Мы уже говорили о том, что кинематические соотношения ограничивают число степеней свободы рассматриваемой системы до $3 N-p(=s)$, и во многих случаях более удобно сразу ввести $s$ независимых переменных, задание которых полностью определяет состояние сигтемы, чем по-прежнему пользоваться $N$ величинами $\boldsymbol{x}_{i}$ (т. е. $3 N$ декартовыми координатами) наряду с кинематическими соотношениями и множителями $\lambda_{l}$. Следует отдавать себе отчет в том, что, переходя к обобщенным координатам $q_{k}$ $(k=1,2, \ldots, s)$, как принято называть такие новые параметры, мы, как и раньше, имеем дело с механическими системами, для которых справедлив принцип Д’Аламбера; однако эта гипотеза не выступает здесь уже столь очевидпым образом. Обобщенные координаты $q_{k}$ являются функциями всех $\boldsymbol{x}_{i}$ и обратно; что касается обобщенных скоростей $\dot{q}_{k}$, то они связаны с $\dot{x}_{i}$ соотношениями
\[
\dot{x}_{i}=\sum_{k} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} \dot{q}_{k}
\]

Подставляя $\dot{\boldsymbol{x}}_{i}$, выраженные через $\dot{q}_{k}$ согласно (2.301), в выражение (2.230) для кинетической энергии, мы получим:
\[
T=\frac{1}{2} \sum a_{k l} \dot{q}_{k} \dot{q}_{l},
\]

где $a_{k l}$ являются функциями от $q_{b}$, определенными согласно формулам
\[
a_{k l}=a_{i k}=\sum_{i} m_{i}\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} \cdot \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{l}}\right) .
\]

Из (2.302) видно, что $T$ есть однородная квадратичная функция $\dot{q}_{k}$.

Вплоть до этого момента всюду предполагалось, что итенциальная энергия $U$ зависит только от координат $\boldsymbol{x}_{i}$; теперь, следовательно, потенциальная энергия будет функцией только обобщенных координат $q_{k}$, т. е. $U=U\left(q_{k}\right)$. Лагранжиан же будет функцией как $q_{k}$, так и $\dot{q}_{k}$ (в этой же главе ниже будет также кратко рассмотрен и потенциал, зависяций от скоростей):
\[
L=L\left(q_{k}, \dot{q}_{k}\right)=T\left(q_{k}, \dot{q}_{k}\right)-U\left(q_{k}\right) .
\]

Применим теперь вариационный принцип Гамильтона к лагранжнану (2.304). Вариация лагранжнана запишется в виде:
\[
\delta L=\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \delta \dot{q}_{k}+\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial q_{k}} \delta q_{k},
\]

тогда как граничные условия (2.233) здесь уже перепиnyтcя тaк:
\[
\delta q_{k}=0 \text { при } t=t_{1} \text { и при } t=t_{2} .
\]

Нз вариационного принципа (2.234) мы получим теперь:
\[
\begin{array}{l}
0=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta L d t=\int_{t_{k}}^{t_{4}} \sum_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \delta \dot{q}_{k} d t+\int_{t_{k}}^{t_{2}} \sum_{k} \frac{\partial L}{\partial q_{k}} \delta q_{k} d t= \\
=\left.\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \delta q_{k}\right|_{t_{1}} ^{t_{2}}-\int_{i_{1}}^{t_{k}} \sum_{k} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} \delta q_{k} d t+ \\
+\int_{t_{1}}^{t_{k}} \sum_{k} \frac{\partial L}{\partial q_{k}} \delta q_{k} d t=\int_{t_{1}}^{t_{k}} \sum_{k}\left[\frac{\partial L}{\partial q_{k}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}\right] \delta q_{k} d t .
\end{array}
\]

Мы воспользовались здесь тем обстоятельством, что $\delta q_{k}$ и $\delta \dot{q}_{k}$ не независимы друг от друга: величины $\delta \dot{q}_{k}$ являются просто производными по времени от $\delta q_{k}$ [cp. $(2.227)]$.

