\end{aligned}
\]

где $f$ и $h$-две произвольные постоянные.
Нахождение других интегралов и, следовательно, общее решение задачи представляются трудными. Однако последнее становится осуществимым, если допустить, что форма тела подчинена частным условиям.

Так, если допустить $F=0, G=0, H=0$ и затем $A=B$, то мы будем иметь
\[
\frac{\partial T}{\partial p}=A p, \quad \frac{\partial T}{\partial q}=A q,
\]

и третье из уравнений (Е) примет вид $d \frac{\partial T}{\partial r}=0$, интегралом которого является
\[
\frac{\partial T}{\partial r}=\text { const } .
\]

Это-случай, когда ось координат $c$, т. е. прямая, проходящая через точку подвеса и через центр тяжести, является естественной осью вращения и когда моменты инерции вокруг двух других осей между собою равны (п. 32), что имеет место у всех твердых тел вращения, когда неподвижная точка взята на оси вращения. Этот случай легко разрешается с помощью трех найденных выше интегралов*).
Действительно, так как
\[
T=\frac{A\left(p^{2}+q^{2}\right)}{2}+\frac{C r^{2}}{2},
\]

то ясно, что указанные три интеграла могут быть приведены к следующему виду:
\[
\begin{aligned}
A\left(p^{2}+q^{2}\right)+C r^{2}-2 K \zeta^{\prime \prime \prime} & =2 f, \\
A\left(\zeta^{\prime} p+\zeta^{\prime \prime} q\right)+C \zeta^{\prime \prime \prime} r & =h, \quad r=n,
\end{aligned}
\]

где $f, h, n$ – произвольные постоянные. $p, q, r$ подставить их выражения в функции $\varphi$,, , (п. 7, 20), то мы получим три следующих уравнения:
\[
\begin{array}{c}
A \frac{\sin ^{2} \omega d \psi^{2}+d \omega^{2}}{d t^{2}}+C n^{2}-2 C \cos \omega=2 f, \\
A \frac{\sin ^{2} \omega d \psi}{d t}+C n \cos \omega=h, \quad \frac{d \varphi+\cos \omega d \psi}{d t}=n,
\end{array}
\]

которые, как видим, обладают тем преимуществом, что в них не входят углы $\psi$ и $\varphi$ в конечном виде.
Прежде всего второе из указанных уравнений дает
\[
\frac{d \psi}{d t}=\frac{h-C n \cos \omega}{A \sin ^{2} \omega},
\]

а если последнее выражение подставить в первое уравнение, то мы шолучим
\[
d t=\frac{A \sin \omega d \omega}{\sqrt{A \sin ^{2} \omega\left(2 f-C n^{2}+2 K \cos \omega\right)-(h-C n \cos \omega)^{2}}} ;
\]
*) Интересно отметить, что настоящая задача была позднее разрешена Пуассоном как совершенно новая. Решение, кототорое он дает, не упоминая шри этом Лагранжа, составляет часгь XVI выпуска Journal de l’École Politechnique, опубликованного в $1815 \mathrm{r}$, и было затем воспроивведено во втором пзданти его «Ме́сhanique». (Прим. Бертрана.)

затем второе и третье уравнения дают
\[
\begin{aligned}
d \psi & =\frac{(h-C n \cos \omega) d \omega}{\sin \omega \sqrt{A \sin ^{2} \omega\left(2 f-C n^{2}+2 K \cos \omega\right)-(h-C n \cos \omega)^{2}}}, \\
d \varphi & =\frac{\left[A n-h \cos \omega+(C-A) n \cos ^{2} \omega\right] d \omega}{\sin \omega \sqrt{A \sin ^{2} \omega\left(2 f-C n^{2}+2 K \cos \omega\right)-(h-C n \cos \omega)^{2}}} ;
\end{aligned}
\]

это – уравнения, в которых переменные разделены, но интегрирование которых, вообще говоря, зависит от спрямления конических сечений $\left[{ }^{32}\right]$.
36. Теперь обратимся снова к уравнениям (E)

