37. Пусть в некоторое мгновение $R$-расстояние кометы от Земли и $l, m, n$ – косинусы углов, образуемых лучом зрения, или радиусом $R$, с тремя взаимно перпендикулярными осями координат, которые мы
*) Ouvres de Lagrange, т. IV, стр. 439.

принимаем неподвижными в пространстве; тогда $R l$, $R m, R n$ будут три прямоугольные координаты кометы, параллельные упомянутым осям и имеющие свое начало в центре Земли. Величина $R$ будет неизвестна, но три величины $l, m, n$ будут известны из наблюдения над кометой и будут таковы, что мы будем иметь условие
\[
l^{2}+m^{2}+n^{2}=1,
\]

так как, согласно допущению, мы должны иметь
\[
R^{2}=(R l)^{2}+(R m)^{2}+(R n)^{2} .
\]

Пусть точно так же $\beta, i, p,
u$-соответствующие прямоугольными координатами Солнда по отношению к Земле, шараллельными тем же осям; эти величины должны считаться известными из определения положения Солнца в момент наблюдения кометы, и здесь мы также имеем условие
\[
\lambda^{2}+\mu^{2}+
u^{2}=1 .
\]

Наконец, пусть $x, y, z$ – прямоугольные координаты кометы по отношению к Солнцу, параллельные тем же осям, и $r$-радиус-вектор ее орбиты вокруг Солнца; тогда ясно, что мы будем иметь следующие три уравнения:
\[
x=R l-\beta \lambda, \quad y=R m-\mu \mu, \quad z=R n-\rho^{
u},
\]

а так как $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$, то мы будем иметь
\[
r^{2}=R^{2}+\rho^{2}-2 R \rho(l \lambda+m \mu+n
u) .
\]

Но известно, что выражение $l \kappa+m \mu+n v$ представляет собой косинус угла, образуемого двумя радиусами $R$ и $\rho$, исходящими из центра Земли и направленными один к комете, а другой к Солнцу; таким образом, если этот угол обозначить через $\sigma$, то мы будем иметь
\[
r^{2}=R^{2}-2 R_{\mathrm{i}^{\prime}} \cos \sigma+\rho^{2} .
\]

Следовательно, если у нас есть три наблюдения одной и той же кометы, произведенные через известные промежутки времени, то мы будем иметь три подобных уравнения, из которых каждое содержит новую неизвестную величину $R$, а свойства параболы *) дают три других уравнения.
38. Проще всего для этого использовать формулу, данную в пункте 25 , с помощью которой мы получаем время, затрачиваемое кометой на прохождение любой дуги, выраженное через хорду дуги, и сумму радиусоввекторов, направленных к ее концам, и свободное от всяких элементов орбиты; в самом деле, три интервала времени между тремя наблюдениями, взятых попарно, дадут три искомых уравнения.

Отметим штрихом буквы, обозначающие аналогичные величины во втором наблюдении; таким образом, мы будем иметь
\[
r^{\prime 2}=R^{\prime 2}-2 R^{\prime} \rho^{\prime} \cos \sigma^{\prime}+\rho^{\prime 2} \quad \text { и } \quad s=r+r^{\prime} .
\]

Ясно, что для хорды $u$ дуги, шроходимой кометой в течение промежутка времени между двумя наблюдениями, мы будем иметь
\[
\begin{aligned}
u^{2} & =\left(x^{\prime}-x\right)^{2}+\left(y^{\prime}-y\right)^{2}+\left(z^{\prime}-z\right)^{2}= \\
& =r^{\prime 2}+r^{2}-2\left(x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}\right) .
\end{aligned}
\]

Подставив вместо $x, y, z$ и $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ их значения, мы получим
\[
\begin{array}{l}
x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}= \\
\quad=R R^{\prime}\left(l l^{\prime}+m m^{\prime}+n n^{\prime}\right)+p p^{\prime}\left(\lambda \lambda^{\prime}+\mu \mu^{\prime}+
u
u^{\prime}\right)- \\
\quad-R_{p^{\prime}}\left(l \lambda^{\prime}+m \mu^{\prime}+n
u^{\prime}\right)-R^{\prime}{ }^{\prime}\left(l^{\prime} \lambda+m^{\prime} \mu+n^{\prime}
u\right) .
\end{array}
\]

Но, согласно известной теореме, выражение
\[
l l^{\prime}+m m^{\prime}+n n^{\prime}
\]

должно представлять косинус угла, заключенного между двумя радиусами $R$ и $R^{\prime}$, исходящими из
*) То-есть свойства нараболического движения, которые были изложены выше. (Прим. Бертрана.)

центра Земли и натравленными к двум местам кометы в двух наблюдениях; точно так же $\lambda \lambda^{\prime}+\mu \mu^{\prime}+
u
u^{\prime}$ будет косинусом угла, образсванного при центре Земли двумя радиусами $\rho$ и $\rho^{\prime}$, направленными к двум местам Солнда; аналогичные значения будут иметь и другие подобные выражения.

Следовательно, если для большей ясности представить себе, что два видимых места кометы обозначены на поверхности сферы буквами $C, C^{\prime}$ и точно так же видимые места Солнца обозначены буквами $S$, $S^{\prime}$. и если четыре точки $C, C^{\prime}, S, S^{\prime}$ соединить дугами больших кругов, то очевидно, дуги $C S, C^{\prime} S^{\prime}$ представят те углы, которые мы обозначили через $\sigma$ и $\sigma^{\prime}$, а дуги $C C^{\prime}$ и $S S^{\prime}$ представят углы, косинусы которых равны
\[
l l^{\prime}+m m^{\prime}+n n^{\prime} \text { и } \lambda \lambda^{\prime}+\mu \mu^{\prime}+
u
u^{\prime},
\]

и, наконец, дуги $C S^{\prime}$ и $C^{\prime} S$ представят углы, косинусы которых равны
\[
l \lambda^{\prime}+m \mu^{\prime}+n
u^{\prime} \quad \text { и } \quad l^{\prime} \lambda+m^{\prime} \mu+n^{\prime}
u .
\]

Таким образом, рассматривая сферический четырехугольник $C C^{\prime} S S^{\prime}$, который мы считаем заданным двумя наблюдениями над кометой и двумя вычисленными местами Солнца, мы получим
\[
\begin{array}{c}
r^{2}=R^{2}-2 R_{\rho} \cos (C S)+\rho^{2}, \\
r^{\prime 2}=R^{\prime 2}-2 R_{\rho}^{\prime} \cos \left(C^{\prime} S^{\prime}\right)+p^{\prime 2}, \\
u^{2}=r^{2}+r^{\prime 2}-2 R R^{\prime} \cos \left(C C^{\prime}\right)- \\
-2 \rho^{\prime} \rho^{\prime} \cos \left(S S^{\prime}\right)+2 R_{\rho^{\prime}}^{\prime} \cos \left(C S^{\prime}\right)+2 R^{\prime} \rho \cos \left(C^{\prime} S\right) ;
\end{array}
\]

так как разность $t^{\prime}-t$ времен $t$ и $t^{\prime}$, соответствующих двум наблюдениям, т. е. отделяющий их промежуток времени, считается заданной, то формула упомянутого пункта даст нам уравнение
\[
t^{\prime}-t=\frac{\left(r+r^{\prime}+u\right)^{\frac{2}{2}}-\left(r+r^{\prime}-u\right)^{\frac{2}{2}}}{6 \sqrt{g}},
\]

в котором неизвестны лишь два расстояния $R$ и $R^{\prime}$.

Если имеется и третье наблюдение, для которого аналогичные величины обозначены теми же буквами, снабженными двумя штрихами, то путем сопоставления первого наблюдения с третьим мы получим совершенно аналогично второе уравнение, в котором буквы, обозначенные в предыдущем уравнении одним штрихом, будут обозначены двумя штрихами и которое будет содержать только две неизвестные величины $R$ и $R^{\prime \prime}$.