Настало время, когда мы можем воспользоваться преимуществами, которые нам предоставяяет введение обобщенных координат. Поскольку обобщенных координат ровно столько, сколько степеней свободы у системы, вариации $\delta q_{k}$ являются независимыми функциями времени и уравнение (2.307) может быть удовлетворено только в том случае, если справедливы следующие $s$ уравнений:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=0, \quad k=1,2, \ldots, s .
\]

Уравнения (2.308) называются уравненияма Лагранжа второго рода или чаще просто уравнениями Лагранжа. Поскольку вывод соотношений (2.308) не зависит от выбора координат, то, переходя от одних обобщенных координат $q_{k}$ к другим $q_{k}^{\prime}$, мы придем к уравнениям Лагранжа вида
\[
\frac{d}{d t} \partial L \dot{q}_{k}^{\prime}-\partial L=0 .
\]

Прежде чем заниматься более подробным исследованием уравнений Лагранжа, мы введем обобщенные импульсы $p_{k}$, определив их равенствами
\[
p_{k}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \cdot \text {. }
\]

Для декартовых координат обобщенные импульсы $p_{k}$ совпадают с проекциями обычного импульса отдельных частиц. Нспользуя обобщенные импульсы, можно переписать (2.308)
в виде:
\[
p_{k}=\frac{\partial L}{\partial q_{k}} .
\]

Применим теперь уравнения Лагранжа к исследованию некоторых физических систем. Прежде всего заметим, что для системы без связей в качестве обобщенных координат можно использовать декартовы координаты $\boldsymbol{x}_{i}$. В этом случае лагранжиан имеет вид:
\[
\begin{array}{l}
L=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i}\left(\dot{x}_{i}^{3}+\dot{y}_{i}+\dot{z}_{i}^{2}\right)-U\left(\boldsymbol{x}_{1}, x_{2}, \ldots\right), \\
\text { так что } \\
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}=m_{i} \dot{x}_{i}, \frac{\partial L}{\partial y_{i}}=m_{i} \dot{y}_{i}, \quad \frac{\partial L}{\partial \dot{z}_{i}}=m_{i} \dot{z}_{i}, \quad \frac{\partial L}{\partial x_{i}}=-\frac{\partial U}{\partial x_{i}}, \ldots,
\end{array}
\]

и уравнения (2.308) сводятся к ньютоновским уравнениям движения (1.302).

В качестве следующего примера мы рассмотрим одну частицу в поле сферически симметричного потенциала $U(r)$. Здесь удобно выбрать в качестве обобщенных координат сферические координаты, т. е. положить $q_{1}=r, q_{2}=\theta$ и $q_{3}=\varphi$. Қинетическая энергия системы может быть представлена в виде:
\[
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\varphi}^{2}\right),
\]

так что лагранжиан запишется так:
\[
L=\frac{1}{2} m\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\varphi}^{2}\right)-U(r) .
\]

Выпишем обобщенные импульсы для этого случаяд
\[
\begin{array}{c}
p_{r}=\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m \dot{r}, \\
p_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=m r^{2} \dot{\theta}, \\
p_{\varphi}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}=m r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\varphi} .
\end{array}
\]

Из (2.315) видно, что $p$, представляет собой радиальный импульс, т. е. компоненту импульса в направлении радиус-вектора. Обобщенный импульс $p_{\varphi}$ (2.317) представляет собой компоненту полного момента импульса относительно полярной оси. Если сферические координаты $r$, $\theta, \varphi$ связаны с декартовыми координатами обычными формулами
\[
x=r \sin \theta \cos \varphi, \quad y=r \sin \theta \sin \varphi, \quad z=r \cos \theta,
\]

то $p_{\varphi}$ равно $z$-компоненте момента импульса $M$, определяемого согласно (1.209), в чем легко убедиться простой подстановкой переменных (2.318).

Қвадрат абсолютной величины момента импульса $M^{*}$ может быть выражен через $p_{\theta}$ и $p_{\varphi}$ :
\[
M^{2}=p_{\theta}^{\gamma}+\frac{p_{\phi}^{2}}{\sin ^{2} \theta} .
\]

Из уравнений Лагранжа мы потучим:
\[
\begin{array}{c}
\dot{p}_{\varphi}=0, \\
\dot{p}_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial \theta^{-}} .
\end{array}
\]
Bs

Последнее уравнение дает:
\[
p_{\theta}=\frac{p_{\varphi}^{\varrho} \operatorname{ctg} \theta}{m r^{2} \sin ^{2} \theta} .
\]

Сопоставляя (2.319), (2.320) и (2.322), мы обнаруживаем, что $\dot{M}=0$ или что $M^{2}=$ const. Если мы выберем полярную ось таким образом, чтобы она в какой-то точке пересекала траекторию частицы, то увидим из (2.317), что в точке пересечения, где $\theta=0$, а $r$ и $\dot{\varphi}$ конечны, обобщенный импульс $p_{\varphi}$ обращается в нуль. А так как согласно $(2.320) \dot{p}_{\varphi}=0$, то $p_{\varphi}$ всегда равно нулю. Из (2.319) вытекает тогда, что $p_{\theta}$ в этом случае будет полным моментом импульса. Соотношение (2.316) тогда совпадает с (1.214) и последнее уравнение движения
\[
p_{r}=\frac{\partial L}{\partial r}
\]