и подставим в них выражения $\frac{\partial T}{\partial p}, \frac{\partial T}{\partial q}, \frac{\partial T}{\partial r}$ через $p, q, r$; тогда эти уравнения примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{A d p-G d r-H d q}{d t}+ \\
\quad+(C-B) q r+F\left(r^{2}-q^{2}\right)-G p q+H p r+K \zeta^{\prime \prime}=0, \\
\frac{B d q-F d r-H d p}{d t}+ \\
\quad+(A-C) p r+G\left(p^{2}-r^{2}\right)-H q r+F p q-K \zeta^{\prime}=0, \\
\frac{C d r-F d q-G d p}{d t}+ \\
\quad+(B-A) p q+H\left(q^{2}-p^{2}\right)-F p r+G q r=0 .
\end{array}
\]

Когда тело находится в покое, три величины $p, q, r$ равны нулю, так как $\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}$ является мгновенной скоростью вращения (п. 29); следовательно, в этом случае мы имеем
\[
\zeta^{\prime}=0 \quad \text { и } \quad \zeta^{\prime \prime}=0 ;
\]

поэтому, в силу $\zeta^{\prime 2}+\zeta^{\prime \prime 2}+\zeta^{\prime \prime \prime 2}=1$ и, стало быть, в силу $\zeta^{\prime \prime \prime}=1$, ось координат $\zeta$ совпадает с осью координат $c$; это значит, что последняя ось, которая проходит через центр тяжести тела и которую мы впредь будем называть осью тела, вертикальна; это соответствует состоянию покоя тела; последнее можно еще лучше увидеть с помощью формул пункта 7 , которые дают $\sin \varphi \sin \omega=0, \cos \varphi \sin \omega=0$ и,

следовательно, $\omega=0$, где $\omega-$ угол, образуемый обеими осями координат $c$ и $\zeta$.

Если же, допустив, что тело находится в движении, в то же время допустить, что его ось весьма мало отклоняется от вертикальной линии, так что угол отклонения $ю$ остается всегда очень малым, то в этом случае величины $\zeta^{\prime}, \zeta^{\prime \prime}$ будут очень малыми, и тогда мы будем иметь случай, при котором тело совершает лишь очень малые колебания около вертикальной линии и в то же время имеет некоторое вращательное движение вокруг своей оси.

Этот случай, который до сих пор еще не был разрешен, может легко получить полное разрешение с помощью наших формул; в самом деле, если ” и \”” рассматривать как очень малые величины первого порядка и отбросить очень малые величины второго и следующих порядков, то с помощью условных уравнений пункта 5 мы получим
\[
\xi^{\prime \prime \prime}=1, \quad \xi^{\prime \prime \prime}=-\xi^{\prime} \zeta^{\prime}-\xi^{\prime \prime \prime} \zeta^{\prime \prime}, \quad \eta^{\prime \prime \prime}=-\eta^{\prime \zeta^{\prime}}-\eta^{\prime \prime} \zeta^{\prime \prime}
\]

и
\[
\xi^{\prime 2}+\xi^{\prime \prime 2}=1, \quad \eta^{\prime 2}+\eta^{\prime 2}=1, \quad \xi^{\prime} \eta^{\prime}+\xi^{\prime \prime} \eta^{\prime \prime}=0 ;
\]

следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\xi^{\prime}=\sin \bar{\omega}, \quad \xi^{\prime \prime}=\cos \bar{\omega}, \\
\eta^{\prime}=\sin \theta, \quad \eta^{\prime \prime}=\cos \theta \quad \text { и } \quad \cos (\bar{\omega}-\theta)=0,
\end{array}
\]

откуда
\[
\vec{\omega}=90^{\circ}+\theta
\]

и стало быть,
\[
\xi^{\prime}=\cos \theta, \xi^{\prime \prime}=-\sin \theta .
\]

Подставив указанные значения в выражения $d P$, $d Q, d R$ пункта 11, мы получим
\[
d P=\zeta^{\prime} d \theta+d \zeta_{\bullet}^{\prime \prime}, \quad d Q=\zeta^{\prime \prime} d \theta-d \zeta^{\prime}, \quad d R=d \theta,
\]