Точно так же мы получим и третье подобное уравнение, сопоставив второе наблюдение с третьим; для этого нам потребуется лишь в первом уравнении снабдить одним штрихом все буквы, не имеющие никаких штрихов, и двумя штрихами все буквы, имеющие один штрих. Это третье уравнение будет содержать лишь те же неизвестные величины $R^{\prime}$ и $R^{\prime \prime}$; таким образом, упомянутые три уравнения будут содержать лишь три неизвестные $R, R^{\prime}$, $\boldsymbol{R}^{\prime \prime}$ и, следовательно, их будет достаточно для определения этих неизвестных величин. Однако, хотя эти уравнения имеют довольно простой вид, тем не менее решение их представляет почти непреодолимые трудности, так как неизвестные в них перемешаны и входнт в состав различных радикалов.
39. Но если бы нам каким-либо путем удалось дойти до определения значений радиусов $r, r^{\prime}$, то мы тотчас же получили бы параметр $b$, который в параболе равен двойному перигелийному расстоянию, с помощью формулы (п. 25)
\[
b=\frac{u^{2}-\left(r^{\prime}-r\right)^{2}}{2\left[r+r^{\prime}-\sqrt{\left.\left(r+r^{\prime}\right)^{2}-u^{2}\right]}\right.} ;
\]

а так как мы вообще имеем (п. 10) уравнение
\[
C z+A x+B y=0,
\]

в котором
\[
\frac{A}{C}=\sin h \operatorname{tg} i, \quad \frac{B}{C}=-\cos h \operatorname{tg} i
\]

(п. 11), то мы получаем и следующие два уравнения:
\[
\begin{aligned}
z+(x \sin h-y \cos h) \operatorname{tg} i & =0, \\
z^{\prime}+\left(x^{\prime} \sin h-y^{\prime} \cos h\right) \operatorname{tg} i & =0,
\end{aligned}
\]

откуда легко определить значения $\operatorname{tg} i$ и $\operatorname{tg} h$, что дает нам положение плоскости параболы по отношению к той плоскости, которую мы избрали для осей $x$ и $y$.

Заметим, что с помощью этих уравнений, зависящих от допущения, что орбита кометы лежит в плоскости, проходящей через Солнце, можно три неизвестные величины свести лишь к двум.
В самом деле, если положить для краткости
\[
L=\operatorname{tg} i \sin h, \quad M=\operatorname{tg} i \cos h,
\]

то, подставив значения $x, y, z$, мы получим уравнение
\[
R n-\rho
u=-L(R l-\rho \lambda)+M(R m-\mu),
\]

откуда находим
\[
R=p \frac{
u+\lambda L-\mu \cdot}{n+L-m \cdot M}
\]

аналогичные выражения получим для $R^{\prime}$ и $R^{\prime \prime}$, снабдив буквы одним и двумя штрихами, за исключением букв $L$ и $M$, которые остаются одними и теми же для всех наблюдений.

Указанным путем три неизвестные $R, R^{\prime}, R^{\prime \prime}$ будут сведены к двум $L$ и $M$, так что для их ошределения потребуется лишь применение двух уравнений, что несколько упрощает решение данной задачи.
40. Для дальнейшего его упрощения, повидимому, нет иного средства, как допустить, что промежутки времени между наблюдениями достаточно малы; тогда можно будет пренебречь рядом членов как неощутимо малыми, в результате чего мы сначала получим лишь приближенное решение, которое затем с помощью новых поправок можно будет уточнить. Так именно до сих пор и поступали во всех предложенных решениях этой задачи.

Если это допущение применить к предыдущему решению, то хорда $u$ станет очень малой, и если тогда сохранить лишь первые два члена радикалов, входящих в состав выражения времени $t^{\prime}-t$, протекшего между двумя первыми наблюдениями, то мы будем иметь
\[
t^{\prime}-t=\frac{u \sqrt{r+r^{\prime}}}{2 \sqrt{\bar{g}}}
\]

что дает
\[
u^{2}\left(r+r^{\prime}\right)=4 g\left(t^{\prime}-t\right)^{2} ;
\]

в этом уравнении содержатся лишь те радикалы, которые входят в выражения для $r$ и $r^{\prime}$; однако уравнения между тремя неизвестными $R, R^{\prime}, R^{\prime \prime}$ или между $L$ и $M$ будут еще слишком сложными, чтобы ими можно было с успехом воспользоваться.

Отсюда можно заключить, что эти неизвестные не являются наиболее удобными в рассматриваемом вопросе, и если по началу мы ищем лишь приближенное решение, то будет гораздо проще воспользоваться формулами, данными нами в пункте 28 , для того случая, когда время $t$ предполагается очень малым.
41. Для применения этих формул к определению орбиты кометы следует лишь вместо $x, y, z$ подставить выражения, данные в пункте 37; этим путем мы получим вообще
\[
\begin{array}{l}
R l-\rho \hbar=\mathrm{x} T+\frac{d \mathrm{x}}{d t} V, \\
R m-\rho^{\mu}=\mathrm{y} T+\frac{d \mathrm{y}}{d t} V, \\
R n-\rho
u=\mathrm{z} T+\frac{d \mathrm{z}}{d t} V,
\end{array}
\]

где величины $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \frac{d \mathrm{x}}{d t}, \frac{d \mathrm{y}}{d t}, \frac{d \mathrm{z}}{d t}$ соответствуют началу времени $t$ и рассматриваются как постоянные, а $T$ и $V$ являются рациональными функциями $t$ и постоянных $\mathrm{r}, \mathrm{s}, \frac{d \mathrm{~s}}{d t}$.

Так как начало времени $t$ произвольно, то за него можно принять момент первого наблюдения; но, положив $t=0$, мы имеем
\[
T=1 \quad \text { и } \quad V=0 .
\]

Следовательно, для первого наблюдения мы получим следующую первую систему уравнений:
\[
\begin{aligned}
R l-\beta \lambda & =\mathrm{x}, \\
R m-\beta \mu & =\mathrm{y}, \\
R n-\rho
u & =\mathrm{z} .
\end{aligned}
\]

Для второго наблюдения, отстоящего от первого на время $t$, мы получим, снабдив буквы $R, l, m, n, \rho$, $\lambda, \mu,
u$ одним штрихом, следующую вторую систему уравнений:
\[
\begin{aligned}
R^{\prime} l^{\prime}-\rho^{\prime} \lambda^{\prime} & =\mathrm{x} T+\frac{d \mathrm{x}}{d t} V, \\
R^{\prime} m^{\prime}-\rho^{\prime} \mu^{\prime} & =\mathrm{y} T+\frac{d \mathrm{y}}{d t} V, \\
R^{\prime} n^{\prime}-\rho^{\prime}
u^{\prime} & =\mathrm{z} T+\frac{d \mathrm{z}}{d t} V .
\end{aligned}
\]

Аналогичные уравнения мы получим для третьего наблюдения, отстоящего от первого на время $t^{\prime}$; при әтом мы снабдим двумя штрихами те буквы, которые в последних уравнениях были отмечены одним штрихом, а одним штрихом – буквы ‘ $T$ ‘ и $V$ с тем, чтобы показать, что $t$, функциями которого они являются, должно быть заменено через $t^{\prime}$; таким образом, мы получим следующую третью систему уравнений:
\[
\begin{array}{c}
R^{\prime \prime} l^{\prime \prime}-\rho^{\prime \prime} \lambda^{\prime \prime}=\mathrm{x} T^{\prime}+\frac{d \mathrm{x}}{d t} V^{\prime}, \\
R^{\prime \prime} m^{\prime \prime}-\rho^{\prime \prime} \mu^{\prime \prime}=\mathrm{y} T^{\prime}+\frac{d \mathrm{y}}{d t} V^{\prime}, \\
R^{\prime \prime} n^{\prime \prime}-\rho^{\prime \prime}
u^{\prime \prime}=\mathrm{z} T^{\prime}+\frac{d z}{d t} V^{\prime},
\end{array}
\]