Рис. 9. Маятник Томсона – Тэта. Невесомый стержень $A B$ может свободно вращаться в вертикальной плоскости, проходя через $C D$, а $C D$ монкет свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости $C D E$.
сведется к (1.227), если принять во внимание (2.314), $(2.315)$ и $p_{\varphi}=0$.
Вернемся теперь еще раз к машине Атвуда (рис. 8). Вместо двух координат $z_{1}$

и $z_{2}$ наряду со связью (2.218) мы введем одну обобщенную координату $q\left(=z_{1}\right)$, так что $z_{2}=l-q$. Потенциальная энергия дается уравнением
\[
U=-m_{1} g q-m_{2} g(l-q),
\]

тогда как кинетическую энергию системы можно предстаить так:
\[
T=\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) \dot{q}^{2} .
\]

Уравнения Лагранжа (2.308) дают:
\[
\left(m_{1}+m_{2}\right) y=\left(m_{1}-m_{2}\right) g
\]

в соответствии с (2.221). Мы не получили, конечно, выражения для натяжения нити, но можем его вычислить по силе, действующей на одну из масс, входящих в систему.

Наш последий пример – это так называемый маятник Томсона – Тэта (рис. 9), который состоит из двух равных масс $m$, закрепленных на концах невесомого стержня $A B$, длина которого равна $2 b$. Середина этого стержня $C$ прикреплена к концу невесомого стержня $C D$, длина которого равна $a$. Стержень $C D$ может свободно двигаться в горизонтальной плоскости, а стержень $A B$ может свободно вращаться в вертикальной плоскости, проходя через прямую $C D$. Система имеет две степени свободы, и в качестве обобщенных координат мы выберем угол $\varphi$ между $C D$ и заданным направлением $D E$ в фиксированной горизонтальной плоскости и угол $\theta$ между $A B$ и $C D$ (см. рис. 9). Поскольку обе массы равны и центр инерции фиксирован в горизонтальной плоскости, потенциальная энергия в гравитационном поле (которое предполагается однородным) сводится к константе, которую можно считать равной нулю. Кинетическая энергия системы может быть получена из выражения
\[
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{y}_{1}^{3}+\dot{z}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2}+\dot{y}_{2}^{9}+\dot{z}_{2}^{2}\right),
\]

єсли воспользоваться следующими выражениями для $x_{1}$, $y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, z_{2}$
$x_{1}=a \cos \varphi+b \cos \theta \cos \varphi, x_{2}=a \cos \varphi-b \cos \theta \cos \varphi$,
$y_{1}=a \sin \varphi+b \cos \theta \sin \varphi, \quad y_{2}=a \sin \varphi-b \cos \theta \sin \varphi$, (2.328)
$z_{1}=b \sin \theta, \quad z_{2}=-b \sin \theta$.
Окончательно кинетическая энергия, а следовательно, n лагранжиан запишутся в виде:
\[
\begin{array}{l}
L=T=\frac{1}{2} m\left[b^{2} \dot{\theta}^{2}+(a+b \cos \theta)^{2} \dot{\varphi}^{2}\right]+ \\
+\frac{1}{2} m\left[b^{2} \dot{\theta}^{2}+(a-b \cos \theta)^{2} \dot{\varphi}^{2}\right]= \\
=m b^{2} \dot{\theta}^{2}+m\left(a^{2}+b^{2} \cos ^{2} \theta\right) \dot{\varphi}^{2} .
\end{array}
\]

С помоцыо (2.308) мы находим уравнения движения:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}=\dot{p}_{\varphi}=0 \quad \text { или } \quad p_{\varphi}=\text { const, } \\
2 m b^{2} \ddot{\theta}+2 m b^{2} \cos \theta \sin \theta \dot{\varphi}^{2}=0 .
\end{array}
\]

Из (2.330), (2.331) и выражения для $p_{\varphi}$,
\[
p_{\varphi}=2 m\left(a^{2}+b^{2} \cos ^{2} \theta\right) \dot{\varphi},
\]

мы находим дифференциальное уравнение
\[
\ddot{\theta}+\frac{\rho_{\varphi}^{2} \sin \theta \cos \theta}{4 m^{2}\left(a^{2}+b^{2} \cos ^{2} \theta\right)^{2}}=0,
\]

из которого функция $\theta$ может быть найдена двойной квадратурой. Мы еще вернемся к (2.333) в следующем параграфе.