пренебрегая все время величинами второго порядка. 19 ж. Јагранж, т. II

Итак, указанным путем мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
p=\frac{d P}{d t}=\frac{\zeta^{\prime} d 0+d \zeta^{\prime \prime}}{d t}, \\
q=\frac{d Q}{d t}=\frac{\zeta^{\prime \prime} d \theta-d \zeta^{\prime}}{d t}, \\
r=\frac{d R}{d t}=\frac{d \theta}{d t} ;
\end{array}
\]

если эти значения подставить в указанные выше дифференциальные уравнения, то последние дадут линейные уравнения для определения деременных пени и произведения этих переменных.

Однако раньше, чем произвести эти подстановки, то упомянутые уравнения дадут
\[
-G \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+F \frac{d \theta^{2}}{d t^{2}}=0, \quad-F \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}-G \frac{d \theta^{2}}{d t^{2}}=0, \quad C \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=0 .
\]

Следовательно, так как $C$ не может стать равным нулю, – по крайней мере, если тело не будет сведено к физической линии, ибо $C$ равно $\mathbf{S}\left(a^{2}+b^{2}\right) D m, \ldots$ то отсюда следует, что этим уравнениям можно удовлетворить, лишь положив $\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=0$ и затем либо $\frac{d \theta}{d t}=0$, либо $F=0$ и $G=0$.

Отсюда легко придти к заключению, что в том случае, когда $\zeta^{\prime}$ и $\zeta^{\prime \prime}$ не равны нулю, но только очень малы, то или величина $\frac{d \theta}{d t}$, или величины $F$ и $G$ тоже очень малы; таким образом, мы имеем здесь два случая, которые должны быть рассмотрены отдельно.
37. Предположим, во-первых, что $\frac{d \theta}{d t}-$ очень малая величина того же порядка, что и $\zeta^{\prime}$ и $\zeta^{\prime \prime}$; тогда с точностью до величин второго порндка мы будем иметь
\[
p=\frac{d \zeta^{\prime \prime}}{d t}, \quad q=-\frac{d \xi^{\prime}}{d t} .
\]

Если подставить эти величины, все время отбрасывая величины второго порядка, и для большей ференциальные уравнения предыдущего пункта примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{C d^{2} \theta+F d^{2} s-G d^{2} u}{d t^{2}}=0 . \\
\end{array}
\]

Последнее уравнение дает $\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=\frac{G d^{2} u-F d^{2} s}{C d t^{2}}$; подставив это выражение в два первых уравнения, мы ііолучим следующие два уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\left(A C-G^{2}\right) d^{2} u+(C H+G F) d^{2} s}{d t^{2}}+C K u=0, \\
\frac{\left(B C-F^{2}\right) d^{2} s+(C H+G F) d^{2} u}{d t^{2}}+C K s=0,
\end{array}
\]

интегрирование которых легко осуществляется с помощью известных методов.
Для этой цели мы положим
\[
s=\alpha \sin (\rho t+\beta), \quad u=\gamma \sin (\rho t+\beta),
\]

где $\alpha, \beta, \gamma, \rho$ являются неопределенными постоянными величинами; после указанных подстановок мы получим два следующих условных уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\left(A C-G^{2}\right) \gamma \rho^{2}+(C H+G F) \alpha \rho^{2}-C K \gamma=0, \\
\left(B C-F^{2}\right) \alpha \rho^{2}+(C H+G F) \gamma \rho^{2}-C K \alpha=0,
\end{array}
\]

которые дают
\[
\underline{\gamma}=\frac{(C H+G F) \rho^{2}}{C K-\left(A C-G^{2}\right) \rho^{2}}=\frac{C K-\left(B C-F^{2}\right) \rho^{2}}{(C H+G F) \rho^{2}} ;
\]

отсюда вытекает следующее уравнение относительно $:$
\[
\begin{aligned}
\frac{C^{2} K^{2}}{\rho^{4}}=-[B C- & \left.F^{2}+A C-G^{2}\right] \frac{C K}{\rho^{2}}+ \\
& +\left(B C-F^{2}\right)\left(A C-G^{2}\right)-(C H+G F)^{2}=0 \\
& 19^{*}
\end{aligned}
\]

которое, как видим, будет иметь четыре корня, шопарно равных между собою, но с противоположиыми знаками.