Из первых уравнений каждой из трех систем можно исключить две постоянные величины х и $\frac{d x}{d t}$; полагая для сокращения
\[
T V^{\prime}-V T^{\prime}=V^{\prime \prime},
\]

мы получим
\[
(R l-p \lambda) V^{\prime \prime}-\left(R^{\prime} l^{\prime}-\rho^{\prime} \lambda^{\prime}\right) V^{\prime}+\left(R^{\prime \prime} l^{\prime \prime}-\beta^{\prime \prime} \lambda^{\prime \prime}\right) V=0 ;
\]

исключив также две постоянные величины у и $\frac{d y}{d t}$ из вторых уравнений тех же систем, мы получим
\[
(R m-\mu \mu) V^{\prime \prime}-\left(R^{\prime} m^{\prime}-\rho^{\prime} \mu^{\prime}\right) V^{\prime}+\left(R^{\prime \prime} m^{\prime \prime}-\rho^{\prime \prime} \mu^{\prime \prime}\right) V=0,
\]

а исключение постоянных $\mathrm{z}, \frac{d \mathrm{z}}{d t}$ из последних уравнений этих систем даст аналогично
\[
(R n-\rho v) V^{\prime \prime}-\left(R^{\prime} n^{\prime}-\rho^{\prime} v^{\prime}\right) V^{\prime}+\left(R^{\prime \prime} n^{\prime \prime}-\rho^{\prime \prime} v^{\prime \prime}\right) V=0 .
\]

Из этих трех уравнений находим
\[
\begin{array}{l}
R^{\prime \prime}=\frac{\rho \mathrm{I}^{\prime} V^{\prime \prime}-\rho^{\prime} \Gamma_{2}^{\prime} V^{\prime}+\rho^{\prime \prime} \Gamma_{2}^{\prime \prime} V}{G V}, \\
\end{array}
\]

где положено для сокращения
\[
G=l m^{\prime} n^{\prime \prime}+m n^{\prime} l^{\prime \prime}+n l^{\prime} m^{\prime \prime}-l n^{\prime} m^{\prime \prime}-m l^{\prime} n^{\prime \prime}-n m^{\prime} l^{\prime \prime}
\]

и где через I’, I’, I’\” обозначены выражения, получающиеся из $G$ заменой $l, m, n$ соответственно на $\lambda, \mu,
u$, на $\lambda^{\prime}, \mu^{\prime},
u^{\prime}$ и на $\lambda^{\prime \prime}, \mu^{\prime \prime},
u^{\prime \prime}$; точно так же $\mathrm{I}_{1}, \mathrm{I}_{1}^{\prime}, \Gamma_{1}^{\prime \prime}$ и $\mathrm{I}_{2}^{\prime}, \Gamma_{2}^{\prime}, \Gamma_{2}^{\prime \prime}$ обозначают выражения, получающиеся из $G$ такой $^{2}$ же заменой величин $l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}$ и аналогичных величин $l^{\prime \prime}, m^{\prime \prime}, n^{\prime \prime}$.

Но три наблюдения дают также (п. 37, 38) следующие уравнения:
\[
\begin{aligned}
R^{2}-2 R^{\prime} \cos (C S)+\rho^{2} & =r^{2}, \\
R^{\prime 2}-2 R^{\prime} \rho^{\prime} \cos \left(C^{\prime} S^{\prime}\right)+\rho^{\prime 2} & =r^{\prime 2}, \\
R^{\prime \prime 2}-2 R^{\prime \prime} \rho^{\prime \prime} \cos \left(C^{\prime \prime} S^{\prime \prime}\right)+\mu^{\prime \prime 2} & =r^{\prime \prime 2} .
\end{aligned}
\]

Следовательно, если сюда подставить предыдущие значения $R, R^{\prime}, R^{\prime \prime}$, то мы получим три окончательных уравнения, которые будут содержать лишь известные величины и вместе с тем величины $V, V^{\prime}, V^{\prime \prime}$ и $r, r^{\prime}, r^{\prime \prime}$, заданные в функции времени и трех постоянных величин $\mathrm{r}, \mathrm{s}$, $\frac{d \mathrm{~s}}{d t}$, от которых зависят әлементы орбиты (г. 28,29 ); таким образом, мы получим возможность определить эти три постоянные величины.
42. Если ограничиться приближением лишь до четвертой степени $t$, то мы будем иметь
\[
V=t-g \frac{t^{3}}{6 \mathrm{r}^{3}}+g \mathrm{~S} \frac{t^{4}}{6 \mathrm{r}^{5}}
\]

и точно так же
\[
V^{\prime}=t^{\prime}-g \frac{t^{\prime 3}}{6 \mathrm{r}^{3}}+g \mathrm{~S} \frac{t^{\prime 4}}{4 \mathrm{r}^{5}} ;
\]

а так как $V^{\prime \prime}=T V^{\prime}-V T^{\prime}$, то мы будем иметь
\[
V^{\prime \prime}:=t^{\prime}-t-g \frac{\left(t^{\prime}-t\right)^{3}}{6 \mathrm{r}^{3}}+g_{\mathrm{S}} \frac{\left(t^{\prime}-t\right)^{3}\left(t+t^{\prime}\right)}{4 \mathrm{r}^{5}} .
\]

Если эти величины подставить в выражения $R, R^{\prime}, R^{\prime}$ и положить $t^{\prime}=m t$, где коэффициент $m$ определяется из отношения двух прсмежутков времени между тремя наблюдениями, то, очевидно, четвертая степень $t$ исчезнет в результате деления, и, таким образом, будет достаточно в значениях $r$ и $r^{\prime}$ принимать во внимание лишь третью степень.
Мы имеем вообще, с точностью до $t^{4}$,
\[
r^{2}=\mathrm{r}^{2}+2 \mathrm{~s} t+\frac{d \mathrm{~s}}{d t} t^{2}-\frac{g \mathrm{~s}}{3 \mathrm{r}^{3}} t^{3} ;
\]

но мы допустили, что первое наблюдение соответствует моменту $t=0$ и что последующие два наблюдения соответствуют моментам времени $t$ и $t^{\prime}=m t$;
следовательно, мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
r^{2}=\mathrm{r}^{2}, \\
r^{\prime 2}=\mathrm{r}^{2}+2 \mathrm{~s} t+\frac{d \mathrm{~s}}{d t} t^{2}-\frac{g \mathrm{~s}}{3 \mathrm{r}^{3}} t^{3}, \\
r^{\prime 2}=\mathrm{r}^{2}+2 m \mathrm{~s} t+m^{2} \frac{d \mathrm{~s}}{d t} t^{2}-m^{3} \frac{g \mathrm{~s}}{\mathrm{r}^{3}} t^{3} .
\end{array}
\]

Подставляя эти выражения в три последних уравнения предыдущей статьи, отбросив при этом члены, содержащие степени $t$ выше третьей, мы получим три уравнения между тремя неизвестными $\mathrm{r}, \mathrm{s}$ и $\frac{d \mathrm{~s}}{d t}$, из которых два последних войдут линейным образом, так что их легко будет исключить и, таким образом, свести задачу к единственному уравнению относительно r. В этом и заключается главное преимущество предложенного нами метода.

