Лагранж доказывает (стр. 257), что когда материальная точка движется по неподвижной поверхности и, находясь только под влиянием начальной скорости, не подвержена действию какой-либо силы, то скорость ее постоянна и описываемая еюлиния является кјатчайшей из тех, какие можно провести между двумя ее точками. Для доказательства этого положения знаменитый автор ограничивается обоснованием утверждения, что вариация дуги $\int d s$ равна нулю и что, следовательно, в данном случае существует максимум или минимум; но так как, говорит он, максимум адесь невозможен, то имеет место минимум. Подобный путк рассуждения недопустим; в самом деле, известно, что интеграл, вариация которого равна нулю, может в то же времн не быть ни максимумом, ни минимумом; тем не менее в рассматриваемом частном случае утверждение Лагранжа правильно, как это можно доказать в нескольких словах.

Дифференциальное уравнение, выражающее, что вариация интеграла $\int d s$ равна нулю, как известно, доказывает, что соприкасающаяся плоскость кривой в каждой точке нормальна к поверхности. Но если допустить, что оба конца рассматриваемой дуги находятея бесконечно близко друг к другу, то кратчайщей из всех дуг, которые могут соединить эти точки на поверхности, – дугой, наименее отличающейся от хорды, будет, очевидно, та дуга, кривизна которой является наименьшей, т. е. радиус кривизны которой является наибольшим. Но дуги, соединяющие две бесконечно близкие точки поверхности, можно рассматривать как имеющие одну и ту же касательную и, следовательно, согласно хорошо известной теореме Менье (Meusnier), та дуга, соприкасающаяся плоскость которой нормальна к поверхности, имеет наибольший радиус кривизны и, следовательно, является кратчайшей.

Высказанное Лагранжем положение, как мы это только что видели, правильно для любой бесконечно малой дуги; но оно перестает быть правильным, если рассмотреть дугу конечной величины. По этому вопросу существует любопытная теорема, высказанная без доказательства Якоби, которая дает общий способ определения для каждой линии, проведенной на поверхности и удовлетворяющей условиям минимума, пределов, в которых она действительно является кратчайшей.

Пусть $A М M^{\prime}$ – подобная линия: будем двиеаться по этой линии, начиная : точки $A$, рассматриваемой в качестве неподвижного предела, и перемещаясь по напраялению к следующим точкам кризой. Если одну из этих тючек принять за второй предел, может случиться, чтп между этой точкой и первой проходит друеая кривая, для которой аналитическое услозие минимума равным образом выполняется; так вот рассматриваемал линия перестанет быть минимумом между точкой А и вторым рассматриваемым концом в некоторой точке, для которой эта вторая линия сливается п перзой.

Приведенная теорема не была доказана геометрами, комментировавшими знаменитое письмо, в котором она была высказана *). Считаем полезным вкратце указать, каким образом эта теорема вытекает из анализа Якоби.

Рассматриваемый интеграл в общем случае имеет следующий вид:
\[
\int f\left(x, y, y^{\prime}\right) d x
\]

а вариация может быть представлена в виде
\[
\int V \delta y \delta x,
\]

где $V$-функция, которая, будучи приравнена нулю, дает уравнение, подлежащее интегрированию для разрешения рассматриваемой задачи.

Для того чтобы эта функция была минимумом, непбходимо, чтобы функция $\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{\prime 2}}$ оставалась все время положительной в пределах интегрирования. Но это условие не может не быть выолнено, каковы бы ни были эти пределы, так как мы видели, что между любыми двумя пределами всегда
*) Crelle’s Journal, т. XVIII; Journal de Liouville, серия 1, t. III.

имеется минимум, есґи они достаточно сближены. Сверх того, согласно анализу Якоби, если через $y$ обозначить выражение, полученное из уравнения
\[
V=0
\]

и заключающее в себе две произвольные постоянные $a$ и $b$, то мы должны иметь возможность определить две такие постоянные величины $\alpha$ и $\beta$, что если положить
\[
\iota=\alpha \frac{\partial y}{\partial a}+\beta \frac{\partial y}{\partial b},
\]

то выражение
\[
-\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial y^{\prime}}+\frac{1}{u} \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{\prime 2}} \frac{d u}{d x}\right)
\]

не становится бесконечно большим между пределами интегрирования, или – что, вообще говоря, то же самое, – определить их таким образом, что $u$ не сможет стать равным нулю между теми же пределами. На основании сказанного ясно, что для каждого значения $\frac{\beta}{\alpha}$, — если случится, что выражение $u$ обращается в нуль в двух точках миниматьной линии, получающейся с помощью вариационного исчисления, в промежутке между указанными двумя крайними точками, – можно утверждать, что данный интеграл является минимумом. Но я утверждаю, что они действительно будут обладать свойством, указанным Яُкоб, т.е. что от одной до другой можно будет провести две бесконечно близкие линии, одинаково выражающие свойство минимума. В самом деле, заметим, что выражение
\[
u=\alpha \frac{\partial y}{\partial a}+\beta \frac{\partial y}{\partial b}
\]

есть общий интеграл лйнейного уравнения
\[
\delta V=0,
\]

в котором \&у рассматривается в качестве неизвестной величины (см. мемуар Якоби). Следовательно, если $y$ приписать значение
\[
y+u
\]

где $\alpha$ и $\beta$, что всегда допустимо, выбраны таким образом, что $u$ бесконечно мало, то выражение $V$ обращается в нуль, так как знччение $y$ становится равным нулю согласно допущению, а бесконечно малое приращение $и$ обращает ее вариацию в нуль.

Таким образом, мы будем иметь две бесконечно близкие линии, соединяющие те же две точки, для которых выполняется условие
\[
V=0,
\]
т. е. в одинаковой мере удовлетворяющие условиям минимума.

Раньше чем закончить настоящую статью, заметим, что упомянутый выше мемуар Якоби содержит еще другую весьма интересную теорему.

Если обе кризизны поверхности в каждой точке противоположны друе друеу, то линия, удовлетеоряющая аналитическим условиям минимума, действительн всвгда лвляется кратчайшей.

Мы ограничимся тем, что обратим внимание геометров на эту теорему; более подробное исследование геометрической проблемы, составившей предмет настоящей статьи, выходит за пределы последней.