Поэтому, если через $p$ и $p$ ‘ обозначить неравные корни этого уравнения, отвлекшись от их знака, и взять четыре произвольные постоянные величины $\alpha, \alpha^{\prime}, \beta, \beta^{\prime}$, то, вообще говоря, мы будем иметь
\[
s=\alpha \sin (\rho t+\beta)+\alpha^{\prime} \sin \left(\beta^{\prime} t+\beta^{\prime}\right)
\]

и, следовательно,
\[
u=\frac{(C H+G F) \rho^{2} x \sin (\rho t+\beta)}{C K-\left(A C-G^{2}\right) \rho^{2}}+\frac{(C H+G F) \rho^{\prime 2} \alpha^{\prime} \sin \left(\varphi^{\prime} t+\rho^{\prime}\right)}{C K-\left(A C-G^{2}\right) \rho^{\prime 2}} .
\]

Наконец, интегрируя уравнение, содержащее $\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}$, мы получим
\[
\theta=f+h t+\frac{G u-F s}{C} .
\]

Таким образом, указанным путем мы определим все переменные в функции $t$, и задача будет разрешена.

Так как приведенное выше решение основано на допущении, что $s, u$ и $\frac{d \theta}{d t}$ представляют собою очень малые величины, то для законности әтого допущения необходимо: 1) чтобы постоянные $\alpha, \alpha^{\prime}$ и $h$ были тоже очень малыми величинами; 2) чтобы корни $p$, p’ были вещественными и неравными с тем, чтобы угол $t$ всегда находился под знаком синуса. Но это последнее условие требует соблюдения следующих двух условий:
\[
\begin{array}{c}
B C-F^{2}+A C-G^{2}>0, \\
{\left[B C-F^{2}+A C-G^{2}\right]>} \\
>4\left[\left(B C-F^{2}\right)\left(A C-G^{2}\right)-(C H+G \dot{F})^{2}\right],
\end{array}
\]

выполнение которых зависит только от формы тела и от положения точки подвеса.
38. Во-вторых, предположим, что постоянные величины $F$ и $G$ также являются очень малыми величинами того же порядка, что $\zeta^{\prime}$ и $\zeta^{\prime \prime}$; если в этом случае пренебреть величинами второго порядка и подставить $s, u$ вместо $\zeta^{\prime}$, $\zeta^{\prime \prime}$, то дифференциальные уравнения пункта 36 примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{A\left[d(s d \theta)+d^{2} u\right]}{d t^{2}}-\frac{G d^{2} \theta}{d t^{2}}-\frac{H\left[d(u d \theta)-d^{2} s\right]}{d t^{2}}+ \\
+\frac{(C-B)(u d \theta-d s) d \theta}{d t^{2}}+\frac{F d \theta^{2}}{d t^{2}}+ \\
+\frac{H(s d \theta+d u) d \theta}{d t^{2}}+K u=0, \\
\frac{B\left[d(u d \theta)-d^{2} s\right]}{d t^{2}}-\frac{F d^{2} \theta}{d t^{2}}-\frac{H\left[d(s d \theta)+d^{2} u\right]}{d t^{2}}+ \\
+\frac{(A-C)(s d \theta+d u) d \theta}{d t^{2}}-\frac{G d \theta^{2}}{d t^{2}}= \\
-\frac{H(u d \theta-d s) d \theta}{d t^{2}}-K s=0, \\
\frac{C d^{2} \theta}{d t^{2}}=0 .
\end{array}
\]

Последнее уравнение дает
\[
\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=0,
\]

а после интегрирования
\[
\frac{d \theta}{d t}=n,
\]

где $n$-произвольная постоянная.
Если это значение $\frac{d \theta}{d t}$ подставить в оба уравнения, то мы получим уравнения
\[
\begin{aligned}
A \frac{d^{2} u}{d t^{2}}+H \frac{d^{2} s}{d t^{2}}+ & (A+B-C) n \frac{d s}{d t}+ \\
& +(C-B) n^{2} u+F n^{2}+H n^{2} s+K u=0 \\
B \frac{d^{2} s}{d t}+H \frac{d^{2} u}{d t^{2}}- & (A+B-C) n \frac{d u}{d t}+ \\
& +(C-A) n^{2} s+G n^{2}+H n^{2} u+K s=0
\end{aligned}
\]

интегрирование которых не доставляет никаких затруднений.