Если бы мы захотели еще больше повысить степень приближения и принять во внимание в выражениях для $V, V^{\prime}, V^{\prime \prime}, r^{\prime 2}, r^{\prime 2}$ еще большее число членов, то мы получили бы уравнения, в которые неизвестные величины $\mathrm{s}$ и $\frac{d \mathrm{~s}}{d t}$ уже входят не линейно, а в более высокой стенени; әто сделало бы более трудным их исключение и еще более усложнило бы вид окончательного уравнения.
43. Для того чтобы привести пример подобного вычисления, мы ограничимся тем, что в значениях $V, V^{\prime}, V^{\prime \prime}$ примем во внимание третьи измерения $t$ и $t^{\prime}$, в результате чего исчезнут члены, содержащие не- известную $\mathrm{s}$; для большей простоты положим $g=1$, принимая, таким образом, среднее расстояние от Земли до Солнца за единицу расстояний и выражая время с помощью средних движений Солнца (п. 23); положив еще $t^{\prime}=m t$, мы будем иметь
\[
\begin{aligned}
V & =t-\frac{t^{3}}{6 \mathrm{r}^{3}}, \\
V^{\prime} & =m t-\frac{m^{3} t^{3}}{6 \mathrm{r}^{3}}, \\
V^{\prime \prime} & =(m-1) t-\frac{(m-1)^{3} t^{3}}{6 \mathrm{r}^{3}} .
\end{aligned}
\]

Тогда выражения для $R, R^{\prime}, R^{\prime \prime}$ примут следующий вид:
\[
\begin{aligned}
R & =\frac{6 P \mathrm{r}^{3}-Q t^{2}}{\left[6(m-1) \mathrm{r}^{3}-(m-1)^{3} t^{2}\right] G}, \\
R^{\prime} & =-\frac{6 P_{1} \mathrm{r}^{3}-Q_{1} t^{2}}{\left(6 \mathrm{r}^{3}-t^{2}\right) G}, \\
R^{\prime \prime} & =\frac{6 P_{3} \mathrm{r}^{3}-Q_{2} t^{2}}{\left(6 \mathrm{r}^{3}-t^{2}\right) G},
\end{aligned}
\]

где для сокращения положено
\[
\begin{array}{l}
P=(m-1) \mu \mathrm{Y}^{\prime}-m_{\iota^{\prime}}^{\prime} \Gamma^{\prime}+\rho^{\prime \prime} \mathrm{\Gamma}^{\prime \prime}, \\
Q=(m-1)^{3} \mathrm{Y}^{\prime}-m^{3} \mathrm{p}^{\prime} \mathrm{\Gamma}^{\prime}+p^{\prime \prime} \mathrm{Y}^{\prime \prime}
\end{array}
\]

и где обозначены через $P_{1}, Q_{1}$ и $P_{2}, Q_{2}$ выражения, получающиеся из $P$ и $Q$ заменой $\Gamma^{\prime}, \Gamma^{\prime}, \Gamma^{\prime \prime}$ на $\Gamma_{1}^{\prime}, \Gamma_{1}^{\prime}, \Gamma_{2}^{\prime \prime}$ и на $\Gamma_{2}, \Gamma_{2}^{\prime}, \Gamma_{2}^{\prime \prime}$.

Как видим, приведенные выражения $R, R^{\prime}, R^{\prime \prime}$, т. е. расстояния кометы от Земли при трех наблюдениях, содержат лишь одну неизвестную величину $r$, радиус-вектор кометы при первом наблюдении. Следовательно, если подставить выражение для $R$ в уравнение (п. 25)
\[
R^{2}+2 R \rho \cos (C S)+\rho^{2}=\mathrm{r}^{2},
\]

то мы получим окончательное уравнение восьмой степени относительно $r$, и задача сведется $\mathrm{k}$ решению этого уравнения.

Найдя значение $\mathrm{r}$, мы с помощью приведенных выше формул получим $R^{\prime}$ и $R^{\prime \prime}$; из последних с помощью формул пункта 42 мы получим значения трех радиусов-векторов $r, r^{\prime}, r^{\prime \prime}$, равно как значения координат $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ и их производных $\frac{d \mathrm{x}}{d t}, \frac{d \mathrm{y}}{d t}, \frac{d \mathrm{z}}{d t}$; тогда по трем расстояниям $R, R^{\prime}, R^{\prime \prime}$ кометы от Земли с помощью формул § II или, при желании, с помощью известных тригонометрических формул мы сможем определить орбиту кометы.
44. Выражения для расстояний $R, R^{\prime}, R^{\prime \prime}$ могут быть ушощены путем следующего рассуждения; так как Земля и комета движутся вокруг Солнца под действием одной и той же силы притяжения этого небесного тела, то если через $\xi, \eta$, $\zeta$ обозначить прямоугольные координаты Земли относительно Солнца, когда $t=0$, и через $\Theta, \Upsilon$ обозначить значения функций $T$ и $V$, какие они получат, если элементы орбиты кометы в них заменить элементами орбиты Земли, то, как и в пункте 28 , мы получим следующие три уравнения:
\[
\begin{array}{l}
-\rho \lambda=\xi \Theta+\frac{d \xi}{d t} \Upsilon, \\
-p \mu=\eta \Theta+\frac{d \eta}{d t} \Upsilon, \\
-p
u=\zeta \Theta+\frac{d \xi}{d t} \Upsilon ;
\end{array}
\]

в самом деле, так как через $\beta \lambda, \beta \mu, \beta
u$ мы обозначили (п. 24) прямоугольные координаты Солнца по отношению к Земле, то – $\lambda$, – $\mu \mu,-\rho
u$ будут прямоугольными координатами Земли по отношению к Солнцу.

Так как эти уравнения отличаются от уравнений пункта 41 лишь тем, что $x, y, z, T, V$ заменены буквами $\xi, \eta, \zeta, \boldsymbol{\theta}, \Upsilon$ и что радиус $R$ здесь равен нулю, то ясно, что мы получим аналогичные результаты, если произведем эти же замены в результатах, полученных в предыдущем пункте. Ввиду того, что выражения для $R, R^{\prime}, R^{\prime \prime}$, данные в конце указанного пункта, содержат лишь одну величину, зависящую от элементов орбиты, а именно, радиус-вектор $\mathrm{r}$, то если вместо последнего взять $\beta$, радиус-вектор орбиты Земли, мы получим
\[
R=0, \quad R^{\prime}=0, \quad R^{\prime \prime}=0,
\]

откуда следует
\[
6 P=\frac{Q t^{2}}{\rho^{3}}, \quad 6 P_{1}=\frac{Q_{1} t^{2}}{\rho^{3}}, \quad 6 P_{2}=\frac{Q_{2} t^{2}}{\rho^{3}} .
\]

Если теперь эти величины подставить в те же выражения для $R, R^{\prime}, R^{\prime \prime}$ и в знаменателе пренебречь очень малым членом второго порядка, содержащим $t^{2}$, 5 ж. Лагранж, т. II

по сравнению с конечным членом, содержащим $\mathrm{r}^{3}$, то мы получим более простые выражения
\[
\begin{aligned}
R & =\frac{Q t^{2}}{6(m-1) G}\left(\frac{1}{\rho^{3}}-\frac{1}{\mathrm{r}^{3}}\right), \\
R^{\prime} & =\frac{Q_{1} t^{2}}{6 m G}\left(\frac{1}{\rho^{3}}-\frac{1}{\mathrm{r}^{3}}\right), \\
R^{\prime \prime} & =\frac{Q_{2} t^{2}}{6 G}\left(\frac{1}{\rho^{3}}-\frac{1}{\mathrm{r}^{3}}\right) .
\end{aligned}
\]

Следовательно, если выражение для $R$ подставить в уравнение
\[
R^{2}-2 R_{l^{\prime}} \cos (C S)+\mathrm{p}^{2}-\mathrm{r}^{2}=0
\]

и положить для краткости
\[
\frac{Q t^{2}}{6(m-1) G}=K
\]

где $K$-величина, вполне известная по наблюдениям, и сверх того помножить на $\beta^{6} \mathrm{r}^{\mathbf{6}}$, то мы получим уравнение
\[
K^{2}\left(\mathrm{r}^{3}-p^{3}\right)^{2}-2 K \ell^{4} \mathrm{r}^{3}\left(\mathrm{r}^{3}-\beta^{3}\right) \cos (C S)+\beta^{6} \mathrm{r}^{6}\left(\gamma^{2}-\mathrm{r}^{2}\right)=0,
\]

в которое $\mathrm{r}$ входит в восьмой степени, но которое по разделении на $\mathbf{r}$ – $\rho$ станет лишь уравнением седьмой степени.

Указанное понижение степени уравнения относительно $\mathrm{r}$ является результатом того, что движение Земли, равно как и движение кометы, мы выразили приближенными формулами, в которых пренебрегли степенями $t$, превышающими третью степень; мы не получили бы этого понижения, если бы воспользовались значением $R$ предыдущего пункта, в котором места Солнца были предполонены вполне точными, определенными с помощью таблиц.
45. Приведенное выше уравнение можно свести к довольно простому построению. Если из заданной точки провести две прямые линии, образующие угол, равный дуге $C S$, т. е. видимому расстоянию кометы от Солнца при первом наблюдении, причем на первой
отложить отрезок, равный $\frac{K}{\rho^{3}}$, и на второй $\rho$, то дело сведется к отысканию на первой линии такой точки, чтобы отрезок, заключенный между этой точкой и концом той же линии, относился ко всему отрезку, как куб второго отрезка относится к кубу отрезка, соединяющего конец этого отрезка с искомой точкой; тогда этот последний отрезок будет равен $\mathrm{r}$, а отрезок первой линии, заключающийся между заданной точкой и искомой точкой, будет равен $R$. В самом деле, согласно указанному построению, мы будем иметь пропордию
\[
\frac{K}{p^{3}}-R: \frac{K}{\rho^{3}}=\beta^{3}: r^{3},
\]

которая дает
\[
R=K\left(\frac{1}{\rho^{3}}-\frac{1}{\mathrm{r}^{3}}\right)
\]

и затем
\[
\mathrm{r}=\sqrt{p^{2}-2 p R \cos (C S)+R^{2}},
\]

откуда следует приведенное выше уравнение относительно $\mathrm{r}$.

Насколько мне думается, Ламберт является первым, кто, пользуясь приближенным, но верным методом*), свел задачу о кометах к единственному уравнению с одним неизвестным. Он пришел к нему с помощью остроумного рассуждения, основанного на идее, что видимое место кометы при втором наблюдении отклоняется от большого круга, проведенного через види-
*) Эйлер дал в 1744 г. приближенное решение задачи о кометах, но его метод требует допущения ряда неверных гипотез и применения четвертого наблюдения. Что касается решения Ламберта, то следует отметить, что то решение, идею которого здесь вкратце изложил Лагранж, является вторым шо счету решением, предложенным этим геометром, который даже не счел нужным построить на нем вычисления. Эта же задача была им разрешена совершенно иным способом в специальной работе «Insigniores orbitae cometarum proprietates», датированной 1761 г. (Iрим. Бертрана.)

мые места ее при первом и третьем наблюдениях: определение этого отклонения прямо привело его к построению, аналогичному изложенному нами выше и сводящемуся к уравнению седьмой степени относительно r (см. Mémoires de l’Académie de Berlin, 1771 г.).

Установив, таким образом, значения $\mathrm{r}$ и $R$, мы будем иметь
\[
R^{\prime}=-\frac{m-1}{m} \frac{Q_{1}}{Q} R, \quad R^{\prime \prime}=(m-1) \frac{Q_{2}}{Q} R,
\]

и два уравнения (п. 40 и 41)
\[
\begin{aligned}
R^{\prime 2}-2 R^{\prime} \rho^{\prime} \cos \left(C^{\prime} S^{\prime}\right)+\mathrm{p}^{\prime 2} & =r^{2}=\mathrm{r}^{2}+\left(2 t-\frac{t^{3}}{3 \mathrm{r}^{3}}\right) \mathrm{s}+t^{2} \frac{d \mathrm{~s}}{d t}, \\
R^{\prime 2}-2 R^{\prime \prime} \rho^{\prime \prime} \cos \left(C^{\prime \prime} S^{\prime \prime}\right)+\rho^{\prime \prime 2} & =r^{\prime \prime 2}= \\
& =\mathrm{r}^{2}+\left(2 m t-\frac{m^{3} t^{3}}{3 \mathrm{r}^{3}}\right) \mathrm{s}+m^{2} t^{2} \frac{d s}{d t}
\end{aligned}
\]

дадут значения постоянных $\mathrm{s}$ и $\frac{d \mathrm{~s}}{d t}$, а отсюда с помощью формул пункта 28 будут получены элементы $a$ и $b$ орбиты, где $2 a$ большая ось и $b$-параметр.
46. Если допустить, что орбита представляет собою параболу, то а будет бесконечно велико, что дает $\frac{d \mathrm{~s}}{d t}=\frac{1}{\mathrm{r}}$. В этом случае два последних уравнения будут содержать лишь неизвестную $\mathrm{s}$, по исключении которой мы получим новое уравнение относительно $\mathbf{r}$, которое должно иметь общий корень с найденным уже раньше уравнением, что послужит для облегчения отыскания этого корня.

Если с самого начала допустить, что орбита кометы представляет собою параболу, то целесообразнее связать решение исключительно с этим последним уравнением, так как оно обладает тем преимуществом, что не содержит величины $G$, которая, как мы это покажем ниже, является очень малой величиной третьего порядка, когда интервалы времени $t$ и $t^{\prime}$ или $m t$ представляют собою очень малые величины первого порядка, так что ошибки наблюдения, от которых зависит эта величина, могут иметь на нее очень большое влияние,

Если положить для сокращения
\[
\begin{array}{l}
M=(m-1)^{2}\left[\frac{1}{m}\left(\frac{Q_{1}}{Q}\right)^{2}-\left(\frac{Q_{2}}{Q}\right)^{2}\right], \\
N:=-(m-1)\left[\ell^{\prime} \cdot \frac{Q_{1}}{Q} \cos \left(C^{\prime} S^{\prime}\right)+\ell^{\prime \prime} \frac{Q_{2}}{Q} \cos \left(C^{\prime \prime} S^{\prime \prime}\right)\right]
\end{array}
\]

и пренебречь в коэффициентах $\rho$ членами, в состав которых входит $t^{3}$, то, исключая указанную величину, мы получим уравнение относительно $R$
\[
M R^{2}-2 N R+m_{\mathrm{r}^{\prime}}{ }^{2}-\hat{\gamma}^{\prime \prime 2}-(m-1) \mathrm{r}^{2}+m(m-1) \frac{t^{2}}{\mathrm{r}^{2}}=0 .
\]

которое, будучи взято совместно с уравнением
\[
R^{2}-2 R \rho \cos (C S)+\rho^{2}-\mathbf{r}^{2}=0,
\]

даст путем исключения $R$ уравнение шестой степени относительно $\mathrm{r}$; если же при совместном репении этих двух уравнений пренебречь квадратом члена $m(m-1) \frac{t^{2}}{\mathrm{r}^{2}}$, который является величиной четвертого порядка, то окончательное уравнение будет пятой степени. В первом приближении можно было бы даже пренебречь тем членом, который является только величиной второго порядка; тогда окончательное уравнение будет четвертой степени, и его можно будет решить известными методами.