Если эти уравнения разделить на $n^{2}$ и затем для большей простоты подставить в них $d \theta$ вместо $n d t$, помня при этом, что отныне $d \theta$ следует рассматривать как постоянную величину, то, положив $L=\frac{K}{n^{2}}=\frac{k m}{n^{2}}$ (п. 34), мы получим
\[
\begin{array}{c}
(C-A+L) s+B \frac{d^{2} s}{d 0^{2}}+(C-A-B) \frac{d u}{d \theta}+ \\
+H\left(u+\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}\right)+G=0, \\
(C-B+L) u+A \frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}-(C-A-B) \frac{d s}{d \theta}+\cdot \cdot \\
+H\left(s+\frac{d^{2} s}{d \theta^{2}}\right)+F=0 .
\end{array}
\]

Чтобы проинтегрировать эти уравнения, я предварительно уничтожаю постоянные члены, положив $s=x+f, u=y+h$ и определив постоянные $f, h$ таким образом, чтобы члены $F$ и $G$ исчезли; это дает два следующих условных уравнения:
\[
(C-A+L) f+H h+G=0, \quad(C-B+L) h+H f+F=0,
\]

откуда получается
\[
\begin{array}{l}
f=\frac{F H-G(C-B+L)}{(C-B+L)(C-A+L)-H^{2}}, \\
h=\frac{G H-F(C-A+L)}{(C-B+L)(C-A+L)-H^{2}} ;
\end{array}
\]

теперь мы имеем относительно $x, y, \theta$ те же самые уравнения, что мы имели относительно $s, u, \theta$, с тем лишь различием, что эти уравнения уже не содержат постоянных $G, F$.
Теперь я полагаю
\[
x=\alpha e^{i\}}, \quad y=\beta e^{i\}},
\]

где $\alpha, \beta$ и $i$ являются неопределенными постоянными, а $e$-число, гиперболический логарифм которого равен 1. Так как все члены уравнения, которые нам предстоит интегрировать; содержат $x$ и $y$ в первом измерении, то отсюда следует, что после подстановки все они будут делиться на $e^{i \prime}$ и что тогда останутся два следующих условных уравнения:
\[
\begin{array}{l}
{\left[C-A+L+B i^{2}\right] \alpha+\left[(C-A-B) i-H\left(1+i^{2}\right)\right] \beta=0,} \\
{\left[C-B+L+A i^{2}\right] \beta-\left[(C-A-B) i-H\left(1+i^{2}\right)\right] \alpha=0,}
\end{array}
\]

которые дают
\[
\frac{\beta}{\alpha}=-\frac{C-A+L+B i^{2}}{(C-A-B) i+H\left(1+i^{2}\right)}=\frac{(C-A-B)+H\left(1+i^{2}\right)}{C-B+L+A i^{2}} ;
\]

таким образом, мы получим нижеследующее уравнение относительно $i$ :
\[
\begin{array}{l}
{\left[C-B+L+A i^{2}\right] } {\left[C-A+L+B i^{2}\right]+} \\
+(C-A-B)^{2} i^{2}-H^{2}\left(1+i^{2}\right)^{2}=0
\end{array}
\]

если положить $1+i^{2}=\rho$, то это уравнение примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\left(A B-H^{2}\right) p^{2}+[(A+B)(L-C) & \left.+C^{2}\right] \rho+ \\
& +L^{2}-2 L(A+B-C)=0 .
\end{aligned}
\]

Определив с помощью этого уравнения $p$, мы получим
\[
x=\alpha e^{9} \sqrt{\overline{p-1}}, \quad y=x \frac{(A+B-C) \sqrt{p-1}+H p}{A+B-C-L-C p} e^{0 \sqrt{p-1}},
\]

причем постоянная $\alpha$ останется неопределенной. Так как уравнение относительно $\rho$ имеет два корня, а корень $\sqrt{\rho-1}$ может быть взят как положительным, так и отридательным, то мы получаем четыре различных значения $x, y$, которые, будучи взяты совместно, удовлетворяют и заданным уравнениям, ибо переменные $x, y$ входят в них только в линейной форме. Следовательно, если для $\alpha$ взять четыре различные постоянные величины, то указанным путем мы получим полные значения $x$ и $y$, так как эти значения зависят лишь от двух дифференциальных уравнений второго порядка и поэтому могут содержать только четыре произвольные постоянные величины.

39. Для того чтобы выражения $x, y$ не содержали круговых дуг $\left[{ }^{33}\right]$, необходимо, чтобы $\sqrt{\rho-1}$ был мнимым и, следовательно, чтобы ; было вещественной величиной, меньшей единицы.

Обознамим через $\rho$ и $\sigma$ оба корня уравнения относительно $p$, предполагая их вещественными и меньшими единицы, и дадим четырем произвольным постоянным следующий мнимый вид:
\[
\frac{\alpha e^{\beta /-1}}{2 \sqrt{-1}}, \quad-\frac{x e^{-\beta \sqrt{-1}}}{2 \sqrt{-1}}, \frac{\gamma e^{\varepsilon V-1}}{2 \sqrt{-1}}, \quad-\frac{\gamma e^{-\varepsilon \sqrt{-1}}}{2 \sqrt{-1}} ;
\]

тогда, произведя указанные подстановки и перейдя от показательных функций к синусам и косинусам, мы получим следующие полные и вещественные выражения для $x$ и $y$ :
\[
\begin{array}{l}
i= \sin (\theta \sqrt{1-\gamma}+\beta)+\gamma \sin (\theta \sqrt{1-\sigma}+\varepsilon), \\
y=\frac{\alpha(A+B-C) \sqrt{1-\rho}}{B-C+A(1-\rho)-L} \cos (\theta \sqrt{1-\beta}+\beta)+ \\
+\frac{\alpha H_{\rho}}{B-C+A(1-\rho)-L} \sin (\theta \sqrt{1-\rho}+\beta)+ \\
+\frac{\gamma(A+B-C) \sqrt{1-\sigma}}{B-C+A(1-\sigma)-L} \cos (\theta \sqrt{1-\sigma}+\varepsilon)+ \\
+\frac{\gamma H \sigma}{B-C+A(1-\sigma)-L} \sin (\theta \sqrt{1-\sigma}+\varepsilon),
\end{array}
\]

где $\alpha, \beta, \gamma, з$-произвольные постоянные, зависящие от начального состояния тела.
Определив таким образом $x$ и $y$, мы получим
\[
\begin{array}{l}
s=x+\frac{F H+G(B-C-L)}{(A-C-L)(B-C-L)-H^{2}}, \\
u=y+\frac{G H+F(A-C-L)}{(A-C-L)(B-C-L)-H^{2}} .
\end{array}
\]

Следовательно, приняв для $\theta$ какой-нибудь угол, прогорциональный времени, мы получим (п. 36) следующие значения для девяти переменных $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}$, \”‘, $\xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime}, \ldots$ :
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime}=\cos \theta, \quad \eta^{\prime}=\sin \theta, \\
\xi^{\prime \prime}=-\sin \theta, \quad \quad \eta^{\prime \prime}=\cos \theta, \\
{ }^{\prime \prime \prime \prime}=-s \cos \theta+u \sin \theta, \quad \eta^{\prime \prime \prime}=-s \sin \theta-u \cos \theta \text {, } \\
\zeta^{\prime}=s \text {, } \\
\zeta^{\prime \prime}=u \text {, } \\
\zeta^{\prime \prime \prime}=1 \\
\end{array}
\]

таким образом, нам будут известны координаты $\Leftarrow, \eta$, $\zeta$ каждой точки тела в любое мгновение (п. 1).