Значение $\mathrm{r}$ даст значения $R, R^{\prime}, R^{\prime \prime}$, а отсюда с помощью формул предыдущего пункта определится значение $\mathrm{s}$; так как мы допустили, что $a$ бесконечно велико, то мы будем иметь
\[
b=2 \mathrm{r}-\mathrm{s}^{2},
\]

где параметр $b$ является удвоенным перигелийным расстоянием кометы.
47. После того как задача о кометах сведена к конечным уравнениям с одной только неизвестной, остается еще исследовать те величины, которые приходится предполагать известными; такими величинами являются:

1) три радиуса $p, p^{\prime}, p^{\prime \prime}$, которые выражают расстояния Солнца от Земли при трех наблюдениях и которые долины быть вычислены по таблицам Солнца;
2) величины $G, \Gamma^{\prime}, \Gamma^{\prime \prime}, \Gamma^{\prime \prime}, \Gamma_{1}^{\prime}, \Gamma_{1}^{\prime}, \Gamma_{1}^{\prime \prime}, \Gamma_{2}, \Gamma_{2}^{\prime}, \Gamma_{2}^{\prime \prime}$, от которых зависят значенин $P, P, P_{1}, Q_{1}, P_{2}, Q_{2}$ (п. 41 и 43); эти величины должны быть определены с помощью трех наблюдений кометы и путем вычисления мест Солнца, но их можно свести к более простым выражениям, которые очень облегчают расчет.

Начнем с величины $G$, из которой другие величины выводятья просто; мы имеем (п. 41)
\[
G=l m^{\prime} n^{\prime \prime}+m n^{\prime} l^{\prime \prime}+n l^{\prime} m^{\prime \prime}-l n^{\prime} m^{\prime \prime}-m l^{\prime} n^{\prime \prime}-n m^{\prime} l^{\prime \prime} ;
\]

квадрат этой величины может быть представлен в следующем виде:
\[
\begin{array}{c}
G^{2}=\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)\left(l^{\prime 2}+m^{\prime 2}+n^{\prime 2}\right)\left(l^{\prime 2}+m^{\prime 2}+n^{\prime 2}\right)+ \\
+2\left(l l^{\prime}+m m^{\prime}+n n^{\prime}\right)\left(l l^{\prime \prime}+m m^{\prime \prime}+n n^{\prime \prime}\right) \times \\
\times\left(l^{\prime \prime}+m^{\prime} m^{\prime \prime}+n^{\prime} n^{\prime \prime}\right)- \\
-\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)\left(l^{\prime} l^{\prime \prime}+m^{\prime} m^{\prime \prime}+n^{\prime} n^{\prime \prime}\right)^{2}- \\
-\left(l^{\prime 2}+m^{\prime 2}+n^{\prime 2}\right)\left(l l^{\prime \prime}+m m^{\prime \prime}+n n^{\prime \prime}\right)^{2}- \\
-\left(l^{\prime \prime 2}+m^{\prime 2}+n^{\prime 2}\right)\left(l l^{\prime}+m m^{\prime}+n n^{\prime}\right)^{2}
\end{array}
\]

в чем можно убедиться, раскрывая скобки. Но, в силу природы величин $l, m, n, l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}, l^{\prime \prime}, m^{\prime \prime}, n^{\prime \prime}$ (п. 37), $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1, \quad l^{\prime 2}+m^{\prime 2}+n^{\prime 2}=1, \quad l^{\prime 2}+m^{\prime 2}+n^{\prime 2}=1$.

Јледовательно, если для сокращения положить
\[
\begin{aligned}
L & =l l^{\prime}+m m^{\prime}+n n^{\prime}, \\
L^{\prime} & =l l^{\prime \prime}+m m^{\prime \prime}+n n^{\prime \prime}, \\
L^{\prime \prime} & =l^{\prime} l^{\prime \prime}+m^{\prime} m^{\prime \prime}+n^{\prime} n^{\prime \prime},
\end{aligned}
\]

о мы получим
\[
G^{2}=1+2 L L^{\prime} L^{\prime \prime}-L^{2}-L^{\prime 2}-L^{\prime \prime 2} .
\]

Мы уже указали (п. 38 ), что величина $l l^{\prime}+m m^{\prime}+$ $n^{\prime}$ равна косинусу угла, заключенного между двумя радиусами $R$ и $R^{\prime}$, направленными к комете в первых двух наблюдениях, угла, который мы обозначили стороной $C C^{\prime}$ сферического треугольника $C C^{\prime} C^{\prime \prime}$; последний мы представили себе на сфере, соединяя дугами больших кругов три видимых места кометы в трех наблюдениях. Этот треугольник полностью дан наблюдениями над кометой, каким бы образом они ни были произведены; поэтому мы можем рассматривать как известные три его стороны $C C^{\prime}, C C^{\prime \prime}$, $C^{\prime} C^{\prime \prime}$, равно как и углы $C, C^{\prime}, C^{\prime \prime}$, соответственно противолежащие сторонам $C^{\prime} C^{\prime \prime}, C C^{\prime \prime}$ и $C C^{\prime}$.
Итак, мы имеем
\[
L=\cos \left(C C^{\prime}\right)
\]

и точно так же
\[
L^{\prime}=\cos \left(C C^{\prime \prime}\right), \quad L^{\prime \prime}=\cos \left(C^{\prime} C^{\prime \prime}\right),
\]

вследствие чего выражение для величины $G^{2}$ принимает следующий вид:
\[
\begin{array}{r}
G^{2}=1+2 \cos \left(C C^{\prime}\right) \cos \left(C C^{\prime \prime}\right) \cos \left(C^{\prime} C^{\prime \prime}\right)-\cos ^{2}\left(C C^{\prime}\right)- \\
-\cos ^{2}\left(C C^{\prime \prime}\right)-\cos ^{2}\left(C^{\prime} C^{\prime \prime}\right) .
\end{array}
\]

Это выражение для $G^{2}$ может быть приведено к еще более простому виду; действительно, путем разложения членов легко убедиться в том, что это выражение тождественно со следующим:
\[
\left[\cos \left(C C^{\prime}+C C^{\prime \prime}\right)-\cos \left(C^{\prime} C^{\prime \prime}\right)\right]\left[\cos \left(C^{\prime} C^{\prime \prime}\right)-\cos \left(C C^{\prime}-C C^{\prime \prime}\right)\right],
\]

которое с помощью известных преобразований приводится к виду
\[
\begin{array}{l}
G^{2}=-4 \sin \left(\frac{C C^{\prime}+C C^{\prime \prime}+C^{\prime} C^{\prime \prime}}{2}\right) \sin \left(\frac{C C^{\prime}+C C^{\prime \prime}}{2}-{ }^{\prime \prime \prime}\right) \times \\
\times \sin \left(\frac{C C^{\prime}-C C^{\prime \prime}+C^{\prime} C^{\prime \prime}}{2}\right) \sin \left(\frac{C C^{\prime \prime}+C C^{\prime \prime}-C C^{\prime}}{2}\right), \\
\end{array}
\]

очень удобному для вычисления с логарифмами.
Если желательно воспользоваться углами того же треугольника, можно получить еще более простое выражение величины $G$; в самом деле, на основании известных формул мы имеем
\[
\cos \left(C^{\prime} C^{\prime \prime}\right)=\cos \left(C C^{\prime}\right) \cos \left(C C^{\prime \prime}\right)+\sin \left(C C^{\prime}\right) \sin \left(C C^{\prime \prime}\right) \cos C ;
\]

если эту величину подставить в первое выражение для $G^{2}$, то после преобразований мы получим
\[
G^{2}=\sin \left(C C^{\prime}\right)^{2} \sin \left(C C^{\prime \prime}\right)^{2} \sin ^{2} C ;
\]

и, следовательно, по извлечении квадратного корня
\[
G=\sin \left(C C^{\prime}\right) \sin \left(C C^{\prime \prime}\right) \sin C .
\]

Этим же путем мы можем получить
\[
G=\sin \left(C^{\prime} C^{\prime \prime}\right) \sin \left(C^{\prime} C\right) \sin C^{\prime \prime}=\sin \left(C^{\prime \prime} C\right) \sin \left(C^{\prime \prime} C^{\prime}\right) \sin C^{\prime \prime} \text {. }
\]