Если приведенные выше выражения $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \ldots$ сравнить с выражениями, указанными в пункте 7 , то мы легко получим и значения углов вращения $\varphi, \psi, \omega ;$ мы найдем
\[
\varphi+\psi=\theta, \quad \sin \varphi \sin \omega=s, \quad \cos \varphi \sin \omega=u,
\]

откуда следует
\[
\operatorname{tg} \omega=\sqrt{s^{2}+u^{2}}, \quad \operatorname{tg} \varphi=\frac{s}{u}, \quad \psi=\theta-\varphi .
\]

На основании определений гункта 7 легко видеть, что $\omega$ представляет собою угол наклона оси тела к вертикали, по предположению, очень малый, что будет углом, описываемым этой осью при ее вращении около вертикальной линии, и что ф будет углом, описываемым самим телом при его вращении вокруг той же оси, причем последние два угла могут иметь любую величину.
40. Однако для правильности приведенного выше решения нужно, чтобы переменные $s$ и $u$ всегда оставались очень малыми. Таким образом, не только постоянные $\alpha$ и $\gamma$, зависящие от начального состояния тела, должны быть очень малыми величинами, но и значения постоянных $F$ и $G$, заданных формой тела, должны быть очень малыми и сверх того корни $\rho$ и $\sigma$ должны быть вещественными и положительными с тем, чтобы угол $\theta$ всегда находился под знаком синуса и косинуса.
Если допустить $F=0, G=0$, т. е.
\[
\mathbf{S} b c D m=0, \quad \mathbf{S} a c D m=0,
\]

то мы получим условия, необходимые для того, чтобы моменты центробежных сил вокруг оси тела; являющейся в то же время осью координат $c$, исчезли, так что тело сможет равномерно и свободно вращаться вокруг этой оси. Но известно, что в каждом теле имеются три взаимно перпендикулярные и проходящие через центр тяжести оси, которые обладают указанным свойством и которые, по Эйлеру, обычно называют алавными осями тела. А так как мы допустили, что ось тела проходит одновременно через центр тяжести и через точку подвеса, то отсюда следует, что когда тело подвешено в любой точке, взятой на одной из его главных осей, то величины $F$ и $G$ равны нулю. Таким образом, для того, чтобы эти величины, не будучи абсолютно равными нулю, все-таки были очень малыми, необходимо, чтобы точка подвеса тела находилась очень близко к одной из его главных осей; таково первое условие, необходимое для того, чтобы ось тела совершала лишь очень малые колебания вокруг вертикальной линии, в то время как само тело совершает какое-либо вращательное движение вокруг этой оси.

Второе условие, необходимое для того, чтобы указанные колебания были всегда очень малыми, связано с уравнением относительно $\rho$; онс сводится к неравенствам
\[
\begin{array}{c}
{\left[(A+B)(L-C)+C^{2}\right]^{2}>} \\
>4\left(A B-H^{2}\right)\left[L^{2}-2 L(A+B-C)\right], \\
\frac{2\left(A B-H^{2}\right)+(A+B)(L-C)+C^{2}}{A B-H^{2}}>0, \\
\frac{(A-C-L)(B-C-L)-H^{2}}{A B-H^{2}}>0,
\end{array}
\]

которые зависят одновременно от положения точки подвеса и от формы тела.
41. Данное нами выше решение включает теорию малых колебаний маятников во всей той общиости, которая ей может быть придана. Как известно, Гюйгенс первый дал теорию круговых колебаний, затем Клеро прибавил к ней теорию конических колебаний, имеющих место в том случае, когда маятник, будучи выведен из своего положения покоя, получает толчок, направление которого не проходит через это положение. Но в том случае, когда маятник одновременно получает вращательное движение вокруг своей оси, вызванная этим движением центробежная сила может сильно расстроить колебания, – будь то круговые или конические; определение этих новых колебаний представляет собою задачу, которая никогда еще не была полностью разрешена для маятников любой формы. Это обстоятельство и побудило меня заняться здесь указанным вопросом.