Легко доказать, что величина $G$ представляет собою не что иное, как ушестеренный объем треугольной пирамиды, вершина которой лежит в центре сферы, радиус которой принят равным единице и которая опирается на сферический треугольник $C C^{\prime} C^{\prime \prime}$, т. е. которая имеет своим основанием прямолинейный треугольник, образованный хордами трех дуг $C C^{\prime}$, $C C^{\prime \prime}, C^{\prime} C^{\prime \prime}$; в самом деле; если мы рассмотрим одну из граней этой пирамиды, например ту, которая имеет своим основанием хорду дуги $C C^{\prime}$, то для площади этого равнобедренного треугольника мы получим $\frac{1}{2} \sin \left(C C^{\prime}\right)$. Далее, если рассмотреть прилежащую грань, имеющую своим основанием хорду дуги $C C^{\prime \prime}$, то ясно, что угол взаимного наклона этих двух граней будет равен углу $C$ сферического треугольника; следовательно, перпендикуляр, проведенный из вершины угла $C^{\prime \prime}$ на первую грань, будет равен $\sin \left(C C^{t \prime}\right) \sin C$. Этот першендикуляр станет высотой пирамиды, если представить себе, что пирамида стоит на первой грани, которая равна $\frac{1}{2} \sin \left(C C^{\prime}\right)$;

гаким образом, объем пирамиды составляет
\[
\frac{1}{6} \sin \left(C C^{\prime}\right) \sin \left(C C^{\prime \prime}\right) \sin C
\]

и, следовательно, он равен $\frac{G}{6}$.
48. Обозначим вообще символом ( $C C^{\prime} C^{\prime \prime}$ ) функцию эторон и углов каждого сферического треугольника $C C^{\prime} C^{\prime \prime}$, с помощью которой мы выразили величину $G$.

Таким образом, отметив на сфере три видимых места кометы $C, C^{\prime}, C^{\prime \prime}$, полученных из трех наблюдений и образующих сферический треугольник $C C^{\prime} C^{\prime \prime}$, мы тотчас же получим,
\[
G=\left(C C^{\prime} C^{\prime \prime}\right) .
\]

Если затем на той же сфере нанести три места Солнца $S, S^{\prime}, S^{\prime \prime}$ при трех наблюдениях и соединить эти места с местами кометы с помощью дуг больших кругов, то образуются различные сферические треугольники $S C^{\prime} C^{\prime \prime}, S^{\prime} C^{\prime} C^{\prime \prime}, \ldots$; на основании сказанного нами в пункте 40 о величинах $\Gamma, \Gamma^{\prime}, \Gamma^{\prime \prime}, \Gamma_{1}, \Gamma_{1}^{\prime}, \Gamma_{1}^{\prime \prime}, \Gamma_{2}^{\prime}, \Gamma_{2}^{\prime}, \Gamma_{2}^{\prime \prime}$ легко видеть, что первые три будут представлены аналогичными функциями треугольников $S C^{\prime} C^{\prime \prime}, S^{\prime} C^{\prime} C^{\prime \prime}$, $S^{\prime \prime} C^{\prime} C^{\prime \prime}$; что три другие будут представлены аналогичными функциями треугольников $C S C^{\prime \prime}, C S^{\prime} C^{\prime \prime}, C S^{\prime \prime} C^{\prime \prime}$ и что три последние будут представлены аналогичными функциями треугольников $C C^{\prime} S, C C^{\prime} S^{\prime}, C C^{\prime} S^{\prime \prime}$. Таким образом, на основе того же обозначения мы будем иметь
\[
\begin{array}{lll}
\mathrm{I}^{\prime}=\left(S C^{\prime} C^{\prime \prime}\right), & \mathrm{I}^{\prime}=\left(S^{\prime} C^{\prime} C^{\prime \prime}\right), & \mathrm{I}^{\prime \prime}=\left(S^{\prime \prime} C^{\prime} C^{\prime \prime}\right), \\
\mathrm{I}_{\mathbf{1}}=\left(C S C^{\prime \prime}\right), & \mathrm{I}_{1}^{\prime}=\left(C S^{\prime} C^{\prime \prime}\right), & \mathrm{I}_{1}^{\prime \prime}=\left(C S^{\prime \prime} C^{\prime \prime}\right), \\
\mathrm{I}_{2}=\left(C C^{\prime} S\right), & \mathrm{I}_{\mathbf{2}}^{\prime}=\left(C C^{\prime} S^{\prime}\right), \quad \Gamma_{2}^{\prime \prime}=\left(C C^{\prime} S^{\prime \prime}\right) .
\end{array}
\]

Как видим, эти величины зависят лишь от взаимного положения видимых мест кометы и Солнца, а так как они являются единственными величинами, входящими в состав уравнений, определяющих абсолютные элементы орбиты, то наш анализ обладает тем преимуществом, что он отделяет опрәделение этих элементов от других, которые можно назвать относительными, так как они относятся $к$ положению орбиты в пространстве.
49. Можно еще отметить, что найденные нами выражения имеют место, каково бы ни было положение двух видимых мест кометы и Солнца; но так как, согласно принятому нами ранее допущению, места кометы находятся друг от друга на небольших расстояниях, то дуги $C C^{\prime}, C^{\prime} C^{\prime \prime}$ очень малы, и угол $C^{\prime}$, заключенный между этими дугами, очень мало отличается от двух прямых; он был бы равен двум прямым, если бы в промежутке между первым и вторым наблюдениями Земля и комета описали бы прямые линии, так как в этом случае три видимых места кометы лежали бы на одном и том же большом круге. Таким образом, синусы $C C^{\prime}, C^{\prime} C^{\prime \prime}$ и $C^{\prime}$ очень малы, и величина
\[
G=\sin \left(C C_{.}^{\prime}\right) \sin \left(C^{\prime} C^{\prime \prime}\right) \sin C^{\prime}
\]

представляет собою малую третьего порядка; но величины
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{I}^{\prime}=\sin \left(S C^{\prime}\right) \sin \left(S C^{\prime \prime}\right) \sin S, \\
\mathrm{I}^{\prime}=\sin \left(S^{\prime} C^{\prime}\right) \sin \left(S^{\prime} C^{\prime \prime}\right) \sin S^{\prime},
\end{array}
\]

являются лишь малыми первого порядка; кроме того, в выражение для $G$ входят лишь величины, зависящие от видимых мест кометы, между тем как велиұины I’, Г’,… частью зависят от мест Солнца, которые, будучи взяты из таблиц, могут быть рассматриваемы как точные величины; отсюда следует, что значение величины $G$ всегда в значительно большей мере подвержено ошибкам, чем значения величин Г’, $\mathrm{I}^{\prime}, \ldots$; поэтому ее следует, насколько возможно, избегать, как мы это и указали в пункте 46.
50. Наконец, отметим, что так как наблюдение кометы дает обычно ее прямое восхождение и склонение, то, если бы мы пожелали применить эти данные непосредственно в наших формулах, нам следовало бы лишь допустить, что три оси, к которым мы отнесли радиусы $R, R^{\prime}, R^{\prime \prime}$, направленные к комете, п радиусы $\rho, \rho^{\prime}, p^{\prime \prime}$, направленные к Солнцу, расположены таким образом, что первая из них направлена к точке весеннего равноденствия, вторая-под прямым углом к первой в плоскости экватора и согласно порядку знаков, а третья – по направлению к северному полюсу экватора; если $a$-прямое восхождение кометы, $d$-ее склонение при первом наблюдении и равным образом $\alpha$-прямое восхождение Солнца и $\delta$-его склонение в то же мгновение, то легко видеть, что мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
l=\cos a \cos d, \quad m=\sin a \cos d, \quad n=\sin d, \\
\lambda=\cos \alpha \cos \delta, \quad \mu=\sin \alpha \cos \delta, \quad
u=\sin \delta .
\end{array}
\]

Отсюда мы получим (см. упомянутый выше пункт) $\cos (C S)=l \hbar+m \mu+n
u=\cos (a-\alpha) \cos d \cos \hat{\delta}+\sin d \sin \hat{\delta}$ и совершенно так же
\[
\begin{array}{l}
\cos \left(C^{\prime} S^{\prime}\right)=\cos \left(a^{\prime}-a^{\prime}\right) \cos d^{\prime} \cos \hat{\delta}^{\prime}+\sin d^{\prime} \sin \delta^{\prime}, \\
\cos \left(C^{\prime \prime} S^{\prime \prime}\right)=\cos \left(a^{\prime \prime}-x^{\prime \prime}\right) \cos d^{\prime \prime} \cos \hat{\delta}^{\prime \prime}+\sin d^{\prime \prime} \sin \hat{\delta}^{\prime \prime},
\end{array}
\]

обозначая, как мы это делали раньше, одним и двумя штрихами аналогичные величины, относящиеся ко второму и третьему наблюдениям.
Точно так же имеем
\[
\begin{array}{l}
\cos \left(C C^{\prime}\right)=\cos \left(a-a^{\prime}\right) \cos d \cos d^{\prime}+\sin d \sin d^{\prime}, \\
\cos \left(S S^{\prime}\right)=\cos \left(\alpha-\alpha^{\prime}\right) \cos \delta \cos \delta^{\prime}+\sin \delta \sin \delta^{\prime} \\
\cos \left(C S^{\prime}\right)=\cos \left(a-\alpha^{\prime}\right) \cos d \cos \delta^{\prime}+\sin d \sin \delta^{\prime},
\end{array}
\]

и совершенно так же для других косинусов.
Если затем те же значения $l, m, n, l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}, l^{\prime \prime}$, $m^{\prime \prime}, n^{\prime \prime}$ подставить в выражение для $G$, то мы получим
\[
\begin{array}{l}
G=\cos d \cos d^{\prime} \sin d^{\prime \prime} \sin \left(a^{\prime}-a\right)- \\
\quad-\cos d \cos d^{\prime \prime} \sin d^{\prime} \sin \left(a^{\prime \prime}-a\right)+ \\
\quad+\cos d^{\prime} \cos d^{\prime \prime} \sin d \sin \left(a^{\prime \prime}-a^{\prime}\right)= \\
=-\cos d \cos d^{\prime} \cos d^{\prime \prime}\left[\sin \left(a-a^{\prime}\right) \operatorname{tg} d^{\prime \prime}+\right. \\
\left.\quad+\sin \left(a^{\prime \prime}-a\right) \operatorname{tg} d^{\prime}+\sin \left(a^{\prime}-a^{\prime \prime}\right) \operatorname{tg} d\right] ;
\end{array}
\]

отсюда можно вывести значения $\Gamma, \mathrm{I}^{\prime}, \mathrm{I}^{\prime \prime}$, подставив вместо букв $a$ и $d$ буквы $\alpha$ и $\delta, \alpha^{\prime}$ и $\delta^{\prime}, \alpha^{\prime \prime}$ и $\delta^{\prime \prime}$; значения $\Gamma_{1}, \Gamma_{1}^{\prime}, \Gamma_{1}^{\prime \prime}$, произведя такие же замены букв $a^{\prime}$ и $d^{\prime}$, и значения $\Gamma_{2}^{\prime}, \Gamma_{2}^{\prime}, \Gamma_{2}^{\prime \prime}$, произведя такие же замены букв $a^{\prime \prime}$ и $d^{\prime \prime}$. Таким образом, мы получим
\[
\begin{aligned}
\mathrm{I}^{\prime}= & -\cos \delta \cos d^{\prime} \cos d^{\prime \prime}\left[\sin \left(\alpha-a^{\prime}\right) \operatorname{tg} d^{\prime \prime}+\right. \\
& \left.+\sin \left(a^{\prime \prime}-a\right) \operatorname{tg} d^{\prime}+\sin \left(a^{\prime}-a^{\prime \prime}\right) \operatorname{tg} \delta\right], \\
\mathrm{I}_{1}= & -\cos a \cos \delta \cos d^{\prime \prime}\left[\sin (a-\alpha) \operatorname{tg} d^{\prime \prime}+\right. \\
& \left.+\sin \left(a^{\prime \prime}-a\right) \operatorname{tg} \delta+\sin \left(\alpha-a^{\prime \prime}\right) \operatorname{tg} d\right], \\
\mathrm{Y}_{2}= & -\cos d \cos d^{\prime} \cos \delta\left[\sin \left(a-a^{\prime}\right) \operatorname{tg} \delta+\right. \\
& \left.+\sin (\alpha-a) \operatorname{tg} d^{\prime}+\sin \left(a^{\prime}-\alpha\right) \operatorname{tg} \delta\right] ;
\end{aligned}
\]

а для того, чтобы получить значения $\mathrm{l}^{\prime}, \mathrm{l}_{1}^{\prime}, \mathrm{I}_{2}^{\prime}$ и $\Gamma^{\prime \prime}, \Gamma_{1}^{\prime \prime}, \Gamma_{2}^{\prime \prime}$, достаточно в выражениях для $\stackrel{\Gamma}{ }, \stackrel{\Gamma_{1}}{\Gamma_{1},}, \Gamma_{2}$ буквы $\alpha$ и $\delta$ снабдить соответственно одним и двумя штрихами.

Нет надобности указывать, что если бы вместо прямых восхождений и склонений мы имели в качестве данных долготы и широты, то оставалось бы лишь вставить эти данные в наши формулы вместо указанных выше величин; тогда орбита оказалась бы отнесенной уже не к экватору, а к эклиптике.
51. После того как упомянутые величины вычислены, можно с помощью формулы пункта 42 вычислить значения величин $Q, Q_{1} Q_{2}$; если бы при этом мы пожелали применить метод пункта 44 как наиболее короткий, то мы тотчас же получили бы для $\mathbf{r}$ окончательное уравнение, решение которого оказалось бы нетрудным, если бы в первом приближении мы его свели к четвертой степени.

Если бы промежутки времени между наблюдениями были равны, мы имели бы $t^{\prime}=2 t$ и, следовательно, $m=2$, что дало бы
\[
Q=\rho \Gamma-8 \rho^{\prime} \Gamma^{\prime}+\mu^{\prime \prime} \Gamma^{\prime \prime}=-6 \rho^{\prime} \Gamma^{\prime}+\Delta^{2} \rho \Gamma,
\]

где символом $\Delta^{2}$ обозначена вторая разность величин $\rho \Gamma, \rho^{\prime} \Gamma^{\prime}, \rho^{\prime \prime} \Gamma^{\prime \prime}$, в состав которых входят только переменные величины, относящиеся к Солнцу. Но так как
мы допускаем, что наблюдения отделены друг от друга небольшими промежутками, то разности әтих величин очень малы; следовательно, вторая разность $\Delta^{2} \mathrm{Y}$ является очень малой величиной второго порядка, которой можно пренебречь по сравнению с конечной величиной – $6 p^{\prime} \mathrm{I}^{\prime}$, благодаря чему значение $Q$ сведется только к этой последней величине; такие же упрощения могут быть применены и к аналогичным величинам $Q_{1}, Q_{2}$; в результате этого мы получим просто
\[
Q=-6 \rho^{\prime} \Gamma^{\prime}, \quad Q_{1}=-6_{i}^{\prime} \Gamma_{1}^{\prime}, \quad Q_{2}=-6 \gamma^{\prime} \Gamma_{2}^{\prime},
\]

что еще больше упростит вычисление первого приближения.

Что касается измерения времени, то надлежит отметить следующее. Так как это время должно быть выражено с помощью среднего движения Солнда, то, если мы захотим его выразить в средних сутках, достаточно будет число дней и десятичные знаки этого числа умножить на угол среднего движения Солнца в течение суток, выраженный в долях радиуса. Этот угол составляет $59^{\prime} 8^{\prime \prime} 3$ и в частях радиуса дает число 0,0172021 , на которое, стало быть, и следует умножить промежутки времени $t$, выраженные в средних сутках.